浙江省2016届高三数学专题复习 专题七 计数原理与概率、推理证明与数学归纳法 理

专题七 计数原理与概率、推理证明与数学归纳法专题过关·提升卷第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根2.z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i 3．若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n4．(2015·勤州中学模拟)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 5．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－26．(2015·义乌模拟)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.457．用a 代表红球，用b 代表白球，根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1个红球和1个白球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来．其中“1”表示一个球都不取，“a ”表示取一个红球，“b ”表示取一个白球，“ab ”表示把红球和白球都取出来，以此类推：下列各式中，其展开式中可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的白球中取出若干个球，且所有的白球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )58．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题9．已知复数z ＝3＋i （1－3i ）2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________． 10．观察下列不等式1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……照此规律，第五个不等式为________．11．(2015·瑞安中学模拟)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为________．12．(2015·效实中学模拟)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字填写答案)．13．若在⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n 的展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．14．(2015·乐清模拟)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．三、解答题16．(2015·桐乡高级中学模拟)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求X分别为1，2，3，4的概率．17．(2015·杭州高级中学模拟)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．18．(2015·诸暨中学模拟)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若2b n＝1a n＋1，且P n＝(1＋b1)(1＋b3)…(1＋b2n－1)，求证：P n＞2n＋1.19．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．20．(2015·台州一中模拟)已知函数f(x)＝e x，x∈R.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1，0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a ＜b ，比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2与f （b ）－f （a ）b －a 的大小，并说明理由．专题过关·提升卷1．A [依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.]2．D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ＋z －＝2，得a ＝1，∵(z －z －)i ＝2， ∴－2b ＝2，b ＝－1，∴z ＝1－i ，故选D.]3．D [由{a n }为等差数列，设公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝a 1＋n －12d ， 又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝n c n 1q n 2－n 2＝c 1q n －12，故选D.]4．C [从6名男医生任选2名有C 26种，从5名女医生任选1名有C 15种，∴共有C 26·C 15＝75种．]5．C [(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015，令x ＝12，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×122 015＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1.]6．C [如图：不妨取正方形边长为1.基本事件总数为C 25＝10，其中等于正方形边长的有：AB ，AD ，DC ，BC 共4条， 长度为2的有：BD ，AC ，共2条，∴不小于该正方形边长的有6条，∴概率为P ＝610＝35，故选C.]7．A [取出红球的所有可能为1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；取出白球的方法只有1＋b 5.故满足条件的所有取法为(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)·(1＋b 5)．]8．B [令h (x )＝f （x ）g （x ），则h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＜0，故函数h (x )为减函数，即0＜a ＜1.再根据f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝2(舍去)或者a ＝12.所以f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和是12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，由于1－12n ＝3132，所以n ＝5.]9.14 [∵z ＝3＋i （1－3i ）2＝3＋i －2－23i ＝3＋i －2（1＋3i ）＝（3＋i ）（1－3i ）－2（1＋3i ）（1－3i ）＝23－2i －8＝－34＋14i ， 故z －＝－34－14i ， ∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.]10．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 [归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.]11．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2[左边共n 项，每项的符号为(－1)n ＋1，通项为(－1)n ＋1·n 2.等式右边的值符号为(－1)n ＋1，各式为(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝ (－1)n ＋1n （n ＋1）2， ∴第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.] 12．－20 [∵(x ＋y )8展开式中的通项为T k ＋1＝C k 8x8－k y k ， 当k ＝7时，T 8＝C 78xy 7＝8xy 7.当k ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6＝28x 2y 6.∴(x －y )(x ＋y )8展开式中x 2y 7项为x ·8xy 7＋(－y )·28x 2y 6＝－20x 2y 7. 故x 2y 7的系数为－20.]13.352、70或3 432 [因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352， T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8. 所以T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.] 14.16 [十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16.]15．2 013 [观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有 a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝6，a 5－a 4＝8，……a n －a n －1＝2(n －1)．将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)，所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.]16．解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635.(2)P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)．∴P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114.17．(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 18．(1)解1a n ＋1＝2a n ＋1a n＝2＋1a n，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＝12n －1.(2)证明 2b n ＝1a n ＋1＝2n ，所以b n ＝1n ，所以P n ＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2n －1) ＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1.用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，P 1＝2＞ 3. ②假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，则P k ＋1＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2k －1)(1＋b 2k ＋1) ＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋12k ＋1. 因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋12k ＋1＝2k ＋22k ＋1， 所以P 2k ＋1－(2k ＋3)2＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k ＋22k ＋12－(2k ＋3)2＝4k 2＋8k ＋4－（4k 2＋8k ＋3）2k ＋1＝12k ＋1＞0，所以P k ＋1＞2k ＋3，即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②可得对于任意正整数n ，P n ＞2n ＋1都成立． 19．解 (1)X 的所有可能取值为－2，－1，0，1.