初二上数学讲义

2.9画轴对称图形（一）一、新课导入1、关于某直线轴对称的两个图形全等吗？2、关于某直线轴对称的两个图形的对应点与对称轴有什么关系？二、学习目标1、掌握关于某直线轴对称的两个图形的对称点被对称轴垂直平分；2、利用对称轴对称点的垂直平分线画一个图形的对称图形。

三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本要求：思考“探究”如何画一个图形的对称图形。

(1)在一张半透明的纸的左边画一只左脚印，在把这张纸对折后描图，打开对折的纸。

就能得到相应的右脚印，图中的点P与点P′关于直线l有什么关系？(2)已知两个图形关于某直线轴对称，如何找到这两个图形的对称轴？检测练习一、1、把一个平面图形沿某条直线对折，可以得到它关于这条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小_____ ；______________改变；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的______。

2、成轴对称的两个图形的对称轴是对称点的________；3、已知点A、B关于某直线轴对称，连接线段AB，作线段AB的_________，这条垂直平分线就是点A、B的对称轴；4、已知，直线l是线段AB的对称轴，那么点A、B关于直线l_________。

结论：①如果点A、B关于直线l轴对称，那么直线l是线段AB的垂直平分线；②如果直线l是线段AB的垂直平分线，那么点A、B关于直线l轴对称。

研读二、认真阅读课本要求：思考“探究”中的问题，利用对称轴对称点的垂直平分线作已知图形的对称图形。

问题探究：(2)、已知对称轴L和一个点A，你能画出点A关于L的对应点A´吗？(2)、已知线段AB和直线L，如何作线段AB关于直线L轴对称的线段A´B´呢？如何画一个已知图形关于某直线对称的图形呢？小窍门：画一个图形关于某直线对称的图形，只要先画出几个关键点关于对称轴的对称点，然后再顺次连接对称点，得到对称图形。

八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)第6讲最短路径问题知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。

本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？选A-B，因为两点之间，直线最短垂线段最短如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各点的所有连线中，哪条最短？PC最短，因为垂线段最短两点在一条直线异侧如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短、连接AB交直线L于点P，则PA+PB最短、依据：两点之间：线段最短 A P L B相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦、有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地、到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？两点在一条直线同侧作法：1、作B点关于直线L的对称点B’；2、连接AB’交直线L于点C；3、点C即为所求、证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’、在△AB’C’中，AC’+B’C’＞AB’∴AC’+BC’＞AC+BC所以AC+BC最短、课堂精讲精练【例题1】已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）A、B、C、D、【答案】 D【解析】根据作图的方法即可得到结论、解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小，∴D 的作法正确，故选：D、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键、教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习1、1】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄、欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A、B、C、D、【答案】 D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离、解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M、根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短、故选：D、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题、这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”、由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别、教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【练习1、2】如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大、【答案】见解析【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大、解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键、教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021【例题2】如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小、【答案】【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l 上找一点P，使PA+PB最小、如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小、解：作法：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P、则点P就是所要求作的点；理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′、∵A和A′关于直线l对称，∴PA=PA′，P′A=P′A′，而A′P+BP＜A′P′+BP′∴PA+BP＜AP′+BP′∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决、教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习2、1】（Ⅰ）如图①，点A、B在直线l两侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB 的值最小；（Ⅱ）如图②，点E、F在直线l同侧，请你在直线l 上画出一点P，使得PE+PF的值最小；（Ⅲ）如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小、（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】（I）图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；（II）图2，作E关于直线的对称点，连接FE′即可；（III）图③，画出图形，作N的对称点N′，作NQ∥直线l，NQ=1cm，连接MQ得出点O即可、解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB最小，理由是：两点之间，线段最短；（II）如图②，先作点E关于直线l的对称点E′，再连接E′F交l于点P，则PE+PF=E′P+PF=E′F，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；（III）如图③，作N关于直线l的对称点N′，过N′作线段N′Q∥直线l，且线段N′Q=1cm，连接MQ，交直线l 于O，在直线l上截取OP=1cm，如图，连接NP，则此时MO+OP+PN 的值最小、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力、教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题3】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点、若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△CDM周长的最小值、【答案】10【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论、解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=4AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+4=8+2=10、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键、教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习3、1】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值、【答案】5【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5、解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=5，即BF+EF=5、故答案为：5、讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用、教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸、关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的、解：如图，作BB垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故PB′=BD、根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短、故桥建立在PD处符合题意、讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题、目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法、教学建议：将3条线段进行转化成一条线段、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习4、1】作图题（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线、（2）如图2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示、试问：桥CD建在何处，才能使A 到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置、【答案】见解析【解析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题、（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置、解：（1）根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如图1所示：（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置、如图2，讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图、教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题5】如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是多少？【答案】30【解析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小解：连接PB、由题意知，∵B、C关于直线MN对称，∴PB=PC，∴PC+PD=PB+PD，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，连接BD交MN于P，∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴PA=PC，∴∠PCD=∠PAD=30讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型、教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习5、1】已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为多少？【答案】10cm【解析】连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线、解：连接PC，∵△ABC为等边三角形，D 为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm、讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性质、教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题6】如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹、【答案】见解析【解析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求、解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求、理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型、教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习6、1】知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案】见解析【解析】作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F、此时△PEF周长有最小值；作图如下：讲解用时：3分钟解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键、教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题7】如图，∠AOB=30，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值、【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可、解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N、连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件、连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=230=60，则△MON为等边三角形，∴MN=8，∵QP=QM，RN=RP，∴△PQR周长=MN=8，讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用、教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习7、1】如图，∠AOB=30，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R、若△PQR周长最小，求它的最小值、【答案】10【解析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM、作PN⊥O B与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN、连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形、再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解、解：设∠POA=θ，则∠POB=30﹣θ，作PM⊥OA与OA 相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM、作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN、连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形、∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF、∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30﹣θ）=60，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10、故答案为：10、讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答、教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021课后作业【作业1】如图，在铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？【答案】见解析【解析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则点C即为所求点、解：如图所示：讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业2】用三角板和直尺作图、（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧、（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小、（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大、【答案】见解析【解析】（1）作点A关于直线l的对称点，再连接解答即可；（2）连接BA，延长BA交直线l于N，当N即为所求；解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大、讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业3】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值、【答案】 6【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6、解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90，在△AD B和△CEB中，∵，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6、讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业4】如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30，OP=8cm，M，N 是OA，OB上的两个动点，则求△MPN周长的最小值？【答案】8【解析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小、解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN、∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm、∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8cm、故答案为：8、讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2021。

