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湖南师大附中2019届高三月考试卷（七）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，若为纯虚数，则（）A. 5B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a值，再由复数的模长公式可得结果．【详解】化简可得==a-1+3i，∵z是纯虚数，∴a﹣1＝0，解得a＝1，∴|1-2i|＝|1-2i|故选B.【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及纯虚数的概念及复数的模长公式，属于基础题．2.下列说法错误．．的是（）A. 在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定B. 若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，【答案】B【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】对于A，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故A正确；对于B，变量，满足关系，则变量x与负相关，又变量与正相关，则与负相关，故B错误；对于C，由残差图的意义可知正确；对于D，∵y＝ce kx，∴两边取对数，可得lny＝ln（ce kx）＝lnc+lne kx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，∵z＝0.3x+4，∴lnc＝4，k＝0.3，∴c＝e4．即D正确；故选B.【点睛】本题考查了两个变量的线性相关及回归方程的有关知识，考查了残差图的意义，涉及对数的运算性质，属于基础题型．3.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得f（x）的奇偶性及f（1）的值即可得出答案．【详解】∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，<0，∴排除B，故选：A．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入，，则输出的等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得a＝4，b＝1，n＝1a＝6，b＝2不满足条件a≤b，执行循环体，n＝2，a，b＝4，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝3，a，b＝8，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝4，a，b＝16，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝5，a，b＝32，满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】设出圆心坐标，结合题意利用垂径定理及两点间的距离公式得到关于x、y的方程即可．【详解】设圆心M（x，y），弦为BC，过点M作ME⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|MA|2＝|BM|2＝|BE|2+|ME|2，∴（x﹣2）2+y2＝22+x2，化为y2＝4x．故选D．【点睛】本题综合考查了抛物线的标准方程，考查了垂径定理、两点间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．6.已知数列满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．【详解】∵数列满足：，，∴，∴当n≥2时，a n＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1＝=，∴．故选C.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的运用，是基础题.7.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A. 24B. 48C. 96D. 120【答案】C【解析】分析：讨论两种情况，第一类相同颜色，第二类不同颜色，分别利用分步计数乘法原理求解，然后求和即可. 详解：若颜色相同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，只有一种涂法，共有种；若颜色不同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，当和相同时，有一种涂法，当和不同时，只有一种涂法，共有种，根据分类计数原理可得，共有种，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率..8.下列选项中为函数的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数，令，求得，可得函数的对称轴中心为，当时，函数的对称中心为，故选A.9.已知，给出下列四个命题：：，；：，；：，；：，；其中真命题是（）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】B【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可.【详解】不等式组的可行域如图，当z=x+y过A（﹣2，0）点时，z最小，可得：﹣2+0＝﹣2，当z=x+y过B或C点时，z最大，可得：z=2，故P1：，为真命题；P 3：，为假命题；又表示可行域内的点与（-3，0）连线的斜率，∴由A（﹣2，0）点，可得0，故P2：∀（x，y）∈D，0错误；由（﹣1，1）点，x2+y2＝2故p4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项和正确．故选：B．【点睛】本题考查线性规划的应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及理解目标函数的几何意义是解题的关键.10.在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案．【详解】如图，延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1于H，延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1于G，可得截面五边形AHFEG．∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH．∴截面的周长为．故选：D．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征及立体几何中的截面问题，补全截面图形是关键，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．11.如图，已知，，，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n的方程，求解即可．【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为，且，∴，∴A（1，0），B（），又令，则=，∴=7，又如图点C在∠AOB内，∴=，sin=,又，∴C（），∵，（m，n∈R），∴（）=（m,0）+（）=(m，）即 m，，解得n=，m=，∴，故选：A．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．12.箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（）A. 草花5 B. 红桃C. 红桃4D. 方块5【答案】D【解析】【分析】甲第一句表明点数为A，Q，5，4其中一种；乙第一句表明花色为红桃或方块，甲第二句表明不是A；乙第二句表明只能是方块5，即可得出结论．【详解】因为甲只知道点数而不知道花色，甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复，表明点数为A，Q，5，4其中一种；而乙知道花色，还知道甲不知道，说明这种花色的所有点数在其他花色中也有，所以乙第一句表明花色为红桃或方块，甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的，所以表明不是A；乙第二句表明只能是方块5；故选D.【点睛】本题考查简单的合情推理，考查分析解决问题的能力，比较基础．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__________．【答案】【解析】【分析】用（x，y）表示甲乙摸球的号码，将甲获胜的基本事件一一列出．再从中找出乙摸1号球的基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】用（x，y）表示甲乙摸球的号码，则甲获胜包括5个基本事件：（2，1），（2，1），（2，0），（2，0），（1，0）．在甲获胜的条件下，乙摸1号球包括2个基本事件：（2，1），（2，1）．则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率P．故答案为．【点睛】本题考查了条件概率及古典概型概率计算公式，考查了利用列举法找基本事件的方法，属于中档题．14.设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】先求得点F到渐近线的距离，根据对称性，则可得PE、PF,再利用双曲线的定义得到a、b的关系，进而求得结果. 【详解】如图：由点关于直线的对称点为，可知FH OH，又F(1,0)到渐近线l:y=的距离为，即FH=b，OH=a，∴PF=2b，PE=2a，由双曲线的定义可知2b-2a=2a，∴b=2a，又c2＝b2+a2＝5a2，∴e．故答案为．【点睛】本题考查双曲线C的离心率，考查双曲线的定义及简单几何性质的应用，关键是将对称问题转化为垂直平分的条件，属于中档题．15.对于大于或等于2的自然数的次幂进行如图的方式“分裂”.仿此，若的“分裂”中最小的数是211，则的值为__________．【答案】15【解析】【分析】根据所给的数据，找到规律：在n2中所分解的最大的数是2n﹣1；在n3中，所分解的最小数是n2﹣n+1．根据发现的规律可求．【详解】根据所给的数据，找到规律：在中所分解的最大的数是2m﹣1；在中，所分解的最小数是﹣m+1．若m3的“分裂”中最小数是211，则﹣m+1＝211m＝15或﹣14（负数舍去）．故答案为：15．【点睛】本题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解，考查了识图能力与归纳推理能力，属于中档题.16.设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．【答案】1【解析】【分析】由题意先代入x=1求得a的范围，要满足题意，则a是必要条件，又为整数，只需再验证a=1时，不等式恒成立即可，构造函数g（x），x∈，通过求导求得最小值，证明结论成立.【详解】由题意对任意的，不等式恒成立，则x=1时，不等式也成立，代入x=1得e+3,又为整数，则a，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，只需验证a=1时，对任意的，不等式恒成立，即证，变形为对任意的恒成立，令g（x），x∈，则g′（x），在（0，1）上小于0，在（1，）上大于0，故g（x）在（0，1）递减，在（1，）递增，∴g（x）g（1）=3>0，∴对任意的恒成立，故a=1满足题意.故答案为1．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，关键是探寻到一个使命题成立的必要条件，这也是解决此类题的常用手段，属于难题．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角、、的对边依次为、、，满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的周长为，求的内切圆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由，利用正弦定理可得，再根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行化简，可得,，从而可求角的大小；（Ⅱ）设的内切圆半径为,即可求面积，根据面积相等及余弦定理，结合基本不等式可求出内切圆半径的最大值，从而可得内切圆面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为,即,而,则,又,所以.（Ⅱ）令的内切圆半径为,有,则,由余弦定理得,化简得,而,故,解得或.若,则至少有一个不小于3,这与的周长为3矛盾;若,则当时, 取最大值.综上,知的内切圆最大面积值为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，，，点是线段上任意一点.（1）证明：平面平面；（2）若的最大值是，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出AC⊥BM，AC⊥BD，从而AC⊥平面BMND，由此能证明平面EAC⊥平面BMND．（2）由AE＝CE＞1，cos∠AEC＝1，∠AEC∈（0，π），得到当AE最短时∠AEC最大，即AE⊥MN，CE⊥MN时∠AEC最大，∠AEC是二面角A﹣MN﹣C的平面角，大小是120°，可得AE．