(2)数量积为－2的有2OA u u u u r ·5OA u u u u r，共1种；数量积为－1的有1OA u u u r ·5OA u u u u r ，1OA u u u r ·6OA u u u u r ，2OA u u u u r ·4OA u u u u r ，2OA u u u u r ·6OA u u u u r ，3OA u u u u r ·4OA u u u u r，3OA u u u u r ·5OA u u u u r，共6种；数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ，1OA u u u r ·4OA u u u u r ，3OA u u u u r ·6OA u u u u r ，4OA u u u u r ·6OA u u u u r，共4种；数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ，2OA u u u u r ·3OA u u u u r ，4OA u u u u r ·5OA u u u u r ，5OA u u u u r ·6OA u u u u r，共4种．故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为P 1＝715； 因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率为P ＝1－P 2＝1－415＝1115.20．(1)解 f (x )的反函数为g (x )＝ln x, 设所求切线的斜率为k ， ∵g ′(x )＝1x ，∴k ＝g ′(1)＝1.于是在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1.(2)证明 法一 曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x )存在零点x ＝0. 又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1， 则h ′(x )＝e x －1，当x <0时，h ′(x )<0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减； 当x >0时，h ′(x )>0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴φ′(x )在x ＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上是单调递增的， ∴φ(x )在R 上有唯一的零点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点． 法二 ∵e x>0，12x 2＋x ＋1>0，∴曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线 y ＝12x 2＋x ＋1e x与y ＝1公共点的个数， 设φ(x )＝12x 2＋x ＋1e x ，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点． 又φ′(x )＝（x ＋1）e x－（12x 2＋x ＋1）e xe 2x＝－12x2e x ≤0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上单调递减， ∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)解 f （b ）－f （a ）b －a －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝e b －e ab －a－ea ＋b 222e e e e a b a b bab a b a ++--+=-2ea b b a+=- [e b －a 2－ea －b 2－(b －a )]．设函数u (x )＝e x－1e x －2x (x ≥0)， 则u ′(x )＝e x＋1e x －2≥2e x·1e x －2＝0，∴u ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u (x )单调递增． 当x >0时，u (x )>u (0)＝0. 令x ＝b －a2，则e b －a 2－e a －b 2－(b －a )>0，又2ea b b a+-＞0， ∴f （b ）－f （a ）b －a >f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2.。

专题七 计数原理与概率、推理证明与数学归纳法真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·陕西高考)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1πD.12＋1π2．(2015·四川高考)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个3．(2015·广东高考)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.1121D ．1 4．(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．605．(2015·浙江高考)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )，( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立6．(2015·湖北高考)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C．p3<p1<p2D．p3<p2<p1二、填空题7．(2015·广东高考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答)．8．(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________．9．(2015·山东高考)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41;C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；…照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋ C22n－1＋…＋ C n－12n－1＝________．三、解答题10．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．11．(2015·北京高考)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？12．(2015·四川高考)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P 1坐到了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P 5坐到5号座位的概率．专题七 计数原理与概率、推理 证明与数学归纳法经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·舟山联考)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32D ．2 2．(2015·杭州诊断)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．(2015·德州二模)从6名同学中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有( ) A ．240种 B ．144种 C ．96种 D ．300种4．若(1＋x )(2－x )2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x2 015＋a 2 016x2 016，则a 2＋a 4＋…＋a 2 014＋a 2 016等于( ) A ．2－22 015B ．2－22 016C ．1－22 015D ．1－22 0165．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.196．(2015·温岭中学模拟)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120 D ．210 二、填空题7．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的重复数字的四位数中，“好数”共有________个．8．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________．(结果用最简分数表示)9．(2015·温州中学)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 三、解答题10．(2015·金华一中模拟)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．11．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列．12．(2015·绍兴联考)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．专题七 计数原理与概率、推理证明与数学归纳法专题过关·提升卷 第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根2.z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i3．若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n4．(2015·勤州中学模拟)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种5．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x2 015(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－26．(2015·义乌模拟)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.457．用a 代表红球，用b 代表白球，根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1个红球和1个白球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来．其中“1”表示一个球都不取，“a ”表示取一个红球，“b ”表示取一个白球，“ab ”表示把红球和白球都取出来，以此类推：下列各式中，其展开式中可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的白球中取出若干个球，且所有的白球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5) B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5) C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5) D ．(1＋a 5)(1＋b )58．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题9．已知复数z ＝3＋i（1－3i ）2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________． 10．观察下列不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个不等式为________．11．(2015·瑞安中学模拟)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．12．(2015·效实中学模拟)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字填写答案)．13．若在⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n的展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．