第7讲 全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

第二章实数2.2平方根1．平方根(1)平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±2.(3)平方根的性质：若x 2＝a ，则有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．一个数a 的平方根可以表示成± a.（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子√a 只有当a ≥0时才有意义,因为负数没有平方根.【例1】 求下列各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549.【例2】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22.【例3】如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，请你求出这个正数 .2.算术平方根(1)算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根．(2)算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根． 算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根．如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根．【例4】 求下列各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169.如何确定一个数的算术平方根求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应特别注意数的符号．【例5】先填写下表，通过观察后再回答问题．(1)被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根√a的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．3．开平方求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决．【例6】求下列各式中的.(1) x2−81=0 (2) (x−1)2=25【例7】小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？4.a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的定义，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的定义，若a ≥0，则a 2的算术平方根为a ；若a ＜0，则a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. (1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2. 巧用(a )2＝a将(a )2＝a 反过来就是a ＝(a )2，利用此式可使某些运算更为简便．【例8】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________.5．平方根与算术平方根的关系(1)区别： ①概念不同 平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根． 算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．②表示方法不同平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 可以看成是正数a 的算术平方根的相反数．③读法不同a 读作“根号a ”；±a 读作“正、负根号a ”． ④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个就是它的算术平方根，这样要求一个正数a 的平方根，只要先求出这个正数的算术平方根a ，就可以直接写出这个正数的平方根±a 了．②在平方根±a 和算术平方根a 中，被开方数都是非负数，即a ≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【例9】 (1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．【例10】求下列各式的值：(1)±81；(2)－16；(3)925；(4)(－4)2.与平方根相关的三种符号弄清与平方根有关的三种符号±a，a，－a的意义是解决这类问题的关键．±a表示非负数a的平方根，a表示非负数a的算术平方根，－a表示非负数a的负平方根．注意a ≠±a.在具体解题时，“”的前面是什么符号，其计算结果就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．6．巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根a具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a≥0.(2)a本身具有非负性，即a≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔||＋()2＝0，||＋＝0，()2＋＝0〕，甚至同一道题目中同时出现这三个内容〔||＋()2＋＝0〕．(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例11】若－x2＋y＝6，则x＝__________，y＝__________.【例12】若|m－1|＋n－5＝0，则m＝__________，n＝__________.注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.【例13】如果y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013成立，求x2＋y－3的值．针对训练1.若√a+2=4，则(a+2)2的平方根是( )A. 16B.±16C. 2D. ±22.√(−3)2的平方根是( )A. √3B.±√3C. 3D. ±33.已知一个数的两个平方根分别是a+3与2a-15，这个数的值为（）A. 4B.±7C. -7D. 494.当x=-9时，√x2的值为（）A. 9B. -9C. 3D. -35.一个数的算术平方根为a，比这个数大2 的数是（）A. a+2B. √a+2C. √a−2D. a2+2√2x−529.√4的算术平方根是______=_______10.√94=__________.11.已知√x−3和|x−2y−5|互为相反数，且x≠0，则yx12.若y=√x−3+√3−x+2，则x y的算术平方根是__________.13.算一算小文房间的面积为10.8m2，房间地面恰巧由120 块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长为______.14.探究1:√0.0625≈0.25,√6.25≈2.5,√625=______探究2:√0.625≈0.791,√62.5≈7.91,√6250=___根据上述规律计算：√6250000≈________,√625000≈___________15.求下列各式中的数(1) 4x2=25; (2) (x+1)2=25.3616.已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的值.17.已知(x−1)2+|y+2|+√z−3=0，求x+y+z的平方根.18.7-√10的整数部分为a，小数部分为b,求a+b的值.。