取MN得中点H，连接H与AC、BD 的交点O，由题意知OH⊥平面ABCD，建系，利用向量法结合∠AEC=120°求得ND，利用V M﹣NAC＝V M﹣EAC+V N﹣EAC能求出三棱锥M﹣NAC的体积．【详解】（1）因为平面，则.又四边形是菱形，则，所以平面.因为在平面内，所以平面平面.（2）设与的交点为，连结.因为平面，则，又为的中点，则，所以，.当最短时最大，此时，，，.取的中点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，且a<,则点，，，，.设平面的法向量，则，取，则，同理求得平面的法向量.因为是二面角的平面角，则，解得或,又a<，因为，，，则.【点睛】本题考查了面面垂直的证明及几何体的体积的求法，考查了利用向量解决空间角的问题，考查运算求解能力，是中档题．19.在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名.（1）求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；（2）设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设A表示事件：“甲选中3号歌手”，事件B表示“乙选中3号歌手”，事件C表示“丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出概率．（2）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【详解】设表示事件“甲同学选中3号选手”，表示事件“乙同学选中3号选手”，表示事件“丙同学选中3号选手”，则（1），，所以.（2），可能的取值为0，1，2，3，，，，.所以的分布列为：的数学期望.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，为椭圆的右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得b=2，由，得到，代入椭圆方程，结合a2＝b2+c2，联立解出即可．（2）解法一：先考虑斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，将条件坐标化，把根与系数的关系代入可得：，代入中，化简得，又，可得所求范围，再考虑斜率不存在时，求得点A，B坐标，计算数量积，与k存在时的范围取并集即可.解法二：设直线OA斜率为k，将直线OA的方程与椭圆联立，求得A的坐标，利用写出B的坐标，代入化简后，利用基本不等式求得最值.【详解】（1）设椭圆的方程为，右焦点，因为为椭圆短轴的一个端点，则.因为，则点.因为点在椭圆上，则，即.又，则，得，所以椭圆的标准方程是.（2）解法一：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得，即.设点，，则，.因为，则，即，即，即，所以，即，化简得.所以.因为，，则，所以.又，则，即，则，所以.当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，则.因为，不妨设，则.联立与，得点，，或点，，此时.综上分析，的取值范围是.解法二：因为，设，则.设点，，则，即，所以.由，得，即，所以.同理，.所以.因为，当且仅当，即时取等号，则.即，且，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了向量数量积的运算，涉及基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）对f′（x）中的k分类讨论，根据f′（x）的正负判断函数的单调性即可.（2）由题意得lnx1﹣kx1＝0，lnx2﹣kx2＝0，两式作差可得，lnx1﹣lnx2＝k（x1﹣x2）,k＝，要证lnx1+lnx2＞2即k（x1+x2）＞2，将k代换后，化简变形得，设t1，构造函数g（t），利用新函数的导数求出单调区间，证得g（t）＞g（1）＝0即可．【详解】（1），①当时，，在区间上单调递增；②当时，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）因为，是的两个零点，则，，所以，.要证，只要证，即证，即证，即证，只要证.设，则只要证.设，则，所以在上单调递增.所以，即，所以，即.【点睛】本题主要考查导数在求函数单调区间中的应用和利用导数证明不等式的成立，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设动直线：分别与曲线，相交于点，，求当为何值时，取最大值，并求的最大值.【答案】（1）曲线的极坐标方程是，曲线的直角坐标方程是；（2）当时，取最大值，且.【解析】【分析】（1）将C1的参数方程消去可化为普通方程，再利用互化公式可得C1的极坐标方程．同理利用互化公式将C2的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）法一：将直线的参数方程分别代入曲线、的普通方程，求得，利用及三角函数的值域可得结果.法二：将（ρ≥0），代入C1, C2的极坐标方程，分别解得：．由结合三角函数的值域可得结果．【详解】（1）曲线的普通方程为，即.将，代入，得，所以曲线的极坐标方程是.由，得.将，代入，得，所以曲线的直角坐标方程是.（2）解法一：设直线的倾斜角为，则的参数方程为（为参数，且）.将的参数方程代入曲线的普通方程，得，则.将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，则.所以，据题意，直线的斜率存在且不为0，则，所以当，即时，取最大值，且.解法二：设直线的倾斜角为，则的极坐标方程为.设点，的极坐标分别为，，则，.所以.据题意，直线的斜率存在且不为0，则，所以当，即时，取最大值，且.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线的参数方程的应用与极径的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数.（1）解不等式：；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式证明．【详解】（1）不等式化为.当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（2）由题意得，所以成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题．。
炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数，对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先由点对应的复数可以得到点的坐标，在利用中点坐标公式可以求出点的坐标，最后就可以得到点对应的复数．由于复数对应的点为，复数对应的点为．利用中点坐标公式得线段的中点，所以点对应的复数，故选C．考点：1、复平面；2复平面内的点与复数的一一对应关系；3、线段的中点．2.设命题，命题q：函数没有零点，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：本题可以从集合的关系作为切入点，先由得出函数没有零点时的范围，再将此范围与进行比较，即可得到的关系．由函数没有零点，则，即，显然，可以推出，而不能推出，故选B．考点：1、命题；2、充分条件，必要条件；3、函数零点．3.点)到直线的距离等于4，且在表示的平面区域内，则a的值为( )A. 3B. 7C. －3D. －7【答案】C【解析】试题分析：先由点到直线的距离公式列出关于的一个等式，再根据点在所表示的平面区域内列出一个不等式，最后将两式联立，即可求出的值．由题意可得，解之得，故选C．考点：1、点到直线的距离；2、线性规划．4.已知函数是偶函数，当时，，则在上，下列函数中与的单调性相同的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先根据的奇偶性判断出其在上的单调性，然后再逐一检验选项中哪个选项符合要求，即可得到答案．由于是偶函数，并且当时，，所以在上是增函数，因此在上是减函数，对A，B，C，D各选项逐一判定后知，函数在上是减函数，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性．5.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 57＋24πB. 57＋15πC. 48＋15πD. 48＋24π【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是圆锥与直四棱柱的组合体，分别计算各部分的面积即可。
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数学(文科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}21xM x =<,集合{}2log 1xN x =>,则下列结论中成立的是( ) A. M N M ⋂= B. M N N ⋃= C. ()M N M ⋃⋂=ð D. ()M N N ⋃⋂=ð【答案】C 【解析】 【分析】求出M 与N 中不等式的解集，确定出M 与N ，利用交并补运算即可做出判断． 【详解】由0212x <=,得0x <,由22log 1log 2x >=,∴2x >, ∴(){}{}|0|2=M M N x x x x ⋃⋂=<⋂≤ð,故答案为C.【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.已知三条不重合的直线 m n l 、、,两个不重合的平面 、αβ,下列四个命题中正确的是( ) A. 若l α⊥,m β⊥,且l m ,则αβ∥ B. 若,m n n α⊂,则m αC. 若,m n αα⊂⊂，m β,n β,则αβ∥D. 若,,m n αβαββ⊥⋂=⊂,，则n α⊥ 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂直于同一直线的两平面平行判断A 是否正确；根据线面平行的判定定理判断B 是否正确；根据面面平行的判定定理判断C 是否正确；根据面面垂直的性质定理判断D 是否正确. 【详解】∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，∵m ⊥β，∴α∥β，A 正确； ∵m ∥n ，n ⊂α，有可能m ⊂α，∴B 错误；∵m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，m 、n 不一定相交，∴α、β不一定平行；C 错误； 根据面面垂直的性质判断D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别注意定理的条件．3.已知(1,3)P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线上,则该双曲线的离心率为( )B. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后转化求解即可．【详解】根据点(1,3)P 在双曲线的渐近线上,所以双曲线的一条渐近线方程为, 所以有b3a=, 即3b a =,根据双曲线中, , a b c 的关系,可以得c =,所以有e =,故选A.【点睛】求离心率的常用方法有以下两种： （1）求得,a c的值，直接代入公式ce a=求解； （2）列出关于,,a b c 的齐次方程(或不等式)，然后根据222b a c =-，消去b 后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．4.已知()sin ωx (0,0,,)2f x A A x R πφφ=+>><∈（）在一个周期内的图象如图所示,则()y f x =的解析式是( )A. ()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】通过函数的图象，求出A ，利用函数的周期求出ω，利用函数的图象经过的特殊点求出ϕ，从而得到选项． 【详解】由函数()sin()(0,0,,)2f x A x A x R πφ=>><∈在一个周期内的图象可得：1A =,112T==44126πππω⋅+,解得2ω=, 再把点,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数的解析式可得：1sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,即sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.再由2πϕ<可得：3πϕ=,所以函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故应选B. 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.5.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为(参考数据：sin150.2588=°,sin7.50.1305=°)( )A. 12B. 16C. 24D. 48【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】由程序框图可列表如下：因为 3.106 3.10≈>,所以输出n 的值为24,故选C.【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答． 