高中数学选择、填空题专题练习(二)

第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

高中数学总复习知识点专题讲解与练习专题2不等式一、单项选择题1．(2021·江西六校联考)已知集合A ＝{x ∈N |2x －7<0}，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{0，1，2，3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤72D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x ≤72 答案 B解析 由已知得A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－1≤x ≤4}， 则A ∩B ＝{0，1，2，3}．故选B. 2．(2019·课标全国Ⅱ)若a >b ，则( )A ．ln(a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b | 答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln(a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，则B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．故选C.3．(2021·东北三省四市一模)设a >0，b >0，若2a ＋b ＝2，则1a ＋2b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 方法一：1a ＋2b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋4a b ＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2b a ×4a b ＝4，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝12，b ＝1时，等号成立．故选B. 方法二：1a ＋2b ＝2a ＋b 2a ＋2a ＋b b ＝1＋b 2a ＋2ab ＋1≥2＋2b 2a ×2a b ＝4，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝12，b ＝1时，等号成立．故选B.4．已知a ，b 都是实数，则“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵ln 1a <ln 1b ，∴0<1a <1b ，∴a >b >0，∴a 2>b 2.而由a 2>b 2得到|a |>|b |，∴“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的充分不必要条件．故选C.5．下列各函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x答案 D解析 当x >0时，y ＝x ＋1x ≥2，当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2，故A 不正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0，1)，令t ＝sin x ∈(0，1)，则y ＝t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立，t ＝sin x ∈(0，1)，t ＝2取不到，所以y >4，故B 不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，由于x 2＋2＝1x 2＋2无解，所以等号不能取得，故C不正确； y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，故D 正确．故选D.6．(2021·山西晋中月考)已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2（a ＋1）（b ＋2）－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.故选B.7．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥21a ·1b ，当且仅当a ＝b 时取等号，则2≥1ab，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的充分不必要条件．故选A.8．(2021·四川省宜宾二模)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3 答案 C解析 不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，等价于a ≥－x －1x 对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，∵y ＝－x －1x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，∴－x －1x ≤－12－2＝－52，∴a ≥－52，∴a 的最小值为－52.故选C. 9．若log 3(2a ＋b )＝1＋log3ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．6 B.83 C ．3 D.163 答案 C解析 本题考查基本不等式．由题意得log 3(2a ＋b )＝1＋log 3(ab )，所以2a ＋b ＝3ab ，a >0，b >0，即2b ＋1a ＝3，所以a ＋2b ＝13(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋1a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×2a b ×2b a ＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．故选C.10．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1，3) 答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f (a )>0对任意a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，① 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0，② 联立①②，解得x <1或x >3.故选C. 二、多项选择题11．(2021·河北衡水中学二调)已知0<log 12a <log 12b <1，则下列说法正确的是( )A ．1>a 2>b 2>14B ．2>1a >1b >1C.a b －1>b a －1D.1e >e －b >e －a >1e 答案 ACD解析 已知0<log 12a <log 12b <1，因为y ＝log 12x 在区间(0，＋∞)上单调递减，所以12<b <a <1，所以14<b 2<a 2<1，故A 正确；因为函数y ＝1x 在区间(0，＋∞)上单调递减，且12<b <a <1，所以2>1b >1a >1，故B 错误；因为a b －1－ba －1＝a （a －1）－b （b －1）（b －1）（a －1）＝（a 2－b 2）－（a －b ）（b －1）（a －1）＝（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）.又12<b <a <1，所以（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）>0，故C 正确；因为－12>－b >－a >－1，函数y ＝e x 为单调递增函数，所以1e <e －a <e －b <1e，故D 正确．12．(2021·长郡模拟)设a >b >1，0<c <1，则下列不等式中成立的是( ) A ．a c <b c B ．a b >b c C ．log b c <log a c D ．log c b <log c a 答案 BC解析 0<c <1⇒a c >b c ，故A 错误；因为a >b >1，0<c <1，所以a b >b b >b c ，故B 正确；由对数函数的单调性可得log c b >log c a ，故D 错误；因为log b c ＝1log cb ，log ac ＝1log ca ，0>log c b >log c a ，所以log b c <log a c ，故C 正确．故选BC. 13．下列结论正确的是( )A ．若ab >0，则b a ＋ab ≥2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．若x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，则1x 2＋4y 2≥9 D ．函数f (x )＝e －x ＋e x (x >0)有最小值2 答案 AC解析 因为ab >0，所以a b >0，b a >0，所以由基本不等式可得b a ＋ab ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，A 正确；易知y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2，因为x 2＋2≥2，f (x )＝x ＋1x 在[2，＋∞)上单调递增，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2＋12＝322，所以函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为322，B 错误；因为x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，所以1x 2＋4y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋y 2x 2＋4x 2y 2≥9，当且仅当y 2＝2x 2时等号成立，C 正确；f (x )＝e －x ＋e x ＝1e x ＋e x ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，而x >0，故D 错误．