2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合U N =，{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<，则()U A B =（ ） A ．{2,3,4,5,6} B ．{2,4,6}C ．{1,3,5}D ．{3,5}【答案】D【解析】按照补集、交集的定义，即可求解. 【详解】{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<，()UA B ={3,5}.故选:D. 【点睛】本题考查集合的混合计算，属于基础题.2．双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为y =，则其离心率为（ ）A ．32B ．2C ．3 D【答案】B【解析】根据渐近线得到a =，得到离心率.【详解】双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为y =，则a =，=c ，62c ea . 故选：B . 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.3．如图，某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．72B ．73C ．76D ．7【答案】C【解析】根据三视图知几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，计算体积得到答案. 【详解】根据三视图知：几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，故111117111221122322226V ⎛=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝. 故选：C . 【点睛】本题考查了三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 4．若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．1± B ．1-C ．0D ．1【答案】A【解析】因为22(1)12ai a ai +=-+是纯虚数，210, 1.a a ∴-==± 5．已知平面α，β，直线a ，满足αβ⊥，l αβ=，则下列是a β⊥的充分条件是（ ） A ．//a α B ．a α⊂C ．a l ⊥D ．,a l a α⊥⊂【答案】D【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案. 【详解】当//a α时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，A 错误； 当a α⊂时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，B 错误； 当a l ⊥时，不能得到a β⊥，C 错误；当a l ⊥，a α⊂时，则a β⊥，充分性；当a β⊥时，l β⊂，故a l ⊥，a 与α关系不确定，故不必要，D 正确；故选：D . 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.6．已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．的是（ ） A ． cos cos a b a b +>+ B ．cos cos a b b a ->- C ．sin sin a b a b ->- D ．sin sin a b b a ->-【答案】A【解析】设()cos f x x x =-，证明()f x 单调递增，得到a b >，构造函数根据单调性到BCD 正确，取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误，得到答案. 【详解】设()cos f x x x =-，则()'1sin 0f x x =+≥恒成立，故()f x 单调递增，cos cos a b a b ->-，即cos cos a a b b ->-，即()()f a f b >，a b >.取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误；设()cos g x x x =+，则()'1sin 0g x x =-≥恒成立，()g x 单调递增， 故()()g a g b >，就cos cos a b b a ->-，B 正确； 同理可得：CD 正确. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 7．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C【解析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=，D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．8．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，AB BC E F ⊥,、是SC 上两个三等分点，记二面角E AB F --的平面角为α，则tan α（ ）A ．有最大值43B ．有最大值34C ．有最小值43D ．有最小值34【答案】B【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB a ，BC b =，AS c =，计算1tan 2c bα=，2tan 2b c α=，则123tan tan 24πααα⎛⎫=--≤⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】将三棱锥放入长方体中，设AB a ，BC b =，AS c =，如图所示： 过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM AB ⊥与M ，连接ME ， 则EMN ∠为二面角E AB C --的平面角，设为1α，则13NE c =，23MN b =，故1tan 2cbα=. 同理可得：设二面角F AB S --的平面角为2α，2tan 2b cα=. 12121231tan tan 34tan tan 2tan tan 422c b b cααπααααα-⎛⎫=--==≤ ⎪+⎝⎭+，当22c bb c=，即b c =时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力.9．已知2a b a b ==⋅=，c tb -的最小值为c a -，则4ba c c a +-+-的最小值为（ ） A ．31 B ．2C 3D 31【答案】C【解析】如图所示：在直角坐标系中，取点3,02F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,12A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得到C 的轨迹方程为223y x =，故4ba c c a CD CF CD CM DN +-+-=+=+≤，得到答案. 