2019高中数学 第二章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示2 平面向量的坐标运算学案 苏教版必修1
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精 品 试 卷 推荐下载 平面向量的坐标运算
一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明
平面向量的坐标运算 1. 理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标； 2. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 3. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件； 4. 会根据平面向量的坐标判断向量是否共线
填空 向量的坐标运算是向量重要的内容，它实现了从向量向代数的转化，尤其是两向量平行的坐标化判定应用广泛
二、重难点提示 重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算； 难点：平面向量平行条件的理解。
考点一：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a＝（x，y）。 （2）平面向量的坐标运算 ①已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）， a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1）；
②已知A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，则OAOBAB＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
【要点诠释】向量的坐标运算 （1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标。 （2）解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。 【核心突破】点的坐标与向量的坐标的区别和联系 ① 在直角坐标平面内，以原点为起点的向量也叫位置向量。位置向量OAa，点A的位置被向量a唯一确定，此时A的坐标与向量a的坐标统一为(,)xy； ② 相等向量的坐标是相同的，但起点、终点坐标可以不同，如A（3，5），B（6，8），AB＝（3，3）；若C（－5，3），D（－2，6），CD＝（3，3），显然,ABCD,,AB但,CD四点坐标各不相同。 【重要提示】向量的坐标的作用 精 品 试 卷 推荐下载 利用向量的坐标表示，可把向量问题中的几何属性代数化，使问题的解决达到程序化，从而降低了思维难度，有利于问题的解决。
考点二：平面平行的坐标表示 设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b。 【核心归纳】两个向量共线条件的表示方法 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）， （1）当b≠0时，a＝λb； （2）x1y2－x2y1＝0；
（3）当x2y2≠0时，2121yyxx，即两向量的相应坐标成比例。
【重要提示】 利用向量平行的坐标表示，可以解决三点共线问题。 【随堂练习】已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（10，k），若A，B，C三点共线，则实数k＝________。 思路分析：把三点共线转化为向量平行，然后利用共线定理的坐标形式转化为关于k的方程。 答案：由题意得AB＝OAOB＝（4－k，－7）， OBOCBC＝（6，k－5），∵AB与BC共线，
∴（4－k）×（k－5）－6×（－7）＝0， 解得k＝－2或11。 技巧点拨：两向量共线定理的坐标形式实现了三点共线向方程的转化，即“形”向“数”的转化。
例题1 （向量的坐标表示）在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标。
思路分析：利用三角函数求出各向量在x轴、y轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标。
答案：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），c＝（c1，c2），则a1＝|a|cos 45°＝2×22＝2，
a2＝|a|sin 45°＝2×22＝2， 精 品 试 卷 推荐下载 b1＝|b|cos 120°＝3×（－21）＝－23，
b2＝|b|sin 120°＝3×23＝233，
c1＝|c|cos（－30°）＝4×23＝32，
c2＝|c|sin（－30°）＝4×（－21）＝－2，
因此a＝（2，2），b＝（－23，233），c＝（32，－2）。 技巧点拨： 1. 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标。 2. 求向量的坐标一般要转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算。
例题2 （平面向量的坐标运算） （1）若a＝（1，－3），b＝（－2，4），c＝（0，5），则3a－b＋c＝________。
（2）已知三点A（2，－1），B（3，4），C（－2，0），试求向量3AB＋CA21，BC－
2AB。 思路分析：（1）中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行运算。 （2）中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算。 答案：（1）∵a＝（1，－3），b＝（－2，4），c＝（0，5）， ∴3a－b＋c＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5） ＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5） ＝（5，－8）。 （2）∵A（2，－1），B（3，4），C（－2，0）， ∴AB＝（3，4）－（2，－1）＝（1，5）， CA＝（2，－1）－（－2，0）＝（4，－1），
BC＝（－2，0）－（3，4）＝（－5，－4），
∴3AB＋CA21＝3（1，5）＋21（4，－1）＝（5，229）， BC－2AB＝（－5，－4）－2（1，5）＝（－7，－14）。
技巧点拨： 平面向量坐标的线性运算的方法： （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算。 （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算。 （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行。 精 品 试 卷 推荐下载 例题3 （向量平行的坐标表示） （1）已知四点坐标A（－1，1），B（1，5），C（－2，－1），D（4，11），请判断直线AB与CD是否平行？
（2）已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？
思路分析：（1）判断AB∥CD→判断点A是否在直线CD上→结论。 （2）求A，B，C三点共线时k的值，则一定有AB＝λAC成立，先求AB，AC，再列方程组求解k。 答案：（1）因为AB＝（2，4），AD＝（4，11）－（－1，1）＝（5，10），AC＝（－2，－1）－（－1，1）＝（－1，－2）， 所以AB＝－2AC，AD＝－5AC， 所以AB∥AC∥AD， 由于AB与AC，AD有共同的起点A， 所以A，B，C，D四点共线， 因此直线AB与CD重合。 （2）AB＝OAOB＝（4－k，－7），OAOCAC＝（10－k，k－12）， 若A，B，C三点共线，则AB∥AC， ∴（4－k）（k－12）＝－7×（10－k）， 解得k＝－2或11， ∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线。 技巧点拨： 1. 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解。
2. 利用x1y2－x2y1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点及程序化的特征。
充分利用向量共线解决求值问题 【例证】已知△AOB中，O（0，0），A（0，5），B（4，3），OC＝OA41，OD＝21OB，AD与BC交于点M，求点M的坐标。
思路分析：由已知条件易求得点C，D的坐标，再由点M是AD与BC的交点，即A，M，D三点共线与B，M，C三点共线可得到以点M的坐标为解的方程组，解方程组即可。
答案：∵点O（0，0），A（0，5），B（4，3）， ∴OA＝（0，5），OB＝（4，3）， OC＝OA41＝（0，45），
∴点C的坐标为（0，45），同理可得D（2，23）， 精 品 试 卷 推荐下载 设点M（x，y），则AM＝（x，y－5）， ∵A，M，D共线，∴AM与AD共线，
又AD＝（2－0，23－5）＝（2，－27），
∴－27x－2（y－5）＝0， 即7x＋4y＝20，① ∵CM＝（x，y－45），CB＝（4－0，3－45）＝（4，47）， CM与CB共线，
∴47x－4（y－45）＝0， 即7x－16y＝－20，② 由①②得x＝712，y＝2，
∴M的坐标为（712，2）。 技巧点拨：在求点或向量坐标的问题中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据。