14．(2015·乐清模拟)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 15．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．三、解答题16．(2015·桐乡高级中学模拟)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求X分别为1，2，3，4的概率．17．(2015·杭州高级中学模拟)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．18．(2015·诸暨中学模拟)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若2b n ＝1a n＋1，且P n＝(1＋b1)(1＋b3)…(1＋b2n－1)，求证：P n＞2n＋1.19．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．20．(2015·台州一中模拟)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)求f (x )的反函数的图象上点(1，0)处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a ＜b ，比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2与f （b ）－f （a ）b －a 的大小，并说明理由．专题七 计数原理与概率、推理证明与数学归纳法真题体验·引领卷1．B [由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.] 2．B [由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A 34＝72(个)；若万位是4，则有2×A 34个＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个)．选B.]3．B [从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.]4．C [T k ＋1＝C k 5(x 2＋x )5－k y k，∴k ＝2.则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2对于二项式(x 2＋x )3，T r ＋1＝C r 3(x 2)3－r x r＝C r 3x6－r， 令r ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25·C 13＝30.]5．A [命题①成立，若A ≠B ，则card(A ∪B )>card(A ∩B )，所以d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )>0.反之可以把上述过程逆推，故“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件；命题②成立，由Venn 图，知card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )，d (A ，C )＝card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )， d (B ，C )＝card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )，∴d (A ，B )＋d (B ，C )－d (A ，C )＝card(A )＋card(B )－2card(A ∩B )＋card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )－[card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )]＝2card(B )－2card(A ∩B )－2card(B ∩C )＋2card(A ∩C ) ＝2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card(A ∩B )＋card(B ∩C )] ＝2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card(A ∪C )∩B ＋ card(A ∩B ∩C )]＝[2card(B )－2card(A ∪C )∩B ]＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0， ∴d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．]6．B [如图，点(x ，y )所处的空间为正方形OBCA 表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.]7．1 560 [依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言．] 8．3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.] 9．4n －1[观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.]10．解 (1)所有可能结果为：(A 1，a 1)，(A 1，a 2)，(A 1，b 1)，(A 1，b 2)，(A 2，a 1)，(A 2，a 2)，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)；(B ，a 1)，(B ，a 2)，(B ，b 1)，(B ，b 2)共计12种结果． (2)不正确，理由如下：设“中奖”为事件A ，则P (A )＝412＝13，P (A －)＝1－13＝23，P (A )＜P (A －)，故此种说法不正确．11．解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 12．解 (1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示为：于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4，所以P (A )＝48＝12.所以乘客P 5坐到5号座位的概率是12.经典模拟·演练卷1．B [∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.] 2．B [展开式的通项公式T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r，∴T r ＋1＝3n －r C rnxn －52r ，r ＝0，1，2，…，n .令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.]3．A [分三类：(1)甲、乙均没参加游览，有A 44＝24种方案． (2)甲、乙只有1人参加游览，有C 12C 34A 13A 33＝144种方案． (3)甲、乙均参加游览，有C 24C 12A 33＝72种方案．∴由分类加法计数原理，共有24＋144＋72＝240(种)不同方案．]4．C [采用赋值法，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 015＋a 2 016＝2，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 015＋a 2 016＝0，把两式相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 016)＝2，所以a 0＋a 2＋…＋a 2 016＝1，又令x ＝0，得a 0＝22 015，所以a 2＋a 4＋…＋a 2 014＋a 2 016＝1－22 015.故选C.]5．D [由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有4×5＝20(个)；若个位数为偶数时，这样的两位数共有5×5＝25(个)；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45(个)．其中，个位数是0的有5个．于是，所求概率为545＝19.]6．C [f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 34＝120，故选C.] 7．12 [当相同的数字不是1时，有C 13个； 当相同的数字是1时，共有C 13C 13个，由分类加法计数原理知共有“好数”C 13＋C 13C 13＝12个．]8.23 [三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法， 其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 23C 12＝3×3×2＝18(种)选法． ∴所求概率为P ＝1827＝23.]9．A 城市 [由丙可知乙至少去过一个城市，由甲可知甲去过A 、C 城市，且比乙多，故乙去过一个城市，且没去过C 城市．故乙去过A 城市．]10．解 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”， P (A )＝C 16C 130C 236＝27.所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27.(2)设事件B 为“采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等”， 事件A 1为“采访该团2人中，0人持金卡，0人持银卡”， 事件A 2为“采访该团2人中，1人持金卡，1人持银卡”． P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 221C 236＋C 19C 16C 236＝13＋335＝44105.所以采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是44105.11．(1)证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列．(2)解 因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n.又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n .可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．12．解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1， 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 法二 a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)法一 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.法二 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1， 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <14.③又由①、②及f (x )在(－∞，1]上为减函数得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)， 即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14.④综上，由②、③、④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．专题过关·提升卷1．A [依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.] 2．D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ＋z －＝2，得a ＝1，∵(z －z －)i ＝2， ∴－2b ＝2，b ＝－1，∴z ＝1－i ，故选D.] 3．