第九讲互功率谱、性质,相干函数白噪声图文
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随机振动--第7章-功率谱密度
Cx
2 x
2 Rx x 2 x
2 2 Rx x x
0时， 1随机变量与它自身是完全相关的
2 2 2 Rx 0 x x x
时，两个随机变量之间将不再相关 前提：不是周期函数
8
自相关函数Rx(τ)描述“平均功率”随时差τ的变化 →“平均功率”的时间结构。 功率谱密度S x(f)：描述“平均功率”在频域（谱 域）的分布→频率结构。 二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计 特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。
一、自功率谱密度函数 二、互功率谱密度函数
9
自相关函数的傅里叶变换
对于平稳过程：
1 * sxy lim E X Y T T T T
S ( f ) R ( )e i 2f d yx yx R yx ( ) S yx ( f )e i 2f df
31
定义：
S xy f Rxy e j 2 f d
S yx Ryx e j d
2
25
7.3 窄带随机过程与宽带随机过程
窄带过程是功率谱Sx(ω)具有尖峰特性 ,并且只 在该尖峰附近的一个窄频带内 Sx(ω) 才取有意 义的量级。
典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得到的结 果。窄带过程最极端的情形是相位随机变化的正弦 波，他的谱线是对称分布的两个δ函数。
26
宽带过程是指功率谱Sx(ω)在相当宽的频带上取有意义的 量级。
22
例如。。。
例 2 ：如图的自功率 谱函数，求其自相关 函数。
(完整word版)功率谱分析
三、功率谱分析字体[大] [中] [小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。
随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。
因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。
前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。
1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。
巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT直接求出。
由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。
自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。
两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。
为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。
随机信号的功率谱密度课件
出端信噪比之比。即：
F
( Si / N i )
( So / N o )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
2 Z , RZ (k ) 0,
k 0 k 0
2 Z
或
RZ (k ) (k )
对于白序列其功率谱：
GZ ()
2 Z ,
jt
d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
1 W lim T 2T lim 1 T 2T
T T T
f T (t , ) dt 1 2
jt F ( , ) e d ]dt T
2
T T
f T (t , )[
1 lim T 2T 1 lim T 2T 1 2
GN(), FN()
RN()
N0 N0/2
N0/2
0 (a) 功率谱密度
0 (b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
1 RN ( ) 2 N 0 j N0 2 e d 2 ( )
白噪声的相关系数 N ( )为:
C N ( ) RN ( ) RN () RN ( ) N ( ) C N (0) RN (0) RN () RN (0)
2/
低通限带白噪声
W , G N ( ) 0,
0 | | 0
otherwise
sin RN ( ) W cos 0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个 实现： , x
2 , x1 , x0 , x1 , x2 ,, xN 1 ,
第4章_功率谱分析(课堂PPT)
H
f
Yf Xf
Yf Xf
X f X f
Sxy f Sxf
▪ 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
▪
X(t)
系统1
系统2
y(t)
n t 1
n t 2
n3 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x't n1' t n2 ' t n3' t
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
➢ 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)
➢ 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)
➢ 相干函数(coherence function)与频率响应函 数(frequency response function)
xy
arctan
Qxy Cxy
随机信号的功率谱密度
▪ 互谱分析的估计
▪ 离散点
S k xy
1 N
X
k
i
Y
k
i
Sxy k
1 N
X
k
i
Y
k
i
▪ 对应于数字信号
Sxy fi
1 T
X
fi
Y fi
S xy
fi
1 T
X
fi Y fi
随机信号的功率谱密度
▪ 工程应用
▪ 可利用互谱求系统的 H f H f f
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度
带通白噪声
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系 统时，可表示为
y1(t) h ( )x1(t ) d
yn (t) h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t) {y1(t),}, yn (t), 即系统的输入与输出可表示为
RY (t,t ) E [Y (t )]
E
h(1)
h(
2
)Байду номын сангаас
X
(t
1)X
(t
2
)
d1d
2
E
h(1)
h(
2
)
X
(t
1)
X
(t
1)d1d
2
) e d j(21)
h(1)
e
j1
d1
h( 2 )
e
d j2 2
RX
()
e
jd
H ()H ()GX () GX ()H ()H ()
GX () H 2
5. 系统的输入输出的互谱密度
