高一数学第二学期期末考试模拟试题答案)

2022-2023学年度第二学期期末考试卷高中数学答案120α=>，25，)，二、多选题15．【答案】π12【详解】如图所示：设ADN α∠=，大正方形边长为a ，则cos DN a α=，sin AN a α=，cos sin MN a a αα=-，则()()()21cos sin cos sin 2S a a a a αααα=-+⨯阴，()()()22ABCD1cos sin cos sin 528a a a a S S a αααα-+⨯==阴，2215sin cos 2sin cos sin cos 28αααααα+-+=，化为33sin248α=，则1sin22α=，由题意π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π26α=，解得π12α=．故答案为：π12.16．【答案】10-【详解】设28(1)716y ax a x a =++++，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a 值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足0y ≥而整数解只有有限个，所以a<0，因为0为其中一个解可以求得167a ≥-，又a Z ∈，所以2a =-或1a =-，则不等式为22820x x --+≥和290x -+≥，可分别求得2552x --≤≤-和33x -≤≤，因为x 位整数，所以4,3,2,1x =----和3,2,1,0,1,2,3x =---，所以全部不等式的整数解的和为10-.故答案为：10-.17．【答案】(1)52k ≥(2)1k ≤【详解】（1）由2511x x -<+，移项可得25101x x --<+，通分并合并同类项可得601x x -<+，等价于()()610x x -+<，解得16x -<<，则{}16A x x =-<<；由A B A = ，则A B ⊆，即1621k k -≤-⎧⎨≤+⎩，解得52k ≥.（2）p 是q 的必要不充分条件等价于B A ⊆.①当B =∅时，21k k -≥+，解得13k ≤-，满足.②当B ≠∅时，原问题等价于131216k k k ⎧>-⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩（不同时取等号）解得113k -<≤.综上，实数k 的取值范围是1k ≤.18．【答案】(1)π()sin(2)3f x x =+，(2){}2[3,2)-f=，的奇函数，所以()00),0∞和()+上分别单调递增．0,∞。

天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．2B ．23+C ．32+D ．122．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A ．52B ．51C ．50D ．493．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20184．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12-，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,66ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭5．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移724πB ．向右平移724π C ．向左平移712πD ．向右平移712π6．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 7．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2=NB PN ，则三棱锥-N PAC 与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:3D ．1:68．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．函数3()arctan f x x x =+的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若10091a =-，m =12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++++，则（ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0d >时，m 恒为正数；当0d <时，m 恒为负数D ．当0d >时，m 恒为负数；当0d <时，m 恒为正数10．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5D ．m =3, n = 5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2017—2018学年度汪清六中学校期末试卷高一数学试题1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择(每小题5分,共60分)1、下列不具有相关关系的是()A、单产不为常数时,土地面积和总产量B。

人的身高与体重C。

季节与学生的学习成绩Ｄ。

学生的学习态度与学习成绩【答案】C【解析】变量间的关系有两种,一种是确定的关系,另一种是不确定的关系,叫相关关系、判断是否具有相关关系关键是看一个变量是否会受到另一个变量的影响,则Ａ,Ｂ,D是相关关系,Ｃ中季节与学生的学习成绩无关,故不具有相关关系、故选C、2、下列各角中,与角330°的终边相同的是( )A。

1５0° B、－390° C、５10° D、－150°【答案】B【解析】分析:由终边相同的角的公式,表示出与角的终边相同的角,再进行验证即可、详解:与角的终边相同的角为,令,可得,故选B、3、某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采纳分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行安全检测,若果蔬类抽取４种,则n为Ａ、 3 B、 2 C。

5 D。

9【答案】D【解析】超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有种、种和种,其比例为,采纳分层抽样的方法抽取样本进行安全检测,若果蔬类抽取种,则奶制品类应抽取的种数为,故4、 1 ０37和425的最大公约数是()Ａ、51 B、１7 Ｃ、９D、３【答案】B【解析】１ 0３７=4２５×2＋1８7,42５=187×2+５１,１８７＝５1×３＋3４, ５１＝34×1＋17,34＝１7×2,即1 037和425的最大公约数是17、考点:更相减损术。

５、执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( )A、 2０1６B、２C、Ｄ、－1【答案】B【解析】试题分析:模拟执行程序框图,可得满足条件满足条件满足条件满足条件……观察规律可知,s的取值以3为周期,由2０15=3＊671＋2,有满足条件k〈2016,ｓ=2,ｋ=20１6不满足条件k＜２０16,退出循环,输出ｓ的值为2,故选B、考点:程序框图、视频6、函数的最小正周期是( )A、πB、6πC、４πＤ。

2024届江苏省丹阳中学等三校高一数学第二学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量满足：2=a ，3b =，4a b -=，则a b +=（ ） A ．6B ．7C ．11D ．102．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）A ．8x =B ．甲得分的方差是736C ．乙得分的中位数和众数都为26D ．乙得分的方差小于甲得分的方差3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，3211242nn a a a a n -++++=，则8S =( ) A ．127B ．129C ．255D ．2574．已知a 、b 都是单位向量，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b ⋅=B ．22a b =C ．ab a b ⇒=D ．0a b ⋅=5．下面的程序运行后，输出的值是（ ）A ．90B ．29C ．13D ．546．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为 A ．B ．C ．D ．7．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．28．已知平面向量(,3)a x =，(1,2)b x =-，若a 与b 同向，则实数x 的值是( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．39．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲乙两队得分的极差相等10．已知点()P x y ，满足条件0,,290,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则3z x y =-的最小值为（ ）A ．9B ．-6C ．-9D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