题型切片（两个）对应题目题型目标正方形弦图 例1，例2，练习1，练习2；特殊图形中的旋转例3，练习3；例4，练习4；例5，练习5；例6．本讲内容主要分为两个题型，题型一为正方形弦图，重点在于弦图的构造，这种能力对于做一些正方形的题目有辅助作用，这就要求学生对弦图比较熟悉，不断通过相关题目进行训练；题型二为特殊图形中的旋转变换，在该版块中列举了三个常考图形——等腰直角三角形，等边三角编写思路题型切片知识互联网7特殊图形的旋转 与正方形弦图形以及正方形，一般情况下旋转的角度分别为90°，60°和90°，旋转其它度数的题目在探究中略有罗列，老师可对旋转题型在此做适当的总结．本讲的最后一道例题是2013年朝阳一模第22题，是一道动手操作题与旋转的结合，综合性比较强，难度较大，需要学生不仅对弦图理解较深入，且对旋转运用熟练，计算量也比较大，程度较好的班级可以适当拓展2013海淀一模22题，借此对此题型进行补充及完善．正方形弦图是由四个全等的直角三角形顺次连接而成的图形，其中有我们以前学过的数学模型“三垂直模型”．①外弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH结论：△ABF 、△BCG 、△CDH 、△DAE 两两全等②内弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH结论：△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 两两全等【例1】 如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD 的面积是25． ⑴ 连接EF ，证明△ABE 、△FBE 、△EDF 、△CDF 的面积相等． ⑵ 求h 的值．Gl 2l 1l 3l 4l 4l 3l 1l 2BH G A BCDE FF E DCB A【解析】 ⑴ 由题意可知ABE FEB EFD CDF △≌△≌△≌△，∴面积均相等．⑵ 方法一：过点A 作直线3l 的垂线AH ，交2l 于点G ．由弦图可证明ABG DAH △≌△， ∴ HD AG h ==典题精练题型一：旋转的构造在AHD △中，()22225h h += 解得5h =方法二：分别过B D 、作直线4l 的垂线，利用弦图证明．【例2】 如图，向ABC △的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H ，AH的反向延长线与EG 交于P ．求证：2BC AP =．【解析】 方法一：过点E 、G 分别作AP 的垂线，垂足为K 、Q ．在AEK △和BAH △中∵90EAK BAH ∠+∠=︒，90BAH ABH ∠+∠=︒ ∴EAK ABH ∠=∠AKE BHAEAK ABH AE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEK BAH △≌△∴AK BH =同理ACH GAQ △≌△ ∴CH AQ =在PEK △和PGQ △中 EKP GQP KPE QPG EK GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PEK PGQ △≌△ ∴PK PQ =∴BC BH CH AK AQ AQ PQ PK AQ =+=+=+++ 即()22BC AQ PQ AP =+=．方法二：延长AP 至点K ，使得AK BC =． 连接EK ． ∵AB AE ⊥∴90EAK BAH ∠+∠=︒ ∵AH BC ⊥∴90ABH BAH ∠+∠=︒ ∴EAK ABC ∠=∠ 同理，PAG ACB ∠=∠ ∵AE AB =，AK BC = ∴EAK ABC △≌△∴AC EK AG ==，∠=∠=∠ACB EKA PAG ∴EK AG ∥∴EKP GAP △≌△∴1122PA KP AK BC ===，即2BC AP =．【点评】 此题是非常经典的“婆罗摩笈多”定理的一部分，由此图可以总结以下几个结论：⑴ ABC AEG S S =△△；⑵ 若AH BC ⊥，则EP PG =，2BC AP =；G A B C DE F H P⑶ 若EP PG =，则AH BC ⊥，2BC AP =．等腰直角三角形（旋转90°），等边三角形旋转（旋转60°），正方形旋转（旋转90°）EDCB A②①FE DC B APFEDCBAGFEDCBA【例3】 已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，过点C 作CE BC ⊥于C ，D 为BC 边上一点，且BD CE =，连结AD 、DE ．求证：BAD CDE ∠=∠．【解析】 延长EC 至F ，使CF CE =，连结AF 、DFCE BC CF CE ⊥=，， DF DE ∴=又CE BC ⊥，FDC CDE ∴∠=∠9045BAC AB AC B ACB ∠=︒=∴∠=∠=︒，，45ACF ∴∠=︒ B ACF ∴∠=∠,BD CE CF CE ==,BD CF ∴=在ABD △与ACF △中 F F AB AC B AC BD C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACF ∴≅△△SAS （）思路导航典题精练题型二： 特殊图形中的旋转FEDCBAA BC DEP'BPACBP ,AD AF BAD CAF ∴=∠=∠， AD F AFD ∴∠=∠90BAD DAC ∠+∠=︒，90CAF DAC ∴∠+∠=︒ 45ADF ∴∠=︒45BAD ADC B ADC ∠=∠-∠=∠-︒,45FDC ADC ADF ADC ∠=∠-∠=∠-︒， BAD FDC ∴∠=∠BAD CDE ∴∠=∠．【例4】 ⑴如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且3PA =，4PB =，5PC =．求APB ∠的度数． 