通过对（6.15）式求付氏变换，并利用
GY () GX () H() 2，可以得到系统输出的功率 谱密度为
这里假设输入信 号为有界平稳过程
E [Y (t] h( ) E [X (t )] d
h( )M X d M X
h ( ) d
自功率谱密度函数互功率谱密度函数演示文档.ppt
第二章 信号及其描述
1
主要内容
–信号的分类与定义 随机信号与确定性信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号
–确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析
–随机信号特性及分析 2
信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为 传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说， 信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量 中，才可能含有信息。
有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期 T 无限增大时，则此信号就转化为非 周期信号f(t)。即
lim
T
fT (t)
f (t)
9
确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅 度变化的特性。
– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉
总响应
n
rt skt t ht kt
k 0
17
S(t) 激励函数(输入 信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt• t （当Δt 0，脉冲函数
时 可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
3
确定信号与随机信号
当信号是一确定的时间函数时，给定某一时 间值，就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。
随机信号不是确定的时间函数，只知道该信 号取某一数值的概率。
带有信息的信号往往具有不可预知的不确定 性，是一种随机信号。
1
主要内容
–信号的分类与定义 随机信号与确定性信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号
–确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析
–随机信号特性及分析 2
信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为 传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说， 信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量 中，才可能含有信息。
有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期 T 无限增大时，则此信号就转化为非 周期信号f(t)。即
lim
T
fT (t)
f (t)
9
确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅 度变化的特性。
– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉
总响应
n
rt skt t ht kt
k 0
17
S(t) 激励函数(输入 信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt• t （当Δt 0，脉冲函数
时 可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
3
确定信号与随机信号
当信号是一确定的时间函数时，给定某一时 间值，就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。
随机信号不是确定的时间函数，只知道该信 号取某一数值的概率。
带有信息的信号往往具有不可预知的不确定 性，是一种随机信号。
信息论-第九章 波形信道的容量
N
E ( X i2 ) 1 N ) I ( X; Y) I ( X i ; Yi ) log(1 2 i 1 Pni i 1 Psi 1 N C log(1 ) 2 i 1 Pni
多维无记忆高斯加性连续信道
（2）总功率受限条件下并联高斯信道的容量
max
p(X)
波形信道的信道容量
信息论
波形信道的分类
按噪声的统计特性，可将信道分为
高斯信道：信道中的噪声为高斯噪声。噪声为高
斯随机过程，不同时刻的采样值为高斯变量。 白噪声信道：信道中的噪声为白噪声。白噪声的 功率谱密度在整个频率区间为常数。 高斯白噪声信道：噪声服从高斯分布，且功率谱 密度为常数。 有色噪声信道：除白噪声以外的噪声称为有色噪 声。
在加性连续信道中，信道的传递概率密度函数 等于噪声的概率密度函数。 当Y=X+n，若信号和噪声相互独立，则
p(Y X) p(n)
因此，条件熵
h(Y X) h(n)
噪声熵
波形信道的分类
在加性多维连续信道中，输入矢量和输出矢量 之间的关系为 Y = X+n 同理可得
p(Y X) p(n)
单符号高斯加性信道的容量
在信道输出信号平均功率受限的条件下，当y 服从高斯分布时，h(y)最大。 在加性高斯信道中，当噪声服从均值为0，方 2 差为 的高斯分布；当y服从均值为0，方差为 P0的高斯分布时，x服从均值为0，方差为 Ps P0 2 的高斯分布.
C max h( y ) h(n) log 2 eP0 log 2 e 2
(y1 y2
yN )Y
若为无记忆多维连续信道
P(Y X) P( y1 y2
E ( X i2 ) 1 N ) I ( X; Y) I ( X i ; Yi ) log(1 2 i 1 Pni i 1 Psi 1 N C log(1 ) 2 i 1 Pni
多维无记忆高斯加性连续信道
（2）总功率受限条件下并联高斯信道的容量
max
p(X)
波形信道的信道容量
信息论
波形信道的分类
按噪声的统计特性，可将信道分为
高斯信道：信道中的噪声为高斯噪声。噪声为高
斯随机过程，不同时刻的采样值为高斯变量。 白噪声信道：信道中的噪声为白噪声。白噪声的 功率谱密度在整个频率区间为常数。 高斯白噪声信道：噪声服从高斯分布，且功率谱 密度为常数。 有色噪声信道：除白噪声以外的噪声称为有色噪 声。
在加性连续信道中，信道的传递概率密度函数 等于噪声的概率密度函数。 当Y=X+n，若信号和噪声相互独立，则
p(Y X) p(n)
因此，条件熵
h(Y X) h(n)
噪声熵
波形信道的分类
在加性多维连续信道中，输入矢量和输出矢量 之间的关系为 Y = X+n 同理可得
p(Y X) p(n)
单符号高斯加性信道的容量
在信道输出信号平均功率受限的条件下，当y 服从高斯分布时，h(y)最大。 在加性高斯信道中，当噪声服从均值为0，方 2 差为 的高斯分布；当y服从均值为0，方差为 P0的高斯分布时，x服从均值为0，方差为 Ps P0 2 的高斯分布.