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,通项公式21log (*)2n n a n N n +=∈+,则满足不等式6n S <-的n 的最小值是( ) A 62B. 63C. 126D. 127【答案】D 【解析】 【分析】先由{}n a 的通项公式和对数的运算性质，求出n S ，再把6n S <-转化为关于n 的不等式即可． 【详解】因为222312log log 63422n n S n n +⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,所以6222n -<+,即126n >, 故应选D.【点睛】本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题． 7.设,,A B C 为圆O 上三点，且3,5AB AC ==，则AO BC ⋅=（ ） A. -8 B. -1C. 1D. 8【答案】D 【解析】试题分析：取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则1()2AD AB AC =+，0OD BC ⋅=.所以()AO BC AD DO BC ⋅=+⋅=1()2AB AC +()AC AB -=221(||)2AC AB -8=，故选D.考点：平面向量的数量积．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =+,数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =+,则()n f a =( )A. 0B. 0或1C. -1或0D. 1或-1【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 满足f （x+2）=f （x ），因此函数f （x ）是周期为2的函数．由S n =2a n +2，利用递推关系可得a n ．再利用周期性与奇函数的性质f （0）=0即可得出． 【详解】∵()(2)f x f x =+, 所以()f x 函数周期为2, ∵数列{}n a 满足22n n S a =+,∴12a =-,1122n n S a --=+,∴122n n n a a a -=-,即12n n a a -=, ∴{}n a 以-2为首项,2为公比的等比数列,∴2nn a =-,∴()()(2)00n f a f n f =-==,故选A.【点睛】本题考查了数列的递推关系、函数的奇偶性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.设定义域为R 的函数lg 2,2()0,2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若0b <,则关于x 的方程2[()]()0f x bf x +=的不同实数根共有( ) A. 4个 B. 5个 C. 7个 D. 8个【答案】C【分析】要求关于x 的方程f 2（x ）+bf （x ）=0的不同实根，利用因式分解转化为f （x ）=0或f （x ）=﹣b ＞0（b ＜0）两个方程实根的个数，根据函数图象即可求得结果．【详解】由2[()]()0f x bf x +=,得()0f x =或()f x b =-.所以方程2[()]()0f x bf x +=的根的个数转化为函数()y f x =与函数0,y =(0)y b b =-<的图象的交点个数.因为函数()f x 的图象大致如图所示,数形结合可知,()0f x =有3个实数根,()(0)f x b b =-<有4个实数根, 所以2[()]()0f x bf x +=共有7个不同的实数根,故答案选C.【点睛】本题考查根的存在性以及根的个数的判断，体现了数形结合和分类讨论的思想和灵活应用知识分析解决问题的能力．10.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下,则余下部分的几何体的体积为( )A.83πB.163πC. 83π+D.169+【答案】D 【解析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，圆锥母线，圆锥的高，圆锥底面半径为=2， 截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=23πr 2+12r 2sin120°=83π故几何体的体积为：V=13Sh=13×（83π2=169π，故选：D ． 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.11.本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放,甲、乙两人计划前去自习,其中甲连续自习2小时,乙连续自习3小时.假设这两人各自随机到达图书馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是( )A. 19 B.16 C. 13D. 12【答案】B 【解析】 【分析】设出甲乙到达的时刻，求出满足条件的不等式组，作出对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】据题意,甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆,设甲、乙到达图书馆的时间分别为 x y 、,则1413x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习,则3423x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所对应的正方形区域的面积为1,所以1P=6,选B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键．12.设函数()d x 与函数2log y x =关于直线y x =对称.已知()()()22,1432,1d x a x f x x ax a x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数()f x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是A. 1(,1)[2,)2+∞ B. 13(,1)[,)42+∞ C. 1(,)4+∞D. 3(,)2-∞【答案】A 【解析】 【分析】分段函数求解得出2x﹣a=0，()22432x ax a-+=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ），分类分别判断零点，总结出答案． 【详解】因为函数()d x 与函数2log y x =关于直线y x =对称,所以()2xd x =；设()4()(2),g x x a xa x =--≥,()2,1x h x a x =-< ,因为()f x 恰有2个不同的零点,又因为()h x 至多有一个零点,故：①若()g x 有两个零点,()h x 没有零点,则()1120a h a ≥⎧⎨=-≤⎩,得2a ≥.②若()g x 和()h x 各有1个零点,则121a a <⎧⎨≥⎩且()0120a h a -<⎧⎨=->⎩,得112a ≤<.综上,[)1,12,2a ⎛⎫∈⋃+∞⎪⎝⎭.故答案选A. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.已知圆221:()1C x a y -+=与圆222:650C x y x +-+=外切,则a 的值为______.【答案】0或6【解析】 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解a 的值．【详解】圆221:()1C x a y -+=的圆心为(),0a ,半径为1, 圆222:650C x y x +-+=的圆心为()3,0,半径为2,两圆外切,所以33a -=,∴0a =、6,故a 的值为0或6. 故答案为：0或6【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的充要条件是：两圆圆心距等于两圆的半径之和． 14.如果复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于 ． 【答案】34+i 【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a b i =-，z =所以2a bi i +=+，所以得：2{1a b ==，解得：3{41a b ==，所以34z i =+． 考点：复数的运算． 15.已知2510a b ==,则a bab+=______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和对数的定义即可求出． 【详解】由已知,21log 10lg 2a ==,51log 10lg 5b ==.所以11lg 2lg5lg101a b ab a b+=+=+==. 故答案为：1【点睛】本题考查了对数的运算性质和对数的定义，属于基础题．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数 a b 、都有()()()1f a b f a f b +=+-,且当0x >时()1f x >.若(4)5f =,则不等式2(32)3f x x --<的解集为______.【答案】41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】先证明函数()f x 的单调性，由(4)5f =可得(2)3f =，根据单调性建立不等关系，解之即可． 【详解】设12x x >,则120x x ->,12()1f x x ->.所以12122212()()[()]()()10f x f x f x x x f x f x x -=-+-=-->,即12()()f x f x >,所以()f x 是增函数.因为(4)5f =,即(2)(2)15f f +-=,所以(2)3f =.所以原不等式化为2224(32)(2)32234013f x x f x x x x x --<⇒--<⇒--<⇒-<<.故不等式的解集是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及抽象函数及其应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin cos ,0,R f x a x b x a x =+≠∈,()f x 的最大值是2,且在x=6π处的切线与直线0x y -=平行.(1)求a b 、的值；(2)先将()f x 的图象上每点的横坐标缩小为原来的12,纵坐标不变,再将其向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象,已知10g =413πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求cos2α的值.【答案】（1）1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2）1226.【解析】 【分析】（12=，进一步利用导数求出a 和b 的另一个关系，进一步求出结果；（2）根据（1）的结果求出()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据图象的变换求出g （x ）=226sin x π⎛⎫-⎪⎝⎭，然后根据角的恒等变换2α=（2α+3π）﹣3π，即可得到结果． 【详解】(1)()'cos sin f x a x b x =-,由已知有2166acos bsin ππ⎧=⎪⎨-=⎪⎩,解之得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩(2)由(1)有()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, 因为将()f x 的图象上每点的横坐标缩小为原来12,纵坐标不变, 再将其向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象,则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由10g =413πσ⎛⎫+⎪⎝⎭,,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得5sin 2313πσ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且22+,33ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则12cos 2313πσ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333ππππππασσσ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1215=+13213-⋅. 【点睛】本题考查的知识点：三角函数的最值，利用导数求函数的斜率，正弦型函数的图象的变换，角的变换，三角函数的值．18.如图,已知三棱柱ABC A B C -'''的侧棱垂直于底面,,AB AC =90BAC ∠=︒,点 M N 、分别是A B '和B C ''的中点.(1)证明：MN ∥平面AAC C ''；(2)设AB AA λ=',当λ为何值时,CN ⊥平面A MN ',试证明你的结论. 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）时，【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化. 