高考数学总复习 6-2等差数列基础巩固强化练习 新人教A版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·北京东城区统一检测)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 根据已知，a 1＋2d ＝6,3a 1＋3d ＝12，解得d ＝2.(理)已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( ) A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 [答案] B[解析] 设数列{a n }的公差为d ，由题意得，2a 1＋d ＝4,2a 1＋13d ＝28，所以a 1＝1，d ＝2. 于是S 10＝10×1＋10×92×2＝100.[点评] 可设b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则{b n }为等差数列，其公差D ＝b 4－b 13＝8，∴S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 5＝5b 1＋5×42D ＝100. 2．(文)(2012·辽宁文，4)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 [答案] B[解析] 由等差数列的性质得，a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16，B 正确． [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质．(理)(2013·昆明重点高中检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7的值为( )A ．28B ．42C ．56D ．14 [答案] A[解析] ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12， ∴a 4＝4，∴S 7＝7a 4＝28，故选A.3．(2013·玉溪模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11[解析] 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.4．(文)在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }的前19项之和为( ) A ．98 B ．95 C ．93 D ．90[分析] 由求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2，及等差数列的性质a 1＋a 19＝a 9＋a 11可求解结果．[答案] B[解析] S 19＝19×(a 1＋a 19)2＝19×(a 9＋a 11)2＝19×102＝95，故选B. (理)(2013·天津新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案] C[解析] 因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.5．(文)已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143[答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11. ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4，故选A. (理)(2012·衡阳六校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且ON →＝a 15OM →＋a 6OP →(直线MP 不过点O )，则S 20等于( )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] 依题意，得a 15＋a 6＝1.由等差数列性质知a 15＋a 6＝a 1＋a 20，所以S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 15＋a 6)＝10，选A.6．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案] B[解析] 设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d10a 1＋12×10×9d＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．19 [答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则有3d ＝93－99＝－6，∴d ＝－2；∴a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝3a 1＋9d ＝3a 1－18＝99，∴a 1＝39，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n .令a n ＝41－2n >0得n <20.5，即在数列{a n }中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n 项和中，S 20最大．依题意得知，满足题意的k 值是20，选C.二、填空题7．(文)(2013·陕西检测)在等差数列{a n }中，若a 13＝20，a 20＝13，则a 2013＝________. [答案] －1980[解析] 由题意知，等差数列{a n }的公差d ＝13－2020－13＝－1，∴a 2013＝a 20＋(2013－20)d ＝13－1993＝－1980.(理)两个等差数列的前n 项和之比为5n ＋102n －1，则它们的第7项之比为________．[答案][解析] 设两个数列{a n }、{b n }的前n 项和为S n 、T n ，则S n T n ＝5n ＋102n －1，而a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝S 13T 13＝5×13＋102×13－1＝3.8．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.[答案] 14[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0. ∵{a n }为等差数列且d ≠0，∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧， ∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴f (a 14)＝0. ∴k ＝14.9．(文)将正偶数按下表排成5列：[答案] 252 2[解析] 通项a n ＝2n ，故2014为第1007项，∵1007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2014应排在第252行，且第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．(理)已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (31,12)＝________. [答案] 912[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n 行有2n －1个数，故前n 行有S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2个数，因此前30行共有S 30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，即A (31,12)＝912. 三、解答题10．(2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．[解析] (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列． 所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1，或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9， 所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.能力拓展提升一、选择题11．(文)设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10.及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A.(理)(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 [答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15， ∴5(a 1＋a 5)2＝15，即a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.