C max h( y ) h(n) log 2 eP0 log 2 e 2
(y1 y2
yN )Y
若为无记忆多维连续信道
P(Y X) P( y1 y2
通信原理课件——通信系统的噪声性能
3. 门限效应 以上讨论了两个极端情况下包络检波器的噪声性能。对于大输入信噪比，包络
检波器能实现正常解调。对于小输入信噪比，包络检波器不能实现正常解调。可以 预料，应该存在一个临界值，当输入信噪比大于此临界值时包络检波器能正常解调； 而小于此值时，它不能正常解调。这个临界的输入信噪比叫做门限值、包络检波器 存在门限值这一现象叫做门限效应。门限效应在输入噪声功率接近载波功率时开始 出现。 门限效应是所有非相干解调器都存在的一种特性。在相干解调器中不存在这种效 应。因此小输入信噪比下包络检波器的性能较相干解调器差，所以在噪声条件恶劣 的情况下应采用相干解调。
式中，erf (x)
2
x
0
e y2 dy 称为误差函数。erfc(x) 1 erf (x) 是
互补误差函数。 x A 若己知，则erf (x) 的值可由附录 C 误差
2 2 n
函数表查出。erf（x）是单值函数，x 增大，erf（x）也难大。
式（6.97）为二进制 PCM 系统的误码率公式，它是在单极性情
(1) 输出噪声功率:
(2) 输入噪声功率与输出噪声功率的关系：
(3)
在
Si
、W m
和n 0
都相同的情况下，输出信噪比为:
结论: 除 AM 外，其他系统的噪声性能是相同的。这是由于在 AM 中，不携带消息的载波功率占了总功率的 50％以上。
信噪比增益 G 的概念: (1) 衡量解调器对输入信噪比的影响，定义为解调器输出信噪比与输入信 噪比之比，即:
性能的作用将会迅速下阵。实际上，门限效应是所有宽带系统改善
噪声性能的共同特性，在以后讨论的 PCM 系统中也会遇到这种现
象。
门
限值有
不同
【桥梁结构试验-章关永】第四章
自由振动衰减法的激励
用车辆激励 用突释法水平激励 用枕木竖向、侧向激励 卷扬机
桥墩 断裂器 桥面
第四章 桥梁振动试验
用自制土火箭对桩基进行激励 Vasto da gama桥自由振动激振
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自由振动衰减法—求阻尼比公式
yn Aetn sin( tn )
yn m Ae
第四章 桥梁振动试验
第四章 桥梁振动试验
桥梁自振特性测定 桥梁动力响应测试
桥梁振动试验实例
实验和现场教学
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概述
桥梁振源: 对引起桥梁振动的风、地震和车辆振动等
振动源（或荷载）的测定。
自振特性:
桥梁自振特性是桥梁结构的固有特性，也 是桥梁振动试验中最基本的测试内容。
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钢简支梁自振特性测定教学实验
3.实验仪器和设备
ZJY-601A型振动教学实验仪 压电式加速度计 CF360信号分析仪 DASP动态信号采集仪 1台 2枚 1台 1套
加速度计
第四章 桥梁振动试验
ZJY-601A型振动教学实验仪
FFT信号分析仪
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钢简支梁自振特性测定教学实验
第四章 桥梁振动试验
FFT方法，各种时域方法，模态分析
同济大学桥梁工程系版权所有
环境随机振动法
功率谱、频率响应函数和相干函数：
功率谱：
G ( f ) lim
1 1 [ lim f 0 (f ) T T
T
0
x 2 (t , f , f )dt]
频率响应函数：
Gik ( f ) H ( f )Gkk ( f )
用车辆激励 用突释法水平激励 用枕木竖向、侧向激励 卷扬机
桥墩 断裂器 桥面
第四章 桥梁振动试验
用自制土火箭对桩基进行激励 Vasto da gama桥自由振动激振
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自由振动衰减法—求阻尼比公式
yn Aetn sin( tn )
yn m Ae
第四章 桥梁振动试验
第四章 桥梁振动试验
桥梁自振特性测定 桥梁动力响应测试
桥梁振动试验实例
实验和现场教学
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概述
桥梁振源: 对引起桥梁振动的风、地震和车辆振动等
振动源（或荷载）的测定。
自振特性:
桥梁自振特性是桥梁结构的固有特性，也 是桥梁振动试验中最基本的测试内容。
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钢简支梁自振特性测定教学实验
3.实验仪器和设备
ZJY-601A型振动教学实验仪 压电式加速度计 CF360信号分析仪 DASP动态信号采集仪 1台 2枚 1台 1套
加速度计
第四章 桥梁振动试验
ZJY-601A型振动教学实验仪
FFT信号分析仪
