【加练半小时】2017版高考数学(江苏专用理科)专题复习：12专题2 函数概念与基本初等函数 Word版含答案

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是正数的负分数指数幂的意义是0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)t ＝atbt，其中a>0，b>0，s，t∈Q.2．指数函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝()n＝a.( ×)(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．( ×)(3) ( ×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( ×)(5)函数 (a>1)的值域是(0，＋∞)．( ×)(6)函数y＝2x－1是指数函数．( ×)1．若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是________．答案解析∵a＝(2＋)－1＝2－，b＝(2－)－1＝2＋，∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2＝＋＝.2．函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是______．(填图象序号)答案④解析函数f(x)的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合．3．(教材改编)已知0.2m<0.2n，则m________n(填“>”或“<”)．答案>解析设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)<f(n)，∴m>n.4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．答案(－，－1)∪(1，)解析由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴1<a2<2，即1<a<或－<a<－1.5．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8).题型一指数幂的运算例1 化简：(1)(2)解(1)原式＝＝(2)原式＝＝＋10－10－20＋1＝－.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1) _________________________.(2)＝________.答案(1)0 (2)解析(1)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝0.(2)原式＝＝.题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)④(2)[－1,1]解析(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝ax (a>0，且a≠1)经过点E，B，则a＝________.(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c; ④2a＋2c<2.答案(1) (2)④解析(1)设点E(t，at)，则点B坐标为(2t,2at)．因为2at＝a2t，所以at＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.题型三指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是________．①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2; ④1.70.3>0.93.1.(2)设则a，b，c的大小关系是________．答案(1)②④(2)a>c>b解析(1)①中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；②中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；④中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，正确．(2)∵y＝x为减函数，∴即b<c，又＝＝>0＝1，∴a>c，故a>c>b.命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是__________．答案(－3,1)解析当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3,1)．命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝ax－a－x. (1)因为f(1)>0，所以a－>0，又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a>0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，所以x>1或x<－4.所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)因为f(1)＝，所以a－＝，即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－(舍去)．所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝，所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案(1)(－∞，4] (2)或3解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，]，又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增，则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．综上知a＝3或a＝.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例(1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为_____________________________________．思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设t＝x，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．解析(1)因为x∈[－3,2]，所以若令t＝x，则t∈，故y＝t2－t＋1＝2＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为.(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案(1) (2)(－∞，1]温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．[失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象经过定点的坐标为__________．答案(2,2)解析∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)的图象必过点(2,2)．2．已知a＝22.5，b＝2.50，c＝()2.5，则a，b，c的大小关系是__________．答案a>b>c解析a>20＝1，b＝1，c<()0＝1，∴a>b>c.3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是____________．答案[2，＋∞)解析由f(1)＝得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．4．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是__________．答案解析方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<.5．计算：×0＋8×－＝________.答案2解析原式＝6．已知函数y＝ax＋b (b>0)的图象经过点P(1,3)，如图所示，则＋的最小值为______．答案解析由函数y＝ax＋b (b>0)的图象经过点P(1,3)，得a＋b＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为.7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．答案m>n解析∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.8．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．答案0解析当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.9．已知函数(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解(1)当a＝－1时，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.10．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R 都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解(1)∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex＋x，∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数．∴f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．B组专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是____________．答案f(－4)>f(1)解析由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．12．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．答案2解析函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．由a＝b得a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．13．关于x的方程x＝有负数根，则实数a的取值范围为__________．答案解析由题意，得x<0，所以0<x<1，从而0<<1，解得－<a<.14．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－1,2)解析原不等式变形为m2－m<x，因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，所以x≥－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.15．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？解(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)＝－，∴f(x)＝(2)设0<x1<x2<1，f(x1)－f(x2)＝＝，∵0<x1<x2<1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上为减函数．(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，∴<f(x)<，即f(x)∈.同理，f(x)在(－1,0)上时，f(x)∈.又f(0)＝0，当λ∈∪，或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有实数解.【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是正数的负分数指数幂的意义是0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：asat ＝as ＋t ，(as)t ＝ast ，(ab)t ＝atbt ，其中a>0，b>0，s ，t∈Q.2．指数函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝()n ＝a.( × )(2)分数指数幂可以理解为个a 相乘．( × )(3) ( ×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( ×)(5)函数 (a>1)的值域是(0，＋∞)．( ×)(6)函数y＝2x－1是指数函数．( ×)1．若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是________．答案解析∵a＝(2＋)－1＝2－，b＝(2－)－1＝2＋，∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2＝＋＝.2．函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是______．(填图象序号)答案④解析函数f(x)的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合．3．(教材改编)已知0.2m<0.2n，则m________n(填“>”或“<”)．答案>解析设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)<f(n)，∴m>n.4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．答案(－，－1)∪(1，)解析由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴1<a2<2，即1<a<或－<a<－1.5．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8).题型一指数幂的运算例1 化简：(1)(2)解(1)原式＝＝(2)原式＝＝＋10－10－20＋1＝－.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1) _________________________.(2)＝________.答案(1)0 (2)解析(1)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝0.(2)原式＝＝.题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)④(2)[－1,1]解析(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝ax (a>0，且a≠1)经过点E，B，则a＝________.(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c; ④2a＋2c<2.答案(1) (2)④解析(1)设点E(t，at)，则点B坐标为(2t,2at)．因为2at＝a2t，所以at＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.题型三指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是________．①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2; ④1.70.3>0.93.1.(2)设则a，b，c的大小关系是________．答案(1)②④(2)a>c>b解析(1)①中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；②中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；④中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，正确．(2)∵y＝x为减函数，∴即b<c，又＝＝>0＝1，∴a>c，故a>c>b.命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是__________．答案(－3,1)解析当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3,1)．命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝ax－a－x.(1)因为f(1)>0，所以a－>0，又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a>0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，所以x>1或x<－4.所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)因为f(1)＝，所以a－＝，即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－(舍去)．所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝，所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案(1)(－∞，4] (2)或3解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，]，又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增，则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．综上知a＝3或a＝.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例(1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为_____________________________________．思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设t＝x，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．解析(1)因为x∈[－3,2]，所以若令t＝x，则t∈，故y＝t2－t＋1＝2＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为.(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案(1) (2)(－∞，1]温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．[失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象经过定点的坐标为__________．答案(2,2)解析∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)的图象必过点(2,2)．2．已知a＝22.5，b＝2.50，c＝()2.5，则a，b，c的大小关系是__________．答案a>b>c解析a>20＝1，b＝1，c<()0＝1，∴a>b>c.3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是____________．答案[2，＋∞)解析由f(1)＝得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．4．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是__________．答案解析方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<.5．计算：×0＋8×－＝________.答案2解析原式＝6．已知函数y＝ax＋b (b>0)的图象经过点P(1,3)，如图所示，则＋的最小值为______．答案解析由函数y＝ax＋b (b>0)的图象经过点P(1,3)，得a＋b＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为.7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．答案m>n解析∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.8．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．答案0解析当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.9．已知函数(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解(1)当a＝－1时，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.10．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解(1)∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex＋x，∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数．∴f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．B组专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是____________．答案f(－4)>f(1)解析由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．12．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．答案2解析函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．由a＝b得a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．13．关于x的方程x＝有负数根，则实数a的取值范围为__________．答案解析由题意，得x<0，所以0<x<1，从而0<<1，解得－<a<.14．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－1,2)解析原不等式变形为m2－m<x，因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，所以x≥－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.15．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？解(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)＝－，∴f(x)＝(2)设0<x1<x2<1，f(x1)－f(x2)＝＝，∵0<x1<x2<1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上为减函数．(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，∴<f(x)<，即f(x)∈.同理，f(x)在(－1,0)上时，f(x)∈.又f(0)＝0，当λ∈∪，或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有实数解.。