故选A.[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S 5＝15得5a 3＝15，即a 3＝3，再进一步求解． 12．(2012·河南安阳三模)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．1 [答案] A[解析] 解法一：由已知S 21＝S 4000，则a 22＋a 23＋…＋a 4000＝0，设{a n }的公差为d ，则3979(a 22＋a 4000)2＝0，又a 22＋a 4000＝2a 2011，所以a 2011＝0，所以OP →·OQ →＝2011＋a n ·a 2011＝2011.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 21＝S 4000，且等差数列前n 项和公式可看成二次函数，所以由对称性可得S 1＝S 4020，则有a 1＝4020a 1＋4020×40192d ，整理得a 2011＝0，所以OP →·OQ →＝2011＋a n ·a 2011＝2011.13．(2013·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．641B ．640C ．639D ．638 [答案] B[解析] 由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.二、填空题14．(2013·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 2－1)3＋2012(a 2－1)＝1，(a 2011－1)3＋2012·(a 2011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S 2011＝2011；②S 2012＝2012；③a 2011<a 2；④S 2011<S 2. [答案] ②③[解析] 设f (x )＝x 3＋2012x ，则f (x )为奇函数，f ′(x )＝3x 2＋2012>0，∴f (x )单调递增．由f (1)＝2013>1知f (1)>f (a 2－1)，∴1>a 2－1，∴a 2<2.又f (a 2－1)＝－f (a 2011－1)＝f (1－a 2011)，∴a 2－1＝1－a 2011，∴a 2＋a 2011＝2，∴S 2012＝a 1＋a 20122×2012＝2012，故②正确； 又f (a 2－1)>f (a 2011－1)，∴a 2－1>a 2011－1，∴a 2011<a 2，∴③正确；S 2011＝S 2012－a 2012＝2012－(a 2011＋d )＝2012－(2－a 2＋d )＝2010＋a 1>a 1＋a 2＝S 2，∴④错误；假设S 2011＝2011，则2010＋a 1＝2011，∴a 1＝1， ∵S 2011＝2011×(a 1＋a 2011)2＝2011×(1＋a 2011)2＝2011，∴a 2011＝1，这与{a n }是等差数列矛盾，∴①错．综上，正确的为②③.15．(2013·黄山期末)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． [答案] a n ＝2n ＋12n[解析] 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 可得，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －1)(n ＋1)2，② ①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n .三、解答题16．(文)(2013·河北唐山一模)设函数f (x )＝ax ＋b (其中a ≠0)，若f (3)＝5，且f (1)，f (2)，f (5)成等比数列．(1)求f (n )；(2)令b n ＝f (n )·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)∵f (3)＝5，且f (1)，f (2)，f (5)成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝5，(a ＋b )(5a ＋b )＝(2a ＋b )2，解得a ＝2，b ＝－1， ∴f (x )＝2x －1，即f (n )＝2n －1. (2)由题意得b n ＝(2n －1)·2n ，则T n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1＝2·2n ＋1－6－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.(理)(2012·湖北文，20)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2、a 3、a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．[分析] (1)利用等差数列的通项公式，及相关关系求出首项和公差．(2)先确定数列的通项公式，由于首项a 1<0需判断从哪一项开始a n >0，将{|a n |}前n 项和写为分段函数的形式．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7， n ＝1，2.3n －7， n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4； 当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，32n 2－112n ＋10， n >1.[点评] {a n }是等差数列(a 1>0，d <0或a 1<0，d >0)，求数列{|a n |}的前n 项和T n 一般步骤： 第一步，求{a n }的前n 项和S n .第二步，求使⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1<0，成立的整数k .第三步，求n ≤k 和n >k 时T n 的表达式．第四步，用分段函数形式下结论，并反思检查．考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充说明1．函数思想等差数列的通项是n的一次函数，前n项和是n的二次函数，故有关等差数列的前n项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.3．一般地，等差数列{a n}中，若a1>0，且S p＝S q(p≠q)，则(1)若p＋q为偶数，则当n＝p＋q2时，S n最大；(2)若p＋q为奇数，则当n＝p＋q－12或n＝p＋q＋12时，S n最大．备选习题1．如表定义函数f(x)：对于数列{n1n n－12014A．1 B．2 C．3 D．4[答案] A[解析]本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律．由特殊到一般易知a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，…，据此可归纳数列{a n}为以4为周期的数列，从而a2014＝a2＝1.2．(2013·河南适应性测试)已知数列{a n}的首项a1＝1，且满足a n＋1＝a n4a n＋1(n∈N*)．(1)设b n＝1a n，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)设c n＝b n·2n，求数列{c n}的前n项和S n.[解析] (1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n ＝4，∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列． 1a n ＝b n＝1＋4(n －1)＝4n －3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，① 2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.3．(2013·湖南十二校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点A (n ，S n n )(n ∈N *)总在直线y＝12x ＋32上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝n ＋1a n (n ∈N *)，试问数列{b n }中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)因为点A (n ，S n n )(n ∈N )在直线y ＝12x ＋32上，故有S n n ＝12n ＋32，即S n ＝12n 2＋32n ，当n ≥2时，S n －1＝12(n －1)2＋32(n －1)，所以a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋32n －[12(n －1)2＋32(n －1)]＝n ＋1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1. (2)由a n ＝n ＋1，可知b n ＝n ＋1n ＋1，b 1＝2＝623<632＝33＝b 2，b 3＝44＝2＝b 1，b 3＝44＝2045>2054＝55＝b 4， 所以，b 2>b 1＝b 3>b 4，猜想{b n ＋1}递减，即猜想当n ≥2时，n ＋1n ＋1>n ＋2n ＋2，考察函数y ＝ln xx (x >e)，则y ′＝1－ln x x 2，显然当x >e 时，ln x >1，即y ′<0，故y ＝ln (n ＋2)n ＋2<ln (n ＋1)n ＋1，即n ＋2n ＋2<n ＋1n ＋1， 猜想正确，因此，数列{b n }的最大项是b 2＝33.[点评] 由n ＋1n ＋1>n ＋2n ＋2两边取对数得，1n ＋1ln(n ＋1)>1n ＋2ln(n ＋2)．即ln (n ＋1)n ＋1>ln (n ＋2)n ＋2，于是构造函数f (x )＝ln x x (x >e)，通过研究函数f (x )的单调性来证明不等式．。