奉化区2023学年第二学期期末试卷高一数学（答案在最后）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由实部与虚部概念可得1a =-，代入计算可求出结果.【详解】易知i z a =-的实部为a ，虚部为1-，由题意可知1a =-，则i 1i i 12i z -=---=--==故选：B2.两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（）A.13B.16C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】由古典概型的计算公式即可求解.【详解】两名男生，一名女生记为,,a b c两名男生，一名女生排成一排可能为：,,,,,abc acb bac bca cab cba ，故总可能数6N =，女生站在中间的可能为：,acb bca ，故可能数2n =，则女生站在中间的概率2163n p N ===.故选：A.3.已知平行四边形ABCD ，()1,2B -，()2,4C ，则AC BD +=（）A.()2,2- B.()3,3 C.()4,6 D.()6,4【答案】D 【解析】【分析】由,B C 两点的坐标求得()3,2BC = ，由平行四边形的性质有2AC BD BC +=，求值即可.【详解】由()1,2B -，()2,4C ，有()3,2BC =，平行四边形ABCD 中，有AB DC =，即0AB CD +=，().26,4AC BD AB BC BC CD BC +=+++==故选：D.4.已知平面,αβ，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（）A.若m β⊥，//l m ，则αβ⊥B.若//m β，//l m ，则//αβC.若//αβ，//m β，则//l mD.若αβ⊥，l m ⊥，则//m β【答案】A 【解析】【分析】运用面面垂直判定定理可判断A ，借助长方体举反例可判断BCD.【详解】对于A ，若m β⊥，//l m ，则l β⊥，且l ⊂α，则αβ⊥.故A 正确.对于B,如图所示，l ⊂α，m α⊄，//m β，//l m ，此时αβ⊥，故B 错误.对于C,如图所示，l ⊂α，m α⊄，//αβ，//m β，此时,l m 异面，故C 错误.对于D,如图所示，l ⊂α，m α⊄，αβ⊥，l m ⊥，此时m β⊂，故D 错误.故选：A ．5.某射击初学者在连续6次射击练习中所得到的环数：4,3,7,5,1,x ，该组数据的平均数与中位数相等，则x =（）A.1B.4C.7D.以上答案均有可能【答案】D 【解析】【分析】表示出数据的平均数，由中位数的定义分类讨论求解.【详解】这组数据的平均数为134572066x x++++++=，若中位数为342+，则有03342026Z x xx ≤≤⎧⎪++⎪=⎨⎪∈⎪⎩，解得1x =；若中位数为442+，则有4442026x x =⎧⎪++⎨=⎪⎩，解得4x =；若中位数为452+，则有510452026Zx xx ≤≤⎧⎪++⎪=⎨⎪∈⎪⎩，解得7x =.故选：D.6.在ABC ∆中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆半径R 与内切圆半径r 的比值是（）A.43B.53C.73D.83【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解.【详解】在ABC 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==，设5,7,8a b c ===，由余弦定理得22222278511cos 227814b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以sin 14A =，则22sin 5314a R R R A =⇒=⇒=，所以()11sin 22S bc A r a b c ==++，则()11785782142r r ⨯⨯⨯=⨯++⇒=所以73Rr ==，故选：C7.已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,AB A B AA ===，球O 与上底面1111D C B A 以及各侧棱1111,,,AA BB CC DD 均相切，则该球的表面积为（）A.28π B.24πC.20πD.16π【答案】B 【解析】【分析】作出过正四棱台的截面，再求出正四棱台的高，从而根据勾股定理求出球的半径，最后代入球的表面积公式，即可求解．【详解】设过棱台上下底面的中心以及一条侧棱作该棱台的轴截面如下图：正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =，∴正四棱台的高为12O O ，设球O 的半径为R ，球与侧棱1AA 切于M ，则在图中11Rt A O O V 中，2222111R A O R A M +=+，则111A O A M ==，所以1AM A M ==，在图中2Rt AO O 中，222222O A OO R AM +=+，(2222)R R∴+=+，解得R =，∴球O 的表面积为24π24πR =．故选：B8.已知R a ∈，在复数范围内12,x x 是关于x 的方程220x x a -+=的两个根，则关于a 的函数()1212122920x x x x f a x x ++=-+的零点的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】根据根与系数的关系得12122,x x x x a +=⎧⎨=⎩，进而根据方程的的虚根和实数根分类讨论，即可求解.【详解】若12,x x 是方程220x x a -+=的两个虚数根，所以12122Δ440x x x x a a +=⎧⎪=⎨⎪=-<⎩，且1211x x =+=-，则12x x ==，()1212122929010*******x x x x f a a x x ++=-=-=⇒-+=+2920±=，（满足1a >），若12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，所以12122,Δ440x x x x a a +=⎧⎪=⎨⎪=-≥⎩，且1211x x ==1211x x =+=-，当01a ≤≤时，1211x x =+=-()12121229229902022010x x x x a f a a x x +++=-=-=⇒=+，当a<0时，1211x x =+=，()121212292902020x x x x f a x x ++=-=-=+，2910=2910=，t =，由于20a -≤<，所以1t <≤故函数()3g t t t =-在1t <≤单调递减，且()291210g =<，故29310t t=-在1t <≤综上可得，零点个数为3，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列四个命题为真命题的是（）A.已知平面向量,,a b c ，若//a b ，//b c，则//a cB.若()1,2a =-r ，()3,6b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底C.()1,a λ= ，()4,b λ=- ，若a b ⊥，则2λ=D.()5,0a = ，()4,3b =- ，则b 在a方向上的投影向量为()4,0-【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：根据向量共线的坐标表示分析可知,a b不共线，结合基底向量的定义分析判断；对于C ：根据向量垂直的坐标表示运算求解；对于D ：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】对于选项A ：例如()()1,0,0,0,1a b c ===，可知//a b ，//b c ，但,a c不共线，故A 错误；对于选项B ：因为1623⨯≠-⨯，可知,a b不共线，所以,a b可作为平面向量的一组基底，故B 正确；对于选项C ：若a b ⊥，则240a b λ⋅=-+=r r，解得2λ=±，故C 错误；对于选项D ：若()5,0a = ，()4,3b =- ，则20,5a b a b ⋅=-==，所以b 在a 方向上的投影向量为()244,05a b a a a ⎛⎫⋅ ⎪=-=- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BD.10.给出下列说法，其中正确的是（）A.数据0,1,2,2,4,5的极差与众数之和为7B.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件A =“至少有2个红球”，事件B =“都是白球”，则事件A 与事件B 是对立事件C.甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为23，乙每次投中的概率为12，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为13D.一组不完全相同数据12,,...,n x x x 的方差为2，则数据1221,21,...,21n x x x +++的方差为4【答案】AC 【解析】【分析】利用极差与众数定义可判断A ；由对立事件概念可判断B ；根据独立事件概率乘法公式计算可判断C ；由方差的概念代入计算可判断D.【详解】对于A ，数据0,1,2,2,4,5的极差为505-=，众数为2，它们的和为7，故A 正确；对于B ，事件A 包括“2个红球1个白球”和“3个红球”两个基本事件，与事件B =“都是白球”不能同时发生，可知事件A 与事件B 是互斥事件；但还有可能出现“1个红球2个白球”的情况，所以事件A 与事件B 是互斥但不对立事件，故B 错误；对于C ，由相互独立事件的乘法公式可得甲乙各投篮一次同时投中的概率为211323⨯=，故C 正确；对于D ，设数据12,,...,n x x x 的平均数为12...nx x x x n+++=，则其方差为()()()222121...2n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-=⎣⎦，所以数据1221,21,...,21n x x x +++的平均数为122121...21221n x x x nx ny x n n+++++++===+；所以方差为()()()22212121212121...2121n x x x x x x n ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦()()()()()()22222212121444...4...8n n x x x x x x x x x x x x n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-+-++-=⎣⎦⎣⎦，故D 错误.故选：AC11.在ABC 中，π6A =，2AB =，下列结论正确的是（）A.若AC =，则1BC = B.若BC =π4C =C.若ABC 有两解，则(1,2)BC ∈ D.若ABC 是锐角三角形，则3AC ∈⎪⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用余弦定理求解判断，对于B ，利用正弦定理求解判断，对于C ，根据正弦定理结合图形分析判断，对于D ，由正弦定理得5π2sin 2sin 6sin sin C B AC C C⎛⎫- ⎪⎝⎭==，化简后，再求出角C 的范围，从而可求出AC 的范围.【详解】对于A ，在ABC 中，π6A =，2AB =，AC =1BC ===，所以A 正确，对于B ，在ABC 中，π6A =，2AB =，BC =，则由正弦定理得sin sin BC AB A C =，2πsin sin 6C =，得2sin 2C =，因为AB BC >，π5π66C <<，所以π4C =或3π4C =，所以B 错误，对于C ，如图，过B 作BD AC ⊥于D ，则1sin 212BD AB A ==⨯=，因为ABC 有两解，所以BD BC AB <<，即12BC <<，所以C正确，对于D ，由正弦定理得sin sin AB ACC B =，2sin sin AC C B=，所以5π2sin 2sin cos 16sin sin sin tan C B C C AC C C C C⎛⎫- ⎪+⎝⎭====+因为ABC 为锐角三角形，所以π025ππ062C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ32C <<，所以πtan tan3C >=，所以10tan 3C <<，1tan 3C <+<3AC <<，所以D 正确.故选：ACD12.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11B D 上靠近1D 的四等分点，点N 是线段1B C 的中点，点,P Q 分别是在线段111,A C BD 上的动点，下列结论正确的是（）A.异面直线11A C 与1AB 所成角为45B.1BD ⊥平面1AB CC.三棱锥1P ACB -的体积是定值D.QM QN +【答案】BCD 【解析】【分析】由定义法求异面直线所成的角判断选项A ；利用线线垂直证明线面垂直判断选项B ；由底面积和棱锥的高计算体积判断选项C ；利用翻折到同一平面求距离和的最小值判断选项D.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC =，11//AA CC ，则四边形11ACC A 为平行四边形，有11//A C AC ，异面直线11A C 与1AB 所成角等于直线AC 与1AB 所成角，正方体1111ABCD A B C D -中，1ACB 为等边三角形，所以异面直线11A C 与1AB 所成角为60 ，A 选项错误；正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1BB AC ⊥，正方形ABCD 中，有BD AC ⊥，1,BB BD ⊂平面11BDD B ，1BB BD B ⋂=，则有AC ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，1,AC AB ⊂平面1AB C ，1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，B 选项正确；11//A C AC ，11A C ⊄平面1ACB ，AC ⊂平面1ACB ，则11//A C 平面1ACB ，点P 是线段11A C 上的动点，则点P 到平面1ACB 的距离为定值，1ACB 是边长为的等边三角形，面积为定值，所以三棱锥1P ACB -的体积是定值，C 选项正确；正方形11BCC B 中，点N 是线段1B C 的中点，也是线段1BC 的中点，以1BD 为轴，把11BD C △和11BD B 旋转到同一平面内，则QM QN +的最小值为MN ，由1112D C BB ==，111BC D B ==，1BD =，1111BD C BD B ≅ ，222221111111BD D C BC BB D B =+=+，平面四边形111BB D C 为矩形，N 是线段1BC 的中点，点M 是线段11B D 上靠近1D 的四等分点，设T 为11B D 的中点，则Rt MTN 中，12NT BB ==，111242MT D B ==，所以2MN ===，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：立体图形上的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 12i z ⋅=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为____.【答案】()2,1-【解析】【分析】由复数的除法求得z ，由共轭复数的定义可得出复数z ，再由几何意义求z 在复平面内对应的点的坐标.【详解】由i 12i z ⋅=-，得2212i i 2i 2i i iz --===--，则2i z =-+，z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-.故答案为：()2,1-.14.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为____.【答案】3π3【解析】【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积.【详解】设圆锥的母线长l 为2，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r ，高为h ，则得到2π2πr =，解得：1r =，这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高h ===所以圆锥的体积为：21π33r h =.故答案为：3.15.