【详解】如图所示：在直角坐标系中，取点3,02F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,12A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则()3,1a AF ==，()0,2b AB ==，满足2a b a b ==⋅=，设c AC =，过点C 作CM 垂直于AB 所在的直线与M ，则c tb -的最小值为MC ， 即MC CF =，根据抛物线的定义知C 的轨迹方程为：223y x =.取33,42b a AD ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故31,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 即34ba c c a CD CF CD CM DN +-+-=+=+≥=， 当DC 垂直于准线时等号成立. 故选：C .【点睛】本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到C 的轨迹方程是解题的关键.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n n a S a -=，则下列结论中（ ）①数列{}2n S 是等差数列；②n a <11n n a a +<A ．仅有①②正确B ．仅有①③正确C ．仅有②③正确D ．①②③均正确【答案】D【解析】由条件求得2211n n S S --=，可判断①，由①得n a ，可判断②；由n a 判断③，可知①②③均正确，可选出结果． 【详解】①由条件知，对任意正整数n ，有1＝a n （2S n ﹣a n ）＝（S n ﹣S n ﹣1）（S n +S n ﹣1）221n n S S -=-，又()2111111,211,1n a S a a S =±==∴=-所以{2n S }是等差数列．②由①知n S =或显然，当1n n n n S a S S -==-≤n S =，n a =<②正确③仅需考虑a n ，a n +1同号的情况，不失一般性，可设a n ，a n +1均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），由②故有n S =，1n S +=，此时n a =1n a +=从而1n n a a +＜=＜1．故选：D ． 【点睛】本题考查数列递推式，不等式的证明，属于一般综合题．二、填空题11．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个． 【答案】23【解析】除以3 余2 且除以7 余2的数是除以21 余2的数. 3和7的最小公倍数是21.21的倍数有21,42,63,82...... 除以3 余2 且除以7 余2的数有23,45,65,85，… 其中除以5 余3 的数最小数为23 ，这些东西有23个，故答案为23 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.12．若,x y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值为___________，最大值为___________. 【答案】4513 【解析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，22z x y =+表示点(),x y 到原点距离的平方.根据图像知：当取B 点，即2,3x y ==时，22z x y =+有最大值为13. 原点到直线220x y +-=的距离为d =22z x y =+有最小值为245d =. 故答案为：45；13.【点睛】本题考查了线性规划问题，将22z x y =+转化为点(),x y 到原点距离的平方是解题的关键.13．从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体. 【答案】12 58【解析】根据题意，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，可作4812C -个四面体，得到答案. 【详解】正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作481258C -=个四面体.故答案为：12；58. 【点睛】本题考查了不同平面和四面体的个数，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 14．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边,,a b c 依次成等差数列，且() cos cos b C k B c =-，则k 的取值范围___________，若2k=，则cos B 的值为___________. 【答案】1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭1116【解析】根据正弦定理得到a k c =，根据等差数列和余弦定理到2332cos 8k kB k+-=，根据三角函数的有界性解得答案. 【详解】()cos cos b C k B c =-，故cos sin cos cos sin sin cos sin sin b C B C B C A ak B c C C c+=+===， 边,,a b c 依次成等差数列，故2b a c =+，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0cos 1B <<. 根据余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，化简整理得到：222332332cos 88a c ac k k B ac k +-+-==，故2332018k kk+-<<，解得1,33k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当2k =时，233211cos 816k k B k +-==.故答案为：1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；1116. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.15．在444x x ⎛-⎫⎪⎝⎭+的展开式中，各项系数和为_______，其中含2x 的项是________.【答案】1 2112x【解析】取1x =，各项系数和为1，8444xx +-=⎫ ⎪⎝⎛⎭，展开式的通项为：4182r r r r T C x -+=⋅，计算得到答案.【详解】444x x ⎛-⎫⎪⎝⎭+的展开式中，取1x =，则各项系数和为1；8444xx +-=⎫ ⎪⎝⎛⎭，则展开式的通项为：()8418822rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭. 取2r，则含2x 的项是：222282112C x x ⋅=.故答案为：1；2112x . 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P是椭圆C 上一点（不在坐标轴上），Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，若22QF OQ =，则椭圆离心率的范围是___________．【答案】1,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由已知结合三角形内角平分线定理可得|PF 1|＝2|PF 2|，再由椭圆定义可得|PF 2|23a=，得到a ﹣c 23a a c +＜＜，从而得到e 13c a =＞，再与椭圆离心率的范围取交集得答案． 