【解析】 如图，作BQ =BP ，且∠CBQ =∠ABP连接PQ 、CQ∴△ABP ≌△CBQ （SAS ） ∴∠PBQ =60°∴△PBQ 是等边三角形 ∴PQ=PB =4∵3QC PA ==，5PC =∴PCQ △是直角三角形，且90PQC =︒∠ 又∵60PQB =︒∠， ∴150CQB =︒∠由全等知，∠APB =∠CQB ∴150APB =︒∠⑵如图，若P 是等边△ABC 外的一点，其他条件不变，求∠APB 的度数.【分析】 此题最常见的三种做法：分别以题中的已知三边各自向外作等边三角形，去构造手拉手数学模型，然后证明手拉手模型中两个旋转三角形全等.目的是要把已知的三边3,4,5构造在直角三角形中.【解析】 方法一：以PA 为一边向四边形PACB 的外面作正三角形AMP ，则MAB PAC ∠=∠， ∴MAB PAC ∆∆≌，∴4PB =，5BM =，3MP =，∴90BPM ∠=︒，906030BPA ∠=︒-︒=︒．方法二：以PB 为一边向四边形PACB 的外面作正三角形PBN ,证法参照方法一方法三：如图，作CP '，使CP CP '=，ACP BCP '=∠∠，连接PP '显然，ACP BCP '△≌△，∴ACP BCP '=∠∠，3AP BP '== ∴60PCP '=︒∠，∴PCP '△是等边三角形．C ABP ABC P Q∴5PP PC '==，在PBP '△中 ∵4PB =，3BP '=，5PP '= ∵222PP PB BP ''=+， ∴90PBP '=︒∠∴90BP C P CP CPB ''++=︒∠∠∠ ∴30BP C CPB '+=︒∠∠ ∴30APC CPB +=︒∠∠ 即30APB =︒∠【例5】 如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且5PA =，2BP =，1PC =．求BPC ∠度数的大小和正方形ABCD 的边长．PDCBAEP'PDCBA【解析】 如图，将BPC △绕点B 逆时针旋转90°，得BP A '△，则BPC BP A '△≌△．∴1AP PC '==，2BP BP '==． 连接PP '，在Rt BP P '△中，∵2BP BP '==，90PBP '∠=°， ∴2PP '=，45BP P '∠=°．在AP P '△中，1AP '=，2PP '=，5AP =， ∵22212(5)+=，即222AP PP AP ''+=． ∴AP P '△是直角三角形，即90AP P '∠=°． ∴135AP B '∠=°．∴135BPC AP B '∠=∠=°．过点B 作BE AP '⊥交AP '的延长线于点E ． ∴45EP B '∠=°．∴1EP BE '==．∴2AE =． ∴在Rt ABE △中，由勾股定理，得5AB =．∴135BPC ∠=°，正方形边长为5．【例6】 小雨遇到这样一个问题：如图1，直线123l l l ∥∥，1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．真题赏析图 1l 1l 2l 3图 2ABCDE Hl 3l 2l 1小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线1l 任取一点A ，作AD ⊥2l 于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交3l 于B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线2l 于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线123l l l ∥∥，1l 与2l 之间的距离是2，2l 与3l 之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹） （2013朝阳一模）l 3l 2l 1图 3【解析】 图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于5．如图，图3中等边三角形ABC 的面积等于733．连接DE ，过E 作EH ⊥l 3于H ，△ADE 为等边三角形， 故在四边形ADFE 中∠DFE =120°，且∠EDG =30°， 故EG =1，EH =2，BE =433，AE =2，AB =2213∴S △ABC =733 【拓展】问题：如图1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD ，使它的顶点A 、B 、C 、D 分别在直线a 、b 、d 、c 上，并计算它的边长.AED CBl 3l 2l 1HGF AED CB l 3l 2l 1图1 图2小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了33⨯的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH ，如图2所示,再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（2）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l 之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.图3 图4 【解析】 （1）5（2）①如图： (答案不唯一)②7215.【探究】旋转模型探究【探究1】三垂直全等模型(弦图)；【变式1】直线232+=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求将AB 绕点A 逆时针旋转45°所得到的直线解析式.【解析】如图，可得()52,C -，则AC 的解析式为y =5x +15. 【探究2】等线段，共端点 【变式2】中点旋转(旋转180°)CBD'C例：在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．图 6G E F D BCA【解析】 D E =5．11【变式3】普通等线段，共端点；例：如图，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC +DE =CD ，∠BAE ＝∠BCD ＝120°，∠ABC ＋∠AED ＝180°，连结AD 。