训练目标 (1)函数单调性的概念；(2)函数的最值及其几何意义. 训练题型 (1)判断函数的单调性；(2)利用函数单调性比较大小、解不等式；(3)利用函数单调性求最值.解题策略(1)判断函数单调性常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；(2)分段函数单调性要注意分界点处函数值的大小；(3)可利用图象直观研究函数单调性. 2．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．3．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是________． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是________． 5．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．6．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．7．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．8．(2015·上海黄浦区期中调研测试)若函数f (x )＝2x 2＋ax ＋1－3a 是定义域为R 的偶函数，则函数f (x )的单调递减区间是________．9．设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的最大值为________．10．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是________．11．(2015·洛阳二模)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 13．(2015·广东深圳五校联考)已知函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x ，当θ∈(0，π2)时，恒有f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)>0成立，则实数m 的取值范围是________．14．(2015·昆明模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“>”连接)答案解析1．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f (x )＝x 2－2mx －3的对称轴为x ＝m ，函数在区间[1,2]上单调，则m ≤1或m ≥2.2．[1，32) 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32. 3.43解析 因为f (x )＝1(x －12)2＋34，所以当x ＝12时，f (x )取得最大值43. 4．[－3，－2]解析 要使函数在R 上是增函数则有⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2≥1，a <0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2.5．[2,4] 解析 由f (x )＝(x －2)2＋1知，当x ＝2时，f (x )的最小值为1，当f (x )＝5，即x 2－4x ＋5＝5时，解得x ＝0或x ＝4.依据图象(图略)，得2≤m ≤4.6.23解析 令f (x )＝0，得x ＝1；令f (x )＝1，得x ＝13或3. 因为f (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故b －a 的最小值为1－13＝23. 7．(－1，＋∞)解析 由题意知，存在正数x ，使a >x －12x ，所以a >(x －12x )min ，而函数f (x )＝x －12x 在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝－1，所以a >－1.8．(－∞，0]解析 由已知得a ＝0，从而f (x )＝2x 2＋1，由复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0]．9．－2解析 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－a －22，则函数f (x )在(－∞，－a －22)上单调递减，在区间[－a －22，＋∞)上单调递增，所以2≤－a －22，解得a ≤－2. 10．0≤m ≤4解析 由于f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (2)＞f (0)，解得a ＜0.又因为f (x )图象的对称轴为x ＝－－4a 2a＝2.所以x 在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是0≤m ≤4.11．[a ，1]解析 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(12，＋∞)， 单调递增区间为[0，12]． ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]．12.⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因f (x )在[0，＋∞)上递增，∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.13．[－12，＋∞) 解析 因为函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x 是奇函数且f ′(x )＝－3x 2－1＋cos x ≤0，所以函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x 在R 上是减函数．不等式f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)>0等价于f (cos 2θ＋2m sin θ)>－f (－2m －2)＝f (2m ＋2)⇔cos 2θ＋2m sin θ<2m ＋2⇔2m (1－sin θ)>cos 2θ－2⇔m >cos 2θ－22(1－sin θ)＝sin 2θ＋12(sin θ－1)，θ∈(0，π2)． 记g (θ)＝sin 2θ＋12(sin θ－1)，令sin θ＝t ∈(0,1)， 则g (t )＝t 2＋12(t －1)，g ′(t )＝2t (t －1)－(t 2＋1)2(t －1)2＝t 2－2t －12(t －1)2＝(t －1)2－22(t －1)2<0在t ∈(0,1)上恒成立，所以函数g (t )＝t 2＋12(t －1)在t ∈(0,1)上是减函数，从而g (θ)＝sin 2θ＋12×(sin θ－1)<02＋12×(0－1)＝－12在(0，π2)上恒成立，所以实数m 的取值范围为[－12，＋∞)． 14．b >a >c解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．因为a＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .。

