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尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解第1篇引言第1章经济模型本章没有课后习题。
本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
第2章最优化的数学表达1．假设。
（1）计算偏导数，。
（2）求出上述偏导数在，处的值。
（3）写出的全微分。
（4）计算时的值——这意味着当保持不变时，与的替代关系是什么？（5）验证：当，时，。
（6）当保持时，且偏离，时，和的变化率是多少？（7）更一般的，当时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？解：（1）对于函数，其关于和的偏导数分别为：，（2）当，时，（1）中的偏微分值分别为：，（3）的全微分为：（4）当时，由（3）可知：，从而可以解得：。
（5）将，代入的表达式，可得：。
（6）由（4）可得，在，处，当保持不变，即时，有：（7）当时，该函数变为：，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。
由（4）可知，该等高线在（，）处的斜率为：。
2．假定公司的总收益取决于产量（），即总收益函数为：；总成本也取决于产量（）：。
（1）为了使利润（）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。
（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。
解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：利润最大化的一阶条件为：从而可以解得利润最大化的产量为：；相应的最大化的利润为：。
（2）在处，利润最大化的二阶条件为：，因而满足利润最大化的二阶条件。
（3）在处，边际收益为：；边际成本为：；因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
3．假设。
如果与的和是1，求此约束下的最大值。
利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。
解：（1）代入消元法由可得：，将其代入可得：。
从而有：，可以解得：。
从而，。
（2）拉格朗日乘数法的最大值问题为：构造拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，因而有：。
第6章商品间的需求关系6.1复习笔记1．两种商品的情形商品y 的价格变化对商品x 需求影响的交叉价格效应为：(,,)常数替代效应收入效应=x y U y y x p p I x x y p p I=∂∂∂=+-⋅∂∂∂上述关系用弹性形式可以表示为：,,,c y y x p p y x Ix e e s e =-2．替代品和互补品假定消费者消费商品1和商品2，在商品1的价格和收入水平不变的情况下，如果商品2的价格上升，商品1的需求增加，就说商品1是商品2的替代品。
用需求函数的偏导数表示就是：1122(,,)0x p p I p ∂>∂如果商品2的价格上升，则商品1的需求下降，就说商品1是商品2的互补品。
用需求函数的偏导数表达就是：1122(,,)0x p p I p ∂<∂（1）总替代品与总互补品两种商品x i 与x j 如果有0i j x p ∂>∂，则它们是总替代品；如果0i j x p ∂<∂，则它们是总互补品。
总替代品与总互补品有非对称性。
（2）净替代品与净互补品如果0ijU x p =∂>∂常数则x i 与x j 称为净替代品；如果0ij U x p =∂<∂常数则x i 与x j 称为净互补品。
净替代品与净互补品有对称性。
3．多种商品情形下的替代关系大多数商品是具有替代关系的，这一结论被称为“希克斯第二需求定律”。
该结论证明如下：给定的某种商品的补偿性需求函数1(,)c in x p p V L 该函数对所有价格是零次齐次的。
用欧拉定理，有：12120c c c i i i n nx x x p p p p p p ∂∂∂⋅+⋅++⋅=∂∂∂L对上式各项除以x i ，就得到弹性表达形式：120c c c i i in e e e +++=L 由于0cii e ≤恒成立，因为一种商品对自身的替代效应总是负的。
因此，就有：0c ij j ie ≠≥∑上式用文字描述，就是一种物品对于其他所有物品的补偿性交叉价格弹性是非负的，其含义就是“大多数”商品是替代品。
第1篇引言第1章经济模型1.1 复习笔记1．经济模型（1）经济模型的含义经济模型是一种分析方法，它极其简单地描述现实世界的情况。
现实世界的情况是由各种主要变量和次要变量构成的，错综复杂，因而除非把次要的因素排除在外，否则就不可能进行严格的分析，或使分析复杂得无法进行。
