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2013年上海高考数学文科-含答案

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2013年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式021xx <-的解为 ．2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．若2011x =，111x y=，则x y += ．5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）． 6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331x x+=-的实数解为 ． 9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ．10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1r= ．11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为 ．13．设常数0a >，若291a x a x +≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ． 14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+ 的最小值是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（ ）（A（B） （C）1（D）116．设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若A B =R ，则a 的取值范围为（ ）（A ）(),2-∞（B ）(],2-∞（C ）()2,+∞（D ）[)2,+∞17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω= ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）A ．0B ．41C ．2 D．三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．第19题图B20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x+-； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数()2||f x x =-．无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈．（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点； （3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”．参考答案 一、选择题1．1(0,)2 【解析】)21,0(0)12(∈⇒<-x x x 2．15 【解析】1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a3．2m =- 【解析】 20102)1(22222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-+⇒-+-+m m m m i m m m 是纯虚数 4．1 【解析】111 202112 =-==⇒=-=y x y x x x x ，又已知，联立上式解之得2,1x y ==5．23π 【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a6．78 【解析】 7880100607510040=⋅+⋅=平均成绩 7．2- 解：2515()(),2(5)71r r rr a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-．8．3x=log 4【解析】4log 43013331313139311393=⇒=⇒>+±=⇒±=-⇒-=-⇒=+-x xx x x xx x 9．79- 【解析】 971)(cos 2)(2cos 31)cos(sin sin cos cos 2-=--=-⇒=-=+y x y x y x y x y x10【解析】 3336tan=⇒==rll r π由题知， 11．57解：7个数4个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为2427517C C -=．【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

个个，共有个数中任取个偶数共个奇数和从21273427=C.62224个个数分别为奇数，共有个数之积为奇数=⇒C 752161122724=-=-=C C P 个数之积为偶数的概率所以12．3 解：不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 法二：【解析】 如右图所示。

)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a ba C a 代入椭圆标准方程得，把 6342=⇒c 13．1[,)5+∞ 【解析】 考查均值不等式的应用。

5116929)(,022≥⇒+≥=+≥+=>a a a x a x x a x x f x 时由题知，当14．5- 【解析】 根据对称性，的模最大时互为相反向量，且它们与当向量)()(l k j i c c a a ++,,,,))((CB c CA c AD a AC a c c a a l k j i l k j i ====++最小。

这时， 5|)|))((2-=+-=++j i l k j i a a c c a a15．A 【解析】 31)(2,02=⇒-==≥x x x f x 由反函数的定义可知，16．B 解：集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．法二：代值法，排除法。

当a=1时，A=R ，符合题意；当a=2时，符合题意。

,)2),[]1,(),,1[R B A A B =⋃∴+∞⋃-∞=+∞=综上，选B标准解法如下: )1,(),,1[--∞⊇∴=⋃+∞-=a A R B A a B，时符合题意；当当时，当由),[]1,(11,10))(1(+∞⋃-∞∈>=∈=⇒≥--a x a a R x a a x x 11),1[],(1;2111<⇒-≥⇒+∞⋃-∞∈<≤<-≥⇒a a a a x a a a 时当解得.2综上，≤a17．A 【解析】 好货则不便宜便宜则不是好货便宜没好货⇔⇔宜”的充分条件所以“好货”是“不便选A18．D 【解析】 144144lim 1144222222=+=++⇒=+++∞>-y x ny x n ny x n 椭圆方程为： 0)4(8404224)(14422222222≥--=∆⇒=-+-⇒=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+u u u ux x x u x y x u y x 联立22,],22,22[80)4(2222的最大值为所以y x u u u u +-∈⇒≤⇒≥--⇒选D19．【解析】 331131⋅=⋅⋅=-∆-ABC ABC O S V ABC O 的体积三棱锥 中，在，则的中点为中的射影为在面设OQE RT QE OQ E BC Q ABC O ∆==331,,3234)33(122222=⇒=+⇒+=OE EQ OQ OE ， 333233=+⋅⋅=+=-∆∆-OE BCS S S ABC O ABC OBC ABC O 的表面积三棱锥所以，33,33==---ABC O ABC O S V ABC O 表面积的体积三棱锥20．解：（1）每小时生产x 克产品，获利310051x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭， 生产a 千克该产品用时间为a x ，所获利润为2313100511005a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）生产900千克该产品，所获利润为213900005x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1161900003612x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以6x =，最大利润为619000045750012⨯=元。