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钢简支梁自振特性测定教学实验
第四章 桥梁振动试验
FFT方法，各种时域方法，模态分析
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环境随机振动法
功率谱、频率响应函数和相干函数：
功率谱：
G ( f ) lim
1 1 [ lim f 0 (f ) T T
T
0
x 2 (t , f , f )dt]
频率响应函数：
Gik ( f ) H ( f )Gkk ( f )
《信号与系统》课件第9章
第9章 随机信号通过 线性系统分析
9.1 试举例说明确定信号和随机信号在信号描述方面的差 异。
解 确定性信号是可以用明确的数学关系表示或者图表描 述的信号，如正弦函数所描述的交流电信号，阶跃函数所描述 的阶跃信号等。
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的信号，如噪 声电压信号，某区域海浪高度的变化等。
9.2 试说明随机信号与确定信号在通过LTI系统的分析方 法上的相同点和不同点。
解 相同点： 以LTI连续系统为例，输出响应都可表征为 输入信号与系统冲激响应的卷积运算，具体可表示为
确定信号通过系统：
随机信号通过系统：
然而，由于随机信号通过LTI系统时，相应的输入、输出 信号都是随机信号，因此，进行系统分析时需要采用统计特性 描述这些随机信号，并在此基础上分析输出的一、二阶统计特 征和输入与输出之间的统计特征关系。例如：
9.3 一随机信号X(t)=A sin(ω0t+θ), 式中A、ω0为常数，随 机变量θ在区间［0，2π］上服从均匀分布, 试求随机信号X(t) 的均值、均方值、立差、自相关函数、自协方差和功率密度谱。
9.4 已知平稳随机信号的相关函数如下所示，试求相应的 功率密度谱：
9.7 设功率密度谱为σ2/2的白噪声信号，通过一低通滤波 器
解 依题意可求得输出噪声的自相关函数为
输出噪声信号的平均功率为 考虑到 且H(z)的收敛域包含单位圆，故有
依题意计算输入噪声信号的自功率密度谱为 最后，求得输出的自功率密度谱为
其中K>0, t0>0, ω0>0, 且均为常数。求输出噪声的功率密 度谱、自相关函数和输出的平均功率。
由维纳一欣钦定理
Ryy(τ) ←→Sy(jω)
求得输出噪声的自相关函数为
9.1 试举例说明确定信号和随机信号在信号描述方面的差 异。
解 确定性信号是可以用明确的数学关系表示或者图表描 述的信号，如正弦函数所描述的交流电信号，阶跃函数所描述 的阶跃信号等。
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的信号，如噪 声电压信号，某区域海浪高度的变化等。
9.2 试说明随机信号与确定信号在通过LTI系统的分析方 法上的相同点和不同点。
解 相同点： 以LTI连续系统为例，输出响应都可表征为 输入信号与系统冲激响应的卷积运算，具体可表示为
确定信号通过系统：
随机信号通过系统：
然而，由于随机信号通过LTI系统时，相应的输入、输出 信号都是随机信号，因此，进行系统分析时需要采用统计特性 描述这些随机信号，并在此基础上分析输出的一、二阶统计特 征和输入与输出之间的统计特征关系。例如：
9.3 一随机信号X(t)=A sin(ω0t+θ), 式中A、ω0为常数，随 机变量θ在区间［0，2π］上服从均匀分布, 试求随机信号X(t) 的均值、均方值、立差、自相关函数、自协方差和功率密度谱。
9.4 已知平稳随机信号的相关函数如下所示，试求相应的 功率密度谱：
9.7 设功率密度谱为σ2/2的白噪声信号，通过一低通滤波 器
解 依题意可求得输出噪声的自相关函数为
输出噪声信号的平均功率为 考虑到 且H(z)的收敛域包含单位圆，故有
依题意计算输入噪声信号的自功率密度谱为 最后，求得输出的自功率密度谱为
其中K>0, t0>0, ω0>0, 且均为常数。求输出噪声的功率密 度谱、自相关函数和输出的平均功率。
由维纳一欣钦定理
Ryy(τ) ←→Sy(jω)
求得输出噪声的自相关函数为
精品文档-电子测量技术基础(张永瑞)(第二版)-第09章
若有两个均方根值分别为σ1和σ2的噪声信号x1(t)和x2(t)，
则它们之和［x1(t)+x2(t)］ 的均方根值σ等于
12
2 2
(9.2-9)
第9章 噪声测量
3. 功率谱表示一个信号的各频率分量所对应的功率在频谱内 的分布情况。 对于周期信号， 因具有离散的频谱， 故每一 频率分量的功率大小为幅度谱的平方， 单位是V2， 如 图9.2-3(a)所示。 图中， T为周期信号的周期； f0=1/T为基 频。 信号的总功率等于每一频率分量的功率之和。
P
f2
S( f )df
f1
(9.2-10)
第9章 噪声测量
4. 功率密度谱告诉我们信号能量在频率上是如何分布的， 但是它不包含信号的幅度变化和相位变化的信息， 因而不能
概率密度函数p(x)是表征噪声在时域内波形信息的统计 参数， 它与功率密度谱无关。 典型的概率密度函数为高斯 (正态)分布， 即