试题解析：（Ⅰ）取得中点,连接,因为分别为A B '和B C ''的中点，所以又因为,,所以,, 5分所以,因为MN ⊂平面MNE , 所以； 6分（Ⅱ）连接,设，则， 由题意知因为三棱柱ABC A B C '''-侧棱垂直于底面, 所以,因为,点N 是B C ''的中点，所以A N BB C C ''⊥'平面,, 9分要使，只需即可，所以,即，则时，. 12分考点：证明线面平行及寻求线面垂直19.某地1～10岁男童年龄i x (单位：岁)与身高的中位数i y (单位)(i=1,2,...,10)cm ，如表所示：对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)求y 关于x 的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)；(2)某同学认为方程2y px qx r =++更适合作为y 关于x 的回归方程模型,他求得的回归方程是^20.3010.1768.07y x x =-++.经调查,该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ，与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好？(3)从6岁～10岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演(假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高).再从这5位男童中任挑选两人表演“二重唱”,则“二重唱”男童身高满足6,(,6,7,8,9,10)i j y y i j -≤=的概率是多少？参考公式：1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-$$【答案】（1） 6.87 4.7ˆ76y x =+；（2）20.3010.1768.07ˆy x x =-++拟合效果更好；（3）310. 【解析】 【分析】（1）由表中数据求得x ，计算回归系数，写出回归方程；（2）根据回归方程分别计算x=11时y ∧的值，求出|y ﹣y ∧|的值，比较即可得出结论; (3)利用古典概型计算公式求出结果. 【详解】(1)因为123105.510x ++++==,()()121ˆ()566.856.8782.50ni i i n i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑， 112.45 6.ˆˆ87 5.574.67ay bx =-=-⨯≈, 所以y 关于x 的线性回归方程是 6.87 4.7ˆ76yx =+. (2)若y 关于x 的线性回归方程是 6.87 4.7ˆ76yx =+,所以11x =时,1524ˆ0.y =； 若回归方程是20.3010.1768.07ˆyx x =-++,所以11x =时,1464ˆ 3.y =； 因为143.64145.3 1.66150.24145.3 4.94-=<-=,所以回归方程20.3010.1768.07ˆyx x =-++拟合效果更好. (3)设6岁～10岁男童挑选的5位男童身高分别为,,,,a b c d e ,则从中任挑选两人表演“二重唱”有10种选法：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ；两男童身高的中位数满足()6,,6,7,8,9,10i j y y i j -≤=有3种选法,分别是(124,130),(130,135.4),(135.4,140.2),故概率是6310i j y y P-≤=. 【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数ˆb：公式有两种形式，即()()()1122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxyb x nx x x ====∑--∑-==∑-∑-。
炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高考模拟卷(二)数 学(理科)审题：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，N ＝{x|x ＝k 2＋14，k ∈Z }，则(C)A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝2．若复数z ＝(1－ai)(a ＋2i)在复平面内对应的点在第一象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 取值范围是(A)A ．(0，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，0) 3．如果等差数列a 1，a 2，…，a 8的各项都大于零，公差d ≠0，则(B) A ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＞a 4a 5 【解析】由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除A 、C. 又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d)＝a 21＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d)(a 1＋4d)＝a 21＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8，故选B. 4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为(B)A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )ω＝6k ＋2(k ∈Z )，故ωmin ＝2.5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为(A)A ．100B ．1000C ．90D ．900【解析】支出在[50，60)元的频率为1－(0.1＋0.24＋0.36)＝0.3.∴样本容量n ＝300.3＝100.6．已知一个几何体的三视图如图所示(正方形的边长为1)，则该几何体的体积为(B)A.34B.78C.1516D.2324【解析】由题意可知几何体的形状如图，是长方体中截出的棱锥(底面是梯形，高为12，底面梯形下底边长为1，上底边长为12，高为1)的剩余部分，所以几何体的体积为：1－13×12×12×⎝⎛⎭⎫1＋12×1＝78，故选B. 7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是(D)A.112B.115C.118D.114【解析】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，随机选取两个不同的数共有C 28＝28种，随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率P ＝114，故选D.8.下列图象可以作为函数f(x)＝xx 2＋a的图象有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】当a<0时，如取a ＝－4，则f(x)＝xx 2－4，其定义域为：{x|x ≠±2}，它是奇函数，图象是(3)，所以(3)是正确的；当a>0时，如取a ＝1，则f(x)＝xx 2＋1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是(2)，所以(2)是正确的；当a ＝0时，则f(x)＝1x ，其定义域为：{x|x ≠0}，它是奇函数，图象是(4)，所以(4)正确．故选C.9．已知点集M ＝{}（x ，y ）|1－x 2·1－y 2≥xy ，则平面直角坐标系中区域M 的面积是(D)A ．1B ．3＋π4C ．πD ．2＋π2【解析】当xy ≤0时，只需要满足x 2≤1，y 2≤1即可；当xy>0时，对不等式两边平方整理得到x 2＋y 2≤1，所以区域M 如下图．易知其面积为2＋π2.10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫52，0，b ＝(0，5)的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP →⊥AB →，OP →＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为(C)A.15，45B.43，－13C.45，15 D ．－13，43【解析】OP →＝x a ＋y b ＝x ⎝⎛⎭⎫52，0＋y(0，5)＝⎝⎛⎭⎫52x ，5y , AB →＝b －a ＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∵OP →⊥AB →，∴－254x ＋25y ＝0x ＝4y ，①又∵A ，B ，P 三点共线，∴x ＋y ＝1，②由①②得 x ＝45，y ＝15.故选C.11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，||AB ＝||AD ＝3，||AA 1＝1，而对角线A 1B上存在一点P ，使得||AP ＋||D 1P 取得最小值，则此最小值为(D)A ．2B ．3C ．1＋ 3D.7【解析】把对角面A 1BCD 1绕A 1B 旋转到与△AA 1B 在同一平面上的位置，连接AD 1，在△AA 1D 1中，|AA 1|＝1，|A 1D 1|＝3，∠AA 1D 1＝∠AA 1B ＋90°＝150°，则|AP|＋|D 1P|的最小值为：AD 1＝12＋（3）2－2×1×3×cos 150°＝7，故选D. 12．已知a>0，函数f(x)＝e x －a －ln (x ＋a)－1(x>0)的最小值为0，则实数a 的取值范围是(C)A.⎝⎛⎦⎤0，12B.⎣⎡⎭⎫12，1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D ． 【解析】由题意知f(a)＝e a －a －ln(a ＋a)－1≥0，即0<a ≤12.①当0<a<12时，f(x)＝e x －a －ln(x ＋a)－1≥[(x －a)＋1]－[(x ＋a)－1]－1＝－2a ＋1>0不符合题意，舍去；②当a ＝12时，f(x)＝ex －12－ln ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －12＋1－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋12－1－1＝0⎝⎛⎭⎫当x ＝12时取等号.则a ＝12，故选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．定积分⎠⎛－11(e x －e －x )dx ＝__0__．14．(x －y)(x ＋y)8的展开式中x 2y 7的系数为__－20__．(用数字填写答案)【解析】(x ＋y)8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r ，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.15．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)与双曲线C 2：x 2－y 2＝4有相同的右焦点F 2，点P是椭圆C 1和双曲线C 2的一个公共点，若||PF 2＝2，则椭圆C 1的离心率为2． 【解析】设另一个焦点是F 1，由双曲线的定义可知||PF 1－||PF 2＝4，||PF 1＝6， 2a ＝8，a ＝4，c ＝22，故e ＝c a ＝224＝22.16．已知数列{}a n ，{}b n 均为等差数列，且a 1b 1＝m ，a 2b 2＝4，a 3b 3＝8，a 4b 4＝16，则m ＝__4__.【解析】设a n ＝an ＋b ，b n ＝cn ＋d ，则a n b n ＝()an ＋b ()cn ＋d ＝acn 2＋(bc ＋ad)n ＋bd ， 令c n ＝a n b n ，则d n ＝c n ＋1－c n ＝2acn ＋(ac ＋ad ＋bc)构成一个等差数列，故由已给出的a 2b 2＝4，a 3b 3＝8，a 4b 4＝16，可求得m ＝4.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本题满分12分)已知在△ABC 中， D ，E 分别为边AB ，BC 的中点， 2AB →·AC →＝||AB →·||AC→， (1)若2AB →·AC →＝AB →·CD →，且△ABC 的面积为33，求边AC 的长； (2)若BC ＝3，求线段AE 长的最大值．【解析】设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝||AB →·||AC→，得2bccos A ＝bc ，所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，因此A ＝π3.2分(1)由2AB →·AC →＝AB →·CD →，即2AB →·AC →＝AB →·(CA →＋12AB →)，得3bc ＝c 2，即3b ＝c.