如图，相距1l ，2l 之间是一条小路（1l ，2l 可看作两条平行直线），为测量点A 到2l 的距离h （1l ，2l 在点A 的同侧），某研究小组在2l 一侧东边选择点B ，作为测量起始位置，AB 与1l 交于点M ，从点B 出发向西走N ，测得2MN l ⊥，继续向西走6米到达点C ，AC 与1l 交于点P ，继续向西走2米到达点Q ，测得2⊥PQ l ，则h =___.【答案】【解析】【分析】根据两角差的公式，可解出()sin sin BAQ PCQ MBN ∠=∠-∠，再根据正弦定理可得出AC ，再利用直角三角形的性质求解距离h 即可.【详解】由题意知相距米的1l ，2l 之间是一条小路，所以PQ MN ==BN =，2CQ =，)661BC =-+=，所以,34PCQ MBN ππ∠=∠=，则())1sin sin sin cos cos sin 4BAC PCQ MBN PCQ MBN PCQ MBN ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=，在BAC 中根据正弦定理知sin sin BC AC BACMBN=∠∠，解得12AC =，由sin hPCQ AC∠=，得到h =.故答案为：16.平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 是平行四边形，120,2,3ABC AB BC ∠=== ，且PA ⊥面ABCD ，则向量PC 在向量BD方向上的投影向量是____(结果用BD表示).【答案】57BD【解析】【分析】运用投影向量的概念，结合数量积，基底只是求解即可.【详解】向量PC 在向量BD 方向上的投影向量为2||||||PC BD BD PC BD BD BD BD BD ⋅⋅⋅=⋅.运用运用余弦定理求得222||2cos604967BD AB AD AB AD =+-⋅︒=+-= .PC PA AC PA BC BA =+=+- ，BD BA AD BA BC =+=+ ，()()PC BD PA BC BA BA BC ⋅=+-⋅+，展开化简得到，2222PC BD PA BA PA BC BC BA BC BA BA BC PA BA PA BC BC BA ⋅=⋅+⋅+⋅+--⋅=⋅+⋅+- ，由于且PA ⊥面ABCD ，则0,0PA BA PA BC ⋅=⋅=,则225PC BD BC BA ⋅=-= .代入2||PC BD BD BD ⋅⋅，得到57BD .则向量PC 在向量BD 方向上的投影向量为57BD .故答案为：57BD.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，第18—22题每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面向量,a b ，满足3,2a b == ，且a 与b 的夹角为3π.（1）求a b ⋅的值；（2）求a 与b a -夹角的余弦值.【答案】（1）3；（2）277-【解析】【分析】（1）根据数量积的定义代入计算即可得出结果；（2）由向量夹角的计算公式代入（1）中结论即可.【小问1详解】由3,2a b == 可得π1cos 32332a b a b ⋅==⨯⨯= ；即可得1a b ⋅= .【小问2详解】易知b a -== 所以()227cos ,7a b a a b a a b a a b aa b a ⋅-⋅--=====---.即可得a 与b a -夹角的余弦值为7-.18.全国中学生奥林匹克数学竞赛是由中国数学会主办的获得教育部批准的全国性赛事，相应的赛区初赛也是该项活动的一个环节.按照中国数学会有关全国中学生奥林匹克数学竞赛组委会的精神，以及浙江省科协的要求，2024年5月19日全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛如期举行.已知某中学有40人参加此次数学竞赛（满分为150分），其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m 的值及学生成绩的第75百分位数；（2）若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[)100,120内的学生中抽取3人参加座谈会，求成绩为107分的学生甲恰好被抽到的概率.【答案】（1）0.035m =，第75百分位数96；（2）1.2【解析】【分析】（1）利用所有小矩形面积之和为1即可求得0.035m =，根据百分位数定义计算即可得出结果；（2）由分层抽样比计算出各组抽取的人数，再由古典概型计算可得结果.【小问1详解】由题意可知()0.010.0150.0250.010.005101m +++++⨯=，解得0.035m =；易知60分到90分的人数频率之和为0.6，60分到100分的人数频率之和为0.85.所以第75百分位数位于90分到100分之间，且90分到100分之间的频率为0.25；估计第75百分位数为0.750.69010960.25-+⨯=，【小问2详解】在[)[)100,110,110,120的学生频率分别为0.1和0.05，则其人数分别为4和2，设在[)100,110中的4人为a b c d ,,,，在[)110,120中的2人为,e f ，令a 为甲，且其成绩为107.由分层随机抽样可得在[)[)100,110,110,120分别抽取2人与1人，则总共有以下12种可能：()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,e a b e a c e a d e b c e b d e c d ,()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,f a b f a c f a d f b c f b d f c d ;其中学生甲恰好被抽到的情况共有6种，所以抽到107分的学生甲的概率12P =.19.如图，已知在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱AC 的中点，1AB AA =.（1）证明：1AB //面1C BD ；（2）求直线BC 与平面1C BD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）法一：作出辅助线，构造平行四边形，得到线线平行，进而得到面面平行，证明出线面平行；法二：作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）法一：证明出线面垂直，得到1BD C D ⊥，设11AB AA ==，求出其他各边长，得到1158BDC S =，利用等体积法得到点C 到平面1C BD 的距离，进而得到直线BC 与平面1C BD 所成角的正弦值；法二：作出辅助线，证明出线面垂直，得到CBF ∠即直线BC 与平面1C BD 所成线面角的平面角，设11AB AA ==，求出各边长，得到线面角的正弦值.【小问1详解】法一：取11A C 中点M ，连接1AM B M DM，，因为1B M BD =，1DM BB =，所以四边形1B BDM 为平行四边形，所以1B M BD //.又因为1B M⊄平面1C BD ，BD ⊂平面1C BD ，所以1//B M 平面1.C BD 因为1C M 平行且等于AD ，所以四边形1ADC M 为平行四边形，所以1AM C D //.又因为AM ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AM 平面1.C BD 又因为AM ⊂平面1AB M ，1B M ⊂平面1AB M 且1AM B M M ⋂=.所以平面1//AB M 平面1C BD .因为1AB ⊂平面1AB M ，所以1AB //平面1.C BD 法二：连接1B C ，记1B C 与1BC 的交点为N ，连接DN .在1AB C V 中，1AD DC B N CN ==，，所以DN 为1AB C V 的中位线，所以1DN AB //，又因为DN ⊂平面1C BD ，1AB ⊄平面1C BD ，所以1AB //平面1C BD .【小问2详解】法一：ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，故BD ⊥AC ，因为1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥BD ，因为AC ，1CC ⊂平面1C DC ，1AC CC C = ，所以BD ⊥平面1C DC ，又因为1C D ⊂平面1C DC ，所以1BD C D ⊥.设11AB AA ==，则sin 602BD AB =︒=，1cos 602CD AB =︒=，由勾股定理得12C D ===，故111122228BDC BD C D S ⨯⨯⋅===；设点C 到平面1C BD 的距离为d ，其中1111111111332322224C BCD BCD V S CC CD BD CC -=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，又1111332458C C BD C BCD C C BDBDC V V V d S ---==⇒== .所以5sin 15d BC θ===.法二：设11AB AA ==，取1AA 的中点E ，连接CE ，交1C D 于点F ，连接BF .因为AB BC AD DC ==，，所以BD AC ⊥又因为平面ABC⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ⊥，因为11,,90CD AE AC CC EAC DCC ==∠=∠=︒，所以EAC ≌1DCC △，所以1ACE CC D ∠=∠，故11190ACE FCC CC D FCC ∠+∠=∠+∠=︒，故1C D CE ⊥，又因为1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC .所以CBF ∠即直线BC 与平面1C BD 所成线面角的平面角，有勾股定理得221115142C D CD C C =+=+=，故111152552CD CC CF C D ⨯⋅===，所以555sin 15CF CBF BC ∠===.20.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.（1）若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；（2）若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.【答案】（1）112-；（2）1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD为基底表示出EF得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【小问1详解】如下图所示：由2DE EC =可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；【小问2详解】法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=-，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--= 显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1c =且()2cos a C B -=.（1）请在以下两个条件中任选一个（若两个条件都选，则按①的解答过程给分）①sin sin 2sin b B c C a A-=②cossin 2A Ca b A +=，求ABC 的面积S ；（2）求3a b -的最大值.【答案】（1）4；（2）3【解析】【分析】（1）由三角恒变换可得π6C =，若选择①利用余弦定理可得2π3B =，代入面积公式即可得结果；若选择②，由诱导公式以及二倍角公式可得结果；（2）利用正弦定理以及辅助角公式即可求得结果.【小问1详解】由1c =可得，原式可化为()2cos cos a C B -=利用正弦定理可得2sin cos cos cos A C B C C B =，即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A ≠，所以cos 2A =，又()0,πA ∈，可得π6C =.选择①由sin sin 2sin b B c C a A -=利用正弦定理可得2222b c a -=，222cos 22b ac C ab +-==，解得,b a c ==；易知2221cos 22c a b B ac +-==-，所以2π3B =.选择②原式可化为πsin cos sin sin 22B A B A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，可得sin sin 2B B =；因为0B ≠，所以π2B B +=.所以2π3B =.因此ABC的面积为111sin12024ABC S =⨯⨯⨯= .【小问2详解】由正弦定理可知121sin 2c C ==，因此2sin ,2sin a A b B ==；可得5π2sin 2sin sin 3336a b A B A A ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭πsin cos 336A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；又5π06A <<可知，当2π3A =时，πsin 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭取到最大值1，即3a b -有最大值322.如图，在ABC 中，π,2,42ACB AC BC ∠===，点P 满足AP PB λ= ，沿CP 将ACP △折起形成三棱锥1A PBC -.（1）若1λ=，1A 在面PBC 上的射影恰好在BC 上，求二面角1A CP B --平面角的余弦值；（2）若二面角1A CP B --为直二面角，当1A B 取到最小值时，求λ的值及点P 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）14；（2）69【解析】【分析】（1）根据二面角定义，作出二面角的平面角并由边长求出其余弦值；（2）由直二面角性质，结合余弦定理和线面垂直的性质可得1A B 的长度表达式，结合三角函数值域可得当1A B 取到最小值时12λ=，再利用等体积法可得点P 到平面1A BC 的距离.【小问1详解】过点A 作CP 的垂线交CP 于点D ，交BC 于点H ，如下图所示：翻折后仍有1,A D CP HD CP ⊥⊥，又因为1A D HD D ⋂=，且1A D ⊂平面1A DH ，HD ⊂平面1A DH ，所以⊥CP 平面1A DH ，所以1A DH ∠为二面角1A CP B --所成的平面角.由1A 在面PBC 上的射影恰好在BC 上得1A H ⊥平面BPC ，所以11cos DH DH A DH A D AD∠==，由1λ=可知PA PC =，因为sin sinACD CAB ∠=∠=所以sinAD AC ACD =⋅∠=又易知cos cosCAH ABC ∠=∠=所以cos AC CAH AH =∠，可得AH =，所以5DH AH AD =-=；所以11cos 4DH A DH AD ∠==，即二面角1A CP B --平面角的余弦值为1.4【小问2详解】过点1A 作CP 的垂线交CP 于点G ，如下图所示：设1,2sin ,2cos ACP A G CG ααα∠===，由二面角1A CP B --为直二面角可知平面1ACP ⊥平面BPC ，平面1A CP ⋂平面BPC PC =，1A G CP ⊥，又1A G ⊄平面BPC ，CP ⊂平面BPC ，所以1A G ⊥平面BPC ，又BG ⊂平面BPC ，所以1A G BG ⊥，则有()2222cos 4πcos cos sin 2242cos BG BCG αααα+-⎛⎫∠=-== ⎪⨯⨯⎝⎭，可得224cos 16sin cos 16BG ααα=-+，又22211A B A G BG =+，所以22214sin4cos 16sin cos 16208sin 2A B ααααα=+-+=-，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当π4α=时，1A B 取到最小值π3πsin sin πsin 4410APC A A ⎛⎫⎛⎫∠=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin sin AC AP APC ACP =∠∠，可得,33AP BP ==，所以1.2λ=（注：π4ACP BCP ∠=∠=，12AC BC =，由角平分线定理得12AP BP =也可）则有118sin ,23BCPA BC S BP BC CBP S =⋅⋅∠== ,11181333A BCP P A BC V V d --==⨯=⨯，解得469d =.即点P 到平面1A BC 的距离为9.【点睛】关键点点睛：本题在求解二面角问题大小时，关键是根据题意作出二面角的平面角，并结合余弦定理和三角形相似等求出结论.。