§6.2 等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325答案 D解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面． 答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.题型一 等差数列基本量的运算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 题型二 等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 21解析 因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________.答案 6 054解析 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0182 018＝S 11＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3， ∴S 2 018＝3×2 018＝6 054. 思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.1914 C.3929 D.43答案 A解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2018·济南质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 因为数列是等差数列，a 2＝4,2a 4＝a 2＋a 6＝4，所以a 6＝0，故选B.2．(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列 答案 B解析 设新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…的第n 项是b n ，则b n ＝a n ＋a n ＋3＝2a 1＋(n －1)d ＋(n ＋2)d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ，∴b n ＋1－b n ＝2d ，∴新数列是以2d 为公差的等差数列，故选B. 3．(2017·宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( ) A ．54 B ．50 C ．27 D ．25 答案 C解析 数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0，∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，则S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9×a 5＝27.故选C.4．(2017·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( ) A ．0 B ．－9 C ．10 D ．－10 答案 A解析 设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0，故选A.5．(2017·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6答案 D解析 由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.6．(2017·湖南省湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032 D ．4 033答案 C解析 因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.7．(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________． 答案 24解析 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.答案 －12解析 因为a 4和a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 016＝4.又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以14log a 1 010＝－12.9．(2017·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．答案 21解析 由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布． 10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.13．(2017·郑州一模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．答案 245解析 ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245. 14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 ∵1a n ＋1＝1a n ＋13，∴1a n ＋1－1a n ＝13， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，13为公差的等差数列， ∴1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14.15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验符合题意．16．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________． 答案 121解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2， 所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12. 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫1＋212n －12为单调递减数列， 所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121.。

(2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么___A___叫做a与b的等差中项且 ___A_＝_a_＋_2 _b__. (3)通项公式 如 果 等 差 数 列{an} 的 首 项 为 a1 ， 公差 为 d ，那 么 通 项 公 式 为 an ＝ ____(_4_a)_1前＋__n(_项n_－_和_1_公)_d_式__：__S＝n＝a_m＋_n_a(_1＋n_－_n_nm_－2_)1d_(d_n_，__m＝∈_N_a1_*＋)_2．a_n_n.
6．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3， S5＝－10，则a5＝___0__，Sn的最小值为___－__1_0___.
[解析] 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， ∵a2＝－3，S5＝－10，
a1＋d＝－3， ∴5a1＋5×2 4d＝－10，
题组二 走进教材 2．(选修2P15例2改编)已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的 第100项为___4_8_7____.
[解析] 依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8 ＋99×5＝487.
3．(选修2P24T1改编)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝ 2，且S6＝30，则S9＝___1_2_6____.
