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习题答案(第七章)

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1、 判断下列变换是否是指定向量空间的线性变换,并说明理由: 1) 在向量空间V 中, 0)(αασ=,其中0α是V 中某一固定向量; 2) 在3F 中,σ),,32(),,(c c b b a c b a ++=;3) 在3F 中,σ),,(),,(222c b a c b a =; 4) 在][x F 中,σ)1())((+=x f x f ;5) 在][x F 中,σ)())((c f x f =,其中c 是F 中一个固定的数;6) 在n n F ⨯中,σA A '=)(;解：1）当0α=0 时，σ是线性变换；当0α≠0时，σ不是线性变换；2）是；3）不是；4）是；5）不时；6）是。

2、设])[(,x F L ∈τσ,且][)(x F x f ∈∀,σ)())((x f x f '=, )())((x xf x f =τ.证明:-σττσι=()[],()(())(())(())(())(`())`()()`()()(()),f x F x f x f x f x xf x f x xf x f x xf x f x f x σττσσττσστισττσι∀∈-=-=-=+-==∴-=解:3、在向量空间3F 中，设()1,1,11-=ε，()1,0,12-=ε，()1,1,13=ε ()2,1,11-=η，()21,1,2η=，()1,1,23-=η是3F 的两个基，L ∈σ（3F ），使()i i ηεσ=，3,2,1=i①321,,εεε到基321,,ηηη的过渡矩阵； ②σ在基321,,εεε下的矩阵； ③求σ 基321,,ηηη下的矩阵；④设)3,1,2(-=α，分别求()ασ在基321,,εεε与321,,ηηη下的坐标． 解：①取3F 的一组基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)e e e ===，则有123123111(,,)(,,)101,111e e e εεε⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭123123112(,,)(,,)111,221e e e ηηη-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1123123123513111112222(,,)(,,)101111(,,)203111221331222ηηηεεεεεε-⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭所以，321,,εεε到基321,,ηηη的过渡矩阵为513222203331222⎛⎫-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭。

②因为123123123123513222(,,)(,,)(,,)203(,,)331222A σεεεηηηεεεεεε⎛⎫--⎪⎪==-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，所以，σ在基321,,εεε下的矩阵为A 。

③因为123123123123(,,)[(,,)](,,)(,,)A A A σηηησεεεσεεεηηη===，所以，σ在基321,,ηηη下的矩阵仍然为A 。

④因为11231231231211122()(,,)1(,,)1011(,,)33111312e e e σααεεεεεε-⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以，()ασ在基321,,εεε的坐标为11,3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭。

因为112312312335211221()(,,)1(,,)1111(,,)53221375e e e σααηηηηηη-⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，()ασ在基321,,εεε的坐标为317,,555⎛⎫⎪⎝⎭。

4、在P 3中，定义线性变σ为12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+。

①求σ在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵；②设(1,0,2),α=-求()σα在基123(2,0,1),(0,1,1),(1,0,2)ααα==-=-下的坐标； ③σ是否可逆，若可逆，求1σ-。

解：①123()(2,0,1),()(1,1,0),()(0,1,0)σεσεσε==-=，于是123123210(,,)(,,)011100σεεεεεε-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即：σ在基123,,εεε下的矩阵为210011100-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭。

②因为123123201(,,)(,,)010,112αααεεε-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()()123123123112101(),,0,,0,,0110221002σασεεεσεεεσεεε⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1123123*********(,,)0100110(,,)3112100245αααααα-⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭。

所以，()σα在基123,,ααα下的坐标为34,3,55⎛⎫-⎪⎝⎭③由于σ在基123,,εεε下的矩阵可逆，故σ可逆，3123(,,),x x x P β∀=∈()()()1111111232123212323331123212123123210201()(,,),,011,,010********,,(23,,2)2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x σβσεεεεεεεεεεεε-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-=--++ ⎪ ⎪++⎝⎭5、已知P 3的线性变换3(,,)(2,4,3)((,,))a b c b c a b a a b c P σ=+-∀∈求σ在基123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ααα===下的矩阵。

解：因为112321233123()(3,3,3)366()(2,3,3)365()(0,1,3)32σαααασαααασαααα=-=-+⎧⎪=-=-+⎨⎪==--⎩，所以σ在基123,,ααα下的矩阵为333662651A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭。

6、已知22P⨯的两个线性变换：221011(),()(,,)2011X XN X MX X PM N σδ⨯⎛⎫⎛⎫==∀∈== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭①求,σδσδ+在基11122122,,,E E E E 下的矩阵； ②σ与δ是否可逆？若可逆，求其逆变换。

解：①因为,σδ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵分别为：1100100011000100,001120000011020A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪-⎪⎪--⎝⎭⎝⎭所以，,σδσδ+在基11122122,,,E E E E 下的矩阵分别为：2100110010001100,201122000211220A B AB ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪+== ⎪ ⎪---⎪⎪---⎝⎭⎝⎭。