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2013年高考试题及解析：文科数学(新课标Ⅰ卷)

2013年高考试题及解析：文科数学(新课标Ⅰ卷)

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A ｝，则A ∩B= （ ） （A ）｛0｝ （B ）｛－1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛－1，,0，1} 【答案】A 【解析】【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. （2）1＋2i(1－i)2＝ （ ） （A ）－1－12i（B ）－1＋12i（C ）1＋12i（D ）1－12i【答案】B 【解析】【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12（B ）13（C ）14（D ）16【答案】B【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

数学_2013年上海市松江区高考数学一模试卷(文科)_(含答案)

数学_2013年上海市松江区高考数学一模试卷(文科)_(含答案)

2013年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. lim n →∞n 2+3n 2n 2−n=________． 2. 集合A ={0, 2, a}，B ={1, a 2}，若A ∪B ={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为________．3. 若行列式|2x−1412|=0，则x ＝________． 4. 若函数f(x)=2x +3的图象与g(x)的图象关于直线y =x 对称，则g(5)=________．5. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为________．6. 己知a →=(1,2sinθ)，b →=(cosθ,−1)，且a →⊥b →，则tanθ=________． 7. 抛物线的焦点为椭圆x 25+y 24=1的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为________．8. 已知lgx +lgy =1，则5x +2y 的最小值是________．9. 现有20个数，它们构成一个以1为首项，−2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是________．10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，且AC →⋅AB →=4，则△ABC 的面积等于________．11. 若二项式(x +a)7展开式中，x 5项的系数是7，则limn →∞(a 2+a 4+⋯+a 2n )=________． 12. 给出四个函数： ①f(x)=x +1x ，②g(x)=3x +3−x ， ③μ(x)=x 3， ④v(x)=sinx ，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有f(−x)+f(x)=0及f(x +m)>f(x)的函数为________．（写出所有满足条件的函数的序号）13. 在平面直角坐标系中，定义d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|为P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)两点之间的“折线距离”．则原点O(0, 0)与直线x +y −√5=0上一点P(x, y)的“折线距离”的最小值是________．14. 某同学对函数f(x)=xcosx 进行研究后，得出以下五个结论： ①函数y =f(x)的图象是轴对称图形； ②对任意实数x ，f(x)≤|x|恒成立；③函数y =f(x)的图象与x 轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数y =f(x)的图象与直线y =x 有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等； ⑤当常数k 满足|k|>1|时，函数y =f(x)的图象与直线y =kx 有且仅有一个公共点． 其中正确的结论序号是________（请写出所有正确结论序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15. 过点(1, 0)且与直线x −2y −2=0平行的直线方程是( )A x −2y −1=0B x −2y +1=0C 2x +y −2=0D x +2y −1=016. 原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A 0个B 1个C 2个D 4个17. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有( )A 1个B 2个C 3个D 4个18. 设f(x)是定义在R 上的函数，对x ∈R 都有f(−x)=f(x)，f(x)⋅f(x +2)=10，且当x ∈[−2, 0]时，f(x)=(12)x −1，若在区间(−2, 6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A (1, 2)B (2, +∞)C (1, √43) D (√43, 2)三．解答题（本大题满分58分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 已知a →=(2cosx,1)，b →=(cosx,√3sin2x)，其中x ∈R ．设函数f(x)=a →⋅b →，求f(x)的最小正周期、最大值和最小值．20. 已知z ∈C ，且满足|z|2+(z +z ¯)i =5+2i ．（1）求z ；（2）若m ∈R ，w ＝zi +m ，求证：|w|≥1．21. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当0<x ≤20时，求函数v(x)的表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f(x)＝x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．22. 