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理知识点一:命题、公理、证明1、定义：证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.2、命题：判断一件事情的句子，叫做命题.3、条件和结论：一般地，每个命题都是由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.(1)正确的命题称为真命题；(2)不正确的命题称为假命题；(3)要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.5、公理、证明、定理(1)公认的真命题称为公理；(2)演绎推理的过程称为证明；(3)经过证明的真命题称为定理.6、几个常用的定理（1）同角（等角）的补角相等；（2）同角（等角）的余角相等；（3）三角形的任意两边之和大于第三边；（4）对顶角相等.知识点二：平行线的判定与性质1、平行线的判定定理1：同位角相等，两直线平行定理2：内错角相等，两直线平行.定理3：同旁内角互补，两直线平行.定理4：平行于同一条直线的两条直线平行.2、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等.性质2：两直线平行，内错角相等.性质3：两直线平行，同旁内角互补.知识点三：三角形内角和与外角和定理1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.2、外角：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.3、定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4、三角形外角和定理：三角形外角和是360°5、多边形及其内角和（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

（2）n边形的内角和公式：180（n－2）；任何n（大于3）边形的外角和等于360。

!"#$%&'()*+,-.内容分析!"#$%&'()*+,-./0121342567849:;<=> @A-BC>?@A4DEF GHIJ@A4DEKGH(LMN O/(P8 4QRSTU VP/>?@A4DEIGH-W/'X012132678;< 4YHLZ-/.[\]ST-^_`4abcdHeYfgUh知识结构!"#$%&'()*+,-./知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．【例1】 （1）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，则AB =_________；（2）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =3，则AC =_________．【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N +1，N +2，N +3则N 的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．t例题解析ABC DCD【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．ABMMNAPF【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．【例12】 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 是BC 上的两点，且∠EAF =45°，求证：．222+=BE CFEFA BCDA B C DP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例13】 下列命题中是假命题的是（ ）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若，则△ABC 是直角三角形【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足则△ABC 是________三角形． 【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．【例16】 的三边分别为A 、B 、C ，且满足，判断△ABC的形状．2()()a b c b c =+-::5:4:3a b c =222()()0a b a b c -+-=ABC D 222506810a b c a b c +++=++!"0$%&'()1'()*+,-./例题解析知识精讲【例17】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ． （1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB的度数．【例19】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．【例20】 如图，ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数．D ABCD ABCDE FBPA BCDE【例21】 如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH =3，DH =4，DG =1，GC =5，CF =6，BF =4，且BE -AE =1，求四边形ABCD 的周长．【例22】 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC =，BC =，AB =，CD = ． 求证：（1）；（2）以、、为三边可构成一个直角三角形．b ac h c h a b +>+a b +c h +h ABCDEFGHPAB CD3、 距离公式：如果平面内有两点、，则A 、B 两点间的距离为：（1） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB =；（2） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB =．【例23】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在轴上找一点C ，使AC =BC ．【例24】 （1）已知A （，3）、B （3，+1）之间的距离为5，则的值是_________；（2）已知点P 在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，-3）的距离为5，则点P 的坐标为_________．【例25】 （1）以点A （1，2）、B （-2，-1），C （4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A （0，3）、B （0，-1），△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标是_______．