【详解】∵22QF OQ =，∴223QF c =，143QF c =，∵PQ 是12F PF ∠的角平分线， ∴1243223c PF PF c ==，则122PF PF =，由12232PF PF PF a +==，得223a PF =， 由23a a c a c -<<+，可得13c e a =>，由01e <<，∴椭圆离心率的范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题． 17．对于任意的实数b ，总存在[]0,1x ∈，使得21x ax b ++≥成立，则实数a 的取值范围为_____.【答案】1a ≥或3a ≤-【解析】当1b ≥时，取0x =，满足21x ax b ++≥，考虑11b -<<的情况，讨论02a-≤，1022a <-≤，1122a <-<，12a -≥四种情况，分别计算得到答案. 【详解】当1b ≥时，取0x =，满足21x ax b ++≥，成立； 现在考虑11b -<<的情况： 当02a-≤，即0a ≥时，[]2,1x ax b b b a ++∈++，只需满足11b a ++≥恒成立，1a ≥；当1022a <-≤，即10a -≤<时，22,14a x ax b b b a ⎡⎤++∈-++⎢⎥⎣⎦，只需满足11b a ++≥恒成立，或214a b -≤-恒成立，无解；当1122a <-<，即21a -<<-时，22,4a x ax b b b ⎡⎤++∈-⎢⎥⎣⎦，只需满足214a b -≤-恒成立， 无解； 当12a-≥，即2a ≤-时，[]21,x ax b b a b ++∈++，只需满足11b a ++≤-恒成立，3a ≤-；综上所述：1a ≥或3a ≤-. 故答案为：1a ≥或3a ≤-. 【点睛】本题考查了恒成立问题，意在考查学生的分类讨论的能力，计算能力和应用能力.三、解答题18．已知函数()30,22f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+><⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意实数x 满足()566f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）当()f x 的周期最大值时，求函数()f x 的解析式，并求出()f x 单调的递增区间；（2）在（1）的条件下，若,0,26a a f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈=，求()2f a 的值.【答案】（1）()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭，()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2 【解析】（1）计算周期最大值为2π，从而min 23ω=，3πϕ=，得到函数解析式，取22232kx x k ππππ-+≤+≤+，解得答案.（2）化简得到3cos 5a =，4sin 5a =，代入计算得到答案. 【详解】（1）由题意知周期最大满足5266T πππ=+=，故周期最大值为2π，从而min 23ω=，又函数()f x 图象的一条对称轴为6x π=，所以62()kx k Z ππϕ+=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭. 当()f x 单调递增时，22232kx x k ππππ-+≤+≤+，因此()f x 单调的递增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭，又6f a π⎛⎫ ⎪=⎝⎭+63a a ππ⎛⎫=⎪⎭=⎝++，即3cos 5a =， 因为0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5a =，4324sin 22sin cos 25525a a a ==⨯⨯=，27cos22cos 125a x =-=-，所以()3222cos 232f a a a a π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭243725225=-⨯=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数周期，三角函数单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点.(1)求证：AE //平面PDC ；(2)若BC ＝CD ＝PD ，求直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155【解析】（1）取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，推导出四边形ADFE 是平行四边形，从而//AE DF ，由此能证明//AE 平面PDC ．（2）推导出DF PC ⊥，由//AE DF ，得AE PC ⊥，再推导出PD BC ⊥，BC CD ⊥，从而BC ⊥平面PDC ，BC DF ⊥，BC AE ⊥，AE PC ⊥，进而AE ⊥平面PBC ，连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角，由此能求出直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值． 【详解】解：（1）证明：取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，E 是PB 的中点，//EF BC ∴，且2BC EF =，//AD BC ，2BC AD =，//AD EF ∴，且AD EF =，∴四边形ADFE 是平行四边形，//AE DF ∴，又DF ⊂平面PDC ，//AE ∴平面PDC ．（2）解：PD DC =，PDC ∴∆是等腰三角形，DF PC ∴⊥，又//AE DF ，AE PC ∴⊥，PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，BC ∴⊥平面PDC ，DF ⊂平面PDC ，BC DF ∴⊥，BC AE ∴⊥，又AE PC ⊥，AE ∴⊥平面PBC ，连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角， 设2PD CD BC ===，在Rt PCB ∆中，解得22=PC ，23PB =，3EC =，在Rt ADC ∆中，解得5AC =，∴在Rt AEC ∆中，315cos 55EC ECA AC ∠===， ∴直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值为155．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知数列{}n a 满足12a =，()1*121222n n n n a a a na n N -+++⋅⋅⋅+=∈.（1）求n a ；（2）求证：()*122311113261112n n a a a n n n N a a a +----<++⋅⋅⋅+<∈---. 