E[x(t1)]
lim
N
1 N
N
xk (t1)
k 1
(9.2-2)
显然， 在不同的时刻随机过程具有不同的期望值。 也
就是说，
如果一个随机过程的总体平均与时间无关， 即对任意
时刻t1及t2， 有
x(t1) x(t2 )
(9.2-3)
则该随机过程称为平稳过程。 在实际工作中， 真正的平稳 过程是很少遇到的， 但在一定的近似条件下， 可以作为平 稳过程来处理， 例如随机噪声大都可以近似看做平稳过程。
来等效， 而将实际输出的噪声电压Uno等效到无噪声放大器 的输入端， 如图9.3-1所示。 图中， Us和Rs分别为信号源 的电压和内阻； Uso为信号源的输出电压。 设放大器的电压 传输系数为
(完整word版)功率谱分析
三、功率谱分析字体[大] [中] [小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。
随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。
因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。
前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。
1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。
巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT直接求出。
由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。
自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。
两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。
为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。
概率论与随机过程第4章
1 E[ | X T (ω , ξ i ) |2 ] T →∞ 2T
1 T T E[ ∫−T xT (t1 , ξ i )e jω t1 dt1 ∫−T xT (t2 , ξ i )e − jω t2 dt2 ] T →∞ 2T 1 T T − jω ( t 2 − t1 ) = lim dt1dt 2 ∫−T ∫−T E[ X T (t1 ) X T (t2 )]e T →∞ 2T
{x ( t , ξ i ) }
每一样本函数都是一确定的时间函数, 可以求得每个样本函数对应的功率谱密度函数，即:
样本函数的功率 谱密度函数
| XT (ω , ξi ) |2 GX (ω ,ξi ) = lim T→∞ 2T
由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本函数 对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功率谱密 度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本函数的功 率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率谱密度函数 才是合理的。
11
若 R(τ ) 含直流分量或周期成分，则可引入 δ 函数加以解决。
⎧ ⎪1 ⇔ 2πδ (ω ) ⎪ ⎪ ⎨ cos(ω0τ ) = π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] ⎪ π ⎪sin(ω0τ ) = [δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )] j ⎪ ⎩
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
自相关函数 的时间平均
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
功率谱密度曲线
更好的方法是用锁定放大器和取样积分器同步相干检测重点一相关函数的重要性质相关函数的定义与计算相关函数基本性质周期信号相关函数的特点随机噪声信号的相关函数二自相关检测三互相关检测一相关函数的定义与计算能量有限信号的自相关函数功率有限信号的自相关函数两个功率有限信号的互相关函数两个能量有限信号的互相关函数
二、自相关检测 三、互相关检测
一、相关函数的定义与计算
• 能量有限信号的自相关函数
R( ) Rxx ( ) x(t ) x (t )dt x (t ) x(t )dt
功率有限信号的自相关函数 1 T2 R( ) Rxx ( ) lim T x(t ) x (t )dt T T 2 两个能量有限信号的互相关函数
R()
0
二、自相关检测