石家庄市2022—2023学年第二学期高一级部期末考试数学试题（答案在最后）一、单选题1.已知复数z 满足()()1i i z a =-+，若复数z 的模为，则实数=a （）A.1 B.2C.3D.0【答案】D 【解析】【分析】先化简复数z ，再根据复数z 的模为求实数a 即可.【详解】()()()21i i =i i i 11i z a a a a a =-++--=++-,因为复数z ，所以z ==0a ∴=故选:D .2.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：858788898990919192939393949698则这组数据的40%分位数为（）A.90B.91C.90.5D.92【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】由题意，150.46⨯=，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即909190.52+=.故选：C3.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1DC 所成的角的大小为（）A.30︒ B.45︒C.60︒D.90︒【答案】C 【解析】【分析】连接1,BD BC ，则得1AD ∥1BC ，从而得1BC D ∠为异面直线1AD 与1DC 所成的角，然后在三角形1BC D 中可得答案【详解】解：连接1,BD BC ，因为11AB D C =,AB ∥11D C ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以1AD ∥1BC ，所以1BC D ∠为异面直线1AD 与1DC 所成的角，在正方体1111ABCD A B C D -中，11BD BC DC ==，所以三角形1BC D 为等边三角形，所以160BC D ∠=︒，所以异面直线1AD 与1DC 所成的角的大小为60︒，故选：C【点睛】此题考查异面直线所成的角，属于基础题4.在钝角ABC 中，已知AB =，1AC =，30B ∠=︒，则ABC 的面积是（）A.2B.34C.32D.34【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理求出C ，进而算出A ，最后由三角形面积公式得到答案.【详解】由正弦定理，1sin sin sin 302C C =⇒=︒，若60C =︒，则ABC 为直角三角形，不合题意；所以120C =︒，则1801203030A =︒-︒-︒=︒,所以131sin 3024S ABC =⨯︒=.5.已知在边长为6的等边三角形ABC 中，12BD DC = ，则AD AC ⋅= （）A.24 B.6C.18D.24-【答案】A 【解析】【分析】由已知条件将AD 用,AB AC表示出来，然后再计算AD AC ⋅ 即可【详解】因为12BD DC =，所以11()33BD BC AC AB ==- ,所以121()333AD AB BD AB AC AB AB AC=+=+-=+因为边三角形ABC 的边长为6，所以66cos6018AC AB ⋅=⨯︒=，所以2133AD AC AB AC AC⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭22133AB AC AC =⋅+2118362433=⨯+⨯=，故选：A6.从四双不同的鞋中任意取出4只,事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”（）A.是对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.都是不可能事件【答案】A 【解析】【分析】从4双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为:“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成对”,即可求得答案.【详解】从4双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为:“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成对”,故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有2只成对”+“4只都不成对”=“至少有两只不成对”.∴事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是:对立事件.【点睛】本题主要考查了判断2个事件是否是对立事件,解题关键是掌握对立事件概念和结合实际问题具体分析,考查了分析能力,属于基础题.7.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m αβ= ，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥.B.若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥.C.若//m α，//n α，则//m n .D.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n .【答案】B 【解析】【分析】对于A ，由面面垂直的性质定理判断即可；对于B ，由面面垂直的判定定理判断即可；对于C ，由线面平行的性质判断；对于D ，由面面平行的性质判断即可【详解】解：对于A ，当m αβ= ，n ⊂α，n m ⊥，且αβ⊥时，才能得到n β⊥，所以A 错误；对于B ，当m α⊥，//m n 时，得n α⊥，因为n β⊂，所以由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以B 正确；对于C ，当//m α，//n α时，m ，n 可能平行、可能相交、可能异面，所以C 错误；对于D ，当//αβ，m α⊂，n β⊂时，m ，n 可能平行、可能异面，所以D 错误，故选：B8.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、多选题9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（）A.1829-周岁人群参保总费用最少B.30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20%C.54周岁以上的参保人数最少D.丁险种更受参保人青睐【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表给出信息逐个选项判断.【详解】对于A ：由第一个图可得54周岁及以上的参保人数最少，占比为130%33%20%17%---=，其余年龄段的参保人数均比1829-周岁人群参保人数多.由第二个图可得，因为20%400017%6000⨯<⨯，所以1829-周岁人群参保总费用最少，故A 对.对于B ：由第一个图可得，30周岁以上的参保人群约占参保总人群的80%，故B 错.对于C ：由第一个图可得，54周岁及以上的参保人数占参保总人数的130%33%20%17%---=，所以C 对.对于D ：由第三个图可得，丁险种参保人群约占参保总人群的55%，所以最受青睐，所以D 对.故选：ACD.10.已知z C ∈，则下列命题正确的是（）A.若z z =，则z 为纯虚数B.若()i 12i z =-，则z 的虚部为1C.i z a =+（a ∈R ）且z =，则1a =D.若1z =，则1z +的最大值为2【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的定义，以及复数的运算，以及复数的几何意义，分别判断选项.【详解】A.若z z =，则z 是实数，故A 错误；B.若()i 12i i 2z =-=+，则z 的虚部为1，故B 正确；C.z ==1a =±，故C 错误；D.若1z =，则其复数z 对应的向量OZ的终点在以原点为圆心的单位圆上，1z +的几何意义表示，单位圆上的点与定点()1,0-的距离，很显然，点()1,0与()1,0-的距离最大，最大值是2，故D 正确.故选：BD11.下列命题中，正确的是（）A.在ABC 中，A B ∠>∠是sin sin A B >的充要条件B.在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C.在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰直角三角形D.在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC 是等边三角形【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，应用正弦定理及三角形中大边对大角以及充要条件的定义即可判断正误；对于B 由锐角三角形易得022A B ππ>>->，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；对于C 由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A 、B 的数量关系；对于D 利用余弦定理，结合已知得2()0a c -=，进而判断△ABC 的形状.【详解】解：对于A ：若sin sin A B >，而sin sin a bA B=，即a b >，故A B >，同理，若A B >，即a b >，而sin sin a bA B=，故sin sin A B >，所以A B ∠>∠是sin sin A B >的充要条件，故A 正确；对于B ：由锐角△ABC 知：2A B π+>，即022A B ππ>>->，则sin sin()cos 2A B B π>-=，故B 正确；对于C ：由题设得sin cos sin cos A A B B =，可得sin 2sin 2A B =，又,(0,)A B π∈，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，故△ABC 为等腰或直角三角形，故C 错误；对于D ：由题设，2221cos 22a cb B ac +-==，即222ac a c b =+-，又2b ac =，所以22ac a c ac =+-，故2()0a c -=，即a c =，又60B =︒，所以a b c ==，故△ABC 必是等边三角形，故D 正确.故选：ABD.12.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段1A B 上的动点，下列正确的是（）A.1AMD ∠的最大值为90°B.11DC D M⊥C.三棱锥1M DCC -的体积为定值 D.1AM MD +的最小值为4【答案】BC 【解析】【分析】对A，令1(01)A M t =≤≤，在1AA M △中，根据余弦定理求得2AM ，再在1AMD △中根据余弦定理求解1cos AMD ∠的表达式，判断出当102t <<时，1cos 0AMD ∠<即可；对B ，根据线面垂直的性质与判定，证明1C D ⊥平面11A BCD 即可；对C ，根据体积公式结合长方体的性质证明即可；对D ，把1AA B 与矩形11A BCD 展开在同一平面内，再分析最小值即可【详解】对A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,,AD AM D M ，如图，而2AB =，则1A B =，令1(01)A M t =≤≤，在1AA M △中，145AA M ∠=，由余弦定理得22222)22cos 45884AM t t =+-⨯⨯=-+ ，根据线面垂直的性质有111D A A M ⊥，则222212)48D M t =+=+，1AMD △中，1AD =，222111118(21)cos 22AM D M AD t t AMD AM D M AM D M +--∠==⋅⋅，当102t <<时，1cos 0AMD ∠<，即1AMD ∠是钝角，A 不正确；对B ，因11A D ⊥平面11CDD C ，1C D ⊂平面11CDD C ，则111A D C D ⊥，正方形11CDD C 中，11CD C D ⊥，1111A D CD D ⋂=，111,A D CD ⊂平面11A BCD ，于是得1C D ⊥平面11A BCD ，又1D M ⊂平面11A BCD ，因此，11D M C D ⊥，B 正确；对C ，由题意，M 到平面1DCC 的距离为定值BC ，故1113M DCC DCC V S BC -=⋅ 为定值，C 正确；对D ，把1AA B 与矩形11A BCD 展开在同一平面内，连接1AD 交1A B 于点M '，如图，在1AA D △中，1135AA D ∠=，由余弦定理得：1AD ==因点M 在线段1A B 上，111AM MD AD AM M D ''+≥=+，当且仅当点M 与M '重合时取“=”，所以1AP PD +的最小值为，D 错误；故选：BC三、填空题13.为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了100次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是_____分钟【答案】21【解析】【分析】利用最高矩形底边的中点值即为样本数据的众数可得结果.【详解】由频率分布直方图可知，骑车时间的众数的估计值是2022212+=分钟.故答案为：21.14.2(1i)(2i)i ---=___________.【答案】3i -【解析】【分析】根据题意，由复数的四则运算，即可得到结果.【详解】原式2i 2i 13i 1--+-==--.故答案为：3i -.15.已知向量()4,2a = ，向量()2,1b k k =-+，若a b a b +=- ，则k 的值为______．【答案】5【解析】【分析】由条件求得0a b ⋅= ，再根据数量积的坐标表示求k .【详解】a b a b +=- ，两边平方后得0a b ⋅= ，即()()42210k k -++=，解得：5k =.故答案为：516.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为接球的体积为__．【答案】52133π【解析】【分析】设矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，利用基本不等式求出4a b ==时，表面积取得最小值，设此时长方体的外接球的半径为r ，利用勾股定理求出r ，即可求出外接球的体积.【详解】设矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，由题意可得=，16ab ∴=，长方体的表面积为：22()32)32ab a b a b ++=+++当且仅当4a b ==时，表面积取得最小值，此时长方体的外接球的半径为r，2r =，r ∴=343r π=．故答案为：52133．四、解答题17.已知复数1i z a =+，21i z =-，其中a 是实数.（1）若212i z =-，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求23202311112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）1-（2）1-【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a 的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出12z z ，再利用i 乘方的周期性求解作答.【小问1详解】复数1i z a =+，则2212i)(1i )2(2i a a z a +=+==--，又a 是实数，因此21022a a ⎧-=⎨=-⎩，解得1a =-，所以实数a 的值是1-.【小问2详解】复数1i z a =+，21i z =-，R a ∈，则12i (i)(1i)(1)(1)i 11i 1i (1i)(1i)222z a a a a a a z +++-++-+====--+，因为12z z 是纯虚数，于是102102a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得1a =，因此12i z z =，又1234i i,i 1,i i,i 1==-=-=，则*4342414N ,i i,i 1,i i,i 1n n n n n ---∈==-=-=，即有*4342414N ,i i i i 0n n n n n ---∈+++=，所以2320232342311112222(()(505(i i i i )i i i i 1i 1z z z z z z z z ++++=++++++=--=- .18.某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数；（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】（1）平均数为20.32（2）23.86【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出a 的值，然后求平均数即可；（2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可得：(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =，所以这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数为：(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.【小问2详解】75百分位数即为上四分位数，又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=，∴上四分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y --=--，解得132223.867y =+≈．19.如图，在ABC 中，342,,cos 25AB DC A CB ===的垂直平分线交边AC 于点D．（1）求AD 的长；（2）若AD AB >，求sin ACB ∠的值．【答案】（1）52AD =或710；（2）5sin 5ACB ∠=．【解析】【分析】（1）在ADB 中，利用余弦定理可求出AD 的长；（2）由（1）可得52AD =，在ABC 中，由余弦定理求出BC ，再利用正弦定理可求出sin ACB ∠的值【详解】解：（1）在ADB 中，2224cos 25AD AB BD A AD AB +-==⋅，整理得22064350AD AD -+=，即()()251070AD AD --=，所以52AD =或710．（2）因为AD AB >，由（1）得52AD =，所以4AC AD DC =+=．在ABC 中，由余弦定理得2224362cos 41622455BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=．所以5BC =．由4cos 5A =，得3sin 5A ==．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AB A ACB∠∠=，即253sin 5ACB ∠=，所以sin 5ACB ∠=．20.如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60,C PA ∠=⊥ 平面.ABCD 将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得C 点到达点Q 的位置，且平面QBD ⊥平面ABD ．（1）求证：//PA 平面QBD ；（2）若PA =ABDQP 体积．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【解析】【分析】（1）取BD 中点H ，连接QH ，由已知可得QH BD ⊥，平面QBD ⊥平面ABD ，得QH ⊥平面ABD ，所以//PA QH ，可得答案．（2）算出P ABD V -利用P BDQ A BDQ V V --=，可得ABDQP P ABD P BDQ P ABD Q ABD V V V V V ----=+=+.【详解】（1）取BD 中点H ，连接QH ，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60C ∠= ，则QBD △为正三角形，所以QH BD ⊥，而平面QBD ⊥平面ABD ，平面QBD ⋂平面,ABD BD QH =⊂平面QBD ，所以QH ⊥平面ABD ，因为PA ⊥平面ABD ，所以//PA QH ，PA ⊄平面QBD ，所以//PA 平面QBD ．（2）依题意，211344334P ABD ABD V S PA -=⋅=⨯⨯= ，由（1）知，//PA 平面QBD ，所以点P 到平面QBD 的距离与点A 到平面QBD 的距离相等，则P BDQ A BDQ V V --=，而211348334A BDQ Q ABD ABD V V S QH --==⋅=⨯⨯⨯= ，所以多面体ABDQP 的体积为4812ABDQP P ABD P BDQ P ABD Q ABD V V V V V ----=+=+=+=.21.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos tan 1sin A B A=+.（1）若2π3C =，求B ；（2）求222a b c+的最小值.【答案】（1）π6（2）5【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos tan 1sin A B A=+化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c+化成2224cos 5cos B B+-，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为cos sin 1sin cos A B A B =+，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；【小问2详解】由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以ππ3π0,,,424B C ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B B B -+-==+-≥=．当且仅当22cos 2B =时取等号，所以222a b c+的最小值为5-．22.设四边形ABCD 为矩形，点P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，若1==PA AB ，2BC =.（1）求PC 与平面PAD 所成角的正切值；（2）在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG ，若存在，求出BG 的值，若不存在，请说明理由；（3）若点E 是PD 的中点，在PAB 内确定一点H ，使CH EH +的值最小，并求此时HB 的值.【答案】（1）5；（2）存在，1BG =；（3）,,C H E '三点共线，3HB =.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面APD ，得到PC 与平面APD 所成角为CPD ∠，在直角CPD △中，即可求解直线PC 与平面PAD 所成角的正切值；（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ AG ⊥，得到DQ ⊥平面PAG ，求得DQ =，得到1BG =，即可得到答案.（3）延长CB 到C '，使BC BC '=，由线面垂直的判定定理,可得CB ⊥平面APB ，得出C '是点C 关于面APB 的对称点，连接C E '交面APB 于H ，得到点H 是使CH EH +的值最小时，进而求得HB 的长度.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，又因为底面ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面APD ，所以PC 与平面APD 所成角为CPD ∠，在直角PAD 中，1,2PA AD ==，可得PD ==,又由1CD =,在直角CPD △中，可得5tan 5CD CPD PD ∠==，即直线PC 与平面PAD 所成角的正切值为5.（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ AG ⊥，又因为,DQ PA PA AG A ⊥= ，可得DQ ⊥平面PAG ，所以DQ =，此时点G 为BC 的中点，所以1BG =故存在点G ，当1BG =时，使点D 到平面PAG .（3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，因为PA ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD ，所以CB PA ⊥，又因为底面ABCD 是矩形，所以CB AB ⊥，由线面垂直的判定定理,可得CB ⊥平面APB ，则C'是点C关于面APB的对称点，连接C E'，交面APB于H，则点H是使CH EH+的值最小时，在面APB上的一点.作EM DA⊥于M，则点M是AD的中点，连接C M'交AB于N，连接HN，则12AM ANBC NB=='，所以23HNEM=，又12EM=，所以13HN=，而2233BN AB==，所以3HB==.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，线面位置的关系的判定及应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