【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析【解析】（1）根据题意变换得到数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，得到通项公式.（2）11112n n n a b a +-=<-，11111232n n nn a b a +-=≥--⋅，代入计算得到答案.【详解】（1）由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得3121212222n n n na a na a a +-+++⋅⋅⋅+=， 所以当2n ≥时 ()312122112222n n n n n a a a a a ----+++⋅⋅⋅+=， 因此有()()112112222nn n n n n a a na n +---=-≥，即()1221n n n a na n a +=--， 整理得12(2)n n a a n +=≥，又12a =，212a a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求得2nn a =.（2）记1111212112121212n nn n n n n a b a +++---==<=---， 故122311111111112222n n a a a na a a +---++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=---，又112111212111111122121212222422232nnn nn n n n nn a b a ++++----====-=-≥-----⋅-⋅， 所以122311111111111326211112233223612n n n n a a a n n n n a a a +⎛⎫- ⎪----⎝⎭++⋅⋅⋅+≥-=-+⋅>-=----. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列的放缩能力和应用能力.21．已知点M 为抛物线2:4C y x =上异于原点O 的任意一点，F 为抛物线的焦点，连接MF 并延长交抛物线C 于点N ，点N 关于x 轴的对称点为A . （1）证明：直线MA 恒过定点；（2）如果FM OM λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2λ≥【解析】（1）设()()2211()4,404,4M t t t N t t ≠，，计算得到114t t=-，直线AM 的方程为()24141ty x t =++，得到答案. （2）计算()224218116t t tλ-=++，设2181m t =-<，讨论0m =，0m <，01m <<三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）设()()2211()4,404,4M t t t N t t ≠，，因为()1,0F ，所以()()2211,14,441,4MF t t FN t t =--=-，由M F N ，，三点共线得()()22111444140t t t t -⋅+-⋅=，化简得114t t=-， 即211,4N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得211,4A t t ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AM 的方程为()2244441t y t x t t -=-+， 即()24141ty x t =++，因此直线MA 恒过定点()1,0-.（2）()()222222422424116181161616FM t t t t t t tOMλ-+-===+++，0λ≥，令2181m t =-<， 如果0m =，则1λ=； 如果0m ≠，则2114910m mλ=+⋅+-， 当0m <时，96m m +≤-，3m =-时等号成立，从而2314λ≤<，即12λ≤<； 当01m <<时，函数910y m m=+-在()0,1上单调递减，当1m =时，0y =，故0y >， 故10910m m>+-，所以21λ>，故1λ>. 综上，实数λ的取值范围为λ≥. 【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．已知函数()ln f x x a x =-.（1）若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，()f x m =有两个不同的零点12,x x ，求证：121x x m +>+. 【答案】（1）1；（2）证明见解析 【解析】（1）求导得到()af x x x'-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，根据函数单调性得到()ln 1f a a a a =-=，解得答案.（2）要证明121x x m +>+，只需要证明()111ln 1ln 0x x ---<，设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，求导得到单调性，得到()()10hx h <=，得到证明.【详解】（1）由已知得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1a x a f x x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增， 且当0x →时，()f x →-∞，不合题意； 当0a >时，由()0f x '=得x a =，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()f x 在x a =处取到极小值，也是最小值()ln f a a a a =-，由题意，()ln 1f a a a a =-≥恒成立，令()ln g x x x x =-，()ln g x x '=-，()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()ln 11g x x x x g =-≤=，所以()ln 1f a a a a =-=，即1a =. （2）()ln f x x x =-，且()f x 在1x =处取到极小值1，又0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，故1m 且1201x x <<<， 要证明：121x x m +>+，只需证明211x m x >+-，又2111x m x >+->， 故只需证明：()()211f x f m x >+-，即证：()11m f m x >+-， 即证：()111ln 1m m x m x >+--+-，即证：()111ln 1ln 0x x ---<，设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，则()()()11ln 11ln 1ln x x xh x x x x x -+'=-+=--，因为01x <<，所以()1ln 0x x ->，由（1）知ln 1x x ≤-恒成立， 所以11ln1,ln 1x x x x x≤-∴-≤-，即1ln 0x x x -+≥， 所以()h x 在01x <<上为增函数，所以()()10h x h <=，即命题成立. 【点睛】本题考查了不等式恒成立，零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.。