又因为S △ABC ＝12bcsin A ＝334b 2＝33，所以b ＝2，即边AC 的长为2.7分(2)因为E 为边BC 的中点，所以AE →＝12(AB →＋AC →)，即AE →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(b 2＋c 2＋bc)，9分又因为BC ＝3，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ，即b 2＋c 2＝a 2＋bc ＝3＋bc ≥2bc ，即bc ≤3，所以AE →2＝14(3＋2bc)≤94，||AE→≤32，当且仅当b ＝c 时取等号，所以线段AE 长的最大值为32.12分18．(本题满分12分)如图1，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且DE ＝1，EC ＝2，现将梯形沿BE 折叠(如图2)，使平面BCE ⊥平面ABED.(1)求证：平面ACE ⊥平面BCE ；(2)能否在边AB 上找到一点P(端点除外)使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为63若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．【解析】(1)在直角梯形ABCD 中，作于DM ⊥BC 于M ，连接AE ， 则CM ＝2－1＝1，CD ＝DE ＋CE ＝1＋2＝3， 则DM ＝AB ＝22，cos C ＝13，2分则BE ＝4＋4－2×2×2×13＝433，sin ∠CDM ＝13，则AE ＝1＋1＋2×1×1×13＝263，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，4分故AE ⊥BE ，且折叠后AE 与BE 位置关系不变，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE ∩平面ABED ＝BE ， ∴AE ⊥平面BCE ，∵AE 平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE.6分 (2)∵在△BCE 中，BC ＝CE ＝2，F 为BE 的中点，∴CF ⊥BE. 又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE ∩平面ABED ＝BE ， ∴CF ⊥平面ABED ，7分故可以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫263，－233，0，C ⎝⎛⎭⎫0，0，263，E ⎝⎛⎭⎫0，－233，0，易求得平面ACE 的法向量为m ＝(0，－2，1)．假设在AB 上存在一点P 使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为63，且AP →＝λAB →，(λ∈R )，∵B ⎝⎛⎭⎫0，233，0，∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－263，433，0，故AP →＝⎝⎛⎭⎫－263λ，433λ，0，又CA →＝⎝⎛⎭⎫263，－233，－263， ∴CP →＝⎝⎛⎭⎫263（1－λ），233（2λ－1），－263， 又FC →＝⎝⎛⎭⎫0，0，263，设平面PCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎨⎧－263z ＝0，263（1－λ）x ＋233（2λ－1）y －263z ＝0，令x ＝2λ－1得n ＝(2λ－1，2(λ－1)，0)，∴|cos m ，n |＝|2（λ－1）|3·（2λ－1）2＋2（λ－1）2＝63，11分解得λ＝12，因此存在点P 且P 为线段AB 中点时使得平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为63.12分 19．(本题满分12分)近期，某市公交公司推出扫码支付1分钱乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.629路公交车统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：表1：x 1 2 3 4 5 6 7 y611213466101196根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y ＝a ＋bx 与y ＝c·d x (c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，支付方式现金乘车卡扫码比例 10% 60% 30%车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n(n ∈N *)年才能开始盈利，求n 的值．参考数据：y － v － ∑7i ＝1x i y i ∑7i ＝1x i v i 100.54 62.141.54253550.123.47其中v i ＝lg y i ，v －＝17 i ＝17v i .参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝a ^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β^＝ ＝0.25，5分把样本中心点(4，1.54)代入v ＝lg c ＋lg d ·x ，得lg c ＝0.54， ∴v ^＝0.54＋0.25x ，∴lg y ^＝0.54＋0.25x ，6分∴y 关于x 的回归方程式：y ^＝100.54＋0.25x ＝100.54(100.25)x ＝3.47(100.25)x ， 把x ＝8代入上式：∴y ^＝100.54＋0.25×8＝102.54＝102×100.54＝347，所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470 .7分(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4， P(Z ＝2)＝0.1，P(Z ＝1.8)＝0.3×12＝0.15，P(Z ＝1.6)＝0.6＋0.3×13＝0.7，P(Z ＝1.4)＝0.3×16＝0.05，所以一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1＋1.8×0.5＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)，10分 由题意可知：1.66×1×12·n －0.66×12·n －80>0，n>203，所以n 取7，估计这批车大概需要7年才能开始盈利.12分 20．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x ＋y －2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)由椭圆的离心率e ＝22，得c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12，得b ＝c.上顶点为(0，b)，右焦点为(b ，0)，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －b 22＋⎝⎛⎭⎫y －b 22＝⎝⎛⎭⎫a 22＝b22， ∴|b －2|2＝22b ，即|b －2|＝b ，得b ＝c ＝1，a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q(x 4，y 4)，MN 的中点为D(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，7分故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3＜t ＜3. 由PM →＝NQ →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.9分(也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.)又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，11分与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故椭圆C 上不存在这样的点Q.12分 21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ，g(x)＝e x .(1)设函数h(x)＝f(x)＋12x 2＋ax(a ∈R )，讨论h(x)的极值点个数；(2)设直线l 为函数f(x)的图象上一点A(x 0，f(x 0))处的切线，试探究：在区间(1，＋∞)上是否存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g(x)相切．【解析】由题意得h′(x)＝1x ＋x ＋a ＝x 2＋ax ＋1x (x>0)，令Δ＝a 2－4，1分①当Δ＝a 2－4≤0即－2≤a ≤2时，h ′(x)＝x 2＋ax ＋1x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时h(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，极值点个数为0；2分 ②当a>2时，h ′(x)＝x 2＋ax ＋1x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时h(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，极值点个数为0；3分③当a<－2时，Δ>0，设x 1，x 2是x 2＋ax ＋1＝0的两根，则x 1＋x 2＝－a>0，x 1x 2＝1>0，故x 1>0，x 2>0，此时h(x)在(0，＋∞)上有两个极值点.5分综上所述，当a<－2时，h(x)有两个极值点，a ≥－2时，h(x)没有极值点.6分(2)∵f′(x)＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0， ∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.7分 设直线l 与曲线y ＝g(x)相切于(x 1，ex 1)，∵g ′(x)＝e x ，∴ex 1＝1x 0即x 1＝－ln x 0， ∴g(x 1)＝ex 1＝e －ln x 0＝1x 0， ∴直线l 的方程也为y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，8分 ∴ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1.9分 下证：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一．设φ(x)＝ln x －x ＋1x －1(x>1)， φ′(x)＝1x －（x －1）－（x ＋1）（x －1）2＝1x ＋2（x －1）2>0，则φ(x)在(1，＋∞)上单调递增.10分又φ(e)＝ln e －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)＝ln e 2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0， 由零点存在性定理知：存在x 0∈(e ，e 2)，使得φ(x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1. 故在区间(1，＋∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g(x)相切.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线C 1向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，C 1的极坐标方程为ρ＝4cos α.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝32t ，y ＝12t ＋2(t 为参数)，求曲线C 2上到直线l 的距离最短的点的直角坐标．【解析】(1)由ρ＝4cos α得ρ2＝4ρcos α将ρ2＝x 2＋y 2，ρ·cos α＝x 代入整理得 曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4, 2分设曲线C 1上的点为(x′，y ′)，变换后的点为(x ，y)，由题可知坐标变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′－2，y ＝12y′，即⎩⎨⎧x′＝x ＋2，y ′＝2y ，代入曲线C 1的普通方程，整理得曲线C 2的普通方程为 x 24＋y 2＝1，4分 ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).5分 (2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝32t ，y ＝12t ＋2(t 为参数)，直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋23＝0， 设曲线C 2上的点为P(2cos θ，sin θ)，0≤θ≤2π，则点P 到直线l 的距离为d ＝||2cos θ－3sin θ＋232＝||7cos （θ＋φ）＋232，其中cos φ＝27，sin φ＝37， 当θ＋φ＝π时，d min ＝||－7＋232＝23－72，8分 此时2cos θ＝2cos(π－φ)＝－47＝－477，sin θ＝sin(π－φ)＝37＝217，即此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－477，217，所以曲线C 2上到直线l 的距离最短的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－477，217.10分 23．(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲设f(x)＝|x －1|＋|x ＋1|.(1)求f(x)≤x ＋2的解集；(2)若不等式f(x)≥|a ＋1|－|2a －1||a|对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围． 【解析】(1)由f(x)≤x ＋2得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x ≤－1，1－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，－1<x<1，1－x ＋x ＋1≤x ＋2或⎩⎨⎧x ＋2≥0，x ≥1，x －1＋x ＋1≤x ＋2，3分 解得0≤x ≤2，∴f(x)≤x ＋2的解集为{x|0≤x ≤2}.5分(2)⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3，当且仅当⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫2－1a ≤0时，取等号.7分 由不等式f(x)≥|a ＋1|－|2a －1||a|对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3， 解得x ≤－32或x ≥32. 故实数x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.10分。