通过作出某些假设，可以排除许多次要因素，从而建立起模型，便于进行分析。
（2）经济模型的一般特征①“其他条件不变”的假设；②经济决策者寻求某项最优化的假设；③准确地区分“实证性”和“规范性”问题。
（3）检验经济模型的方法用于验证经济模型的一般方法有两种:①直接法，即检验作为模型基础的基本假设是否成立；②间接法，即看所抽象出的模型对现实预测的有效性。
2．“水与钻石悖论”亚当·斯密在《国富论》指出“具有极大使用价值的东西往往只有很少的或没有交换价值，相反，那些具有极大交换价值的东西往往很少或没有使用价值。
再没有比水更有用的东西了，但水却不能购买任何东西，没有东西和水交换。
相反，钻石几乎没有使用价值，却十分昂贵。
”由此引出了水与钻石悖论。
英国经济学家马歇尔从需求和供给两方面来共同解释了该悖论：从需求一方看，价格取决于商品的边际效用，而不是总效用。
对于水，水源充足，人们对水的消费量大，因而其边际效用很小，价格也就很便宜。
同理，人们对钻石的边际效用很大，其价格也就相应地昂贵。
从供给一方看，由于水源充足，生产人类用水的成本很低，因而其价格也低。
钻石则很稀缺，生产钻石的成本也很大，因而钻石很昂贵。
综合需求和供给两方面，则水便宜，钻石昂贵。
即虽然水的使用价值极大，却没有交换价值；而钻石几乎没有使用价值，却可以交换大量的其他商品。
3．经济均衡（1）局部均衡模型局部均衡模型是一种经济分析方法，指在其他情况不变的情况下，仅考察经济生活在一定时间的某个变数对有关经济变量的影响的分析方法。
其特点是以单个的生产者和消费者为分析的对象，而不考虑它同其他生产者或消费者之间的相互影响。
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》（第9版）重点章节及重点课后习题I尼科尔森《微观经济理论》重点章节或知识点一、引言1、经济模型（第1章）主要需要知道经济人假设（尼书上没有）、水与钻石价值悖论。
2、数理基础（第2章）重点掌握：一元函数最大值问题的一阶条件和二阶条件（求解利润最大化问题常用）、弹性的通用含义、包络定理（重点记住结论）、条件极值（拉格朗日乘数法，求解最值问题常用方法，建议求解最值问题优先使用本法）、拟凹性判定。
至于互补松弛定理、位似函数理解主要意思就行，不用深究。
（13年真题）二、消费者行为理论（第三、四、五、六章）重点章节在四、五、六。
其中，最最重要的章节在第5章，且该章也是难点。
1、偏好与效用（第3章）重点掌握：特定偏好的效用函数（柯布—道格拉斯效用函数、完全互补效用函数、拟线性效用函数[14年真题后面知识扩展中有补充]）（14年真题、15年真题）说明：CES效用函数比较复杂，不适合考试出题，但其基本形式、性质与其他效用函数关系，还是需要了解下的，不做重点掌握。
2、效用最大化与选择（第4章）（1）效用最大化的一阶条件和二阶条件，一阶条件结论必熟，重点理解二阶条件。
（2）角点解和角点解的数学表达。
（10年真题）（3）间接效用函数。
尤其注意其含义（由效用最大化推导出的）和表达式。
（13年真题、15年真题）（4）一次总付原则。
重点理解图形和含义（其实这里涉及到补偿预算线，替代效应和收入效应的铺垫）（5）支出函数。
重点理解支出函数含义和求解，与间接效用函数的关系（互为反函数）。
（13年真题、15年真题）3、收入效应和替代效应（第5章）（1）替代效应和收入效应的含义。
尤其要掌握正常商品、低档商品和吉芬物品各自的替代效应和收入效应，以及这三种商品的需求曲线形状。
（最好结合高鸿业《西方经济学（微观部分）》相关内容一起复习）（09、10、11年真题）（2）补偿性需求曲线。
重点掌握：①定义及推导；②马歇尔需求曲线（非补偿性需求曲线，普通的需求曲线）和希克斯需求曲线（补偿性需求曲线）的区别和联系，将间接效用函数代入马歇尔需求函数可得希克斯需求函数。
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》课后习题第6章商品间的需求关系1．Heidi 从羊奶（m ）和果馅卷（s ）两种商品中获得效用，其效用函数为：(),U m s m s=⋅（1）证明：羊奶的价格上升不会改变Heidi 对果馅卷的购买量，即证明：/0m s p ∂∂=。
（2）证明：/0s m p ∂∂=。
（3）利用斯勒茨基方程和净替代的对称性证明：（1）、（2）两问中涉及的收入效应影响是相等的。
（4）用m 和s 的马歇尔需求函数证明（3）的结论。
证明：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：0.5m s p m p s I ==，从而有：0.5/s s I p =，因而可得：/0m s p ∂∂=。
此外，因为无差异曲线是一次双曲线（ms 为常数），所以自替代效应和交叉替代效应都是相同的比例大小，但是方向相反。
因为无差异曲线是位似的，两种商品的收入弹性都为1，所以两种商品的收入效应也是相同的比例大小，因而m p 的变化对s 的替代效应和收入效应恰好抵消。