D [由{a n }为等差数列，设公差为d ， 则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，则d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝nc n1q n 2－n 2＝c 1q n －12，故选D.]4．C [从6名男医生任选2名有C 26种，从5名女医生任选1名有C 15种，∴共有C 26·C 15＝75种．]5．C [(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x2 015，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122 015＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1.]6．C [如图：不妨取正方形边长为1.基本事件总数为C 25＝10，其中等于正方形边长的有：AB ，AD ，DC ，BC 共4条， 长度为2的有：BD ，AC ，共2条， ∴不小于该正方形边长的有6条， ∴概率为P ＝610＝35，故选C.]7．A [取出红球的所有可能为1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；取出白球的方法只有1＋b 5.故满足条件的所有取法为(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)·(1＋b 5)．] 8．B [令h (x )＝f （x ）g （x ），则h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＜0，故函数h (x )为减函数，即0＜a ＜1.再根据f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝2(舍去)或者a ＝12.所以f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和是12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，由于1－12n ＝3132，所以n ＝5.]9.14 [∵z ＝3＋i （1－3i ）2＝3＋i －2－23i ＝3＋i －2（1＋3i ） ＝（3＋i ）（1－3i ）－2（1＋3i ）（1－3i ）＝23－2i －8＝－34＋14i ，故z －＝－34－14i ， ∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.] 10．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116[归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.]11．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2[左边共n 项，每项的符号为(－1)n ＋1，通项为(－1)n ＋1·n 2.等式右边的值符号为(－1)n ＋1，各式为(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2，∴第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.]12．－20 [∵(x ＋y )8展开式中的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k，当k ＝7时，T 8＝C 78xy 7＝8xy 7. 当k ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6＝28x 2y 6.∴(x －y )(x ＋y )8展开式中x 2y 7项为x ·8xy 7＋(－y )·28x 2y 6＝－20x 2y 7. 故x 2y 7的系数为－20.]13.352、70或3 432 [因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. 所以T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.]14.16 [十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16.]15．2 013 [观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝4， a 4－a 3＝6， a 5－a 4＝8，……a n －a n －1＝2(n －1)．将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)， 所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.]16．解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．∴P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114.17．(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1.①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 18．(1)解1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＝12n －1. (2)证明 2b n ＝1a n ＋1＝2n ，所以b n ＝1n， 所以P n ＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2n －1)＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1. 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，P 1＝2＞ 3.②假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，则P k ＋1＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2k －1)(1＋b 2k ＋1)＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋12k ＋1. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋12k ＋1＝2k ＋22k ＋1， 所以P 2k ＋1－(2k ＋3)2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋22k ＋12－(2k ＋3)2 ＝4k 2＋8k ＋4－（4k 2＋8k ＋3）2k ＋1＝12k ＋1＞0， 所以P k ＋1＞2k ＋3，即当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可得对于任意正整数n ，P n ＞2n ＋1都成立．19．解 (1)X 的所有可能取值为－2，－1，0，1.(2)数量积为－2的有2OA ·5OA ，共1种；数量积为－1的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA ，3OA ·5OA ，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA ，4OA ·6OA ，共4种； 数量积为1的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA ，5OA ·6OA ，共4种． 故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415， 所以小波不去唱歌的概率为P ＝1－P 2＝1－415＝1115. 20．(1)解 f (x )的反函数为g (x )＝ln x, 设所求切线的斜率为k ，∵g ′(x )＝1x，∴k ＝g ′(1)＝1. 于是在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1.(2)证明 法一 曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x－x －1，则h ′(x )＝e x －1，当x <0时，h ′(x )<0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减；当x >0时，h ′(x )>0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x )在x ＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0.∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上是单调递增的，∴φ(x )在R 上有唯一的零点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点． 法二 ∵e x >0，12x 2＋x ＋1>0， ∴曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线 y ＝12x 2＋x ＋1e x 与y ＝1公共点的个数， 设φ(x )＝12x 2＋x ＋1e x ，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点． 又φ′(x )＝（x ＋1）e x －（12x 2＋x ＋1）e x e 2x ＝－12x 2e x ≤0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上单调递减，∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点． (3)解 f （b ）－f （a ）b －a －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝e b －e a b －a －e a ＋b 2 22e e e ea b a b b a b a b a++--+=- 2e a bb a+=- [e b －a 2－e a －b 2－(b －a )]． 设函数u (x )＝e x －1e x －2x (x ≥0)， 则u ′(x )＝e x ＋1e x －2≥2e x ·1ex －2＝0， ∴u ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u (x )单调递增．当x >0时，u (x )>u (0)＝0. 令x ＝b －a 2，则e b －a 2－e a －b 2－(b －a )>0，又2e a b b a +-＞0， ∴f （b ）－f （a ）b －a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2.。