故选AC.14．(2021·唐山市三模)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (a )＝f (b )，且a <b ，则下列不等式成立的有( )A ．ab ＝1B ．a 2＋b 2>2 C.1a ＋2b ≥22 D ．log a b <log b a 答案 ABC解析 ∵f (x )＝x ＋1x (x >0)，f (a )＝f (b )，∴a ＋1a ＝b ＋1b ，即a －b ＝1b －1a ＝a －b ab .∵a <b ，∴a －b ≠0，∴1ab ＝1，即ab ＝1，故A 正确． ∵a <b ，ab ＝1，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 2>2，故B 正确． 1a ＋2b ≥22ab ＝22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，ab ＝1，即⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2时“＝”成立，故C 正确． ∵ab ＝1，∴a ＝1b ，b ＝1a，∴log a b ＝log b a ＝－1，故D 错误．故选ABC. 15．已知2a ＝3b ＝6，则下列选项一定正确的是( ) A ．ab >4 B ．(a －1)2＋(b －1)2<2 C ．log 2a ＋log 2b >2 D ．a ＋b >4 答案 ACD解析 ∵2a＝3b＝6，∴a ＝log 26，b ＝log 36.∴1a ＝log 62，1b ＝log 63，∴1a ＋1b ＝1.∵1＝1a ＋1b ≥21ab ，∴ab ≥4.∵a ≠b ，∴ab >4，故A 正确．∵log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )>log 24＝2，故C 正确．∵a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a b ＋ba ＋2≥4.∵a ≠b ，∴a ＋b >4，故D 正确． ∵a －1＝log 23，b －1＝log 32，∴(a －1)·(b －1)＝1，∴(a －1)2＋(b －1)2≥2(a －1)·(b －1)＝2.∵a －1≠b －1，∴(a －1)2＋(b －1)2>2.故B 不正确．故选ACD.三、填空题16．(2021·济南学情诊断)若实数x ，y 满足lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则xy 的最小值为________． 答案 4解析 依题意可知x >0，y >0，由lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )得lg(xy )＝lg(x ＋y )，得xy ＝x ＋y .由基本不等式得xy ＝x ＋y ≥2xy ，即xy －2xy ＝xy (xy －2)≥0，所以xy ≥2，xy ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以xy 的最小值为4.17．(2021·辽宁五校期末联考)已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a ＋4b 的最小值是________． 答案 9解析 本题考查基本不等式的应用．∵ab －b ＋1＝0，∴a ＝b －1b >0，∴b －1>0. 又1a ＋4b ＝b b －1＋4b ＝5＋1b －1＋4(b －1)≥5＋21b －1·4（b －1）＝5＋4＝9，当且仅当1b －1＝4(b －1)，即b ＝32，a ＝13时等号成立，则1a ＋4b 的最小值是9.18．(2021·吉林五校联考)若正实数a ，b 满足ab ＝1，则1a ＋1b ＋1a ＋b 的最小值为________．答案 52解析 方法一：因为a >0，所以a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ＝1时等号成立，又ab ＝1，所以a ＝1b ，则1a ＋1b ＋1a ＋b＝1a ＋a ＋1a ＋1a .令t ＝a ＋1a ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (2)＝2＋12＝52，所以1a ＋1b ＋1a ＋b的最小值为52.方法二：因为ab ＝1，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”.1a ＋1b ＋1a ＋b ＝b ＋a ＋1a ＋b ，令t ＝a ＋b ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以1a ＋1b ＋1a ＋b 的最小值为2＋12＝52.19．(2021·临渭期末)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．12 答案 B解析 ∵x 2＋2xy －3＝0，∴y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝3x 2＋32x ≥23x 2·32x＝3，当且仅当3x 2＝32x ，即x ＝1时取等号．故选B.20．(2021·毕业班第二次文科卷)已知a －5＝ln a 5<0，b －4＝ln b 4<0，c －3＝ln c3<0，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <c <aB ．a <c <bC ．a <b <cD ． c <b <a 答案 C解析 令f (x )＝x －ln x ，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增．当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，故f (5)>f (4)>f (3)， ∴5－ln 5>4－ln 4>3－ln 3. ∵a －5＝ln a5＝ln a －ln 5<0， ∴a －ln a ＝5－ln 5，∴f (a )＝f (5)，且a ∈(0，1)．同理f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，且b ∈(0，1)，c ∈(0，1)， ∴f (a )>f (b )>f (c )，∴a <b <c .故选C.1．(2021·山东滨州市一模)已知p ：|x －a |<1，q ：3x ＋1>1，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[－1，2)D ．(－1，2) 答案 A解析 因为|x －a |<1，所以a －1<x <a ＋1，即p ：a －1<x <a ＋1， 因为3x ＋1>1，所以－1<x <2，即q ：－1<x <2. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧a －1≥－1，a ＋1≤2，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤1.故选A.2．不等式x2x －1>1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 答案 A解析 原不等式等价于x2x －1－1>0，即x －（2x －1）2x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.故选A.3．【多选题】(2021·梅州市高三总复习)若1a >1b >0，下列不等式中正确的是( )A ．a 2(1＋b )<ab (1＋a )B ．a 3＋b 3>2ab 2 C.b －a <b －a D ．log a ＋23>log b ＋13答案 AC解析 ∵1a >1b >0，∴b >a >0.a 2(1＋b )－ab (1＋a )＝a 2＋a 2b －ab －a 2b ＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，故a 2(1＋b )<ab (1＋a )，故A 正确．a 3＋b 3－2ab 2＝a 3－ab 2＋b 3－ab 2＝a (a －b )·(a ＋b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2＋ab －b 2)． 令a ＝2，b ＝3，则a 2＋ab －b 2>0.∴此时a 3＋b 3<2ab 2，故B 不正确．b －a <b －a 等价于b ＋a －2ab <b －a ，即a <ab .即a <b .∴b －a <b －a 成立，故C 正确．令b ＝2，a ＝1，则log a ＋23＝log b ＋13＝1，故D 错误．故选AC.4．(2021·A 佳湖南大联考)已知a >0，b >0，则“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a >b >0，则1b >1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，所以a －b >1a －1b ，充分性成立．若a －b >1a －1b ，则a ＋1b －b －1a >0，即(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，又a >0，b >0，所以1＋1ab >0，所以a －b >0，即a >b ，必要性成立．故“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的充要条件．故选C.5．【多选题】(2021·山东滨州二模)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则2a －b >12B ．