炎德·英才大联考湖南师大附中2020届高三月考试卷（二）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（） A. [3，+∞） B. （3，+∞）C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；故选A.2.已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过c ＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c 的值不一定小于0，判断必要性即可．【详解】已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”时，函数与x 轴有两个交点，所以“0x R ∃∈，使()00f x <”成立.而“0x R ∃∈，使()00f x <”.即20x bx c ++<，所以240b c ∆=->，即24b c >，c 不一定有0c <，如2320x x ++<.综上，函数()2f x x bx c =++.则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的充分不必要条件；故选A .【点睛】本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力． 3.设40.48,8a log b log ==,0.42c =,则( ) A. b c a << B. c b a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 【详解】因为4233log 8log 222a ===，0.40.4log 8log 10b =<=，0.40.53222c =<=<， 所以b c a <<， 故选：A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1.4.若平面区域30,{230,230x y x y x y +-≥--≤-+≥夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A.B.C.2D. 【答案】B 【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由230{30x y x y -+=+-=得(1,2)A ，由230{30x y x y --=+-=得(2,1)B ，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即AB ==B ．考点：线性规划．【此处有视频，请去附件查看】5.函数e4xy x=的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可. 【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当1x =时，14ey =<，排除A ；当x →+∞时，4xex→+∞，排除D ．故应选C ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A. 0.7B. 0.75C. 0.8D. 0.9【答案】A 【解析】试题分析：根据程序框图：111,1122i S ===-⨯；1111112,1112232233i S ==-+=-+-=-⨯；；当1,11i n S n ==-+．当3n =时，13144S =-=；当4n =时，14155S =-=；当9n =时，1911010S =-=；当171110n -=+时，73n N =∉，所以选A ． 考点：1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图和数列中的裂项相消法，属于中档题．在给出程序框图求解输出结果的试题中一定要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，根据前面的式子找到其中的规律，对本题来说就是这个程序框图的本质是利用裂项相消法求和，所以，又，找到各项满足条件的即可．7.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A. 289B. 1024C. 1225D. 1378【答案】C 【解析】 【分析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可.【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…，易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ．【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =（ ）A. 843+B. 8-C. 12D. 4【答案】C 【解析】 由题意1122OM OA OB=+，则2232115115322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又圆的半径为4，4AB =，则,OA OB 两向量的夹角为π3．则4O A O B ⋅=，224OA OB ==，所以12OC OM ⋅=．故本题答案选C ． 点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.9.点A 、B 为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB=，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为A.3C.2【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设(),0A a -，(),0B a ，(),M x y .∵动点M 满足2MAMB ==22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ∵MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1， ∴142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a =2b =，2=. 故选D .【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题． 10.如图所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 取得最小值，则此最小值为（ ）A. 2C. 2【答案】D 【解析】试题分析：将1ABA ∆翻折到与四边形11A BCD 同一平面内，1AP D P +的最小值为1D A ，在11D AA ∆中1111131,1,4A D AA AA D π==∠=，由余弦定理可得1AD =考点：1.翻折问题；2.空间距离11.已知函数()22ln f x x x =-与()()()sin 0g x x ωϕω=+>有两个公共点，则在下列函数中满足条件的.周期最大的()g x =A. sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B. sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C. sin 2x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数f （x ）的最值，利用f （x ）与g （x ）的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论． 【详解】因为()22l n fx x x =-为偶函数，所以当0x >时，()22l n f x x x =-，则()()()21122x x f x x x x+-'=-=，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，()()min 11f x f ==，所以当0x <时，()()min 11f x f =-=，所以()g x 的最大周期是2.所以22T πω==，ωπ=，又()g x 恰好在1x =和1x =-处取得最大值1，故2πϕ=-，故选C .【点睛】本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．12.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）D. 0【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义即可得到结果.【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定积分0=⎰____________.【答案】4π【解析】 【分析】根据定积分的几何意义即可求出．【详解】令0)y y =≥，则（x -1）2+y 2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，所以⎰表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.故答案为4π 【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题． 14.在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列(){}11n na --的前21项和为_________. 【答案】21 【解析】 【分析】设公差为d （d ＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d ，进而得到等差数列{a n }的通项，再由并项求和即可得到所求和．【详解】公差d 大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，可得()11212121a d a d +-+=，即11a =，由1a ，31a -，65a +成等比数列，可得()()231615a a a -=+，即为()2121155d d +-=++，解得2d =（负值舍去），则()12121n a n n =+-=-，*n N ∈， 所以数列(){}11n n a --的前21项和为123419202113573739412104121a a a a a a a -+-++-+=-+-++-+=-⨯+=.故答案为21.【点睛】本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．15.若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[],A B 为()y f x =的“友情点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()322,069,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】由对称可知f （x ）＝﹣2在（0，+∞）上有两解，分离参数得a ＝x 3﹣6x 2+9x ﹣2，作出函数图象，根据解的个数得出a 的范围．【详解】由题意可知32692x x x a -+-+=-在()0,∞+上有两解，即32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，设()32692g x x x x =-+-，则()23129g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或3x =.∴当01x <<时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，当3x >时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,1上单调递增，在[)1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增，∴当1x =时，()g x 取得极大值()12g =，当3x =时，()g x 取得极小值()32g =-. 作出()g x 的函数图象如图所示：∵32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，∴2a =. 故答案为2【点睛】本题考查了函数的单调性与极值计算，根的个数与函数图象的关系，属于中档题．16.点M 为棱长是的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为________【答案】5【解析】 【分析】取1BB 的中点H ，连接CH ，可证得NB ⊥平面DCH ，由题意，点M 的轨迹是内切球O 的球面与平面DCH 相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的半径R =，由题意，取1BB 的中点H ，连接CH ，则CH NB ⊥，DC NB ⊥，∴NB ⊥平面DCH ，∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的球面相交得到的小圆，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长是∴O 到平面DCH 的距离为d =，截面圆的半径r ==所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长25r π=.【点睛】本题考查了学生的空间想象力，求出点M 的轨迹是关键，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积.【答案】（1）sin 2sin C A = （2 【解析】 【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案。
炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数 学(文科)得分：______________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－4≤x －1≤4}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A ．22y ±x ＝0B ．22x ±y ＝0C ．8x ±y ＝0D ．x ±8y ＝05．下列函数的最小正周期为π的是A ．y ＝cos 2xB ．y ＝|sin x 2|C ．y ＝sin xD ．y ＝tan x26．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为A.33 B.32C.233D. 3 7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝A ．2 B.154 C.174D ．a 28．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝A ．－4B ．－3C ．－2D ．－19．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是A ．y ＝x 3B ．y ＝13xC ．y ＝3xD ．y ＝3－x10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为A ．4 B.83 C.113 D.25611．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2＋()y －t ＋22＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、B ，则P A →·PB →的最小值为A.103B.403C.214D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ln x ＋()x －b 2x (b ∈R )．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝⎛⎭⎫－∞，32C.⎝⎛⎭⎫－∞，94 D.()－∞，3 选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．14．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________．15．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧||x ，x ≤m x 2－2mx ＋4m ，x >m，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b 有三个不同的零点，则m 的取值范围是________．16．给出如下定理：“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ，则有1h 2＝1CA 2＋1CB 2”．在空间四面体P －ABC中，若P A 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，类比上述定理，得到的正确结论是________________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(2π－x )．(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )＋cos2x 的最大值和最小值．18.(本小题满分12分)若数列{a n }是递增的等差数列，其中的a 3＝5，且a 1、a 2、a 5成等比数列． (Ⅰ)设b n ＝1（a n ＋1）（a n ＋1＋1），求数列{b n }的前n 项的和T n .(Ⅱ)是否存在自然数m ，使得m －24<T n <m5对一切n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE ＝BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE .(Ⅰ)判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并说明理由；(Ⅱ)求点D 到平面ACE 的距离．20.(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，N (5，0)，点P 是圆M 上的任意一点，线段NP 的垂直平分线和半径MP 相交于点Q .(Ⅰ)当点P 在圆M 上运动时，试证明|QM |＋|QN |为定值，并求出点Q 的轨迹C 的方程； (Ⅱ)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值．21.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )对任意实数x ，都有x ≤f (x )≤14(x ＋1)2恒成立．(Ⅰ)证明：f (1)＝1；(Ⅱ)若f (－1)＝0，求f (x )的表达式；(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝－34的上方，求实数m 的取值范围。
湖南师大附中2019届高三月考试卷（七）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，若为纯虚数，则（）A. 5B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a值，再由复数的模长公式可得结果．【详解】化简可得== -1+3i，∵z是纯虚数，∴﹣1＝0，解得＝1，∴|1-2i|故选B.【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及纯虚数的概念及复数的模长公式，属于基础题．2.下列说法错误．．的是（）A. 在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定B. 若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，【答案】B【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】对于A，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故A正确；对于B，变量，满足关系，则变量x与负相关，又变量与正相关，则与负相关，故B错误；对于C，由残差图的意义可知正确；对于D，∵y＝ce kx，∴两边取对数，可得lny＝ln（ce kx）＝lnc+lne kx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，∵z＝0.3x+4，∴lnc＝4，k＝0.3，∴c＝e4．即D正确；故选B.【点睛】本题考查了两个变量的线性相关及回归方程的有关知识，考查了残差图的意义，涉及对数的运算性质，属于基础题型．3.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得f（x）的奇偶性及f（1）的值即可得出答案．【详解】∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，<0，∴排除B，故选：A．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入，，则输出的等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得a＝4，b＝1，n＝1a＝6，b＝2不满足条件a≤b，执行循环体，n＝2，a，b＝4，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝3，a，b＝8，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝4，a，b＝16，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝5，a，b＝32，满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】设出圆心C坐标，结合题意利用垂径定理及两点间的距离公式得到关于x、y的方程即可．【详解】设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2+|BE|2，∴（x﹣2）2+y2＝22+x2，化为y2＝4x．故选D．【点睛】本题综合考查了抛物线的标准方程，考查了垂径定理、两点间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．6.已知数列满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．【详解】∵数列满足：，，∴，∴当n≥2时，a n＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1＝=，∴．故选C.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的运用，是基础题.7.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A. 24B. 48C. 96D. 120【答案】C【解析】分析：讨论两种情况，第一类相同颜色，第二类不同颜色，分别利用分步计数乘法原理求解，然后求和即可.详解：若颜色相同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，只有一种涂法，共有种；若颜色不同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，当和相同时，有一种涂法，当和不同时，只有一种涂法，共有种，根据分类计数原理可得，共有种，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率..8.下列选项中为函数的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数，令，求得，可得函数的对称轴中心为，当时，函数的对称中心为，故选A.9.已知，给出下列四个命题：：，；：，；：，；：，；其中真命题是（）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】B【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可.【详解】不等式组的可行域如图，当z=x+y过A（﹣2，0）点时，z最小，可得：﹣2+0＝﹣2，当z=x+y过B或C点时，z最大，可得：z=2，故P1：，为真命题；P 3：，为假命题；又表示可行域内的点与（-3，0）连线的斜率，∴由A（﹣2，0）点，可得0，故P2：∀（x，y）∈D，0错误；由（﹣1，1）点，x2+y2＝2故p4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项和正确．故选：B．【点睛】本题考查线性规划的应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及理解目标函数的几何意义是解题的关键.10.在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案．