1.已知函数f（x）＝ln x＋x2＋ax（a∈R)。

若函数f(x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围。

解法一函数f(x)的定义域为(0，＋∞），∵f(x）＝ln x＋x2＋ax，∴f′(x)＝错误!＋2x＋a.∵函数f(x）在（0，＋∞)上单调递增，∴f′（x）≥0,即错误!＋2x＋a≥0对x∈(0，＋∞）都成立。

∴－a≤错误!＋2x对x∈(0，＋∞）都成立。

∵当x＞0时,错误!＋2x≥2错误!＝2错误!，当且仅当错误!＝2x,即x＝错误!时取等号。

∴－a≤22，即a≥－2错误!.∴a的取值范围为［－2错误!，＋∞）.法二函数f（x）的定义域为(0,＋∞)，∴f(x）＝ln x＋x2＋ax，∴f′(x）＝错误!＋2x＋a＝错误!.方程2x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ≤0，即－2错误!≤a≤2错误!时,2x2＋ax＋1≥0,此时，f′（x)≥0对x∈（0，＋∞）都成立，故函数f（x）在定义域（0，＋∞)上是增函数。

②当Δ＞0，即a＜－2错误!或a＞2错误!时,要使函数f(x）在定义域（0，＋∞)上为增函数,只需2x2＋ax＋1≥0对x∈（0，＋∞)都成立.设h(x）＝2x2＋ax＋1,则错误!解得a＞0.故a＞2错误!。