若a >b >0，则lg a lg b >1C ．若a >0，b >0，则ab ≥2ab a ＋bD ．若a >b ，则ac 2>bc 2 答案 AC 解析 对于A ，因为a >b ，所以a －b >0，所以2a －b >1>12，故正确；对于B ，a ＝10，b ＝110，lg a lg b >1不成立；对于C ，因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，所以ab ＝2ab 2ab ≥2ab a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故正确；对于D ，当c ＝0时不成立．故选AC.6．【多选题】(2021·高三5月数学)已知两个不为零的实数x ，y 满足x <y ，则下列结论正确的是( )A ．3|x －y |>1B ．xy <y 2C ．x |x |<y |y | D.1x －1y <e x －e y答案 AC解析 因为x <y ，所以|x －y |>0，所以3|x －y |>1，则A 正确；因为x <y ，当y >0时，xy <y 2，当y <0时，xy >y 2，则B 错误；令f (x )＝x |x |，易知f (x )在R 上单调递增，又x <y ，所以f (x )<f (y )，即x |x |<y |y |，则C 正确；对于D ，方法一：令g (x )＝1x －e x ，易知g (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，不妨设0<x <y ，则g (x )>g (y )，即1x －e x >1y －e y ，亦即1x －1y >e x －e y ，则D 错误；方法二：取x ＝－1，y ＝1，则1x －1y ＝－2>e －1－e ，则D 错误．故选AC.7．【多选题】(2021·茂名第三次联考)已知1a <1b <0，则下列不等式错误的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b >1B.1b －a >1b C ．a 3>b 3 D.b a ＋b <1a答案 ABD解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b ∈(0，1)，故A 错误；不妨设b ＝－2，a ＝－1， ∴1b ＝－12，1b －a ＝－1，∴1b －a<1b ，故B 错误；∵b <a <0，y ＝x 3在R 上单调递增，∴a 3>b 3，故C 正确；不妨设b ＝－2，a ＝－1，∴b a ＋b ＝－2－3＝23，1a＝－1， ∴b a ＋b >1a，故D 错误．故选ABD. 8．【多选题】(2021·山东4月联考)若a >b >0，且ab ＝1，则( )A ．a >b ＋1 B.1a 2＋1<1b 2＋1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．log 2(a ＋b )>1 答案 BD解析 ∵a >b >0且ab ＝1，∴a >1>b >0，∴a －b －1＝1b －b －1＝1－b 2－b b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋54b，不能确定正负，故A 错误． ∵a >b >0，∴a 2>b 2.∴a 2＋1>b 2＋1>0.∴1a 2＋1<1b 2＋1，故B 正确． ∵a >b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故C 错误． 由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2.∵a ≠b ，∴a ＋b >2，∴log 2(a ＋b )>1，故D 正确．故选BD.9．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 (－4，2)解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m <t min .因为2x ＋1y ＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y . 而x >0，y >0，所以4y x ＋x y ≥2 4y x ·xy ＝4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时等号成立 所以t ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m <8，即(m －2)(m ＋4)<0，解得－4<m <2.所以实数m 的取值范围为(－4，2)．10．已知正实数x ，y 满足2xy ＋2x ＋y ＝3，则2x ＋3y 的最小值为________． 答案 43－4解析 由2xy ＋2x ＋y ＝3得2x ＝3－y y ＋1. 又x ，y 为正实数，所以2x ＝3－y y ＋1>0，得0<y <3. 则2x ＋3y ＝3－y y ＋1＋3y ＝4y ＋1＋3(y ＋1)－4≥2 4y ＋1×3（y ＋1）－4＝43－4， 当且仅当4y ＋1＝3(y ＋1)，即y ＝233－1时取等号．。

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。

课时同步练第04章 章末复习课一、单选题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式na 是（ ）A ．21n n +B ．23n n + C ．23n n - D ．21n n - 【答案】D【解析】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为21n n a n =-. 故选D.2．在单调递增的等差数列{}n a 中，若31a =，2434a a =，则1a =（ ） A ．1- B ．-12C ．0D ．12【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >,因为32431,4a a a ==， 所以有：()()11121334a d a d a d +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解方程组得：10a =；故选C3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （ ）A ．1023B ．511C ．1023-D ．511-【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意可得3528a q a ==，所以2q ，由题得1122,1a a ⨯=∴=.故()()101011011121023112a q S q-⨯-===--.故选A.4．已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+，则3a =（ ）A ．4B ．7C ．10D ．13【答案】D【解析】因为111,31n n a a a +==+，所以2131314a a =+=+=，所以323134113a a =+=⨯+=. 故选D5．已知数列{}n a 满足11a =，()*11n n na a n n +=∈+N ，则n a =（ ） A ．1n + B ．nC ．11n + D ．1n【答案】D【解析】由题意，数列{}n a 满足()*11n n n a a n n +=∈+N ，所以11n n a n a n +=+， 所以13211221122111132n n n n n a a a a n n a a a a a a n n n-----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-. 故选D.6．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．5或40【答案】C【解析】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++，又0d ≠，则3d =，从而()30m n a a m n d -=-=. 故选C ．7．已知{}n a 是等差数列，111a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且57S S =，则n S 的最大值为（ ）A ．66B ．56C ．46D ．36【答案】D【解析】由已知57S S =，111a =得，115476++2572d d a a ⨯⨯=，所以2d =-， 所以()121++122n n n d n S na n ⨯-==-， 所以当6n =时，n S 有最大值为36, 故选D.8．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（ ）A ．11B ．9C ．15D ．13【答案】B【解析】2375542a a a a ==⇒=，92122292129252log +log ++log =log ()log 9log 29a a a a a a a ⋅===，故选B9．已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是（ ）A ．5aB ．6aC ．7aD ．8a【答案】A【解析】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825n a n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==.所以{}n a 的最小的一项是第5项. 故选A.10．若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则2020a ⎡+++=⎣（ ）A ．10102021⨯B ．10102020⨯C ．10092021⨯D ．10092020⨯【答案】A【解析】122n n a a n +-=+，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-，又13a =，()2*1n a n n n N ∴=++∈，()22211n n n n <++<+，n ∴==，2020202020211232020101020212a ⨯⎡⎤+++=++++==⨯⎣⎦.