【例26】 已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P ，使P A =PB ．11()A x y ，22()B x y ，11()A x y ，22()B x y ，x x 12y y =12||x x -11()A x y ，22()B x y ，y y 12x x =12||y y -x x x x 例题解析!"2$345)6789/知识精讲【例27】 已知直角坐标平面内的点P （4，），且点P 到点A （-2，3）、B （-1，-2）的距离相等，求点P 的坐标．【例28】 已知点A （2，3）B （4，5），在轴上是否存在点P ，使得的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例29】 已知直角坐标平面内的点A （4，）、B （6，3），在轴上求一点C ，使得 △ABC 是等腰三角形．【例30】已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（，2-），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．m x PA PB +32x x x【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A ． 2、4、8B ．4、8、10C ．6、8、10D ．8、10、12【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =四边形ABCD 的面积．【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC的面积．cm 随堂检测ABCDAB D CABC DEF【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15，BQ =24，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点,点C 在轴上，使为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．【习题10】 如图，在中，是内一点，且 ,求的度数．x 222()20x a b x c ab -+++=km km km ()()2814A B -，，y ABC D ABC D 90ACB AC BC M Ð==!，，ABC D 312AM BM CM ===，，BMC Ð ABCMABQP M【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，中，斜边，则的值是iiiiiiiii ． 【作业4】 已知点，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B的坐标是iiiiiiiiiiii ．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果的周长为12，而那么的形状是____________．【作业7】 已知等腰直角三角形斜边BC 的长为2，为等边三角形，那么A 、D两点的距离为______ij222a b c +=Rt ABC D 1AB =222AB BC AC ++()35A -，ABC D 22AB BC AC AB BC +=-=，，ABC D ABC DBC D 课后作业5072A【作业8】 已知：如图，已知在中，，将绕点逆时针旋转后得到，若，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（、、）和都为5厘米，动点P 从A 出发（），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知、、为的三边，且满足，试判断的形状. 解：（A ），(B )(C )，是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：iiiiiiiiiiiijhh h h h hRt ABC D 9030B C Ð=Ð=!!，ABC D A 30!APQ D 1AB =AB BC CD BD A B D ®®D C B A ®®®APQ D a b c ABC D 222244a c b c a b -=-ABC D !222244a c b c a b -=-()()()2222222c a b a b a b \-=+-222c a b \=+\ABC D ABCDQPABQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知，在坐标轴上求一点P ，使得为直角三角形，求点P 的坐标.()()1054A B -，，，PAB D。

分式方程应用题之行程问题解题方法：1、速度×时间=路程2、画表格分析例1、小明每天骑自行车去15km的学校上学，最近一条新路开通，路程缩短为12km，路况也变得贼好，于是小明的平均速度比原来提高了20%，这样可以提前1小时到达学校。

试求小明原来骑自行车的速度为每小时多少km？31、甲、乙两火车站相距1280千米，“和谐”号列车提速后，它的行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度2、大车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比大车多行驶20千米，求两车的速度各是多少？3、小明的家距离学校2000米。

有一天，小明从家里去上学。

出发10分钟后，爸爸发现他没带数学书，立刻带上课本追赶小明，在距离学校400米的地方追上了小明。

已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明的速度4、一个学生从学校回家，先步行2千米然后乘汽车行驶8千米到家，第二天骑自行车按原路返校，所用时间与回家时间相同，已知骑自行车的速度比步行速度快8千米/时，比汽车速度少12千米/时，求自行车速度例2、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆出租车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知出租车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车速度5、甲、乙两人都从A地出发到B地，已知两地相距50千米，且乙的速度是甲速度的2.5倍，现在甲先出发1小时30分，乙再出发，结果乙反而比甲早到1小时，问甲、乙两人速度各是多少？6、A、B两地相距135km，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5h，小汽车比大汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度比是5：2，求两车速度7、A、B两地距离40km，甲乙二人同时从A地出发前往B地，甲的速度每小时比乙的速度快2km。