②由于||40,||0A B =≠=，所以线性变换σ可逆，而δ不可逆。

1σ-在基11122122,,,E E E E 下的矩阵为：1110022110022,110022110022A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -⎪⎝⎭7、已知22P⨯的线性变换：221011(),(,,)1111X MXN X PM N σ⨯-⎛⎫⎛⎫=∀∈== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭求σ的特征值与特征向量。

解：取22P⨯的基11122122,,,E E E E ，则111111122122121211122122212121222221101011()110011100111()110011100011()111011100()11E ME N E E E E E ME N E E E E E ME N E E E ME N σσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+-+ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭21220110111E E -⎛⎫⎛⎫=-+⎪⎪-⎝⎭⎝⎭所以σ关于基11122122,,,E E E E 的矩阵为1100110011111111A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。

所以2211001100()(2)11111111A x x f x xI A x x x x --=-==-----，所以A 的特征根为120λλ==和342λλ==，当120λλ==时，则123411000110001111011110x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其基础解系为(1,1,0,0),(0,0,1,1)， 其对应的特征向量为1122,k X k X +其中111122212212,,,X E E X E E k k =+=+不全为零。

当122λλ==时，则123411000110001111011110x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其基础解系为(0,0,1,1)-， 其对应的特征向量为33k X ，其中321223,0X E E k =-+≠。

8、已知2[]P t 的线性变换：22()(46)(35)(36)a bt ct a b a b t a a c t σ++=++--+--+，①求σ的特征值与特征向量；②求2[]P t 的一组基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵。

解：①取2[]P t 的一组基21,,t t ，则222460()(1,,)(1,,)350361a a a bt ct t t b t t b c c σσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪++==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以σ关于基21,,t t 矩阵为460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭。

则2460()||350(1)(2)361A f I A λλλλλλλ--=-=+=-+-， 所以A 的特征根为1231,2λλλ===-。

当121λλ==时，则123360036003600x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其基础解系为()(2,1,0),0,0,1-； 当32λ=-时，则123660033003630x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其基础解系为()1,1,1-， 所以，σ的特征值为1和-2，当121λλ==时，σ的特征向量为1122()()k f t k f t +，其中212()2,()f t t f t t =-+=，12,k k 不全为零。

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高等数学第七章 习题答案

高等数学第七章 习题答案

习题7-11. 下列向量的终点各构成什么图形？（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。

答：（1）单位球面 （2）单位圆 （3）两个点 （4）直线。

2． 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？ 答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。

4． 解下列各题：（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b()()55x y x y --+-=a b;（2）()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e5．四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解：()()111156823352222EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.6． 设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点，证明： .OA OB OC OL OM ON ++=++证明：（1）如果O 在ABC ∆内部（如图1），则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。

普通化学第七章课后习题解答

普通化学第七章课后习题解答

第七章沉淀反应参考答案P 142【综合性思考题】：给定体系0.02mol/LMnCl 2溶液(含杂质Fe 3+)，经下列实验操作解答问题。

（已知K θSPMn(OH)2=2.0×10-13，K θSPMnS =2.5×10-13，K θbNH3=1.8×10-5，K θaHAc =1.8×10-5①与0.20mol/L 的NH 3.H 2O 等体积混合，是否产生Mn(OH)2沉淀？解：等体积混合后浓度减半，[Mn 2+]=0.01mol/L ，c b =[NH 3.H 2O]=0.10mol/L∵是一元弱碱体系，且c b /K b θ>500∴10.0108.1][5⨯⨯=⋅=--b b c K OH θ又∵ 622108.101.0][][--+⨯⨯=⋅=OH Mn Q c=1.8×10-8> K θSPMn(OH)2=2.0×10-13∴ 产生Mn(OH)2沉淀。

②与含0.20mol/L 的NH 3.H 2O 和0.2mol/LNH 4Cl 的溶液等体积混合，是否产生Mn(OH)2沉淀？ 解：混合后属于NH 3.H 2O~NH 4Cl 的碱型缓冲液体系此时浓度减半：c b =[NH 3.H 2O]=0.2V/2V=0.1(mol.L -1)c S= [NH 4+]=0.2V/2V=0.1(mol.L -1)[Mn 2+]=0.02V/2V=0.01(mol.L -1)A 、求[OH -] 用碱型缓冲液计算式求算：s b b c c K OH ⋅=-θ][ 55108.11.01.0108.1--⨯=⨯⨯= B 、求Qc 22][][-+⋅=OH Mn Q c=0.01×[1.8×10-5]2=3.24×10-12C 、比较θ2)(,OH Mn SP K ∵13)(,100.22-⨯=>θOH Mn SP C K Q故有Mn(OH)2沉淀产生。