综合①②得a的取值范围为[－2错误!,＋∞)。

2。

（2016·苏北四市调研)设f(x)＝ax3＋bx＋c（a≠0)为奇函数，其图象在点（1，f（1）)处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′（x）的最小值为－12. (1)求函数f(x）的解析式；(2）求函数f（x)的单调增区间，并求函数f（x）在[－1，3]上的最大值和最小值.解（1）因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c所以c＝0,又f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，所以b＝－12。

由题设知f′（1）＝3a＋b＝－6.所以a＝2，故f（x)＝2x3－12x。

一、选择题1．(2015·浙江六校联考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <0} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{x |－3<x ≤－2}D ．{x |x ≤－3}2．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln [(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x1＋x是奇函数，则下列命题为假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2) C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(綈p 2)3．(2014·课标全国Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i4．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x ＝π2对称，则φ的最小值是( )A.π4B.π3C.3π4D.3π85．(2015·河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( ) A ．1 024 B ．2 012 C ．2 026 D ．2 0366．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.787．设随机变量X ～B (6，12)，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58D.388．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β9．设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )A.25 B ．－25 C.55 D ．－5510．设a ＝(sin cos )x x dx π+⎰，则⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项是( )A ．160B ．－160C ．26D ．－2611．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．6312．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6二、填空题13．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 14．(2015·金华十校模拟)已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上，且AB⊥x 轴，AC ∥x 轴，则|AC |·|AB ||BC |2的最大值为________．15．(2014·福建)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． 三、解答题17．(2015·乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12 (a >0)的图象与直线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列．(1)求a ，b 的值；(2)若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤x 0，x 0＋π2上的单调增区间．18．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．19．(2015·内江期末)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1. (1)证明：EM ⊥BF ；(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．(2015·晋江第四次联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且n ∈N *)．(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设S n ＝∑ni ＝1 1a i ，求证：S n<32.21．(2015·郑州二检)已知函数f (x )＝ax ＋ln(x －1)，其中a 为常数． (1)试讨论f (x )的单调区间； (2)当a ＝11－e 时，存在x 使得不等式|f (x )|－ee －1≤2ln x ＋bx 2x 成立，求b 的取值范围．22．(2015·山东滕州第三中学第一学期期末)如图，直线l ：y ＝x ＋b (b >0)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，已知点P (2，2)在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l 的距离的最小值为324.(1)求直线l 及抛物线C 的方程；(2)过点Q (2,1)的任一直线(不经过点P )与抛物线C 交于A ，B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．答案解析1．A 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.A8．B [对于A ，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．] 9．D 10．B [a ＝(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2，则⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6，它的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C r 626－rx 3－r ，令3－r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项是－C 3626－3＝－160，选B.] 11．B12．C [因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ， 所以－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ， 再令x 取x ＋1可得－f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋x ， 所以有f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为12×2×4＝4.]13.π3解析 ∵函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2， ∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵f (x )的图象关于点(x 0,0)成中心对称，∴f (x 0)＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π3＝0，∴2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， ∵x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x 0＝π3. 14.12解析 不妨设椭圆上的点A (m ，n ) (m >0，n >0)，由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )，则|AC |＝2m ，|AB |＝2n ，|BC |＝2m 2＋n 2，则|AC |·|AB ||BC |2＝2m ·2n 4(m 2＋n 2)＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝12(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)． 15.2e 2 16．②解析 根据题意，f (x )－log 2x >0且是唯一的值，设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝t ＋log 2x ，又f (t )＝3，所以3＝t ＋log 2t ，此方程有唯一解t ＝2，所以f (x )＝2＋log 2x .方程f (x )－f ′(x )＝2，即方程log 2x －1x ln 2＝0.设h (x )＝log 2x －1x ln 2，则该函数为(0，＋∞)上的增函数． 又h (1)＝－1ln 2<0，h (2)＝1－12ln 2>0，所以方程f (x )－f ′(x )＝2的解在区间(1,2)内．17．解 (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6， ∵y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 相切， ∴b 为f (x )的最大值或最小值， 即b ＝－1或b ＝1.∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2，即T ＝2π|2a |＝π2，a >0， ∴a ＝2，即f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由题意知sin ⎝⎛⎭⎫4x 0＋π6＝0， 则4x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π24 (k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此x 0＝5π24 或x 0＝11π24.当x 0＝5π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π24，π3和⎣⎡⎦⎤7π12，17π24； 当x 0＝11π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤7π12，5π6. 18．解 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3) ＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η. 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132×23＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫232＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P1272949827ξ的均值E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.19．(1)证明 ∵EA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ， ∴EA ⊥BM .又∵BM ⊥AC ，EA ∩AC ＝A ，∴BM ⊥平面ACFE ，而EM ⊂平面ACFE ， ∴BM ⊥EM .∵AC 是圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°. 又∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴AB ＝23，BC ＝2，AM ＝3，CM ＝1. ∵EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，FC EA ＝13，∴FC ⊥平面ABC ，∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形， ∴∠EMA ＝∠FMC ＝45°， ∴∠EMF ＝90°，即EM ⊥MF . ∵MF ∩BM ＝M ，∴EM ⊥平面MBF . 而BF ⊂平面MBF ，∴EM ⊥BF .(2)解 如图，延长EF 交AC 的延长线于G ，连接BG ，过C 作CH ⊥BG ，连接FH .由(1)知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，∴FC ⊥BG . 而FC ∩CH ＝C ，∴BG ⊥平面FCH . ∵FH ⊂平面FCH ，∴FH ⊥BG ，∴∠FHC 为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． 在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴BM ＝AB sin 30°＝3， 由FC EA ＝GC GA ＝13，得GC ＝2. ∵BG ＝BM 2＋MG 2＝2 3. 又∵△GCH ∽△GBM ， ∴GC BG ＝CH BM ，则CH ＝GC BM BG ＝2×323＝1. ∴△FCH 是等腰直角三角形，∠FHC ＝45°， ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22. 20．(1)解 由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0， ∵a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝－103，λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3.(2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－13时，a n －13a n －1＝3n －1，①n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝13n －1.②由①②可得a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合． a n ＝38(3n －13n )，n ∈N *.(3)证明 由(2)知，a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n >0， ∵a n －3a n －1＝13n －1，∴a n >3a n －1，∴1a n <13·1a n －1(n ≥2)． ∴S n <1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＝1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＋1a n －13a n <1a 1＋13S n. ∴S n <32.21．解 (1)由已知得函数f (x )的定义域为{x |x >1}， f ′(x )＝a ＋1x －1＝ax －a ＋1x －1.当a ≥0时，f ′(x )>0在定义域内恒成立，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝1－1a >1，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1－1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1，1－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1－1a ，＋∞. 综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1,1－1a )，单调递减区间为(1－1a ，＋∞)．(2)由(1)知当a ＝11－e 时，f (x )的单调递增区间为(1，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．所以f (x )max ＝f (e)＝e1－e＋ln(e －1)<0， 所以|f (x )|≥－f (e)＝ee －1－ln(e －1)恒成立，当x ＝e 时取等号． 令g (x )＝2ln x ＋bx 2x ，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当1<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0，从而g (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋b2，所以，存在x 使得不等式|f (x )|－e e －1≤2ln x ＋bx 2x 成立， 只需e e －1－ln(e －1)－e e －1≤1e ＋b 2， 即b ≥－2e－2ln(e －1)． 22．解 (1)∵点P (2,2)在抛物线C 上，∴p ＝1.设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0， Δ＝(2m －2)2－4m 2＝4－8m ，由Δ＝0，得m ＝12，则直线l ′的方程为y ＝x ＋12. 两直线l ，l ′间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离，有⎪⎪⎪⎪b －122＝324， 解得b ＝2或b ＝－1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线C 的方程为y 2＝2x .(2)∵直线AB 的斜率存在，且k ≠0，∴设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)(k ≠0)，即y ＝kx －2k ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2k ＋1，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＋2＝0(k ≠0)， 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k (k ≠0)，y 1y 2＝2－4k k(k ≠0)． ∵k 1＝y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2，k 2＝2y 2＋2， ∴k 1＋k 2＝2y 1＋2＋2y 2＋2＝2(y 1＋y 2)＋8y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝2·2k ＋82－4k k ＋2·2k ＋4(k ≠0)＝4k ＋23. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2k ＋1，y ＝x ＋2，得x M ＝2k ＋1k －1，y M ＝4k －1k －1，∴k 3＝4k －1k －1－22k ＋1k －1－2＝2k ＋13， ∴k 1＋k 2＝2k 3.∴存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，且λ＝2.。