• 基本原理 • 利用信号周期性和噪声随机性的特点，通过自相关或 互相关运算，达到去除噪声的目的基本原理 • 是从强噪声中提取弱信号的重要手段。 实现方法 混有噪声的信号 fi t Si t ni t 送入相关接收机 两个通道（不延时和延时）相乘器积分器
2 1 x0 lim cos( ) T 0 T T 2 2 x0 cos( ) 2
3、噪声的相关函数
• 随机噪声是一种前后独立的平稳随机过程，其相关 函数随τ的增加而减小，如红色曲线所示。 • 对于白噪声，其相关性很小。相关函数函数随τ的 增加而迅速减小如蓝色曲线所示。
●白噪声：当其通过一个电压传输系数为Kv，
带宽为B= f 2- f 1的系统后， 则输出噪声为 ：
E
2 n0 f2 f `1 2 Eni K df f in 2 v
2 v
二、自相关检测 三、互相关检测
一、相关函数的定义与计算
• 能量有限信号的自相关函数
R( ) Rxx ( ) x(t ) x (t )dt x (t ) x(t )dt
功率有限信号的自相关函数 1 T2 R( ) Rxx ( ) lim T x(t ) x (t )dt T T 2 两个能量有限信号的互相关函数
R()
0
二、自相关检测
• 基本原理 • 利用信号周期性和噪声随机性的特点，通过自相关或 互相关运算，达到去除噪声的目的基本原理 • 是从强噪声中提取弱信号的重要手段。 实现方法 混有噪声的信号 fi t Si t ni t 送入相关接收机 两个通道（不延时和延时）相乘器积分器
2 1 x0 lim cos( ) T 0 T T 2 2 x0 cos( ) 2
3、噪声的相关函数
• 随机噪声是一种前后独立的平稳随机过程，其相关 函数随τ的增加而减小，如红色曲线所示。 • 对于白噪声，其相关性很小。相关函数函数随τ的 增加而迅速减小如蓝色曲线所示。
●白噪声：当其通过一个电压传输系数为Kv，
带宽为B= f 2- f 1的系统后， 则输出噪声为 ：
E
2 n0 f2 f `1 2 Eni K df f in 2 v
2 v
功率谱分析
三、功率谱分析字体[大][中][小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。
随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。
因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。
前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。
1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。
巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT 直接求出。
由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。
自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。
两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。
为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。
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第十讲 1、互功率谱密度 2、自功率谱、互谱的应用 3、白噪声
1
四、联合平稳的随机信号的互功率谱
1、样本函数的互功率谱
互功率谱：
GXYLeabharlann (, )lim T
1 2T
XT
(,)YT*(, )
GYX
(,
)
lim T
1 2T
YT
(,
) XT*
(,
)
若 X (及t) 为Y (实t) 函数
XT () XT () YT() YT ()
x(n)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
300
400
500
12
B. 数学上有很好的运算性质 把信号与白噪声一起分析，运算非常方便 C. 可以作为重要噪声的模型 自然界许多重要的噪声过程，具有近似均匀的谱密度， 如通信系统的热噪声 D. 可以代替实际应用中的宽带噪声 只要噪声在比有用信号的频带宽的多的范围内 具有近似平坦的功率谱，都可看作白噪声
5
五、功率谱的应用
1、自谱应用 •周期性检测 •语音频谱分析
国际音标a：的时域波形与功率谱
6
五、功率谱的应用
•脑电图分析
左右脑电信号的相干函数
•衡量滤波器的特性 衡量系统的噪声系数
Si F Ni
So No
7
2、互谱的应用 若两个信号分别是一个线性系统的输入和输出信号： •估计线性系统频响函数（系统辨识）
H () GXY () H () e j(w) GX ()
•滞后时间的测量：
(w) 代表了系统对频率 的相位延迟，本
质上是系统的滞后时间
(w) /
8
3、相干函数的应用 •噪声源（振动源）分析