范文2020学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案1/ 7(共三套)2020 年学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（共三套）2020 年学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．设集合 A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数 a 的值为． 2．若向量 =（2，1）， =（﹣4，x），且∥ ，则 x 的值为． 3．在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC 的面积为． 4．函数 f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为． 5．若指数函数 f（x）=（a﹣1）x 是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围是． 6．已知直线 x﹣y=0 与圆（x﹣2）2+y2=6 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为． 7．已知两曲线 f（x）=cosx 与 g（x）= sinx 的一个交点为 P，则点 P 到 x 轴的距离为． 8．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为． 9．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，BC 上的点，且 = ， = ．若=λ +μ （λ，μ∈R），则λ+μ 的值为．第1页（共78页）10．如图，已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2，△DEF 为平行于棱柱底面的截面，O1，O 分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO 的体积为． 11．将函数 f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数 g（x）的图象．若 g（x）图象的一个对称中心为（，0），则 f（x）的最小正周期为． 12．在△ABC 中，已知 AB=AC=4，BC=2，∠B 的平分线交 AC 于点 D，则 ? 的值为． 13．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=x2﹣3x．若方程 f（x）+x﹣t=0 恰有两个相异实根，则实数 t 的所有可能值为． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2a，0）（a＞0），直线 l1： mx ﹣ y ﹣ 2m+2=0 与直线 l2：x+my=0 （m∈R）相交于点 M ，且 MA2+MO2=2a2+16，则实数 a 的取值范围是．二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15．已知 tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα 的值；（2）求cos2α 的值．第2页（共78页）3/ 716．在四棱锥 P﹣ABCD 中，已知DC∥AB，DC=2AB，E 为棱 PD 的中点．（1）求证：AE∥平面 PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面 PCD． 17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正△OAB 的顶点 A， B 均在第一象限，设点 A 在 x 轴的射影为 C，∠AOC=α．（1）试将 ? 表示α 的函数 f（α），并写出其定义域；（2）求函数 f（α）的值域． 18．如图，海平面某区域内有 A，B，C 三座小岛，岛 C 在 A 的北偏东70°方向，岛C 在 B 的北偏东40°方向，且 A，B 两岛间的距离为 3 海里．（1）求 B，C 两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D 位于岛 C 的北偏西50°方向，且与岛 C 相距 3 海里，求轮船在岛 A 的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）第3页（共78页）19．在平面直角坐标系 xOy 中，圆：x2+y2=4，直线 l：4x+3y﹣20=0．A （，）为圆 O 内一点，弦 MN 过点 A，过点 O 作 MN 的垂线交 l 于点 P．（1）若MN∥l．①求直线 MN 的方程；②求△PMN 的面积．（2）判断直线 PM 与圆 O 的位置关系，并证明． 20．已知函数 f（x）=a|x﹣b|+1，其中 a，b∈R．（1）若 a＜0，b=1，求函数 f（x）的所有零点之和；（2）记函数 g（x）=x2﹣f（x）．①若 a＜0，b=0，解不等式 g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若 b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为 0，求 a 的取值范围．第4页（共78页）5/ 7参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分70 分） 1．设集合 A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数 a 的值为 2 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】由并集定义得 a+1=3，由此能求出实数 a 的值．【解答】解：∵集合 A={1，2}，B=（a+1，2），A∪B={1，2，3}，∴a+1=3，解得实数 a 的值 2．故答案为：2． 2．若向量 =（2，1）， =（﹣4，x），且∥ ，则 x 的值为﹣2 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵ ∥ ，∴﹣4﹣2x=0，解得 x=﹣2．故答案为：﹣2． 3．在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC 的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=120°，第5页（共78页）∴S△ABC= AB?AC?sinA= 故答案为：． =． 4．函数 f（x）=lg （2﹣x﹣x2）的定义域为（﹣2，1）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数 f（x）=lg（2﹣x ﹣x2），∴2﹣x﹣x2＞0，即 x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，∴函数 f（x）的定义域为（﹣2，7/ 7。