§11.5 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n. 4．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × ) (4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ )(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为nm.( √ )1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( ) A.23 B.14 C.13 D.12 答案 D解析 一枚硬币连掷2次，共有4种不同的结果： 正正，正反，反正，反反， 所以一次出现正面的概率为24＝12.2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( ) A.25 B.415 C.35 D ．非以上答案 答案 A解析 从15个球中任取一球有15种抽法，抽到白球有6种，所以抽到白球的概率P ＝615＝25.3．(2013·重庆)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 答案 23解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种排法，其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙，乙、甲、丙，丙、甲、乙，丙、乙、甲4种排法，故P ＝46＝23.4．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________． 答案 25解析 从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是25.题型一 基本事件与古典概型的判断例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？思维点拨古典概型的判断依据是“有限性”和“等可能性”．解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．下列试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型．②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型．③符合古典概型的特点，是古典概型问题．题型二古典概型的概率例2(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1)以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．思维点拨 列举出基本事件．解 (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N 包括事件有(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个． 则P (N )＝310.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．(1)(2014·天津)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6)． ①用表中字母列举出所有可能的结果；②设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．(2)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： ①两数中至少有一个奇数的概率；②以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的外部或圆上的概率．解 (1)①从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．②选出的2人来自在不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种． 因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.(2)由题意，先后掷2次，向上的点数(x ，y )共有n ＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型． ①记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为B .∵事件B 包含的基本事件数m ＝C 13C 13＝9.∴P (B )＝936＝14，则P (B )＝1－P (B )＝34， 因此，两数中至少有一个奇数的概率为34.②点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 表示“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆的外部”．又事件C 包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个． ∴P (C )＝836＝29，从而P (C )＝1－P (C )＝1－29＝79.∴点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆外部的概率为79.六审细节更完善典例：(10分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号) n <m ＋2的情况较多，计算复杂 (将复杂问题转化为简单问题) ↓计算n ≥m ＋2的概率↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) ↓P 1＝316↓(注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其,对立事件的概率)n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.[4分] (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分]又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.[9分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为 1－P 1＝1－316＝1316.[10分]温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n <m ＋2的概率转化成n ≥m ＋2的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求．方法与技巧1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算； (2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算． 失误与防范1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的． 2．概率的一般加法公式： P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ∪B 的概率，当A ∩B ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (A ∩B )＝0，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ∪B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握事件A ∩B ，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16答案 B解析 基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P ＝26＝13，故选B.2．甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.136 B.19 C.536 D.16答案 D解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D.3．(2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25 C.35 D.910 答案 D解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.4．(2014·江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112 答案 B解析 掷两颗骰子，点数有以下情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，故所求概率为436＝19.5．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512 B.712 C.13 D.12 答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)． ∴P ＝1536＝512，故选A.6．若A 、B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________. 答案 0.3解析 因为A 、B 为互斥事件， 所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，故P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.7．(2014·江苏)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________． 答案 13解析 取两个数的所有情况有：{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}，共6种情况． 乘积为6的情况有：{1,6}，{2,3}，共2种情况． 所求事件的概率为26＝13.8．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．答案 14解析 由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222. 若用两种颜色有122；212；221；211；121；112. 所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14.9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解 (1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}， 故(m ，n )所有可能的取法共36种．a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)，(6,2)， 所以事件a ⊥b 的概率为236＝118.(2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种，其概率为636＝16.10．(2013·天津)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15 答案 D解析 如图所示，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15. 12．(2014·湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 1<p 3C ．p 1<p 3<p 2D ．p 3<p 1<p 2答案 C解析 随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种．事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共10种，其概率p 1＝1036＝518.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p 2＝1318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p 3＝12.故p 1<p 3<p 2. 13．2014年3月8日发生的马来西亚航空公司MH370失联事件，引起了全世界人们长达数周的密切关注．为了消除人们对航空安全的担忧，某航空公司决定对该公司所属的波音777－200，波音777－300，空客A350，空客A380四架客机进行集中安全大检查．若检测人员分两周对客机进行全方位的检测，每周检测两架客机，则波音777－200，波音777－300两架客机在同一周被检测的概率为( )A.12B.13C.14D.16答案 B解析 设波音777－200，波音777－300，空客A350，空客A380四架客机分别记为A ，B ，C ，D ，检测人员分两周对客机进行全方位的检测，每周检测两架客机基本事件是：(A ，B ；C ，D )，(A ，C ；B ，D )，(A ，D ；B ，C )，(B ，C ；A ，D )，(B ，D ；A ，C )，(C ，D ；A ，B )，共6种，其中波音777－200，波音777－300两架客机在同一周被检测即(A ，B ；C ，D )，(C ，D ；A ，B )，共2种，所以波音777－200，波音777－300两架客机在同一周被检测的概率为P ＝26＝13. 14．(2014·课标全国Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．答案 23解析 所有的基本事件共有A 33＝6个，2本数学相邻的排法有A 22A 22＝4种．故2本数学书相邻的概率为46＝23. 15．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率．解 (1)若编号为n 的球的重量大于其编号．则n 2－6n ＋12>n ，即n 2－7n ＋12>0.解得n <3或n >4.∴n ＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P ＝46＝23. (2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形共有C 26＝15种可能的情形． 设编号分别为m 与n (m ，n ∈{1,2,3,4,5,6}，且m ≠n )球的重量相等，则有m 2－6m ＋12＝n 2－6n ＋12，即有(m －n )(m ＋n －6)＝0.∴m ＝n (舍去)或m ＋n ＝6.满足m ＋n ＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．由古典概型，所求事件的概率为215.。

