《偏微分方程教程》第三章 特征理论与方程的分类讲解

的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区
域 中为退化双曲型方程; 若方程(2.1)在区域 的一个子区域上为 椭圆型的，在 的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称 方程(2.1)在区域 中为退化椭圆型方程.
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由(2.5)我们知道, 在可逆自变量变换(2.3)下, 方程的类型保
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定义3.1
设 R 2 是一个区域,( x0 y0 )
(i) 若 ( x0 y0 ) 0 ,则称方程(2.1)在点 ( x0 y0 ) 处为双曲型 偏微分方程, 若在 内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的,则 称(2.1)在 内为双曲型偏微分方程; (ii)若 ( x0 y0 ) 0 , 则称方程(2.1)在点 ( x0 y0 ) 处为抛物型 偏微分方程, 若在内 在内的每一点处,方程(2.1)抛物型的,则称 (2.1)在 内为抛物型偏微分方程;
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9 解:因为判别式 b ac 0 ,故方程为双曲型的,它的特 4 dy dy 1 征方程为 1 dx dx 4
2
求得特征线是 其中
x y x c1 y c2 4
c1 c2 为任意常数. 作变换 y x
x y 4
个区域中成立的,即若方程(2.1)在点 ( x0 y0 ) 是双曲型或椭圆型的，
等于零并不能告诉我们它在这一点的邻域中的符号.因此,我们又有：
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定义3.2
若方程(2.1)在 区域的一个子区域上为双曲型的，
在 的另一个子区域上为椭圆型的，则称方程(2.1)在区域 中为 混合型方程;若方程(2.1)在区域 的一个子区域上为双曲型的，在
现在利用特征的性质对方程(2.1)进行分类. 我们知道特征概 念仅与方程的最高阶导数项有关, 即与其二阶导数项的系数有关, 换句话说, 方程(2.1)的特征概念仅与它的主部有关．
3
在讨论二阶偏微分方程的分类过程中, 常包含有化方程为标准
形式的问题, 这种通过变换使方程得到简化是研究偏微分方程常用 的手段,也就是说在我们研究一个方程的求解问题时, 先运用自变 量变换或函数变换将方程的形式尽量化简, 使其具有典型性. 设在点 P( x0 y0 )的邻域内, 这时(2.1)的特征方程可写为
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例如特里谷来(Tricomi)方程
u yy yuxx 0
就是如此, 其判别式 y ,对于
(2.13)
y 0 它是双曲型的; 对于
y 0 它是椭圆型的; 而在 x 轴上它又是抛物型的. 下面我们将
Tricomi方程(2.13)化成标准型. 情形1:当 y 0 时, 方程(2.13)的特征方程为
2
我们先考虑两个自变量的线性偏微分方程
auxx 2buxy cuyy dux euy gu f
其中 a b c d e g 和
(2.1)
f 都是 x y 的已知函数, 且在xoy 平
面上的某区域 内具有二阶连续偏导数. 假设在 内的每一点处,
a b c都不同时为零.
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(iii) 若( x0 y0 ) 0 , 则称方程(2.1)在点 ( x0 y0 ) 处为椭圆型 偏微分方程, 若在 内的每一点处,方程(2.1)都是椭圆型的,则称 (2.1)在 内为椭圆型偏微分方程. 注3 根据连续性，由 在一点大于零或小于零可推得 在该点
的某邻域中也是如此. 所以方程为双曲型或椭圆型的性质总是在一 则它必在( x0 y0 ) 的某邻域内是双曲型或椭圆型的.反之， 在一点
1 1 ( ) ( ) 2 2i
即可得到可逆自变量变换
b y x a 2 ac b x a
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应用变换(2.11)就可把方程(2.6)化成(见本节的习题5, 6)
u u D3u E3u G3u F3 ( )
其中 D2 E2 和
G2 都是常数.方程(2.10)称为抛物型方程的标准型.
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(iii) 当 0
时,这时没有实的特征曲线, 变换(2.7)中
.为了不涉及复 a
1 i 2 i 且 b a
变数, 我们试图通过(2.7)找一个实的变换,为此令
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可将方程化成双曲型第一标准型
u
若再作变换
1 8 u 0 3 9
s t
1 1 8 uss utt us ut 0 3 3 9
方程就可化成双曲型第二标准型
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若再作变换
s t
7
其中
2 2 A( ) ax 2bxy cy
B( ) ax x b(x y y x ) c y y
2 2 C( ) a x 2b x y c y
通过简单的计算，我们知道(2.5)成立. 注1 关系式(2.5)表明在可逆自变量变换(2.3)下, 即 J 0 时，方程的判别式的符号保持不变.