2019年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，满分80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果角θ的终边经过点，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．2．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．4 B．﹣4C．D．﹣3．函数y=的定义域是（）A．B．C．D．4．设＜x＜，令a=sinx，b=cosx，c=tanx，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c5．函数y=sinx与y=tanx的图象在（﹣，）上的交点有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．下列函数中最小正周期为的是（）A．y=sin|x| B．y=tan2x C．y=|sinx| D．y=|tanx|7．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（，1）C．（2，3） D．（e，+∞）8．下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是（）A．y=log3x B．y=3|x|C．y=D．y=x39．已知函数f（x）=，若f（f（0））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．910．若函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，40]B．[40，64]C．（﹣∞，40]∪[64，+∞）D．[64，+∞）11．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c12．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+x+a（a为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．﹣113．函数的图象大致为（）A．B．C．D．14．函数，当x=3时，y＜0则该函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．（1，+∞）15．已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy16．若函数，且（a≠1）是R上的单调函数，则实数a的取值范围（）A．（0，）B．（，1）C．（0，]D．[，1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.17．已知tanα=3，求的值．18．函数y=（）的值域是．19．下面有5个命题：①函数y=|sinx+|的最小正周期是π．②终边在y轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有3个公共点．④把函数y=3sinx的图象向右平移能得到y=3sin 2x的图象．⑤函数y=sinx在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）20．以下说法正确的是．①在同一坐标系中，函数y=2x的图象与函数的图象关于y轴对称；②函数y=a x+1+1（a＞1）的图象过定点（﹣1，2）；③函数f（x）=在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递减；④若x1是函数f（x）的零点，且m＜x1＜n，则f（m）•f（n）＜0；⑤方程的解是．三.解答题：本大题共4个小题，满分50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.21．（1）化简：（2）求值：．22．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，且f（x）=f（﹣x），当a，b∈[﹣1，0]，且a≠b时恒有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，f（0）=1，．（1）若f（x）＜2m+3对于x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围；（2）若，求x的取值范围．23．已知f（x）=+lg（1）求f（x）的定义域，并证明其单调性（2）解关于x的不等式f[x（x﹣）]＜．24．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性（不证明）；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，满分80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果角θ的终边经过点，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】直接根据三角函数的定义，求出tanθ的值．【解答】解：由正切的定义易得．故选A．2．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．4 B．﹣4C．D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵角600°的终边上有一点（﹣4，a），∴tan600°=，即a=﹣4tan600°=﹣4tan=﹣4tan240°=﹣4=﹣4tan60°=﹣4，故选：B3．函数y=的定义域是（）A．B．C．D．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可．【解答】解：由2cosx+1≥0得，∴，k∈Z．故选D ．4．设＜x ＜，令a=sinx ，b=cosx ，c=tanx ，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c 【考点】GA ：三角函数线．【分析】根据x 的范围和三角函数的单调性，分别求出sinx 、cosx 和tanx 的范围，再比较大小即可．【解答】解：∵，∴＜sinx ＜1，﹣＜cosx ＜0，tanx ＜﹣1，则c ＜b ＜a ， 故选B ．5．函数y=sinx 与y=tanx 的图象在（﹣，）上的交点有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【考点】HC ：正切函数的图象．【分析】在同一直角坐标系中，分别作出分别作出函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象，利用结论和观察图象，能够得两个函数的图象有1个交点．【解答】解：在同一直角坐标系中，分别作出分别作出函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象，因为“sinx ＜x ＜tanx ，x ∈（0，）”，即在上无交点，又它们都是奇函数，故在上无交点，观察图象知在0处，两个函数的函数值都是0．即两个函数的图象有1个交点，故选：D．6．下列函数中最小正周期为的是（）A．y=sin|x| B．y=tan2x C．y=|sinx| D．y=|tanx|【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的周期性及其求法即可求得答案．【解答】解：∵y=sin|x|=，∴y=sin|x|不是周期函数，可排除A；对于B，y=tan2x，其最小正周期T=，满足题意，即B正确；对于C，y=|sinx|是周期为π的函数，故可排除C；对于D，y=|tanx|是周期为π的函数，故可排除D．综上所述，B正确．故选B．7．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（，1）C．（2，3） D．（e，+∞）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用函数的零点判定定理，化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣的定义域为：x＞0，函数是连续函数，f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0．f（3）=ln3﹣＞1﹣=0．f（2）f（3）＜0，由函数零点判定定理可知，函数的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：C．8．下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是（）A．y=log3x B．y=3|x|C．y=D．y=x3【考点】3E：函数单调性的判断与证明；3K：函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象特点或定义域的特点，奇函数的定义，以及y=x3函数的图象即可找出正确选项．【解答】解：根据对数函数的图象知y=log3x是非奇非偶函数；y=3|x|是偶函数；y=是非奇非偶函数；y=x3是奇函数，且在定义域R上是奇函数，所以D正确．故选D．9．已知函数f（x）=，若f（f（0））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】先计算f（0）=2，再得出f（2）=4+2a，得出方程解出a．【解答】解：f（0）=2，∴f（f（0））=f（2）=4+2a，∴4+2a=4a，解得a=2．故选C．10．若函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，40]B．[40，64]C．（﹣∞，40]∪[64，+∞）D．[64，+∞）【考点】3W：二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质知对称轴，在[5，8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上，，或，解出不等式组求出交集．【解答】解：根据二次函数的性质知对称轴，在[5，8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上∴，或，得k≤40，或k≥64故选C．11．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log20.3＜0，b=20.3＞1，0＜c=0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．12．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+x+a（a为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．﹣1【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的性质即可求出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0；而f（0）=20+0+a，∴1+a=0，∴a=﹣1，∴f（1）=2+1﹣1=2．∴f（﹣1）=﹣2．故选C．13．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】可用排除法选择，根据指数函数的图象和性质，当x＜0时f（x）＞1且为减函数，当x＞0时由指数函数的图象可排除D．【解答】解：当x＜0时f（x）＞1且为减函数可排除B，C当x＞0时由指数函数的图象可排除D故选A14．函数，当x=3时，y＜0则该函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．（1，+∞）【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据x=3，y＜0，求解a的范围，再根据复合函数的单调性“同增异减”判断即可．【解答】解：函数，当x=3时，y＜0，当x=3时，2x2﹣3x+1=10，即log a10＜0，可得：0＜a＜1，令函数2x2﹣3x+1=u，（u＞0）则y=log a u是减函数，函数u=2x2﹣3x+1，开口向上，对称轴为x=，∵u＞0，即2x2﹣3x+1＞0，解得：x＞1或x＜．∴函数u在（1，+∞）单调递增，函数u在（﹣∞，）单调递减，根据复合函数的单调性“同增异减”可得该函数单调递减区间为（1，+∞）．故选D15．已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【考点】46：有理数指数幂的化简求值；4H：对数的运算性质．【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．【解答】解：因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．16．若函数，且（a≠1）是R上的单调函数，则实数a的取值范围（）A．（0，）B．（，1）C．（0，]D．[，1）【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由于a＞0，且f（x）是单调函数，则f（x）是R上的单调增函数，由一次函数和指数函数的单调性，可得a的范围，再由a（﹣1﹣1）+1≤a，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：由于a＞0，且f（x）是单调函数，则f（x）是R上的单调增函数，由x≥﹣1时f（x）单调增，得到0＜a＜1，且x=﹣1时，a（﹣1﹣1）+1≤a，解得a≥，故a的取值范围为[，1）．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.17．已知tanα=3，求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可．【解答】解：tanα=3，===．18．函数y=（）的值域是[，] ．【考点】34：函数的值域．【分析】对指数配方，利用三角函数的值域求得指数的范围，再根据指数函数的单调性求值域．【解答】解：∵sin2x﹣sinx+=+，由sinx∈[﹣1，1]得sin2x﹣sinx+∈[，]，根据指数函数y=是定义域上的减函数，∴函数的值域是[，]，故答案是[，]．19．下面有5个命题：①函数y=|sinx+|的最小正周期是π．②终边在y轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有3个公共点．④把函数y=3sinx的图象向右平移能得到y=3sin 2x的图象．⑤函数y=sinx在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是②．（写出所有真命题的编号）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据函数y=|sinx+|的图象知它的最小正周期；②写出终边在y轴上的角的集合即可判断正误；③同一坐标系中函数y=sin x和y=x的图象有1个公共点（0，0）；④函数y=3sinx的图象向右平移不能得到y=3sin2x的图象；⑤根据正弦函数的图象与性质判断y=sinx在[0，π]上的单调性．【解答】解：对于①，根据函数y=|sinx+|的图象知它的最小正周期是2π，∴①错误；对于②，终边在y轴上的角的集合是，∴②正确；对于③，∵f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，∴f（x）在x≥0时是单调增函数，且f（0）=0；∴同一坐标系中函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有1个公共点（0，0），③错误；对于④，把函数y=3sinx的图象向右平移能得到y=3sin（x﹣φ）的图象，不能得到y=3sin 2x的图象，∴④错误；对于⑤，根据正弦函数的图象与性质，判断函数y=sinx在[0，]上是增函数，在[，π]上是减函数，∴⑤错误．综上，真命题的编号②．故答案为：②．20．以下说法正确的是①②⑤．①在同一坐标系中，函数y=2x的图象与函数的图象关于y轴对称；②函数y=a x+1+1（a＞1）的图象过定点（﹣1，2）；③函数f（x）=在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递减；④若x1是函数f（x）的零点，且m＜x1＜n，则f（m）•f（n）＜0；⑤方程的解是．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据底数互为倒数的两个指数函数图象关于原点对称，可判断①的真假；根据函数y=a x恒过（0，1）点，令函数y=a x+1+1中x=﹣1，可判断②的真假，根据反函数的单调性，可判断③的真假；根据零点存在定理的逆命题为假又，举出反例，可判断④的真假，根据指数运算性质和对数运算性质，解方程可判断⑤的真假．【解答】解：函数y=2x的底数与函数的底数互为倒数，故两个函数的图象关于y轴对称，故①正确；对于函数y=a x+1+1，当x=﹣1时y=a0+1=2恒成立，故函数y=a x+1+1（a＞1）的图象过定点（﹣1，2），故②正确；函数f（x）=在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，但在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具单调性，故③错误；若x1=0是函数f（x）=x2的零点，且﹣1＜0＜1，但f（﹣1）•f（1）＞0，故④错误；若，则log3x=﹣2，则，故⑤正确故答案为：①②⑤三.解答题：本大题共4个小题，满分50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.21．（1）化简：（2）求值：．【考点】GI：三角函数的化简求值；GN：诱导公式的作用．【分析】（1）直接利用诱导公式化简表达式，即可得到结果．（2）通过诱导公式化简函数的表达式，通过特殊角的三角函数值求出结果即可．【解答】解：（1）==﹣tanα．（2）====﹣．22．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，且f（x）=f（﹣x），当a，b∈[﹣1，0]，且a≠b时恒有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，f（0）=1，．（1）若f（x）＜2m+3对于x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围；（2）若，求x的取值范围．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合当a，b∈[﹣1，0]，且a≠b时恒有[f（a）﹣f（b）]（a ﹣b）＞0及偶函数在对称区间上单调性相反，可分析出函数的单调性，进而求出函数的最值，得到m的取值范围；（2）结合（1）中所得函数的定义域和单调性，将抽象不等式具体化，解得x的取值范围【解答】解：（1）由题意知：函数f（x）为偶函数，且x∈[﹣1，0]时，f（x）单调递增．故x∈[0，1]时，f（x）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以f（x）的最大值为f（0）=1，故2m+3＞1⇒m＞﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（1）函数f（x）的单调性可知⇒﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣23．已知f（x）=+lg（1）求f（x）的定义域，并证明其单调性（2）解关于x的不等式f[x（x﹣）]＜．【考点】7E：其他不等式的解法；33：函数的定义域及其求法；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据对数函数的性质求出定义域即可，并根据定义证明即可，（2）先求出f（0）=+lg1=，根据函数的单调性即可求出．【解答】解：（1）由题意可知，＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）设x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=+lg﹣﹣lg=lg，∵=＞1∴lg＞0∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）减函数，（2）∵f（0）=+lg1=∴f[x（x﹣）]＜=f（0），∴0＜x（x﹣）＜1，∴＜x＜0或＜x＜故不等式的解集为（，0）∪（，）24．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性（不证明）；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）利用奇函数的性质可得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），据此可求得a，b；（2）f（x）=，根据指数函数的单调性可得结论；（3）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而可转化为具体不等式，然后分离参数k，转化为求二次函数的最值即可；【解答】解（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，b=1，又f（﹣1）=﹣f（1），得a=1，经检验a=1，b=1符合题意．（2）由（1）知f（x）=，∵y=2x递增，∴y=递减，∴f（x）在R上是单调递减函数．（3）∵t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），又f（x）为奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），∵f（x）为减函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2，即k＜3t2﹣2t恒成立，而3t2﹣2t=3，∴k．。