概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=Λ.三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.一、 随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。

【最新】2019年高三数学专题复习专题七计数原理与概率、推理证明与数学归纳法过关提升理专题过关·提升卷第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根2.是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i3．若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )A．dn＝c1＋c2＋…＋cnnB．dn＝c1·c2·…·cnnC．dn＝＋c＋…＋c,n))D．dn＝n c1·c2·…·cn4．(2015·勤州中学模拟)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A．60种B．70种C．75种D．150种5．若(1－2x)2 015＝a0＋a1x＋…＋a2 015x2 015(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )A．2 B．0C．－1 D．－26．(2015·义乌模拟)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.457．用a代表红球，用b代表白球，根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1个红球和1个白球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来．其中“1”表示一个球都不取，“a”表示取一个红球，“b”表示取一个白球，“ab”表示把红球和白球都取出来，以此类推：下列各式中，其展开式中可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的白球中取出若干个球，且所有的白球都取出或都不取出的所有取法的是( )A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)D．(1＋a5)(1＋b)58．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，＋＝，若有穷数列(n∈N*)的前n项和等于，则n等于( )A．4 B．5C．6 D．7第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题9．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________．10．观察下列不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，……照此规律，第五个不等式为________．11．(2015·瑞安中学模拟)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．12．(2015·效实中学模拟)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字填写答案)．13．若在的展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．14．(2015·乐清模拟)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．三、解答题16．(2015·桐乡高级中学模拟)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求X分别为1，2，3，4的概率．17．(2015·杭州高级中学模拟)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．18．(2015·诸暨中学模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若＝＋1，且Pn＝(1＋b1)(1＋b3)…(1＋b2n－1)，求证：Pn＞. 19．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．20．(2015·台州一中模拟)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1，0)处的切线方程；(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；(3)设a＜b，比较f与的大小，并说明理由．。

专题十七计数原理与概率(见学生用书P105)(见学生用书P105)一、概率1．在古典概型中，事件A的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数．2．在几何概型中，事件A的概率公式P(A)＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示区域A的几何度量．3．不可能同时发生的事件叫做互斥事件，若事件A和B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这个公式推广到n个互斥事件时也成立．(P(A∪B)也可记为P(A＋B))二、计数原理1．分类计数原理、分步计数原理(1)完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理．(2)完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理．2．排列(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数公式：A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！.3．组合(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数公式：C m n＝A m nA m m＝n（n－1）…（n－m＋1）m（m－1） (1)＝n！m！（n－m）！．由于0！＝1，所以C0n＝1.(3)组合数的性质Ⅰ.C m n ＝C n －m n ，Ⅱ.C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n． 4．二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理．三、离散型随机变量1．离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．(2)设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1、x 2、…、x i 、…，ξ取每一个值x i (i ＝1，2，…，n ，…)的概率P (ξ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量ξ的概率分布列，具有性质：Ⅰ.p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；Ⅱ.p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(3)二项分布：如果在第一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k q n－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－p.于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：2.离散型随机变量的期望与方差(1)若离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n，则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为ξ的数学期望或平均数、均值．若η＝aξ＋b，其中a、b是常数，则η也是随机变量，数学期望为Eη＝aEξ＋b，即E(aξ＋b)＝aEξ＋b.若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np.(2)方差：把(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(x n－Eξ)2·p n叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差；标准差是σξ＝D，D(aξ＋b)＝a2D ξ；若ξ～B(n，p)，那么Dξ＝npq.3．正态分布(1)正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：Ⅰ.曲线位于x轴上方，与x轴不相交；Ⅱ.曲线是单峰时，它关于直线x＝μ对称；Ⅲ.曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；Ⅳ.曲线与x轴围成的图形的面积为1；Ⅴ.当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；Ⅵ.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值Ⅰ.P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；Ⅱ.P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；Ⅲ.P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4．(见学生用书P106)考点一古典概型与几何概型考点精析1．古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的可能性相等的概率模型，在解题时要学会辨别所求解的问题是不是古典概型．2．古典概型的试题常以实际问题为背景或者与其他部分的知识相结合命制，要学会分析实际问题的含义，会正确应用数学的综合知识解决问题．3．解决古典概型问题的关键是计算基本事件的个数以及随机事件所包含的基本事件的个数，会用列举法解决问题．4．在解题时要注意分析所求解的问题是否符合几何概型的特征．5．判断几何概型是直线型、面积型、体积型还是角度型，关键是看它是否是等可能的，也就是点是否是均匀分布的，求解的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．例 1－1(2014·广州模拟)在一次招聘考试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：根据这位考生只会答5道题中的3道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进而求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．解析：从5道备选试题中随机抽出3道题共有：C 35＝5×4×33×2×1＝10种情况， 其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有：C 13＝3种情况，即这位考生不及格的概率为310.