故选A11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．11a >，0q ∴>．又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；②299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误；③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．∴正确的为①④，故选B ．12．已知数列{}n a 满足()*11,,2,,n n na n a n a n ++⎧=∈⎨⎩N 为奇数为偶数，若102333a ≤≤，则3a 的取值范围是（ ） A ．312a ≤≤B ．3194a ≤≤C ．323a ≤≤D ．3233a ≤≤ 【答案】B【解析】由递推关系可知22211n n a a ++=+，2122n n a a +=，所以22221n n a a +=+. 即()222121n n a a ++=+，可求()112231112122n n n a a a --⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 所以4103312118152a a a ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 因为102333a ≤≤，∴32381533a ≤+≤，解得3194a ≤≤，故选B.二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =______.【答案】14【解析】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=，所以17747()7142a a S a +===. 故填14.14．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，516a =，3432a a =-，则8S =_______．【答案】85-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则4123111632a q a q a q ⎧=⎨⋅=-⎩，解得11,2a q ==-， 所以881(2)1256851(2)3S ---===---， 故填85-15．数列{}n a ，若11a =，11n n a a n -=++，则8a =________.【答案】43【解析】由11n n a a n -=++可得()112n n a a n n --=+≥，213a a -=，324a a -=，⋅⋅⋅879a a -=，上式相加得81345678942a a -=++++++=，又11a =，可得843a = 故填4316．数列{}n a 中，112,21,n n a a a n +=+=+则122....n a a a +++=_____.【答案】22n n +【解析】若数列{}n a 中，12a =，121,n n a a n ++=+，可得1234562123,7,11,,41n n a a a a a a a a n -+=+=+=+=-，相加可得21232(341)3711(41)22n n n a a a a n n n +-++++=++++-==+.故填22n n +.17．如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列1a 、2a 、5a 、构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若35a =，86524a =，则d =________.【答案】3【解析】由题意可知，第一行是1a ，第二行是从2a 到4a ，第三行是从5a 到9a ，第四行是从10a 到16a ，第五行是从17a 到25a ，第六行是从26a 到36a ，第七行是从37a 到49a ，第八行是从50a 到64a ，第九行是从65a 到81a ，第十行是从82a 到100a ， 故3a 在第二行，86a 在第十行，因为35a =，86524a =，每一行都是一个公差为d 的等差数列，所以25a d =-，825244a d =-，因为表中的第一列1a 、2a 、5a 、构成一个公比为2的等比数列，所以82822a a ，即8525244dd ，解得3d =，故填3.18．设数列{}n a 满足2n na n λ=+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是__________.【答案】(),2-∞【解析】2n na n λ=+，n a n nλ∴=+，由于数列{}n a 是单调递增数列，则1n n a a +>，即11n n n nλλ++>++，整理得2n n λ<+，令2n b n n =+，()()()22111220n n b b n n n n n +⎡⎤∴-=+++-+=+>⎣⎦，所以，数列{}n b 单调递增，则数列{}n b 的最小项为21112b =+=，2λ∴<.因此，实数λ的取值范围是(),2-∞. 故填(),2-∞.三、解答题19．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-．（1）求出它的通项公式； （2）求使得n S 最小时n 的值.【解析】（1）当1n =时，1128a S ==-；当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(230)2(1)30(1)n n n n ⎡⎤=-----⎣⎦432n =-1a 也适合此式，432n a n ∴=-.（2）22152252302()22n S n n n =-=--又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小.20．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =， 21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 21．已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S =（1）求{}n a 的通项公式（2）设数列{}n b 满足(3)3n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，因为36a =所以1d =，14,3n a a n ==+所以；（2）()33=3n nn n b a n =-⋅⋅， ()12313233331nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ()()123+1+13312233333=313n n n n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得：，()+121334n n n T -⨯+=所以. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且()*14n n a a n N +=-∈ .（1）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 和4S ； （2）若数列{}n a 为等差数列，求1a 和n S .【解析】（1）因为10a >，所以 21144a a a =-=-，1132111,044448,4a a a a a a a <≤⎧=-=--=⎨->⎩因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2132a a a =，①当104a <≤时，所以()22114a a =-，得12a =； ②当14a >时，所以()()211184a a a -=-，得14a =-（舍）或14a =+综合①②可知，12a =或14a =+. 当12a =时， 22a =，32a =，4342a a =-=，所以48S =；当14a =+2140a a =-<，3180a a =->，43144a a a =-=-，所以48S =； 故48S =.（2）因为214a a =-，321444=-=--a a a ， 所以由等差列定义得2132a a a =+，得()1112444a a a -=+--（*） 当14a >时，由（*）得10a =，矛盾. 当104a <≤时，由（*）得12a =，符合条件. 当10a ≤时，因为公差2140d a a =-=>， 所以必存在2m ≥使得()1414m a a m =+->， 这与140m m m m d a a a a +=-=--<矛盾. 故综上可知：只有12a =时符合条件且此时公差210d a a =-=， 所以()*2n a n =∈N ， 所以12a =，2n S n =.。