对于双曲线C:x2a2−y2b2=1，(a>0,b>0)，定义C1:x2a2+y2b2=1，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．（1）当a>b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c=2c1，求双曲线C的渐近线方程；（2）若双曲线C的方程为x2−y2=1，过点M(−√3，0)且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N1、N2两点，求△ON1N2的面积（O为坐标原点）（3）若双曲线C的方程为x24−y22=1，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程．23. 已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{c n}对任意n∈N∗，都有c12+c222+⋯+c n2n=a n+1成立，求c1+c2+...+c2012的值．（3）在数列{d n}中，d1=1，且满足d nd n+1=a n+1(n∈N∗)，求表中前n行所有数的和S n．2013年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）答案1. 122. 43. 24. 15. 206. 127. y2=4x8. 29. 2510. 2√311. 1212. ③ 13. √514. ②④⑤ 15. A 16. C 17. C 18. D19. 解：∵ 向量a →=(2cosx,1)，b →=(cosx,√3sin2x)， ∴ f(x)=a →⋅b →=2cos 2x +√3sin2x… =2⋅cos2x +12+√3sin2x=cos2x +√3sin2x +1=2sin(2x +π6)+1… ∴ 最小正周期 T =2π2=π…当2x +π6=π2+2kπ，即x =π6+kπ，(k ∈Z)时， f(x)max =2+1=3… 当2x +π6=3π2+2kπ，即x =2π3+kπ，(k ∈Z)时，f(x)min =−2+1=−1…综上所述，最小正周期为π，最大值为3，最小值为1． 20. 设z ＝a +bi(a, b ∈R)，则|z|2＝a 2+b 2，(z +z ¯)i =2ai ， 由|z|2+(z +z ¯)i =5+2i 得a 2+b 2+2ai ＝5+2i关键复数相等的定义可得{a 2+b 2=52a =2解得{a =1b =2 或 {a =1b =−2 ．∴ z ＝1+2i 或z ＝1−2i ．当z ＝1+2i 时，|w|=|zi +m|=|(1+2i)i +m|=|−2+i +m|=√(m −2)2+1≥1， 当z ＝1−2i 时，|w|=|zi +m|=|(1−2i)i +m|=|2+i +m|=√(m +2)2+1≥1， 综上可得：|w|≥1．21. 由题意：当0<x ≤4时，v(x)＝2．当4<x ≤20时，设v(x)＝ax +b ，显然v(x)＝ax +b 在[4, 20]是减函数， 由已知得{20a +b =04a +b =2 ，解得{a =−18b =52⋯故函数v(x)={2,0<x ≤4,x ∈N ∗−18x +52,4<x ≤20,x ∈N ∗⋯依题意并由（1），得f(x)={2x,0<x ≤4,x ∈N ∗−18x 2+52x,4<x ≤20,x ∈N ∗.，当0≤x ≤4时，f(x)为增函数， 故f max (x)＝f(4)＝4×2＝8．当4<x ≤20时，f(x)=−18x 2+52x =−18(x 2−20x)=−18(x −10)2+1008，f max (x)＝f(10)＝12.5．所以，当0<x ≤20时，f(x)的最大值为12.5． 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米． 22. 解：（1）∵ c =√a 2+b 2，c 1=√a 2−b 2，由c =2c 1，得√a 2+b 2=2√a 2−b 2，即a 2+b 2=4(a 2−b 2) 可得 b 2a 2=35，∴ C 的渐近线方程为y =±√155x ． （2）双曲线C 的伴随曲线的方程为x 2+y 2=1，设直线l 的方程为y =k(x +√3)， 由l 与圆相切知√3k|√1+k 2=1即 3k 2=1+k 2解得k =±√22， 当k =√22时，设N 1、N 2的坐标分别为N 1(x 1, y 1)、N 2(x 2, y 2) 由{y =√22(x +√3)x 2−y 2=1得x 2−12(x +√3)2=1，即x 2−2√3x −5=0， ∵ △=(2√3)2−4⋅(−5)=32>0，x 1+x 2=2√3，x 1x 2=−5． ∴ |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(2√3)2−4×(−5)=4√2． ∴ |N 1N 2|=(√22)1−x 2|=√3√24√2=4√3，∴ S △ON 1N 2=12×|N 1N 2|×1=2√3； 由对称性知，当k =−√22时，也有S △ON 1N 2=2√3．（3）设P(x 0, y 0)，则Q(x 0, −y 0)，又A(−2, 0)、B(2, 0)， ∴ 直线PA 的方程为y =y 0x 0+2(x +2)…①直线QB 的方程为y =−y 0x0−2(x −2)…②由①②得{x0=4xy0=2yx∵ P(x0, y0)在双曲线x24−y22=1上，∴ 42x24−4y2x22=1，∴ x24+y22=1．因此动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为x 24+y22=1．23. 解：（1）∵ {a n}是递增的等差数列，设公差为d(d>0)…∵ a1、a2、a4成等比数列，∴ a22=a1⋅a4…由(1+d)2=1×(1+3d)及d>0，得d=1，…∴ a n=n(n∈N∗)．…（2）∵ a n+1=n+1，c12+c222+⋯+c n2n=a n+1=n+1，对n∈N∗都成立，当n=1时，c12=2，得c1=4，…当n≥2时，由c12+c222+⋯+c n2n=a n+1=n+1，…①及c12+c222+⋯+c n−12n−1=a n=n，…②①-②得c n2n=1，得cn=2n…∴ c n={4,n=12n，n≥2，∴ c1+c2+...+c2012=4+22+23+...+22012=22013…（3）∵ d1=1，且满足d nd n+1=a n+1(n∈N∗)，∴ d1d2⋅d2d3•…•d n−1d n=1d n=n!∴ d n=1n!根据图表可知S n=d1d1d2+d1d2+d2d1d3+...+d1d n+d2d n−1+⋯+d n d1d n+1=2+6+14+...+2n+1−2 =2⋅2n+1−2(n−2)=2n+2−2n−4。