当甲来到距B地4km时，因交通阻塞减慢速度，速度每小时减少8km，如果两人同时到达，求甲乙两人原来的速度。

八年级初二数学勾股定理(讲义及答案)含答案一、选择题1．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，下列结论错误的是（）．∠=∠A．AF⊥AQ B．AF=AQ C．AF=AD D．F BAQ 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①2=；②∠A=∠BHE；BD BE③AB=BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④3．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（）A．B．C．D．4．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．cm B．cm C．cm D．9cm5．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm6．如图，△ABC 中，AB=10，BC=12，AC=213，则△ABC 的面积是（ ）．A ．36B ．1013C ．60D ．1213 7．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A ．236、、 B ．3、4、5 C ．3、4、7D ．2、3、49．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（ ）A ．5B ．51-C ．51+D ．51-+10．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=︒，4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ）A ．10B ．53C ．213D ．15二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为 ．12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．13．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________14．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.15．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．16．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．17．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___ 18．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．20．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．三、解答题21．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．24．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．25．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．26．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求ADAB的值.27．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.28．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．29．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段EF长度的最小值.30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ； （3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得到AF AD ≠，即可得到答案． 【详解】如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高 ∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠= ∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠ ∴EBH DCH ∠=∠ 又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB ∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确； ∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠= ∴AF ⊥AQ 故A 结论正确； ∵90ADQ ∠= ∴222AQ AD QD =+ ∵0QD ≠ ∴AQ AD ≠ ∴AF AD ≠ 故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解．2．A解析：A 【分析】先判断△DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BE ，故①正确；根据∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，可得∠BHE=∠C ，再由∠A=∠C ，可得②正确；证明△BEH ≌△DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项. 【详解】解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ， ∴在Rt △DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ， ∴BE ，故①正确；∵DE ⊥BC ，BF ⊥DC ，∴∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角， ∴∠BHE=∠C ，又∵在▱ABCD 中，∠A=∠C ， ∴∠A=∠BHE ，故②正确； 在△BEH 和△DEC 中，BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BEH ≌△DEC ， ∴BH=CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB=CD ，∴AB=BH ，故③正确；利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.3．D解析：D【解析】【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.【详解】A中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；B中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正确；C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；D中,根据A可得，C可得，结合完全平方公式可以求得，错误.故选D.【点睛】本题考查勾股定理.在A、B、C选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D选项是由A、C选项联立得出的.4．C解析：C【解析】【分析】本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．【详解】解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长==cm；如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长==cm；如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.所以要爬行的最短路径的长cm.故选C.【点睛】 本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.5．C解析：C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm ，FC=18-2=16cm ，再利用勾股定理计算出SF 长即可．【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF 的长，由勾股定理，SF 2=SC 2+FC 2=122+(18-1-1)2=400，SF=20 cm ，故选C.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．6．A解析：A【分析】作AD BC ⊥于点D ，设BD x =，得222AB BD AD -=，222AC CD AD -=，结合题意，经解方程计算得BD ，再通过勾股定理计算得AD ，即可完成求解．【详解】如图，作AD BC ⊥于点D设BD x =，则12CD BC x x =-=-∴222AB BD AD -=，222AC CD AD -=∴2222AB BD AC CD -=-∵AB=10，AC=213∴(()22221021312x x -=-- ∴8x = ∴22221086AD AB BD =-=-=∴△ABC 的面积111263622BC AD =⨯=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．7．C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A 、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B 、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C 、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D 、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.8．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.【详解】选项A ，222+≠，不能构成直角三角形；选项B ，222+≠，不能构成直角三角形；选项C ，222+=，能构成直角三角形；选项D ，222+≠，不能构成直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．9．B解析：B【分析】由数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得PB 而即可得到答案．【详解】∵数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，∴PA=2，又∵l ⊥PA ，1AB =，∴PB =∵∴数轴上点C 1．故选B ．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．10．C解析：C【分析】设EC=x ，DC=y ，则直角△BCE 中，x 2+4y 2=BE 2=16，在直角△ADC 中，4x 2+y 2=AD 2=49，由方程组可求得x 2+y 2，在直角△ABC 中，2244ABx y【详解】解：设EC=x ，DC=y ，∠ACB=90°，∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴AC=2EC=2x ，BC=2DC=2y ，∴在直角△BCE 中，CE 2+BC 2=x 2+4y 2=BE 2=16在直角△ADC 中，AC 2+CD 2=4x 2+y 2=AD 2=49，∴2255164965x y ，即2213x y +=，在直角△ABC 中，2244413213ABx y ．