（2）由（1）同理可得：0.5/m m I p =，从而可得：/0s m p ∂∂=。
（3）因为：0| 0|U m m U s s s s s m p p Im m m s p p I∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂==-∂∂∂又因为||U U m s s m p p ∂∂=∂∂，所以有：s m m s I I∂∂=∂∂，即与（1）、（2）中的偏导数有关的收入效应是相等的。
（4）由（1）中m和s 的马歇尔需求函数可知：0.50.50.5/s m m s m m m m s s I p p m s p I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂==== ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
2．困难时期Burt 仅购买威士忌酒和果冻度日。
对于Burt 而言，虽然威士忌酒与果冻在通常情况下属于希克斯替代品，但是威士忌酒是具有吉芬悖论的劣等品。
从直观上解释为什么在威士忌酒价格上升的情况下，果冻的购买量一定会减少。
第5章
收入效应和替代效应
1．口渴的Ed 仅喝纯泉水，但是他可以购买0.75升或2升瓶装的矿泉水。
由于水本身是同质的，所以他将以上两种瓶装矿泉水视为完全替代品。
（1）假定Ed 的效用仅取决于其消费的水量，而瓶子对他而言无任何效用，请将其效用函数表示为规格为0.75升（x ）和2升（y ）的瓶的数量的函数。
（2）求出需求函数(),,x y x p p I 。
（3）画出I 和y p 不变时，x 的需求曲线。
（4）I 和y p 的变化如何影响x 的需求曲线？
（5）在此情况下，x 的补偿需求曲线形状是什么样的？解：（1）Ed 的效用函数可以表示为：0.752U x y =+。
（2）由Ed 的效用函数可知，他的偏好为完全替代型偏好，所以为了实现效用最大化，他将购买相对便宜的那种商品，由于无差异曲线斜率为3
8
，预算约束线斜率为
x
y
p p ，即：当38x y p p <时，即3
8x y p p <时，/x x I p =，0y =；当
38x y p p >时，即3
8
x y p p >时，0x =，y I y p =；（3）x 的需求曲线如图
5-1所示。
图5-1x 的需求曲线
（4）收入I 的提高将使x 的需求曲线向右上方移动。
商品y 的价格降低将不会影响x 的需求，直到83x y p p =
时为止。
当83
x y p
p =时，商品x 的需求减至0。
（5）x 的收入补偿需求曲线表示成当前消费的一个单点(),x x p 。
假定0x >，则x p 的任何变化都会改变从该点处所得的效用。
2．戴维每周有3美元可供自由支配。
他只喜欢花生酱和果冻三明治，因此他将所有货币都花费在花生酱（每盎司0.05美元）与果冻（每盎司0.10美元）上。
面包则由一位热心的邻居免费提供。
戴维偏好自己的吃法，严格按1盎司果冻2盎司花生酱的比例配置三明治，从不改变配方。
（1）戴维一周中用3美元购买花生酱与果冻各多少？
（2）如果果冻价格上升至每盎司0.15美元，他购买花生酱与果冻各多少？
（3）在（2）中，果冻价格上涨后，戴维的可支配收入应该增加多少才能补偿价格上涨？（4）图示（1）到（3）的结论。
（5）在何种意义下，这个问题仅包括花生酱或果冻三明治一种商品？图示这种单一商品的需求曲线。
（6）根据对果冻需求的替代效应与收入效应来讨论这一问题的结论。
解：（1）由题可知，戴维的偏好是互补型的偏好。
假设花生酱的消费量为x ，果冻三明治的消费量为y ，则戴维的效用函数可以表示为：{}min 2U x y =，。
因此，效用最大化要求：2x y =；此外，预算约束为：0.050.13x y +=。
因而可以解得：30x =，15y =。
（2）如果果冻的价格增至每盎司0.15美元，则戴维的预算约束变为：0.050.153x y +=；结合效用最大化条件2x y =，可知：24x =，12y =。
（3）为了在价格上涨后继续消费30x =，15y =，戴维需要多购买6盎司的花生酱和3盎司的果冻三明治，这要求收入增加：60.0530.150.75⨯+⨯=（美元）。
（4）（1）到（3）的结论如图5-2所示。
图5-2互补型偏好下价格变化的影响
（5）因为戴维仅按固定的比例使用花生酱和果冻，而且面包是免费的，所以，可以将此问题视为他以价格
2s x y p p p =+来购买三明治。
在（1）问中，0.20s p =，花生酱—果冻三明治的数量为：15s q =；在（2）问中，0.25s p =，花生酱—果冻三明治的数量为：12s q =。
一般而言，花生酱—果冻三明治这种单一商品的需求曲线为：3
s s
q p =
，是一条双曲线。
（6）对于固定比例的效用函数而言，不存在替代效应，价格的变化仅导致收入效应。