【详解】如图，延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1于H，延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1于G，可得截面五边形AHFEG．∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH．∴截面的周长为．故选：D．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征及立体几何中的截面问题，补全截面图形是关键，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．11.如图，已知，，，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n的方程，求解即可．【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为，且，∴，∴A（1，0），B（），又令，则=，∴=7，又如图点C在∠AOB内，∴=，sin=,又，∴C（），∵，（m，n∈R），∴（）=（m,0）+（）=(m，）即 m，，解得n=，m=，∴，故选：A．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．12.箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（）A. 草花5B. 红桃C. 红桃4D. 方块5【解析】【分析】甲第一句表明点数为A，Q，5，4其中一种；乙第一句表明花色为红桃或方块，甲第二句表明不是A；乙第二句表明只能是方块5，即可得出结论．【详解】因为甲只知道点数而不知道花色，甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复，表明点数为A，Q，5，4其中一种；而乙知道花色，还知道甲不知道，说明这种花色的所有点数在其他花色中也有，所以乙第一句表明花色为红桃或方块，甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的，所以表明不是A；乙第二句表明只能是方块5；故选D.【点睛】本题考查简单的合情推理，考查分析解决问题的能力，比较基础．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__________．【答案】【解析】【分析】用（x，y）表示甲乙摸球的号码，将甲获胜的基本事件一一列出．再从中找出乙摸1号球的基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】用（x，y）表示甲乙摸球的号码，则甲获胜包括5个基本事件：（2，1），（2，1），（2，0），（2，0），（1，0）．在甲获胜的条件下，乙摸1号球包括2个基本事件：（2，1），（2，1）．则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率P．故答案为．【点睛】本题考查了条件概率及古典概型概率计算公式，考查了利用列举法找基本事件的方法，属于中档题．14.设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】先求得点F到渐近线的距离，根据对称性，则可得PE、PF,再利用双曲线的定义得到a、b的关系，进而求得结果.【详解】如图：由点关于直线的对称点为，可知FH OH，又F(1,0)到渐近线l:y=的距离为，即FH=b，OH=a，∴PF=2b，PE=2a，由双曲线的定义可知2b-2a=2a，∴b=2a，又c2＝b2+a2＝5a2，∴e．故答案为．【点睛】本题考查双曲线C的离心率，考查双曲线的定义及简单几何性质的应用，关键是将对称问题转化为垂直平分的条件，属于中档题．15.对于大于或等于2的自然数的次幂进行如图的方式“分裂”.仿此，若的“分裂”中最小的数是211，则的值为__________．【答案】15【解析】【分析】根据所给的数据，找到规律：在n2中所分解的最大的数是2n﹣1；在n3中，所分解的最小数是n2﹣n+1．根据发现的规律可求．【详解】根据所给的数据，找到规律：在中所分解的最大的数是2m﹣1；在中，所分解的最小数是﹣m+1．若m3的“分裂”中最小数是211，则﹣m+1＝211m＝15或﹣14（负数舍去）．故答案为：15．【点睛】本题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解，考查了识图能力与归纳推理能力，属于中档题.16.设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．【答案】1【解析】【分析】由题意先代入x=1求得a的范围，要满足题意，则a是必要条件，又为整数，只需再验证a=1时，不等式恒成立即可，构造函数g（x），x∈，通过求导求得最小值，证明结论成立. 【详解】由题意对任意的，不等式恒成立，则x=1时，不等式也成立，代入x=1得e+3,又为整数，则a，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，只需验证a=1时，对任意的，不等式恒成立，即证，变形为对任意的恒成立，令g（x），x∈，则g′（x），在（0，1）上小于0，在（1，）上大于0，故g（x）在（0，1）递减，在（1，）递增，∴g（x）g（1）=3>0，∴对任意的恒成立，故a=1满足题意.故答案为1．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，关键是探寻到一个使命题成立的必要条件，这也是解决此类题的常用手段，属于难题．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角、、的对边依次为、、，满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的周长为，求的内切圆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由，利用正弦定理可得，再根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行化简，可得,，从而可求角的大小；（Ⅱ）设的内切圆半径为,即可求面积，根据面积相等及余弦定理，结合基本不等式可求出内切圆半径的最大值，从而可得内切圆面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为,即,而,则,又,所以.（Ⅱ）令的内切圆半径为,有,则,由余弦定理得,化简得,而,故,解得或.若,则至少有一个不小于3,这与的周长为3矛盾;若,则当时, 取最大值.综上,知的内切圆最大面积值为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，，，点是线段上任意一点.（1）证明：平面平面；（2）若的最大值是，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出AC⊥BM，AC⊥BD，从而AC⊥平面BMND，由此能证明平面EAC⊥平面BMND．（2）由AE＝CE＞1，cos∠AEC＝1，∠AEC∈（0，π），得到当AE最短时∠AEC最大，即AE⊥MN，CE⊥MN时∠AEC最大，∠AEC是二面角A﹣MN﹣C的平面角，大小是120°，可得AE．取MN得中点H，连接H与AC、BD的交点O，由题意知OH⊥平面ABCD，建系，利用向量法结合∠AEC=120°求得ND，利用V M﹣NAC＝V M﹣EAC+V N﹣EAC能求出三棱锥M﹣NAC的体积．【详解】（1）因为平面，则.又四边形是菱形，则，所以平面.因为在平面内，所以平面平面.（2）设与的交点为，连结.因为平面，则，又为的中点，则，所以，.当最短时最大，此时，，，.取的中点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，且a<,则点，，，，.设平面的法向量，则，取，则，同理求得平面的法向量.因为是二面角的平面角，则，解得或,又a<，因为，，，则.【点睛】本题考查了面面垂直的证明及几何体的体积的求法，考查了利用向量解决空间角的问题，考查运算求解能力，是中档题．19.在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名. （1）求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；（2）设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设A表示事件：“甲选中3号歌手”，事件B表示“乙选中3号歌手”，事件C表示“丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出概率．（2）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【详解】设表示事件“甲同学选中3号选手”，表示事件“乙同学选中3号选手”，表示事件“丙同学选中3号选手”，则（1），，所以.（2），可能的取值为0，1，2，3，，，，.所以的分布列为：的数学期望.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，为椭圆的右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得b=2，由，得到，代入椭圆方程，结合a2＝b2+c2，联立解出即可．（2）解法一：先考虑斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，将条件坐标化，把根与系数的关系代入可得：，代入中，化简得，又，可得所求范围，再考虑斜率不存在时，求得点A，B坐标，计算数量积，与k存在时的范围取并集即可.解法二：设直线OA斜率为k，将直线OA的方程与椭圆联立，求得A的坐标，利用写出B的坐标，代入化简后，利用基本不等式求得最值.【详解】（1）设椭圆的方程为，右焦点，因为为椭圆短轴的一个端点，则.因为，则点.因为点在椭圆上，则，即.又，则，得，所以椭圆的标准方程是.（2）解法一：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得，即.设点，，则，.因为，则，即，即，即，所以，即，化简得.所以.因为，，则，所以.又，则，即，则，所以.当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，则.因为，不妨设，则.联立与，得点，，或点，，此时.综上分析，的取值范围是.解法二：因为，设，则.设点，，则，即，所以.由，得，即，所以.同理，.所以.因为，当且仅当，即时取等号，则.即，且，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了向量数量积的运算，涉及基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）对f′（x）中的k分类讨论，根据f′（x）的正负判断函数的单调性即可. （2）由题意得lnx1﹣kx1＝0，lnx2﹣kx2＝0，两式作差可得，lnx1﹣lnx2＝k（x1﹣x2）,k＝，要证lnx1+lnx2＞2即k（x1+x2）＞2，将k代换后，化简变形得，设t1，构造函数g（t），利用新函数的导数求出单调区间，证得g（t）＞g（1）＝0即可．【详解】（1），①当时，，在区间上单调递增；②当时，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）因为，是的两个零点，则，，所以，.要证，只要证，即证，即证，即证，只要证.设，则只要证.设，则，所以在上单调递增.所以，即，所以，即.【点睛】本题主要考查导数在求函数单调区间中的应用和利用导数证明不等式的成立，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设动直线：分别与曲线，相交于点，，求当为何值时，取最大值，并求的最大值.【答案】（1）曲线的极坐标方程是，曲线的直角坐标方程是；（2）当时，取最大值，且.【解析】【分析】（1）将C1的参数方程消去可化为普通方程，再利用互化公式可得C1的极坐标方程．同理利用互化公式将C2的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）法一：将直线的参数方程分别代入曲线、的普通方程，求得，利用及三角函数的值域可得结果.法二：将（ρ≥0），代入C1,C2的极坐标方程，分别解得：．由结合三角函数的值域可得结果．【详解】（1）曲线的普通方程为，即.将，代入，得，所以曲线的极坐标方程是.由，得.将，代入，得，所以曲线的直角坐标方程是.（2）解法一：设直线的倾斜角为，则的参数方程为（为参数，且）.将的参数方程代入曲线的普通方程，得，则.将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，则.所以，据题意，直线的斜率存在且不为0，则，所以当，即时，取最大值，且.解法二：设直线的倾斜角为，则的极坐标方程为.设点，的极坐标分别为，，则，.所以.据题意，直线的斜率存在且不为0，则，所以当，即时，取最大值，且.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线的参数方程的应用与极径的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数.（1）解不等式：；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式证明．【详解】（1）不等式化为.当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（2）由题意得，所以成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题．。