WORD 格式 . 整理版高中数学学业水平测试系列训练之模块二一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每题 5 分，共 50 分）．1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（） A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台2．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（）A ．1B ． 1C ． 2D ． 323．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ） A ．α∥β B ．α与β订交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β订交4．以下四个说法① // α，bα , 则 //b② a ∩α＝ P ，b α，则 a 与 b 不平行aa③ a α，则 a // α ④a // α， b // α，则 a // b此中错误的说法的个数是（ ）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个5．经过点 P( 2, m) 和 Q (m,4) 的直线的斜率等于 1，则 m 的值是 （）A ． 4B ． 1C ． 1 或 3D ． 1 或 4 6．直线 kx － y ＋ 1＝3k ，当 k 改动时，全部直线都经过定点（）A ． (0 ， 0)B ． (0 ， 1)C ． (3 ， 1)D ． (2 ， 1)7．圆 x 2y 2 2x 2 y 0 的周长是（ ）A ． 2 2B ． 2C ． 2D ． 48．直线 x － y+3=0 被圆（ x） 2 （ y － ） 2=2 截得的弦长等于（）+2+2A ．6B ． 3C ． 23D ． 629．假如实数 x, y 知足等式 ( x 2)2y23 ，那么 y的最大值是（）xA ．1B ． 3C ． 3D ． 323210．在空间直角坐标系中，已知点 P （ x ， y ， z ），给出以下 4 条表达：① 点 P 对于 x 轴的对称点的坐标是（ x ，－ y ， z ）② 点 P 对于 yOz 平面的对称点的坐标是（ x ，－ y ，－ z ） ③ 点 P 对于 y 轴的对称点的坐标是（ x ，－ y ， z ） ④ 点 P 对于原点的对称点的坐标是（－ x ，－ y ，－ z ）此中正确的个数是（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0优良 .参照 .资料WORD 格式 . 整理版11 x2 y22x 4 y 20 0，则x2y2 的最小值．．已知实数 x，y 知足关系：12．向来线过点（－ 3，4），而且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是 _____ _____ ．13．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为 88cm2，则它的体积为 ___________．14．在棱长为a的正方体 ABCD－ A B C D 中， D 到 B C 的1 1 1 1 1 1距离为 _________， A 到 A1C 的距离为 _______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分)．15．已知：一个圆锥的底面半径为R，高为 H，在此中有一个高为x 的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）x为什么值时，圆柱的侧面积最大．16．以下图，四棱锥P－ ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA⊥平面 ABCD， M、 N 分别是 AB、PC的中点， PA＝ AD＝a．（1）求证： MN∥平面 PAD；（2）求证：平面 PMC⊥平面 PCD．17．过点5， 4 作向来线l，使它与两坐标轴订交且与两轴所围成的三角形面积为5．18．（ 12 分）已知一圆经过点A（2，－3）和 B（－2，－5），且圆心 C在直线 l ：x 2 y 30 上，求此圆的标准方程．19．（ 12 分）一束光芒l 自 A（－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙ C： x2＋ y2－4x－4y＋7＝0上．（1）求反射线经过圆心C时，光芒l的方程；（2）求在x轴上，反射点M的范围．20．（ 14 分）如图，在正方体ABCD A1 B1C1 D1中， E、 F分别是 BB1、 CD 的中点（1）证明：AD D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明：面AED面A1FD1．高中数学学业水平测试系列训练之模块二（参照答案）一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每题5 分，共 50 分）．CDDCB CADBC二、填空题：请把答案填在题中横线上（每题6 分，共 24 分）．11． 3010 5；12． x 3y 9 0 或 4x y 160 ；13． 48cm 3；14． 6a ，6a ；23三、解 答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分)．15． 解：（ 1）设内接圆柱底面半径为 r .S 圆柱侧 2 r x ①r H xrR (Hx) ②RHH② 代入 ①S 圆柱侧2 xR( H x) 2 R x 2 Hx (0 x H ) H H22 （ 2） S 圆柱侧2 R x 2Hx2 R x HHHH2 4x H 时S圆柱侧最大RH2216．证明：如答图所示， ⑴ 设 PD 的中点为 E ，连接 AE 、NE ，由 N 为 PD 的中点知 EN //1DC ，2又 ABCD 是矩形，∴ DC // AB ，∴ EN //1AB2又 M 是 AB 的中点，∴ EN // AN ，∴AMNE 是平行四边形∴MN ∥AE ，而 AE 平面 PAD ， NM 平面 PAD∴MN ∥平面 PAD证明： ⑵ ∵PA ＝AD ，∴ AE ⊥ PD ，又∵ PA ⊥平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ，∴ C D ⊥PA ，而 CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面 PAD∴ C D ⊥AE ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴ AE ⊥平面PCD ，∵MN ∥AE ，∴ MN ⊥平面 PCD ，又 MN 平面 PMC ，∴平面 PMC ⊥平面 PCD.PNEDCAMBWORD 格式 . 整理版17．剖析：直线 l 应知足的两个条件是（ 1）直线 l 过点（－ 5,－4）；（ 2）直线 l 与两坐标轴订交且与两轴所围成的三角形面积为5.假如设 a ，b 分别表示 l 在 x 轴， y 轴上的截距，则有1 b5 .a2这样就有以下两种不一样的解题思路：第一，利用条件（ 1）设出直线 l 的方程（点斜式），利用条件（ 2）确立 k ； 第二，利用条件（ 2）设出直线 l 的方程（截距式），联合条件（ 1）确立 a ， b 的值 .解法一：设直线 l 的方程为 y 4k x 5 分别令 y0， x 0 ，得 l 在 x 轴， y 轴上的截距为：a5k4，b5k 4k由条件（ 2）得 ab105k 4 5k 410k得 25k 230 k 16 0 无实数解；或 25k250k16 0，解得 k 18， k 2 25 5故所求的直线方程为：8x 5y20 0 或2x 5y10 0解法二：设 l 的方程为x y 1，由于 l 经过点5， 4，则有：ab5 4 1 ①又ab10 ②ab5 b1a5 a5联立 ① 、② ，得方程组ab解得2或b4 b2ab10所以，所求直线方程为：8x 5y 20 0 或2x 5y 10 0 .18．解：由于 A （ 2，－ 3），B （－ 2，－ 5） ，所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 （ 0，－ 4），y又k AB5 ( 3)1，所以线段 AB 的垂直x-2y-3=02 22O x均分线的方程是y2x 4 ．A联立方程组 x2 y 3，解得 x 1 ．By 2 x 4y 2所以，圆心坐标为C （－ 1，－ 2），半径r| CA |(2 1)2( 3 2) 2 10 ，所以，此圆的标准方程是(x1)2 ( y 2) 2 10 ．19．解： ⊙ C ： ( x － 2) 2＋ ( y －2) 2＝ 1（Ⅰ） C 对于 x 轴的对称点 ′(2，－ 2) ，过 ， ′的方程 ： x ＋ y ＝ 0 为光芒 l 的方程．CAC优良 .参照 .资料WORD 格式 . 整理版切时，有 2 k 2 3k 3 1 k 4 或k31 k234 ∴过 A′，⊙ C 的两条切线为y 3 4(x 3), y 33(x 3) 令y＝0，得3 , x2 3 4x1 14∴反射点M x轴上的活动范围是3 ,1在420．（ 1）AC1是正方体AD 面 DC 1 , 又 D1F 面 DC1 , AD D1 F （2）取AB中点G，连接A1G，FG , F是 CD中点GF / / AD 又 A1 D1 / / ADGF // A1 D1 GFD1 A1是平行四边形A1G // D1 F设 A1 G AE H则 AHA1是 AE与 D1 F所成的角E是BB1的中点Rt A1 AG Rt ABE GA1 A GAH A1 HA 90 即直线 AE 与D1 F所成角是直角（3）AD D1 F（ (1)中已证）AE D1 F ,又 AD AE A, D1 F 面AED ,又 D1 F 面 A1 FD 1 ,面 AED 面 A1 FD1。

高中数学对数函数经典练习题及答案（优秀4篇）对数函数练习题篇一一、选择题1、下列函数(1)y= x (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、A 、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点，若则( )A.t0 C.t>1 D. t≤13、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的三角形最多有( )A. 5个B.6个C.7个D.8个4、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )A.11 D.m0的解集是( )A.x>3B.-2-29.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点，那么a:b等于( )A. B.C. D.以上答案都不对10、函数y=kx+b，那么当y>1时，x的取值范围是：( )A、x>0B、x>2C、x212、在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(-2，4),B(4，2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是( )A.5B.-5C.-2D.3二、填空题13、如果直线y = -2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____.14、平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4.则m的值是。