故选：C ．【点睛】 本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE 和直角△ADC 求得22x y +的值是解题的关键．二、填空题11．【解析】 试题分析：作点B 关于AC 的对称点B′，过B′点作B′D ⊥AB 于D ，交AC 于E ，连接AB′、BE ，则BE+ED=B′E+ED=B′D 的值最小．∵点B 关于AC 的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22AC BC +，∵S △ABB′=12•AB•B′D=12•BB′•AC ，∴B′D=B 10121201313B AC AB '⋅⨯==,∴BE+ED= B′D=12013. 考点：轴对称-最短路线问题.12．5【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠=''，∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22()4AD AD +='，∵∠D′DA+∠ADC=90°，∴由勾股定理得CD′=22(')5DC DD +=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．13．5【分析】由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．【详解】解：如图所示，连接BD ，∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ， 在ACE 和BCD 中，AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BDE ＝∠BDC ＝45°，∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°，∴AB，∵，∴BC＝2【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．15．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标．【详解】解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP ＝22OP OC -＝2254-＝3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，在直角△PDM 中，PM ＝22PD DM -＝3，当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）；当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）．故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.16．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229=+=；DE BE（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265=+=．DE BE故答案为：7或29或65．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．17．5或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P+S Q=S K为从而易求S K．【详解】解：如下图所示，若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴C=13．若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴B=9-4=5．∴S K为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．18．322或11或5或109 5【分析】分别就E，F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D作DG⊥AC，D H⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3223332+=②过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点， ∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=A B+BF=7+4=11∴EF=221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=5252x =+综上可得：25x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.19．78【解析】 试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78， 即BE 的长为78． 20．639+或639-【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解．【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ，AH ∴===． 3DE =，3DH ∴=== ，DH EH ∴=，3AD AH DH =-=，45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =+=，45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，综上所述，DGF △的面积为9或9．故答案为：9或9．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．三、解答题21．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥；（3）设AD x =，10,90AC BC ACB ==∠=︒，2102AB AC ∴==，由题意，分以下两种情况：①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==-=-，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），即14AD =，②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==+=+，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），即2AD =，综上，AD 的长为14或2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．【详解】（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，∴∠ACB =∠ABC ，∴AB =AC ．∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，∴AB =AC =AD ．∴四边形ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-= ∴S △ADC =1423432⨯⨯=S △ABC =12AB×BC =3， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =3②当CD =CB =BD =3∴△BDC 为等边三角形，过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =160302⨯︒=︒， ∴132BE BD == ()()22222333DE BD BE =-=-=， ∴S △BDC =1233332⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，∴DF=123 S △ADB =12332⨯=， ∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =3；③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．∴邻和四边形ABCD 的面积是3或3【点睛】 本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．23．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM =【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出223MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个， 故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴2232MN MO NO p =-=， ∴3q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =∴2MF =，3ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =， 在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．24．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ； （2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．【详解】解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ， ∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE⊥BD是本题的关键．25．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED2CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2， ∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.26．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以3AB所以33AD AB AB==。

学腾教育数学学科专属辅导讲义
．线段的对称轴除了它自身外，还有一条是_______；角是轴对称图形，它的对称轴是．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=CD，若AB=3，则AC=_________
，所以，所以
，所以
【例2】如图，在△ABC
【例3】如图，在长方形纸片的点A'处，则AE的长为
【巩固】
1.如图，在一个长方形木板上截下△
2．如图，在边长为
A．5 B
．若一个直角三角形的一条直角边长是 A．18 cm B
．如图，在△ABC
5．如图，在△ABC中，∠
A．2 B
A．48
A.25
【例4】勾股定理是几何中的一个重要定理．
号两个正方形的而积和为4，则a，b，
3.如图，已知斜放着的
的值．
题型四、利用勾股定理解决实际问题
【例1】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多端刚好接触地面，则旗杆的高为 ( )
【巩固】
如图，一个梯子AB长2.5
3.一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为2m吗？请说明理由．
．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为
A．1．5 B
．在△ABC中，∠C= 90
．如图，直角三角形纸片的两直角边的长分别为AB上，且与AE重合．求CD。