3．如果任意一条从原点出发的直线通过所有的无差异曲线斜率相等的点，即MRS 取决于/y x 的点，那么效用函数是位似的。
（1）证明：在这种情况下，/x I ∂∂是常数。
（2）证明：如果个人偏好可以用位似的无差异曲线图来表示，则价格与数量必定按相
反方向变化，即不会产生吉芬悖论。
证明：（1）随着收入的增加，/x y p p 的比值保持不变，效用最大化条件要求/x y
MRS p p =也保持不变。
而MRS 取决于/y x ，从而/y x 也必须保持不变。
又因为收入仅用于购买x 和y ，所以x 和y 都与收入成比例，即有/x I ∂∂是常数。
（2）由（1）可知，
0x I ∂>∂，0y I
∂>∂，这说明x ，y 两种商品都是正常物品，而吉芬品为劣等品，所以吉芬悖论不成立。
4．假设效用由下式给出：
()0.30.7
,U x y x y =⋅（1）用非补偿需求函数计算间接效用函数与支出函数。
（2）用（1）中计算出的支出函数与Shephard 引理计算x 的补偿需求函数。
（3）用（2）中得出的结论与x 商品的非补偿需求函数证明本题符合斯勒茨基方程式。
解：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：
0.3/x x I p =，0.7/y
y I p =从而可得间接效用函数为：
0.30.70.30.70.30.7
0.30.7//x y x y
U I p p BI p p =⨯=其中，0.30.70.30.7B =⨯。
根据对偶性质，支出函数为：10.30.7
x y E B U p p -=⋅⋅。
（2）利用Shephard 引理可知，补偿需求函数为：10.70.7
/0.3c x x y x E p B Up p --=∂∂=⋅。
（3）因为：,1x x p e =-，,1x I e =，,0.7c
x
x
p e =-，0.3x s =，所以可得：
,,,0.70.311
c x x
x p x x I x p e e s e =-=--⨯=-故本题符合斯勒茨基方程式。
5．假设x 与y 商品的效用函数为：
(),U x y xy y
=+（1）计算x 与y 的非补偿（马歇尔）需求函数，并描述I 或其他商品的价格变化怎样使x 与y 的需求曲线发生变化。
（2）计算x 与y 的支出函数。
（3）用（2）中计算出的支出函数计算x 与y 商品的补偿需求函数。
描述当收入或其他商品价格发生变化时，x 与y 的补偿需求函数将如何发生变化。
解：（1）效用最大化问题为：
()max ,..x y U x y xy y s t p x p y I
=++=设拉格朗日函数为：
()
x y L xy y I p x p y λ=++--一阶条件为：
0100x y x y L
y p x L
x p y L
I p x p y λλλ
∂=-=∂∂=+-=∂∂=--=∂从而可以解得马歇尔需求函数为：
2x x I p x p -=2x y
I p y p +=
因此，y p 的变化不影响x ，而x p 的变化影响y 。
收入I 的增加将使x 与y 的需求都增加，从而需求曲线向右上方移动。
（2）将x 与y 的需求函数代入效用函数，可得间接效用函数为：()
2
4x x y
I p U p p +=
；
从而可以解得支出函数为：4x y x E p p U p =。
（3）补偿需求函数为：
/1
y c x x y x E p p p U =∂∂=
/c x y x y y E p p p U
=∂∂=
x 的补偿需求依赖于y p ，而非补偿需求不依赖于y p 。
收入的变化对补偿需求没有影响。
6．需求理论中的许多经验研究工作主要集中于收入份额。
对于任何商品x ，其收入份额定义为：x x p x
s I
=。
在本问题中，我们将证明大多数需求弹性可以从相应的份额弹性中求得。
（1）证明：某商品的预算份额关于收入的弹性,x x s
I
x s I e I s ⎛
⎫
∂=
⋅ ⎪∂⎝⎭
等于,1x I e -。
请用一些数值例子来解释这一结论。
（2）证明：某商品的预算份额关于其自身价格的弹性,x x
x x
s
p x x
s p e p s ∂=
⋅
∂等于,1x px e +。
请用一些数值例子来解释这一结论。
（3）利用你在（2）中所得的结论证明：商品x 关于自身价格的支出弹性
(),1
x x x x p p x p x e p x
⋅∂⋅=
⋅∂等于,1x x p e +。
（4）证明：某商品的预算份额关于其他商品价格的弹性,x y y x s p y x p s e p s ⎛⎫
∂=⋅ ∂⎝⎭
等于,y x p e 。
（5）在第4章的扩展部分，我们已经证明了对于CES 效用函数而言，商品x 的支出份额为11x k k
y x s p p -=
+，其中11
k δ
σδ==--。
利用此方程来证明方程：(),1c
x
x x
p e s σ=--。
提示：此问题可以通过假定x y p p =，从而0.5x s =来简化。