15、直线y=kx+2经过点(1,4),则这条直线关于x轴对称的直线解析式为：。

16、已知一条直线经过点A(0，2)、点B(1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 .17、点A的坐标为(-2，0)，点B在直线y=x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________。

18、已知三个一次函数y1=x,y2= x+1,y3=- x+5。

第二章 2.1 2.1.1基础巩固一、选择题1．空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点[答案] C2.如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[答案] A[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A．①④B．②③C．④D．③[答案] C[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．4.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上都不对[答案] C[解析]由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.5．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()[答案] A6．下图中正确表示两个相交平面的是()[答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．二、填空题7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：(1)点C与平面β：________.(2)点A与平面α：________.(3)直线AB与平面α：________.(4)直线CD与平面α：________.(5)平面α与平面β：________.[答案](1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方体ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1.(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1.(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．[答案](2)(3)(4)[解析](1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．三、解答题9．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[分析][解析]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：方法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C ∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α.又A∈α，同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚．2．对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．10.如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．[解析]∵AB∥CD，∴AB，CD共面，设为平面β，∴AC在平面β内，即E在平面β内．而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3可得，B，D，E三点共线．能力提升一、选择题1．(2015·天津武清月考)下列说法正确的是()A．两两相交的三条直线确定一个平面B．四边形确定一个平面C．梯形可以确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面[答案] C[解析]因为梯形的两腰是相交直线，所以根据确定平面的条件，梯形应确定一个平面．2．下列命题正确的是()A．两个平面如果有公共点，那么一定相交B．两个平面的公共点一定共线C．两个平面有3个公共点一定重合D．过空间任意三点，一定有一个平面[答案] D[解析]如果两个平面重合，则排除A、B；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取3个点都是两个平面的公共点，故排除C；而D中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这3个点．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[答案] D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．4．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D[答案] D[解析]A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．二、填空题5．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定的平面的个数是________.[答案] 6[解析]如图．6.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．[答案](1)BD(2)AC[解析](1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD ＝BD，所以P∈BD．(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．三、解答题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：(1)E 、C 、D 1、F 、四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． [证明] (1)分别连结EF 、A1B 、D 1C ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ， ∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面． (2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ， ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，∴P ∈平面AA 1D 1D ． 又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，∴P ∈平面ABCD ， 即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD ，∴P ∈直线AD (公理3)，∴直线CE 、D 1F 、DA 三线共点．8．(2015·江苏淮安模拟)如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1， ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a . ∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ，于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .。

4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

5.2.2导数的四则运算要点 导数的运算法则法则1：函数的和(差)的导数导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)． 法则2：函数的积的导数(1)(特殊化)当g(x)＝c(c 为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋c·[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)．(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a ，b 为常数．(3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u ′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v ′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x)． 法则3：函数的商的导数(1)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x ).(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，f (x )g (x )＝1g (x ) ，[1g (x )]′＝－g ′(x )[g (x )]2.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知函数y ＝2ln x －2x ，则y ′＝2x－2x ln2.