知识点二 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则 am1＋am2＋…＋amk＝an1 ＋an2＋…＋ank.特别地，若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝__a_p_＋__a_q_. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为___k_d____. (3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)Snn为等差数列．

第2讲等差数列基础巩固1.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=1,a3=3,则S4等于( )A.12B.10C.8D.6【答案】C【解析】由已知得d=2,从而可得a1=-1,a4=5.故S4=8.2.已知等差数列{a n}中,a2+a8=16,a4=1,则a6的值为( ) A.15 B.17C.36D.64【答案】A【解析】根据a2+a8=16可得2a5=16,即a5=8,又a4=1,因此a6=2a5-a4=2×8-1=15.3.若等差数列{a n}的前n项和满足S20=S40,则下列结论中正确的是( )A.S30是S n中的最大值B.S30是S n中的最小值C.S30=0D.S60=0【答案】D【解析】方法一:由S20=S40,得a1=-d,故S60=60a1+d=60×d=0.方法二:由S20=S40,得a21+a22+…+a40=0,从而可知a30+a31=0.故S60==30(a30+a31)=0.4.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,若为等差数列,则a11=( )A.0B. C. D.2【答案】B【解析】由已知可得是等差数列的第3项和第7项,其公差d=,由此可得+(11-7)d=+4×,解之,得a11=.5.已知数列{a n}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和S n有最大值,则使S n>0的n的最大值为( )A.11B.19C.20D.21【答案】B【解析】∵<-1,且S n有最大值,∴a10>0,a11<0,且a10+a11<0.于是S19==19a10>0,S20==10(a10+a11)<0.故使得S n>0的n的最大值为19,应选B.6.已知{a n}是正数组成的数列,a1=1,且点(,a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上,则a2013为( )A.2010B.2011C.2012D.2013【答案】D【解析】∵由已知得a n+1=a n+1,即a n+1-a n=1,又a1=1,∴数列{a n}是以1为首项,公差为1的等差数列.故a n=1+(n-1)×1=n,则a2013=2013.7.若{a n}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是( )A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列【答案】C【解析】方法一:设数列{a n}的公差为d,则由题意知,d=1.设c n=a2n-1+2a2n,则由上式得c n+1=a2n+1+2a2n+2,c n+1-c n=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6.方法二:利用特殊数列.令a n=n,则c n=a2n-1+2a2n=2n-1+2×2n=6n-1.故c n-c n-1=6.8.已知{a n}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项的和S10=.【答案】100【解析】根据可得于是a10=a1+9d=1+9×2=19.故S10==100.9.在数列{a n}中,若点(n,a n)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列{a n}的前9项和S9=. 【答案】27【解析】∵点(n,a n)在定直线l上,∴数列{a n}为等差数列.故a n=a1+(n-1)·d.将(5,3)代入,得3=a1+4d=a5.故S9=(a1+a9)=9a5=3×9=27.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当S n取得最大值时,n的值为. 【答案】4或5【解析】由题意得解之可得a1=4,d=-1.于是S n=×n=-.故当n=4或n=5时,S n最大.11.已知等差数列{a n}的前三项为a-1,4,2a,记其前n项和为S n.(1)设S k=2550,求a和k的值;(2)设b n=,求b3+b7+b11+…+b4n-1的值.【解】(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a,∵a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即a=3.故a1=2,公差d=a2-a1=2.由S k=ka1+d,得2k+×2=2550,即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去).故a=3,k=50.(2)由S n=na1+d得S n=2n+×2=n2+n.因此b n==n+1,即{b n}是等差数列,则b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)=.故b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.12.已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且满足2S n=+n-4.(1)求证:{a n}为等差数列;(2)求{a n}的通项公式.【解】(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n=+n-4,两式相减得2a n=+1,即-2a n+1=,也即(a n-1)2=,因此a n-1=a n-1或a n-1=-a n-1.若a n-1=-a n-1,则a n+a n-1=1,而a1=3,于是可得a2=-2,这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾,因此a n-1=a n-1,即a n-a n-1=1.故{a n}为等差数列.(2)因为由(1)知a1=3,d=1,所以数列{a n}的通项公式a n=3+(n-1)=n+2,即a n=n+2.13.设等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数,其前n项和为S n,(1)若a11=0,S14=98,求数列{a n}的通项公式;(2)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{a n}的通项公式.解:(1)由S14=98,得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,解之可得d=-2,a1=20.因此数列{a n}的通项公式是a n=22-2n.(2)由即由①+②得-7d<11,即d>-.由①+③得13d≤-1,即d≤-.于是-<d≤-.又d∈Z,故d=-1.代入①②得10<a1≤12.又a1∈Z,所以a1=11或a1=12.故所有可能的数列{a n}的通项公式是a n=12-n和a n=13-n.拓展延伸14.在等差数列{a n}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为S n,求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|.【解】∵由题意知a16+a17+a18=3a17=-36,即a17=-12,又a9=-36,∴d==3,首项a1=a9-8d=-36-8×3=-60.于是a n=3n-63,由a n≤0,得n≤21.当n≤21时,T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=-a1-a2-…-a n=-S n=-=(41n-n2).当n>21时,T n=|a1|+|a2|+…+|a21|+|a22|+…+|a n|=-a1-a2-…-a21+a22+a23+…+a n=S n-2(a1+a2+…+a21)=(n2-41n)-2=(n2-41n)+1260.故T n=。