故这位考生能够及格的概率P ＝1－310＝710.答案：710点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．例 1－2(2015·福建卷)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．考点：几何概型、定积分．分析：求出阴影部分和矩形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率．解析：由题图可知阴影部分的面积S 阴影＝S 矩形ABCD －∫21x 2d x ＝1×4－x 3321 ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－13＝53， 则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝534＝512. 答案：512点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关，解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N.最后根据P ＝N （A ）N 求解．本题是中档题．规律总结古典概型和几何概型简化了利用概率的统计定义求事件概率的过程，因而是历年高考重点考查对象．在理科高考数学中，主要是结合离散型随机变量分布列一起考查，偶尔单独考查，一般以选择、填空题形式呈现，并与排列组合综合在一起考查．由于几何概型是新课标新增内容，因而也是近几年高考命题的热点问题，若单独考查，则主要以选择、填空题形式呈现．变式训练【1－1】 (2015·黄冈模拟)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.49解析：任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36种猜数字结果，其中结果|a －b|≤1的有如下情形：①a ＝1，b ＝1，2；②a ＝2，b ＝1，2，3；③a ＝3，b ＝2，3，4；④a ＝4，b ＝3，4，5；⑤a ＝5，b ＝4，5，6；⑥a ＝6，b ＝5，6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.答案：D【1－2】 (2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y|≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1解析：依题意知点(x ，y)形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1.而满足x ＋y ≥12的区域如图1的阴影部分，图1其面积为S 1＝1－12×12×12＝78，∴p 1＝S 1S ＝78.满足|x －y|≤12的区域如图2中的阴影部分，图2其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝34，∴p 2＝S 2S ＝34.满足xy ≤12的区域如图3中的阴影部分．图3其面积为S 3＝12×1＋∫11212x d x＝12＋12ln x ⎪⎪⎪112＝12＋12ln 2， ∴p 3＝S 3S ＝12＋12ln 2.∵p 1－p 3＝38－12ln 2＝3－4ln 28＝18ln e 316，而e 3＞16，∴p 1－p 3＞0，即p 1＞p 3.又p 2－p 3＝14－12ln 2＝14ln e 4＜0，∴p 2＜p 3，∴p 1＞p 3＞p 2.答案：B【1－3】 (2014·河池一模)PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，北方城市环保局从该市市区2013年全年每天的PM 2.5监测数据中随机的抽取20天的数据作为样本，发现空气质量为一级的有4天，为二级的有10天，超标的有6天．(1)从这20天的日均PM 2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这20天的数据中任取三天数据，求抽到PM 2.5监测数据超标的天数不超过2天的概率；(3)根据这20天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．解析：(1)从题中条件可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有10天，超标的有6天，记“从20天的PM 2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P(A)＝C 14·C 216C 320＝819.(2)记“从20天的PM 2.5日均监测数据中，随机抽出三天，抽到PM 2.5监测数据超标的天数不超过2天”为事件B ，记“从20天的PM 2.5日均监测数据中，随机抽出三天，抽到PM 2.5监测数据均超标”为事件C ，则P(B)＝1－P(C)＝1－C 36C 320＝1－157＝5657. (3)20天的空气质量达到一级或二级的频率为4＋1020＝710，则估计一年中空气质量达到一级或二级的天数η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫365，710，则Eη＝365×710＝255.5，所以估计一年中有255.5天的空气质量达到一级或二级．考点二计数原理考点精析1．解应用题时，首先要仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．2．对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决．3．分配问题的一般解法是先分组，后分配，且要注意是均匀分组还是非均匀分组，若是均匀分组，则需要除以组的全排列数．4．(a＋b)n与(b＋a)n虽然结果相同，但具体到展开式的某一项时它们是不同的，(a＋b)n的开展式第r＋1项C r n a n－r b r和(b＋a)n的开展式的第r＋1项C r n b n－r a r是有区别的．5．通项T r＋1＝C r n a n－r b r是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，这里r＝0，1，2，…，n.6．由于二项式系数与各项系数的差别，二项式系数最大项必定是中间项，而系数最大的项不一定是中间项．例2－1(2015·四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个考点：排列、组合及简单计数问题．分析：分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0，2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0，2，4.再根据分类加法计数原理求个数．解析：万位上的数字是4的偶数有C12A34＝2×4×3×2＝48个，万位上的数字是5的偶数有C13A34＝3×4×3×2＝72个，由分类加法计数原理知，比40 000大的偶数共有72＋48＝120个．答案：B点评：解决此类问题关键是熟练掌握分类计数原理和分步计数原理，以及明确万位上的数字分别为4和5，再分类计数．属中档题．例2－2(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．7 B．6C．5 D．4考点：二项式定理．分析：根据二项展开式的通项公式求解．解析：∵(x＋1)n＝(1＋x)n，又(1＋x)n的通项为：T r＋1＝C r n·x r.令r＝2，则C2n＝15，∴n(n－1)＝30.又n＞0，得n＝6，故选B.答案：B点评：本题考查二项展开式的通项公式，考查方程思想，属于基础题．规律总结两个计数原理、排列、组合是计数重要模型，是求古典概型概率的基础，因而也是高考重点考查对象，主要是结合离散型随机变量分布列在一起考查．若单独命题则以选择、填空题形式呈现，重点考查有限制的排列、组合问题．二项式定理应用十分广泛，因而是历年高考必考内容，一般为选择、填空题，难度为容易题，主要考查二项定理的应用．变式训练【2－1】(2014·南昌模拟)从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是()A．36 B．48C．52 D．54解析：第一类从2，4中任取一个数，有C12种取法，同时从1，3，5中取两个数字，有C23种取法，再把三个数全排列，有A33种排法．故有C12C23A33＝36种取法．第二类从0，2，4中取出0，有C11种取法，从1，3，5三个数字中取出两个数字，有C23种取法，然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有A12种排法，剩下的两个数字全排列，有A22种排法．共有C11C23A12A22＝12种方法．共有36＋12＝48种排法．答案：B【2－2】 (2015·广东卷)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，∴全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言．答案：1 560【2－3】 (2015·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k 7(x 3)7－k ·x －k ＝C k 7x21－4k ，令21－4k ＝5，得k ＝4，则展开式中x 5的系数为C 47＝35.答案：35【2－4】 (2015·湖南卷)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－3 C ．6 D ．－6解析：⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r C r 5·x 5－2r 2. 依题意，令5－2r ＝3，得r ＝1，∴(－a )1·C 15＝30，a ＝－6，故选D.答案：D考点三离散型随机变量及其分布考点精析1．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．离散型随机变量与几何概率，计数原理，事件的互斥、独立，统计等知识相结合时，要注意将问题进行分解，同时要注意相关知识的正确应用．例3－1(2015·陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与数学期望ET；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．考点：频数、频率、离散型随机变量的分布列、数学期望、互斥事件．分析：(1)根据频数与频率的关系列出分布列，并利用公式求数学期望．(2)将所求事件分解为几个互斥事件，用互斥事件概率公式求解．解析：(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．(方法1)P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.(方法2)P(A－)＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P(A)＝1－P(A－)＝0.91.点评：本题考查离散型随机变量的分布列、互斥事件，其中，将所求事件分解为几个互斥事件是解题的关键，属于中档题．规律总结本考点在高考中主要的考查方式是解答题，主要考查独立事件的概率计算、离散型随机变量的概率分布(两点分布、超几何分布、二项分布是三个典型的概率分布模型)、数学期望和方差的计算，以及考查概率统计在实际问题中的应用．该部分的另外一个考点是正态分布，一般是以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是根据正态密度曲线的对称性进行概率计算．从近几年的考查情况看，部分课标地区有加大概率统计解答题难度的趋势，但主流还是难度中等或者偏易．变式训练【3－1】A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：元)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解析：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第j个人”，i，j＝1，2， (7)由题意可知P(A i)＝P(B i)＝17，i，j＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝3 7.