2024届贵州省凯里市第一中学数学高一第二学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等差数列{}n a 中，若3456745a a a a a ++++=，则28a a +的值为( ) A ．15B ．21C ．24D ．182．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位，一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生，这里运用的抽样方法是（ ） A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样D ．分层抽样3．sin 40sin 20cos160cos40︒︒+︒︒=（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-4．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31B ．15C ．8D ．76．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y->D ．ln x +ln y >07．以下说法正确的是（ ） A ．零向量与单位向量的模相等 B ．模相等的向量是相等向量C ．已知,a b 均为单位向量，若12a b ⋅=，则a 与b 的夹角为60︒ D ．向量AB 与向量CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点在一条直线上8．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．2205⎛⎫⎪⎝⎭， D ．2205⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－110．若正实数,x y 满足141x y +=，且234y x a a +≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,4]-B ．(1,4)-C ．[4,1]-D ．(4,1)-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★考试结束前2023学年第二学期期末高一数学试题（答案在最后）命题：考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟：2､答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第I 卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}{}2210,1,2,3,4A x x B =<<=∣，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A ，然后由交集运算可得.【详解】由2210x <<解得(A =⋃，所以{}2,3A B =I .故选：B2.若()2i 5i z +⋅=，则z 的虚部为（）A.2i -B.2iC.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z ,再根据虚部的概念进行选择.【详解】由()2i 5i z +⋅=⇒()()()5i 2i 5i 2i 2i 2i z ⋅-==++-510i12i 5+==+.所以复数z 的虚部为：2.故选：D3.已知()e ex xxf x a -=+是偶函数，则a =（）A.2- B.1- C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】由()()f x f x -=，列出方程，求出a 的值，再检验定义域是否关于原点对称即可.【详解】由()()f x f x -=得：e e e e x x x xx xa a ---=++，解得，1a =-.当1a =-时，()e e x xxf x -=-，定义域为()()00-∞∞ ，，+关于原点对称，故1a =-符合题意，故选：B.4.已知a ，R b ∈，p ：a b <，q ：()22a b a b >-，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据q 解出a b ≠，再利用充分性和必要性即可判断.【详解】解：因为a ，R b ∈，q ：()22a b a b >-即2220a ab b -+>，即2)0a b ->（，则a b ≠，而p ：a b <，所以，p 是q 的充分不必要条件，故选：A .5.如图是一个古典概型的样本空间Ω和随机事件,A B ，其中()()()()Ω30,15,10,20n n A n B n A B ===⋃=，则()P AB =（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可.【详解】()()()()Ω30,15,10,20n n A n B n A B ===⋃=，则()302010n AB =-=,则()()()101Ω303n ABP AB n ===.故选：B6.如图，计划在两个山顶,M N 间架设一条索道.为测量,M N 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高MC NB ==，在BC 同一水平面上选一点A ，在A 处测得山顶,M N 的仰角分别为60o 和30o ，且测得45MAN ∠= ，则,M N 间的距离为（）A.100mB.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，在直角ACM △和直角ABN 中，分别求得200AM =和AN =再在AMN 中，利用余弦定理，即可求解MN .【详解】由题意，可得60,30,45MAC NAB MC NB MAN ∠=∠===∠= ，且90MCA NBA ∠=∠= ，在Rt ACM 中，可得200m sin 60MCAM ==，在Rt ABN △中，可得sin 30NBAN ==，在AMN 中，由余弦定理得2222cos MN AM AN AM AN MAN=+-⋅∠222100222200002⎡=+-⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，所以MN=.故选：C.7.已知函数()()sin,0f x xωω=>，将()f x图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x=的图象，若函数()g x在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A.(]0,4B.(]0,2C.30,2⎛⎤⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】C【解析】【分析】由已知()πsin6g x xωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()g x在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ππ62πππ662ωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即可求得ω的取值范围.【详解】因为函数()()sin,0f x xωω=>，将()f x图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数=的图象，则()πsin6g x xωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为函数()g x在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，结合各选项，只需πππ,622xωω⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦即可，所以ππ62πππ662ωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即332ωω≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩，又因为0ω>，所以32ω<≤.故选：C.8.已知正四面体ABCD 中，E 是棱AC 上一点，过E 作平面α，满足AB //,CD α//α，若AB CD ､到平面α的距离分别是3和9，则正四面体ABCD 的外接球被平面α截得的截面面积为（）A.99πB.100πC.103πD.108π【答案】A 【解析】【分析】补形成正方体，求出正方体棱长，然后可得外接球半径，然后可解.【详解】将正四面体补形成正方体，如图，因为//AB α，//IJ AB ，所以//IJ α，又//,,CD CD IJ α是平面CIDJ 内的相交直线，所以平面//CIDJ 平面α，因为AB CD ､到平面α的距离分别是3和9，所以正方体棱长为12，结合正方体对称性可知，球心O 到平面α的距离为3，记正四面体的外接球的半径为R ，则224312R =⨯，解得R =则外接球被平面α截得的截面半径r ==，所以，截面面积为2π99πr =.故选：A二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间[]2,6上存在零点的是（）A.()14f x x =- B.()ln 26f x x x =+-C.()2(3)f x x x =- D.()sincos 22x x f x =+【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，利用函数的零点的定义，以及函数的单调性，结合零点的存在定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()14f x x =-，可得函数()f x 的值域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以函数()f x 在定义域(,4)(4,)-∞+∞ 没有零点，所以函数()14f x x =-不可以用零点存在定理判断函数()f x 在区间[]26,上存在零点，所以A 不符合题意；对于B 中，函数()ln 26f x x x =+-的定义域为(0,)+∞，且在定义域上为单调递增函数，因为()()2ln220,6ln660f f =-=+，所以()()260f f ⋅<，由零点的存在定理，可得函数()f x 在区间[]26,上存在零点，所以B 符合题意；对于C 中，函数()2(3)f x x x =-，令()0f x =，解得0x =或3x =，而()()222,66354f f ==⨯=，此时()()260f f ⋅>，所以函数()2(3)f x x x =-不可以用零点存在定理判断函数()f x 在区间[]26,上存在零点，所以C 不符合题意；对于D 中，函数()πsin cos sin()2224x x x f x =+=+，当[]2,6x ∈，可得ππππ3π1,3,244422x ⎡⎤⎛⎫+∈++⊆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以函数()πsin()24x f x =+在区间[]26,上为单调递减函数，因为()()π2sin1cos10,604f f =+>=+<，即()()260f f ⋅<，所以函数()sin cos 22x xf x =+可以用零点存在定理判断函数()f x 在区间[]26,上存在零点，所以D 符合题意.故选：BD.10.下列命题正确的是（）A.若事件,,A B C 两两互斥，则()()()()P A B C P A P B P C =++∪∪成立.B.若事件,,A B C 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =成立.C.若事件,A B 相互独立，则A 与B 也相互独立.D.若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与,A B 互斥不能同时成立.【答案】ACD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A ；举反例判断选项B ；利用事件相互独立的判定公式判断选项C ，利用事件的独立性质和互斥判断选项D.【详解】对于A 选项，若事件,,A B C 两两互斥，则A B 与C 互斥，所以，()()()()()()P A B C P A B P C P A P B P C ⋃⋃=⋃+=++，因此A 正确；对于B ，考虑投掷两个骰子，记事件A ：第一个骰子的点数为奇数，事件B ：第二个骰子点数为奇数，事件C ：两个骰子的点数之和为奇数，于是有()()()12P A P B P C ===，()()()14P AB P BC P AC ===，()0P ABC =，可以看出事件,,A B C 两两独立，但,,A B C 不互相独立，所以()()()()P ABC P A P B P C ≠，因此B 错误；对于C ，若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，又()()1P A P A =-，()()1P B P B =-，则()()()()()11P AB P A B P A P B P AB =-+=--+()()()()11P A P B P A P B ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，因此C 正确；对于D ，若()()0,0P A P B >>，事件,A B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，若,A B 互斥，则()0P AB =，因此D 正确.故选：ACD.11.“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R 的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为0123,,,V V V V .设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为0123,,,S S S S ，则以下关系正确的是（）A.001123V S V S == B.0022V S V S >C.0033V S V S > D.03V V 的最大值为12【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，由已知结合球和圆柱的体积公式、表面积公式即可依次求出0V 、1V 、0S 、1S ，从而得解；对于B ，设圆台上下底面的半径和母线长分别为12,,r r l ，由三角形全等得12l BP DP r r =+=+，求证CDO AOB ∠=∠得21122r R R r r R r =⇒=，进而由台体体积公式计算得()2221π3V R l R =-，由台体表面积公式得()2222πS l R=-，从而得02V V 和02S S 即可得解；对于C ，设圆锥的底面半径、高和母线长为r 、h 和1l ，由LHM LOM LOH HOM S S S S =++ 得1l R rh rR =-①，由1LQ l r =-和1tan R rOLM l r h∠==-，得21l r Rh r =+②，进而得2222Rr h r R=-和32122r R r l r R +=-，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出3V 和3S ，从而得0033V S V S =；对于D ，由C 结合基本不等式即为03V V 的最大值.【详解】对于A ，由题得304π3V R =，231π22πV R R R =⋅=，204πS R =，2212π2π2=6πS R R R R =+⋅，所以320032114π24π23,2π36π3R V S R V R S R ====，所以001123V S V S ==，故A 正确；对于B ，设圆台上下底面的半径和母线长分别为12,,r r l ，圆台容球的轴截面如图所示，因为π,,,2OA OP OC R OB OB OD OD OAB OPB OPD OCD =====∠=∠=∠=∠=，所以,OAB OPB OPD OCD ≌≌，所以,AOB POB COD POD θ∠=∠=∠=∠，且12l BP DP r r =+=+，所以π+=2POB POD AOB COD ∠+∠=∠∠，又π+=2CDO COD ∠∠，所以CDO θ∠=，所以21122tan r R R r r R r θ==⇒=，所以(()22222221212121211ππππ2π33V r r r r R R r r r r =+⋅⋅=++()()222121211ππ33R r r r r R l R ⎡⎤=+-=-⎣⎦，()()()22222222121212121212ππππ2πS r r r r l r r r r r r r r ⎡⎤=+++=+++=++⎣⎦()()22212122π2πr r r r l R ⎡⎤=+-=-⎣⎦，所以()()32220022222222224π44π23,12ππ3R V S R R R V l R S l R l R R l R ====----，所以0022V S V S >，故B 正确；对于C ，设圆锥的底面半径、高和母线长为r 、h 和1l，圆锥容球的轴截面如图所示，则由LHM LOM LOH HOM S S S S =++ 得111111222222rh l R l R rR ⨯=⨯+⨯+⨯，整理得1rh l R rR =+即1l R rh rR =-①，因为π,,2OG OQ OM OM OGM OQM ==∠=∠=,所以QM GM r ==，故1LQ l r =-，所以1tan R rOLM l r h∠==-，所以()211Rh r l r l r r =-=-即21l r Rh r =+②，由①②得2R rh rR r Rh r -=+即2222R h Rr r h r R +=-，整理得2222Rr h r R =-，所以由①得2332221222222Rr r rR r r R r r R l r R r R r R ⨯-+-==-=--，所以()24232222122ππ33Rr Rr V r r R r R =⨯=--，324223122222πππππr R r r S r rl r r r R r R+=+=+⨯=--，所以()()()222222222232003444333224π,4π32π2πr R R r R R r R V S r RR R V Rr r S r r----=⨯==⨯=，所以0033V S V S =，故C 错误；对于D ，由题意可知r R >，所以由C 得()22222224432222R r R R r R V V r r⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=≤=，当且仅当222R r R =-即r =时等号成立，故03V V 的最大值为2，故D 错误.