第七章 习题答案

第七章 习题答案

第七章动态电路的时域分析习题一、选择题1. 一阶电路的时间常数取决于： C(A) 电路的结构(B) 外施激励(C) 电路的结构和参数(D) 电路的参数2. 图示电路中I S = 5 A恒定，电路原已稳定，t = 0时开关S打开。

在求解过渡过程中，下列式子中正确的是： D(A) u(∞) = 125 V (B) τ = 0.4 s (C) u(0+) = 100 V (D) i(∞) = 5AL3.在电路换路后的最初瞬间( t = 0+ )，根据换路定律，电路元件可作如下等效： C(A) 无储能的电容可看做开路(B) 无储能的电感可看做短路(C) 电容可看作具有其初值电压的电压源(D) 电压源可看作短路，电流源可看作开路(0+)的值为：D4. 图示电路在开关S合上前电感L中无电流，合上开关的瞬间uL(A) 0 V (B) 63.2 V (C) ∞(D) 100 V5. 图示电路中电压源电压恒定，且电路原已稳定。

在开关S闭合瞬间，i(0+)的值为：C(A) 0.2 A (B) 0.6 A (C) 0 A (D) 0.3 A6. 表征一阶动态电路的电压、电流随时间变化快慢的参数是：D(A) 电感L(B) 电容C(C) 初始值(D) 时间常数τ7. 图示正弦脉冲信号的数学表达式为：B (A) sin ω t ⋅ ε (t ) + sin ω ( t - T ) ⋅ ε ( t - T ) (B) sin ω t ⋅ ε (t ) - sin ω t ⋅ ε ( t - T ) (C) sin ω t ⋅ ε (t ) - sin ω ( t - T ) ⋅ ε ( t - T ) (D) sin ω t ⋅ ε (t ) + sin ω t ⋅ ε ( t - T )8. 图示电路中，原已达稳态， t = 0开关 S 打开，电路的时间常数为：D (A)s 41 (B) s 61(C) s 4 (D)s 69. 示电路中，t = 0 时开关打开，则 u (0+)为：C(A) 0V (B) 3.75V (C) – 6V (D) 6V10.图示电路中，开关打开已久，在 t = 0 时开关闭合，i (0+) 为：D(A) 0A (B) 0.8A(C) 2A (D)1A11.R 、C 串联电路，已知全响应()()10C 83V,0t u t e t -=-≥，其零状态响应为：(A )(A) 1088V te-- (B) 1083V t e -- (C) 103V t e -- (D) 105V t e -12. .一阶电路的全响应()()10C 106V,0tu t et -=-≥若初始状态不变而输入增加一倍，则全响应u C (t)为 ( D ) (Ａ) 20-12e -10t ; (Ｂ) 20-6e -10t ; (Ｃ) 10-12e -10t ; (Ｄ) 20-16 e -10t 。

第七章习题及答案

第七章习题及答案

第七章习题及答案第七章习题及答案1. 如果要设置幻灯片“水平百叶窗”播放效果，应使用菜单“幻灯片放映”中的（b）a. 动作设置b. 自定义动画c. 预设动画2. 列方法中不能启动PowerPoint 2003的是（前提为已正常安装好PowerPoint 2003）（ c）a. 选择“开始”—“程序” —“ Microsoft Office 2003 ” —“ Microsoft Office PowerPoi nt 2003 ”命令b. 用鼠标左键双击桌面上的PowerPoint 2003快捷方式图标c. 用鼠标右键双击桌面上的PowerPoint 2003快捷方式图标d. 用鼠标左键双击已建立好的PowerPoint 2003文件3. 显示和隐藏工具栏的操作是（d ）a. 隐藏“浮动工具栏”，可双击它b. 通过“工具”菜单的“自定义”命令进行操作c. 用鼠标右键单击此工具栏d. 点击“视图”菜单中的“工具栏”，在弹出的菜单中单击需要显示或隐藏的工具栏名称4. powerPoint 2003 有__d ___ 中显示视图。

a. 5b. 2c. 3d. 45. “文件”菜单中的“打印”命令，其快捷键是（c ）a. Ctrl+Nb. Ctrl+Sc. Ctrl+Pd. Ctrl+X6. 在PowerPoint 2003中，“文件”菜单中的“打开”命令的快捷键是（a）a. Ctrl+O b. Ctrl+S c. Ctrl+P d. Ctrl+N7. 计算机没有接打印机，Powerpoint2003将_______a ____ 。

a. 可以进行幻灯片的放映，但不能打印b. 不能进行幻灯片的放映，也不能打印c. 按文件类型，有的能进行幻灯片的放映，有的不能进行幻灯片的放映d. 按文件大小，有的能进行幻灯片的放映，有的不能进行幻灯片的放映8. Powerpoint 2003演示文稿的默认扩展名是（c）a. DOCb. XLSc. PPTd. PTT9. 在用PowerPoint 2003制作的幻灯片中__d ______ 。