放大器
放大器
自谱 互谱 相干函数
•系统分析
若 XY () 1 ，有三种可能情况：
1）系统不是线性的 2）输入端混有其它输入信号 3）输出有外界干扰信号
五行天 /txt/28/28759/ 戃欶烇
2、联合平稳的随机信号的互功率谱密度
GXY ()
E[GXY (, )]
E{ lim T
1 2T
XT ()YT()}
GYX
()
E[GYX
[,
]]
E{ lim T
1 2T
YT
()
XT*
()}
2
3、互功率谱密度的第二种定义（P68）
若X (及t) Y联(t合) 平稳， RXY ( ) 绝对可积，有
噪声温度（系统内部热噪声的等效温度）
Te 为系统本身的噪声温度，与噪声系数的关系：
F No 1 Te
GNi
Ti
其中，
G Po Pi So Si
如一个高频头，Te 30K 外部噪声源 Ti 300K
微弱信号接收的主要障碍已不是接收机噪声，而是由天 线引入的外部输入噪声 Ni或Ti ，一般采用噪声温度
热噪声是限制接收机灵敏度的主要因素。
接收机输入端：信号+噪声，理论上希望接收机系统本身
不在引入额外的噪声（信噪比恒定），实际上任何电阻元
件都引入噪声，衡量一个系统性能的特征量：
Si
噪声系数（指数）：F So Ni
No
分贝表示： 10 lg F
理想系统：F=1
射电天文学和卫星通信，达到F=1.1
15
GX
()
N0 2
RX
( )
N0 2
( )
RX ()
N0 ()
2
0
白噪声相关系数：
X
( )
RX
( )
2 X
m2X
RX RX
( )
(0)
1 0
0 0
11
3）白噪声的特点和意义
A. 理想化的数学模型
① 任意两个相邻时刻的状态都不相关。时域中白噪声的 样本函数变化极快。 ② 功率谱无限宽，平均功率无限大
相干函数可以确定输出信号 Y (有t) 多大程度来自于输入信
号 。X (当t) X，Y (说)明 1与输出完全来自于输入，且系统
必为线性系统；若
，对XY于(线) 性1 系统表明在频率点
处，输出谱 有多少成分来GY自(于) 输入谱 ，其余部分
可能来GX自(于) 另外的信号源或噪声；若
，和完
全不 X相Y (干) 。0 Y (t) X (t)
16
4、白序列 与连续的白噪声过程对应的随机序列是白序列（实际 存在），也可以看作是白噪声等间隔抽样得到：
白序列 Z的n 自相关函数满足：
Rz
(k
)
0
2 Z
k 0 k 0
Rz (k) Z2 (k)
由计算机仿真得到的白序列是近似的，称为伪随机序列
MATLAB产生：高斯白噪声 均匀分布的白噪声
17
•系统辨识的精度（下一章P128）
9
六、白噪声与白噪声序列
1、（理想）白噪声
1）定义 若平稳过程的均值为零，功率谱密度 在整个频率轴上均匀分布，即满足：
GX
( )
N0 2
GX (w)
N0 / 2
0
“白”是借用了光学中
“白光”这一术语。任
w 意的非白噪声被定义为
色噪声
白噪声的功率谱密度
10
2）白噪声自相关函数和相关系数：
RXY ( ) GXY ()
GXY ()
RXY
(
)e
j
d
GYX ()
RYX
(
)e
j
d
可用来描述两个随机过程的在各频率点相关性
3
4、互功率谱密度的性质：
GXY () GYX () GY*X () Re[GXY ()] 与 Re[GYX ()] 是的偶函数； Im[GXY ()] 与 Im[GYX ()] 是的奇函数； GXY () 2 GX ()GY ()
13
2、热噪声
电路中各电阻内电子热运动（布朗运动）产生的随机起伏 电压（电流）
阻值为R的电阻两端的噪声电压 Nu ，其均方值为
E[
N
2 u
(t
)]
4kTRf
功率谱密度为 平坦功率谱： GNU ( f ) 2kTR
且
E[NU (t)] 0
高斯分布 热噪声建模为高斯白噪声
14
3、噪声系数和噪声温度
若 X (与t) Y正(t交) ，则 GXY () GYX () 0 若不相关，则GXY () GY*X () 2mX mY ()
4
6、相干函数 两个平稳随机过程 X (t),的Y(t相) 干函数定义为：
XY
()
[GX
GXY () ()GY ()]1 /
2
0 XY () 1
可用来描述来两个信号在各频率处的相关程度
1
四、联合平稳的随机信号的互功率谱
1、样本函数的互功率谱
互功率谱：
GXYLeabharlann (, )lim T
1 2T
XT
(,)YT*(, )
GYX
(,
)
lim T
1 2T
YT
(,
) XT*
(,
)
若 X (及t) 为Y (实t) 函数
XT () XT () YT() YT ()
x(n)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
300
400
500
12
B. 数学上有很好的运算性质 把信号与白噪声一起分析，运算非常方便 C. 可以作为重要噪声的模型 自然界许多重要的噪声过程，具有近似均匀的谱密度， 如通信系统的热噪声 D. 可以代替实际应用中的宽带噪声 只要噪声在比有用信号的频带宽的多的范围内 具有近似平坦的功率谱，都可看作白噪声