故选：AB.【点睛】思路点睛：对于圆台的体积2V 和表面积2S ，先由三角形全等得12l r r =+，接着由CDO AOB∠=∠得212R r r =，进而由台体体积公式和表面积公式计算求出2V 和2S 即可得02V V 和02S S ；对于圆锥的体积3V 和表面积3S ，先由LHM LOM LOH HOM S S S S =++ 得1l R rh rR =-①，接着由1LQ l r =-和1tan R rOLM l r h ∠==-得21l r Rh r =+②，从而由①②得2222Rr h r R =-和32122r R r l r R +=-，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出3V 和3S ，进而得0033V S V S =.第II 卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.lg83lg5++=______.【答案】9【解析】【分析】根据根式的化简与对数的运算法则计算即可.()3lg23lg563lg 2lg59+=++=.故答案为：913.已知()()3sin cos cos sin ,5αβααβαβ---=是第三象限角，则5πsin 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】10【解析】【分析】利用正弦的差角公式先计算()sin β-，结合诱导公式及同角三角函数的平方关系再利用正弦的和角公式计算即可.【详解】因为()()()()3sin cos cos sin sin sin 5αβααβααβαβ⎡⎤---=--=-=⎣⎦，且β为第三象限角，所以34sin ,cos 55ββ=-=-，所以5π5π5πsin sin cos cos sin 444βββ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭34525210⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1014.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______.【答案】37【解析】【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可．【详解】由题意知，总样本的平均数为203017016016420302030⨯+⨯=++，总样本的方差为()()2220301017016415160164375050⎡⎤⎡⎤⨯+-++-=⎣⎦⎣⎦.故答案为：37四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知,a b 是非零向量，()a ab ⊥- ，且6a b == .（1）求a 在b 方向上的投影向量；（2）求23a b - .【答案】（1）12b r（2）【解析】【分析】（1）根据条件得到18a b ⋅=，再利用投影向量的定义，即可求出结果；（2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果.【小问1详解】因为()a a b ⊥- ，所以()20a a b a a b ⋅-=-⋅= ，又a = ，得到18a b ⋅= ，又6b = ，所以a 在b 方向上的投影向量为181362a b b b b b b ⋅⋅== .【小问2详解】由（1）18a b ⋅=，所以2222341294181218936180a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯+⨯= ，得到23a b -= .16.为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到(C)P 的估计值为0.30．（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；（2）求甲离子残留百分比的第75百分位数；（3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）【答案】（1）0.35a =，0.10b =，（2）5.0（3）6.00【解析】【分析】（1）根据直方图()P C 的估计值，可列出式子求出a ,因为()1P U =(U 为全集)，即可列出式子求出b ;（2）设甲离子残留百分比的第75百分位数为x ，根据条件，建立方程0.150.200.30( 4.5)0.200.75x +++-⨯=，即可求解；（3）将各个区间的中间值乘该组数据的频率，相加，再乘组距，即可求出乙离子残留百分比的平均值.【小问1详解】由已知得0.30=0.050.15b ++，解得0.10b =，所以10.200.150.300.35a =---=．【小问2详解】根据直方图，易知甲离子残留百分比的第75百分位数在区间[)4.5,5.5，设为x ，则0.150.200.30( 4.5)0.200.75x +++-⨯=，解得 5.0x =，所以甲离子残留百分比的第75百分位数为5.0.【小问3详解】乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00⨯+⨯⨯⨯⨯⨯．17.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知ABC V 的外接圆半径14R =，22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=.（1）求角C ；（2）求2a b +的取值范围.【答案】（1）2π3（2）,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由外接圆半径可得2sin c C =，结合正弦定理可得222a b ab c ++=，由余弦定理可求出角C ;（2）将结合外接圆半径将边,a b 用角A,B 表示，再由（1）可知π3A B +=，进而2a b +用角B 来表示，结合三角函数的图象与性质即可求出范围.【小问1详解】由ABC 的外接圆半径14R =,则12sin 2c R C ==,可得2sin c C =,222sin sin sin sin sin A B A B C ∴++=.由正弦定理得222a b ab c ++=.由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-,()0,πC ∈ ，2π3C ∴=.【小问2详解】由(1)可得π3A B +=,1π1222sin 2sin sin sin sin sin 232a b R A R B A B B B ⎛⎫∴+=⨯⨯+⨯=+=-+ ⎪⎝⎭,cos 2B =，π0,,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos ,12B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,即242a b ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.18.三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，面11ABB A ⊥面11ACC A ，11112,4AA A C CC AC ====，且1BB 与底面ABC所成角的正弦值为5.（1）求证：AB ⊥面11ACC A ；（2）求三棱台111ABC A B C -的体积；（3）问侧棱1BB 上是否存在点M ，使二面角M AC B --成π6？若存在，求出1BM BB 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见详解（2）3（3）存在，12【解析】【分析】（1）连接1AC ，过1A 作11//A G CC 交AC 于G ，由已知可得11A C AA ⊥，又平面11ABB A ⊥平面11ACC A ，则1A C ⊥平面11ABB A ，可得1A C AB ⊥，又AB AC ⊥，则可得AB ⊥平面11ACC A .（2）由已知可得平面11ACC A ⊥平面ABC ，过1A 作1A N AC ⊥，连接BN ，可得1A N ⊥平面ABC ，求得1A N =，如图，延长侧棱交于点O ，作OH AC ⊥于H ，连接BH ，可求得2AB =，又因为1BB 与底面ABC所成角的正弦值为5，可求得1BB =.（3）如图，作//MG OH 交BH 于G ，过G 作GK AC ⊥于K ，则//GK AB ，由（2），可得MG ⊥平面ABC ，则MKG ∠即为二面角M AC B --的平面角，设BM =，则BG =，MG =，由//GK AB ，可得()21KG x =-，若π6MKG ∠=，可得14x =，即M 为1BB 中点，即侧棱1BB 上是存在点M ，使二面角M AC B --成π6，则112BM BB =.【小问1详解】连接1AC，在梯形11ACC A 中，过1A 作11//A G CC 交AC 于G ，由11112,4AA A C CC AC ====，则1A AG 为等边三角形,则60A ∠=︒，四边形11A GCC 为菱形，则130GA C ∠=︒，所以190AA C ∠=︒，即11A C AA ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面11ACC A ，平面11ABB A 平面111ACC A AA =，1A C ⊂平面11ACC A ，所以1A C ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，所以1A C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC C AC ⋂=，1AC A C ⊂、平面11ACC A ，所以AB ⊥平面11ACC A .【小问2详解】因为AB ⊥平面11ACC A ，AB ⊂平面ABC ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC，过1A 作1A N AC ⊥，连接BN ，1A N ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面ABC AC =，则1A N ⊥平面ABC ，故几何体的高为1A N =如图，延长侧棱交于点O ，作OH AC ⊥于H ，连接BH ，由已知H 为AC 中点，2AH =，由（1）得，OH ⊥平面ABC ，因为1BB 与底面ABC所成角的正弦值为5，则余弦值为5，12OH A N ==5OB ==BH =，4OA ==，由（1）得AB OA ⊥，则2AB ==，又因为1BB 与底面ABC所成角的正弦值为5，所以1155BB ==，故三棱台体积为1111724242432483V ⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎪⎭.【小问3详解】如图，作//MG OH 交BH 于G ，过G 作GK AC ⊥于K ，则//GK AB，由（2）可得，MG ⊥平面ABC ，则MKG ∠即为二面角M AC B --的平面角，又BH ⊂平面ABC ，则MG BH ⊥，设BM =，则55BM BG ==⨯=，则MG =，由//GKAB ，得AB BH =，又)1HG BH BG x =-=-，所以()221KG x -==-，若π6MKG ∠=，则()tan 213MKG x ∠==-，解得14x =，所以52BM =，即M 为1BB 中点，即侧棱1BB 上是存在点M ，使二面角M ACB --成π6，则1122BM BB ==.19.对于012,,z z z ∈C ，记1020z z k z z -=-为12,z z 关于0z 的“差比模”.若取遍()00z r r =>，记12,z z 关于0z r =的“差比模”的最大值为max k ，最小值为min k ，若max min 2k k +=，则称12,z z 关于r 的“差比模”是协调的.（1）若0121i,1,122z z z =+==-，求12,z z 关于0z 的“差比模”；（2）若1211z z ==，是否存在2r <，使得12,z z 关于r 的“差比模”是协调的？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由；（3）若12,i,,z a z b a b ==∈R 且,a b r >，若12,z z 关于r 的“差比模”是协调的，求222b a r-的值.【答案】（1）33（2）不存在，理由见解析（3）2【解析】【分析】（1）由“差比模”定义代入复数0121i,1,122z z z =+==-，由复数的代数运算及求模可得；（2）由12z z =，利用共轭复数的性质与模的性质可得max min 1k k ⋅=，利用基本不等式可得max min 2k k +>可知不存在2r <，使得12,z z 关于r 的“差比模”是协调的；（3）设()0cos isin z r θθ=+，由k =平方整理再结合辅助角公式可得22222()())a r b r k θϕ+-+=+，利用三角函数有界性可得关于2k 的不等式，由此可解得2[,]k m n ∈，结合韦达定理与题意12,z z 关于r 的“差比模”是协调的，化简可求222b a r -.【小问1详解】由题意得0011z k z -==--3===，故12,z z 关于0z 的“差比模”为3.【小问2详解】先证明共轭复数有如下性质：若任意12,C z z ∈，则11121222,z z z z z z z z ⎛⎫±=±= ⎪⎝⎭.证明：设12i(,),i(,)z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ，则()()12i i i z z a b c d a c b d ±=+±+=±-±，而()()12i i i z z a b c d a c b d ±=-±-=±-±，故1212z z z z ±=±.1222222222i i i i z a b ac bd bc ad ac bd bc ad z c d c dc d c d c d ⎛⎫++-+-⎛⎫==+=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭；1222222222i i i i z a b ac bd ad bc ac bd bc ad c d c d c d c d c d z -+-+-==+=--++++；故1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上，共轭复数的性质11121222,z z z z z z z z ⎛⎫±=±= ⎪⎝⎭得证.记当“差比模”取最大值max k 时的复数0z 为max z ，即1max max 2max z z k z z -=-.由已知12,11z z ==发现12z z =，由已证明共轭复数的性质与复数模的性质z z =可得因为1max 2max 2max 2max 2max 1max 1max max 2max 1max 1max 1z z z z z z z z z z z z z z k z z z z z z ⎛⎫-----===== ⎪-----⎝⎭，所以若当0max z z =时取得max k ，则0max z z =时取到min k ，故可知max min 1k k ⋅=，由取遍()00z r r =>，k =不恒为常数，则max min k k ≠，故由基本不等式可得max min 2k k +>，故不存在2r <，使得12,z z 关于r 的“差比模”是协调的.【小问3详解】12,i,,z a z b a b ==∈R 且,a b r >，设()0cos isin z r θθ=+，则()cos i sin cos sin ia r r k rb r θθθθ--==-+-，平方整理可得：222222()()2cos 2sin )a r b r k ar brk θθθϕ+-+=-=+所以sin()1θϕ+=≤，即22222222224()()44a r b r k a r b r k ⎡⎤+-+≤+⎣⎦，平方整理得：222422222222()2()()()0b r k a r b r k a r --+++-≤，令2t k =，设方程22222222222()2()()()0b r t a r b r t a r --+++-=，则()()2222222222224222Δ2()()4()()160a r b r b r a r a b r a b r ⎡⎤⎡⎤=++---=++>⎣⎦⎣⎦，故方程有两个不等的实数根，设为,m n ，不妨设m n <.由题意知0,0a r b r >>>>，22220,0a r b r ->->，则222222202()()()a r b r m n b r ++=->+，且2222220()()m a r b r n =->-，故方程22222222222()2()()()0b r t a r b r t a r --+++-=有两不等的正实数根,m n ，由关于2k 的不等式222422222222()2()()()0b r k a r b r k a r --+++-≤，解得2[,]k m n ∈，则max k =min k =由已知12,z z 关于r 的“差比模”2=，所以4m n ++=，利用韦达定理，222222222222()()()24()()a rb r a r b r b r ++-+=--，则有222222222222()()2()()4()a r b r a r b r b r +++--=-，化简可得2222a b r =-，故2222b a r-=．【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有：（1）任意12,C z z ∈，则111212121222,,z z z z z z z z z z z z ⎛⎫±=±⋅== ⎪⎝⎭；（2）任意C z ∈，则2,z z z z z =⋅=.。