方程就可化成双曲型第二标准型 1 1 8 uss utt us ut 0 3 3 9 例2 判断下面方程的类型并将它化成标准型:
B2 AC 之间有如下关系:
J
2
其中 J 表示变换(2.3)的Jacobi行列式:

(2.5)
5
x y J x y
事实上, 由复合函数的微分法, 我们有
u u u x x x
u u u y y y
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注2
在可逆自变量变换(2.3)下, 线性二阶偏微分方程(2.1)
仍化为线性二阶偏微分方程(2.4). 事实上, 由
2 x2 2x y y x x x y y x y y J 3 0 2 x2 2 x y y
知 A( ), B( ), C ( ) 不同时为零． 利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性这一性质, 我 们来对方程(2.1)进行分类．
x y
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则方程(2.8)又可化成
u x x u y y D1u x E1u y G1u F1 ( x y ) (2.9)
其中D1 E1 G1 都是常数.我们称这一形式为双曲型方程的第二标准型. (ii)当 0 时,此时1
《偏微分方程教程》
第三章 特征理论与方程的分类
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§2 二阶方程的分类
【知识点提示】
二阶方程的特征和分类,化方程为标准型。 【重、难点提示】 辨别方程的类型并化为标准型 。 【教学目的】 . 主要介绍二阶方程的特征和分类,并将一般方程化 为标准型。初步了解如何辨别椭圆型偏微分方程， 双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。 。
(i)当 0 时, 其特征线是两族不同的实曲线
( x y ) y 1 x c1 ( x y ) y 2 x c2
其中 1
ba 2 ba 且 c源自文库 c2
为任意常数.
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利用这两族实特征线, 作可逆自变量变换
dy b dy b dx a dx a
其中
（2.2）
b ac
2
通常称为方程(2.1)的判别式，作自变量变换
4
( x y) ( x y)
则方程(2.1)变为如下形式:
(2.3)
2u 2u 2u A 2 2B C 2 F (2.4) 在自变量变换(2.3)下,方程(2.1)的判别式 与(2.4)的判别式
u u u u u u 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x
2 2 2 2 2 2
6
2
2
2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 2 xy x y x y y x x y xy xy
dy 1 dy 1 dx y dx y
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所以在上半平面内, 两族特征线为
3x 2 y c1 3x 2 y c2
其中 c1 c2为任意常数, 这时利用变换
3 2
3 2
3x 2 y 3x 2 y
就可把方程(2.13)化成双曲型第一标准型
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为了简便起见, 我们不妨假设方程(2.1)的系数都是常数, 即
auxx 2buxy cuyy dux euy gu f ( x y)
其中
(2.6)
a b c d e g
2 都是常数, 由于判别式 b ac 是常数,
所以方程(2.6)在区域中所有点处都是同一类型的.
( x y ) y 1 x ( x y ) y 2 x
这时方程(2.6)变成
(2.7)
u Du Eu Gu F ( )
(2.8)
其中 D E G 都是常数.我们称这一形式为双曲型方程的第一标准型. 若再引入新的自变量变换
(2.12)
其中 D3 E3 和 G3都是常数.我们称方程(2.12)为椭圆型方程的标准型. 以上关于方程的分类及将方程化成标准型的问题, 虽然我们只 对二阶线性常系数方程作了比较详细的讨论, 但对变系数方程(2.1)
同样是成立的. 这里要特别指出的是, 对变系数方程来说, 它的类
型与点的位置有关, 即可能在区域的某一部分点为这种类型而在另 一部分点上为另一种类型.
u u u u u 2 u 2 2 2 2 2 2 2 y y y y y y y
2 2 2 2 2 2
代入方程(2.1),得
2u 2u 2u A 2 2B C 2 F
( x y) y b a x c ,为了获得一个可逆的自变量变换，只要取
即可.这样方程(2.6)就 (2.10)
2
b a
,方程(2.6)只有一族特征线
( x y) y b a x ( x y) y
可化成 u
D2u E2u G2u F2 ( )
3 2
3 2
u
1 u u 0 6
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情形2 当 y 0 时,作变换
3 2 x ( y ) 2 3
就可把方程(2.13)化成标准型
u u
例1
1 u 0 3
判断下面方程的类型并把它化成标准型
4uxx 5uxy uyy ux uy 2 0
持不变, 即可逆自变量变换(2.3)将双曲型偏微分方程(抛物型偏微
分方程, 椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程(抛物型偏 微分方程,椭圆型偏微分方程). 因此, 为了求解方程(2.1), 我们 常常需要找一个可逆的自变量变换, 将方程(2.1)化成简单形式, 即标准型. 下面我们分别给出双曲型、 抛物型和椭圆型偏微分方程的标 准型.