( )(2)已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，则y ′＝3cos x ＋sin x ．( ) (3)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (4)若函数f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝e x (x ＋2)x 3.( )【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．已知函数f (x )＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1－sin 1 B ．1＋sin 1 C ．sin 1－1 D ．－sin 1 【答案】A【解析】因为f ′(x )＝－sin x ＋1x ，所以f ′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.故选A.3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2 x ＋sin 2 xB ．y ′＝cos 2 x －sin 2 xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x 【答案】B【解析】y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.【答案】1【解析】f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.题型一 利用运算法则求函数的导数【例1】根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． (1)y ＝x 2－2x －4ln x ； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝x ex ；(4)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(5)y ＝x ＋sin x 2cos x2.【解析】(1)y ′＝2x －2－4x .(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.(3)y ′＝x ′e x －x ·(e x )′(e x )2＝1－xe x(4)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(5)先使用三角公式进行化简，得y ＝x ＋12sin x∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋12sin x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1＋12cos x . 观察各函数的特点，能化简的先化简，再用求导法则求解．【方法归纳】利用导数的公式及运算法则求导的思路【跟踪训练】(1)已知f (x )＝e xx(x ≠0)，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．【答案】(1)12【解析】(1)因为f ′(x )＝(e x )′x －e x ·x ′x 2＝e x (x －1)x 2所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x 0(x 0－1)x 20＋e x 0x 0＝0，解得x 0＝12.(2)求下列函数的导数．①y ＝x －2＋x 2；②y ＝3x e x －2x ＋e ；③y ＝ln x x 2＋1；④y ＝x 2－sin x 2cos x 2.【解析】(2)①y ′＝2x －2x －3； ②y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2；③y ′＝x 2＋1－2x 2·ln xx (x 2＋1)2；④因为y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，所以y ′＝2x －12cos x .题型二 导数运算法则的综合应用【例2】已知曲线y ＝xx －1在(2,2)处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0平行，求实数a 的值．【解析】因为y ′＝x ′(x －1)－(x －1)′x (x －1)2＝－1(x －1)2所以y ′|x ＝2＝－1即－a2＝－1所以a ＝2.【变式探究1】本例条件不变，求该切线到直线ax ＋2y ＋1＝0的距离． 【解析】由例2知切线方程为x ＋y －4＝0直线方程x ＋y ＋12＝0所以所求距离d ＝12＋42＝924.【变式探究2】本例条件不变，求与直线y ＝－x 平行的过曲线的切线方程． 【解析】由例2知y ′＝－1(x －1)2令－1(x －1)2＝－1得x ＝0或2所以切点为(0,0)和(2,2)， 所以切线方程为x ＋y －4＝0. 【方法归纳】关于求导法则的综合应用(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 【跟踪训练2】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值．(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 【解析】(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ， 又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7， 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)． 即7x ＋y －3＝0.【易错辨析】混淆曲线下的相切与导数背景下的相切致错．【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1C ．－74或－2564D ．－74【答案】A【解析】因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在点(x 0，x 30)处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以3x 20－2x 30＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，由直线y ＝0与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得方程ax 2＋154x －9＝0有两个相等的实数根，此时Δ＝(154)2－4a ×(－9)＝0，解得a ＝－2564；当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切，联立直线方程和曲线方程并消去y ，得ax 2－3x －94＝0，此时Δ＝9－4×a ×(－94)＝0，解得a ＝－1.综上可得，a ＝－1或a ＝－2564.【易错警示】 出错原因有的同学认为x 0＝0时，此时直线y ＝0与曲线y ＝x 3相交，就把这种情况舍去了，错选了B. 纠错心得正确理解导数背景下的相切．例如直线y ＝0与曲线y ＝x 3在x ＝0处是相切的.一、单选题1．若()e ln2xf x x =，则()f x '等于（ ）A ．e e ln 22xx x x+B ．e ln 2xx x -C ．e e ln 2xxx x+D ．12e x x⋅【答案】C 【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【解析】解：()()()ee ln 2e ln 2e ln 2xxx x f x x x x x'''=⋅+⋅=+.故选：C.2．已知函数()()()21ln f f x x x x =+-'，则()2f '=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】对函数求导，将1x =代入导函数，即可得到导函数的表达式，再代入2x =即可得到结果. 【解析】因为()()1211f x x f x ⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭，所以得到()()()121112f f ''=+⋅-=，因此()222f x x x'=+-，所以()24123f '=+-=． 故选：B.3．已知函数()()42e 21x f x x -+=⋅+，则()0f '=（ ）A ．2eB ．1C ．27eD ．29e -【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数公式，结合复合函数的导数运算法则求f x ，进而求()0f '.【解析】()22e ex x -+-+=-'，43(21)8(21)x x '⎡⎤+=+⎣⎦，∴()()422e 21e x x x f x -+-+=-⋅++'()3821x ⋅+，当0x =时，()2220e 8e 7e f '=-+=.故选：C4．下列求导计算正确的是（ ） A ．2ln ln 122x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2[ln(21)]21x x '+=+ C ．()11122ln 2x x ++'=D ．2sin cos cos 22x x x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解 【解析】2ln 1ln 22x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，A 错误；2[ln(21)]21x x '+=+，B 正确； ()1122ln 2x x ++'=，C 错误；2sin cos (sin )sin cos 22x x x x x x x x '⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭，D 错误．故选：B ．5．