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝10 49.(3)a＝11或a＝18.【3－2】(2015·福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．解析：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A.则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.又P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝56×15＝16.P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.【3－3】 (2015·武汉模拟)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． 解析：(1)记A 1，表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2.则P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0，1，2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝14，则P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X －2)＝1－18－14＝58.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.【3－4】 (2015·天津卷)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解析：由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以，事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望 E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.【3－5】 (2015·湖北卷)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )解析：由图象可以比较出μ1和μ2，σ1和σ2的相对大小，再结合图象判断四个选项的正误．由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P (Y ≥μ2)＝12，P (Y ≥μ1)＞12，故P (Y ≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；对任意正数t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选D.答案：D(见学生用书P111)例1 8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为__________(用数字作答)．考场错解：每两人之间比赛一场，需要比赛C28＝28场，填28.或第一轮分成4对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需4场比赛；第二轮分成2对进行比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛．所以至少需要比赛6场，填6.专家把脉：前一种解法的错误是没有看清题意，“至少”没有理解好；后一种解法的错误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了．对症下药：先将8人分成4对进行比赛，胜者进入第二轮，需要4场比赛，将进入第二轮的四人分成2对进行比赛，胜者进入第三轮，需要2场比赛，进入第三轮的2人进行比赛，胜者为第一名，需一场比赛；将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决出第二名，需2场比赛．所以至少需要4＋2＋1＋2＝9场比赛．专家会诊：两个基本原理是学习排列、组合的重要基础，解决两个原理的应用问题首先要明确所完成的事情是什么，然后再分析每一种做法，事情是否完成，从而区分分类计数原理和分步计数原理，运用分类计数原理时，要恰当分类，做到不重复，又不遗漏；运用分步计数原理时，关键是分好步，需要分析要分几步才能完成．一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的解题步骤，平时应注意养成一题从多角度来解的习惯．例2某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；(2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．考场错解：(1)由于这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，所以ξ服从二项分布．所以Eξ＝100×0.8.专家把脉：二项分布的概念理解错误，把n次独立重复试验事件A 发生的次数作为随机变量，则这个随机变量服从二项分布，而本题中的得分不是这种随机变量，所以不服从二项分布，实际上本题中回答正确的个数服从二项分布．对症下药：(1)设这名同学回答正确的个数为随机变量η，则依题意η～B(3，0.8)，∴Eη＝2.4，又ξ＝－300＋200η.η＝0时，ξ＝－300；η＝1时，ξ＝－100；η＝2时，ξ＝100；η＝3时，ξ＝300.所以ξ的分布列如下表所示：∴Eξ＝180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.专家会诊：离散型随机变量的分布列，期望与方差是概率统计的重点内容，对离散型随机变量及分布列，期望与方差的概念是关键．求离散型随机变量的分布列的步骤是：(1)根据问题实际找出随机变量ξ的所有可能值x i；(2)求出各个取值的概率P(ξ＝x i)＝P i；(3)画表填入相应数字，其中随机变量ξ的取值很容易出现错误，解题时应认真推敲，对于概率通常利用所有概率之和是否等于1来进行检验．期望与方差的计算公式尤其是方差的计算公式较为复杂，要在理解的基础上进行记忆．(见学生用书P186)一、选择题1．(2014·上海模拟)有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将黄1黄2看作一个整体，与红菊花看作两个元素做一个全排列有A 22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A 23，则不同的排法种数为2×A 22×A 23＝2×2×6＝24.答案：B2．(2014·武汉模拟)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：∵m 为正整数，由(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a ＝C m 2m ，同理，由(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得b ＝C m 2m ＋1.再由13a ＝7b ，可得13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，即13×（2m ）！m ！·m ！＝7×（2m ＋1）！m ！·（m ＋1）！，即13＝7×2m ＋1m ＋1， 即13(m ＋1)＝7(2m ＋1)．解得m ＝6.答案：B3．(2014·黄冈模拟)已知α，β，γ是平面，a ，b 是两条不重合的直线，下列说法正确的是( )A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件B ．“若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α”是必然事件C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件解析：A 选项中，a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α一定成立，这是一个必然事件，命题不正确；B 选项中，若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α不一定正确，因为线可能在面内，命题不正确；C 选项中，若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β不一定成立，垂直于同一个平面的两个平面其位置关系是可以相交，也可以平行，故命题不正确；D 选项中，若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α，此命题不可能成立，故是不可能事件，命题正确．答案：D4．(2014·长郡模拟)如图，CDEF 是以圆O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在扇形OCFH 内”(点H 将劣弧EF 二等分)，B 表示事件“豆子落在正方形CDEF 内”，则P (B |A )＝()A.3πB.2πC.38D.3π16解析：A 表示事件“豆子落在扇形OCFH 内”(点H 将劣弧EF 二等分)，扇形OCFH 的面积为38π，∴事件A 发生的概率P (A )＝38ππ＝38. ∵豆子落在扇形OCFH 内且在正方形CDEF 内的面积为3π8－π－28×3＝34.∴P (AB )＝34π＝34π， ∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝34π38＝2π. 答案：B5．(2015·荆州中学模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78B.34C.12D.14解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则必须有Δ＝4a 2－4(－b 2＋π)≥0，即a 2＋b 2≥π，其表示的区域为图中阴影部分，故所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34. 答案：B6．(2014·广州模拟)已知随机变量ξ～N (0，a 2)，且P (ξ>1)＝P (ξ<a －3)，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．1解析：由题意，∵ξ～N (0，a 2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0.∵P (ξ>1)＝P (ξ<a －3)，∴a －3＋1＝0，∴a ＝2.答案：A7．(2014·福建模拟)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x g (x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，在有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ＝1，2，…，10)中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是( )A.15B.25C.45D.35解析：令h (x )＝f （x ）g （x ）， 则h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0， 故h (x )＝a x 单调递减，所以0<a <1.又f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝a ＋1a ＝52，解得a ＝12， 则f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 其前n 项和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 由1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n >1516，得n >4， 故所求概率P ＝610＝35.答案：D8．(2014·上海模拟)某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得当第n 次出现正面时，a n ＝1，当第n 次出现反面。