5
五、功率谱的应用
1、自谱应用 •周期性检测 •语音频谱分析
国际音标a：的时域波形与功率谱
6
五、功率谱的应用
•脑电图分析
左右脑电信号的相干函数
•衡量滤波器的特性 衡量系统的噪声系数
Si F Ni
So No
7
2、互谱的应用 若两个信号分别是一个线性系统的输入和输出信号： •估计线性系统频响函数（系统辨识）
H () GXY () H () e j(w) GX ()
•滞后时间的测量：
(w) 代表了系统对频率 的相位延迟，本
质上是系统的滞后时间
(w) /
8
3、相干函数的应用 •噪声源（振动源）分析
放大器
放大器
自谱 互谱 相干函数
•系统分析
若 XY () 1 ，有三种可能情况：
1）系统不是线性的 2）输入端混有其它输入信号 3）输出有外界干扰信号
五行天 /txt/28/28759/ 戃欶烇
2、联合平稳的随机信号的互功率谱密度
GXY ()
E[GXY (, )]
E{ lim T
1 2T
XT ()YT()}
GYX
()
E[GYX
[,
]]
E{ lim T
1 2T
YT
()
XT*
()}
2
3、互功率谱密度的第二种定义（P68）
若X (及t) Y联(t合) 平稳， RXY ( ) 绝对可积，有
噪声温度（系统内部热噪声的等效温度）
Te 为系统本身的噪声温度，与噪声系数的关系：
F No 1 Te
GNi
Ti
其中，
G Po Pi So Si
如一个高频头，Te 30K 外部噪声源 Ti 300K
微弱信号接收的主要障碍已不是接收机噪声，而是由天 线引入的外部输入噪声 Ni或Ti ，一般采用噪声温度
热噪声是限制接收机灵敏度的主要因素。
接收机输入端：信号+噪声，理论上希望接收机系统本身
不在引入额外的噪声（信噪比恒定），实际上任何电阻元
件都引入噪声，衡量一个系统性能的特征量：
Si
噪声系数（指数）：F So Ni
No
分贝表示： 10 lg F
理想系统：F=1
射电天文学和卫星通信，达到F=1.1
15
GX
()
N0 2
RX
( )
N0 2
( )
RX ()
N0 ()
2
0
白噪声相关系数：
X
( )
RX
( )
2 X
m2X
RX RX
( )
(0)
1 0
0 0
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3）白噪声的特点和意义
A. 理想化的数学模型
① 任意两个相邻时刻的状态都不相关。时域中白噪声的 样本函数变化极快。 ② 功率谱无限宽，平均功率无限大
相干函数可以确定输出信号 Y (有t) 多大程度来自于输入信
号 。X (当t) X，Y (说)明 1与输出完全来自于输入，且系统
必为线性系统；若
，对XY于(线) 性1 系统表明在频率点
处，输出谱 有多少成分来GY自(于) 输入谱 ，其余部分
可能来GX自(于) 另外的信号源或噪声；若
，和完
全不 X相Y (干) 。0 Y (t) X (t)
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4、白序列 与连续的白噪声过程对应的随机序列是白序列（实际 存在），也可以看作是白噪声等间隔抽样得到：
白序列 Z的n 自相关函数满足：
Rz
(k
)
0
2 Z
k 0 k 0
Rz (k) Z2 (k)
由计算机仿真得到的白序列是近似的，称为伪随机序列
MATLAB产生：高斯白噪声 均匀分布的白噪声
17
•系统辨识的精度（下一章P128）
9
六、白噪声与白噪声序列
1、（理想）白噪声
1）定义 若平稳过程的均值为零，功率谱密度 在整个频率轴上均匀分布，即满足：
GX
( )
N0 2
GX (w)
N0 / 2
0
“白”是借用了光学中
“白光”这一术语。任
w 意的非白噪声被定义为
色噪声
白噪声的功率谱密度
10
2）白噪声自相关函数和相关系数：
RXY ( ) GXY ()
GXY ()
RXY
(
)e
j
d
GYX ()
RYX
(
)e
j
d
可用来描述两个随机过程的在各频率点相关性
3
4、互功率谱密度的性质：
GXY () GYX () GY*X () Re[GXY ()] 与 Re[GYX ()] 是的偶函数； Im[GXY ()] 与 Im[GYX ()] 是的奇函数； GXY () 2 GX ()GY ()
13
2、热噪声
电路中各电阻内电子热运动（布朗运动）产生的随机起伏 电压（电流）
阻值为R的电阻两端的噪声电压 Nu ，其均方值为
E[
N
2 u
(t
)]
4kTRf
功率谱密度为 平坦功率谱： GNU ( f ) 2kTR
且
E[NU (t)] 0
高斯分布 热噪声建模为高斯白噪声
14
3、噪声系数和噪声温度
若 X (与t) Y正(t交) ，则 GXY () GYX () 0 若不相关，则GXY () GY*X () 2mX mY ()
4
6、相干函数 两个平稳随机过程 X (t),的Y(t相) 干函数定义为：
XY
()
[GX
GXY () ()GY ()]1 /
2
0 XY () 1
可用来描述来两个信号在各频率处的相关程度