已知数列{}n c 为等比数列，其中11c =，20224c =，若函数()()()122022()f x x x c x c x c =--⋅⋅⋅-，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '=（ ） A ．5052 B ．10112 C ．20222 D ．40222【答案】C 【分析】根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出. 【解析】11c =，20224c =，{}n c 为等比数列，12022220214c c c c ∴==⋅⋅⋅=，()()()()()()()1011202212202212202212202242c c c f x x c x c x c x x c x c x c ''⋅⋅⋅===--⋅⋅⋅-+--⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦，则2022122022(0)2f c c c '=⋅⋅⋅=.故选:C.6．若函数()()()()()2019202020212022f x x x x x =----，则()2021f '=（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1【答案】A 【分析】构造函数()()()()201920202022g x x x x =---，再用积的求导法则求导计算得解. 【解析】令()()()()201920202022g x x x x =---，则()()()2021f x x g x =-⋅， 求导得：()()()()12021f x g x x g x ''=⋅+-⋅， 所以()()()202120212112f g '==⨯⨯-=-. 故选：A7．设()322f x x ax x b =+-+，若()14f '=，则a 的值是（ ）A ．94B ．32C ．1-D ．52-【答案】B【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax －2，故f ′(1)＝3＋2a －2＝4，解得a ＝32. 8．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )＝（ ） A ．e －1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e【答案】C 【分析】对函数求导得''1()2()f x f e x=+，再将x e =代入，解方程即可得到答案；【解析】∴f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，∴''1()2()f x f e x =+，∴''1()2()f e f e e =+，解得'1()f e e=-，故选：C.二、多选题9．（多选）下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()sin cos cos sin x x x x +'=-C ．2ln 1ln x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】BC 【解析】A 中(1)x x+′＝1－21x ，A 不正确；D 中，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确；BC 正确. 答案 BC10．下列求导数运算正确的是（ ） A ．（2021x ）′=x 2021x ﹣1B ．（x 2021+log 2x ）′=2021x 202012xln +C ．（cosx sinx ）′222sin x cos x sin x-=D ．（x 23x ）′=2x 3x +x 23x ln3 【答案】BD 【分析】根据题意，依次计算选项中函数的导数，即可得答案. 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，（2021x ）′=2021x ln 2021，A 错误；对于B ，（x 2021+log 2x ）′=（x 2021）′+（log 2x ）′=2021x 202012xln +，B 正确； 对于C ，（cosx sinx）′221sinx sinx cosx cosx sin x sin x -⋅-⋅==-，C 错误；对于D ，（x 23x ）′=（x 2）′•3x +x 2×（3x ）′=2x 3x +x 23x ln 3，D 正确. 故选：BD.11．设函数()cos f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．π12f=-'⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．()2sin cos f x x x x x x ='⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．()f x 在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为π02x y +-=D ．[()]cos sin xf x x x x =+' 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证. 【解析】对于A ：因为()cos f x x =，所以()cos =022f ππ=，所以π0=02f'='⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 错误；对于B ：因为()cos f x x =，所以()cos f x x x x =，所以()2sin cos f x x x x x x ='⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ：因为()cos f x x =，所以()sin f x x '=-，所以()sin =122f ππ'=--.而()cos =022f ππ=，所以()f x 在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为π02x y +-=，故C 正确；对于D ：()[()]cos cos sin xf x x x x x x '==-'.故D 错误. 故选：BC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．函数()321y x =+在0x =处的导数是______． 【答案】6 【分析】将函数解析式展开，再求导，之后代入0x =即可得到结果. 【解析】将函数解析式展开得到：3281261y x x x =+++，求导得224246y x x '=++， 所以06x y ='=． 故答案为：6. 13．函数()1cos sin x f x x -=的图象在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 【答案】π102x y -+-= 【分析】先利用基本函数的导数公式和导数的运算法则求导，再利用导数的几何意义进行求解. 【解析】 因为()1cos sin xf x x-=， 所以'''2(1cos )sin (1cos )(sin )()sin x x x x f x x -⋅--⋅=2222sin cos cos 1cos sin sin x x x x x x-+-==，则所求切线的斜率为'2π1cosπ2()1π2sin 2k f -===， 所以所求切线方程为π12y x -=-， 即π102x y -+-=. 故答案为：π102x y -+-=. 14．下列各函数的导数：①1212x -'=；②()ln x x a a x '=；③()sin 2cos 2x x '＝；④(1x x +)′＝21(1)x +.其中正确的有________.【答案】①④【分析】 直接利用导数公式计算即可求解.【解析】112212x x -'⎛⎫'== ⎪⎝⎭，①正确； ()ln x x a a a '＝，②错误；()()sin2cos222cos2x x x x ''＝＝，③错误； (1x x +)′＝2(1)(1)(1)x x x x x ''+-⋅++＝21(1)x x x +-+＝21(1)x +，④正确. 故答案为：①④.四、解答题15．求下列函数的导数；（1）32235y x x =-+（2）241y x x =++ （3）22log x y x =+（4）n x y x e =（5）31sin x y x-=（6）sin sin cos x y x x=+ 【答案】 （1）266y x x '=-（2）()22241y x x --'=--+（3）12ln 2ln 2x y x '=+ （4）1n x n x y nx e x e -'=+（5）()2323sin cos 1sin x x x x y x --'=（6）11sin 2y x '=+ 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；（1）解：因为32235y x x =-+，所以266y x x '=-；（2） 解：因为()11242411y x x x x --=+=+++，所以()22241y x x --'=--+； （3）解：因为22log x y x =+，所以12ln 2ln 2x y x '=+； （4）解：因为n x y x e =，所以()()1n x n x n x n x y x e x e nx e x e -'''=+=+；（5） 解：因为31sin x y x -=，所以()()()()()3323221sin sin 13sin cos 1sin sin x x x x x x x x y x x ''-----'== （6） 解：因为sin sin cos x y x x=+，所以()()()()()()()22sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin 11sin 2sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x y x x x x x ''+-++--'===+++。