2013年高考解析分类汇编(文数)1：集合

2013年高考解析分类汇编(文数)1：集合

2013年高考解析分类汇编1：集合一、选择题 1 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】 方法：代值法，排除法。

当a=1时，A=R ，符合题意；当a=2时，符合题意。

,)2),[]1,(),,1[R B A A B =⋃∴+∞⋃-∞=+∞=综上，选B标准解法如下: )1,(),,1[--∞⊇∴=⋃+∞-=a A R B A a B，时符合题意；当当时，当由),[]1,(11,10))(1(+∞⋃-∞∈>=∈=⇒≥--a x a a R x a a x x11),1[],(1;2111<⇒-≥⇒+∞⋃-∞∈<≤<-≥⇒a a a a x a a a 时当解得.2综上，≤a选B2 ．（2013年高考重庆卷（文））已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()U A B =ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算。

{1,2,3}AB =，所以()={4}U AB ð，选D.3 ．（2013年高考浙江卷（文））设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=（ ）A ．[-4,+∞)B ．(-2, +∞)C ．[-4,1]D ．(-2,1]【答案】D【解析】如图1所示(2,1]S T ⋂=-，所以选D【考点定位】此题考查集合的运算，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题。

4 ．（2013年高考天津卷（文1））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[-2,2]D ．[-2,1]【答案】D【解析】因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B Ax x =-≤≤，选D.5 ．（2013年高考四川卷（文1））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ）A ．∅B ．{2}C ．{2,2}-D ． {2,1,2,3}-【答案】B【解析】}2{}2,2{}3,2,1{=-= B A ，选B.6 ．（2013年高考山东卷（文2））已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且(){4}U A B =ð,{1,2}B =,则U A B =ð（ ）A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅【答案】A【解析】{1,2,3}A B =,{3}U A C B =,故选A 。

(完整版)2013年高考新课标全国(I卷)文科数学试题及答案

(完整版)2013年高考新课标全国(I卷)文科数学试题及答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2． 212i1i +(-)＝( )．A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14 D ．164．( ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x5．( ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q6．( ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )．A ．Sn ＝2an －1B ．Sn ＝3an －2C ．Sn ＝4－3anD ．Sn ＝3－2an7．( ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]8．( ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝则△POF 的面积为( )．A ．2 B． C． D ．49．( ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．10．( ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．511．( ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．( ，文12)已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是()．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．( ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______.14．( ，文14)设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______． 15．( ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．( ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．( ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．( ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．( ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．20．( ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．( ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．( ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.23．( ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．( ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．2．答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．答案：C解析：∵e =c a =，即2254c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a=±， ∴渐近线方程为12y x =±.故选C. 5．答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.6．答案：D 解析：11211321113n n n n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D.7．答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s max ＝4，s min ＝3.∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.8．答案：C解析：利用|PF |＝Px =x P ＝∴y P ＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x=. 故极值点为2π3x=，可排除D ，故选C. 10．答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)． 故选D.11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2.∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=. ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0.∴12t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R. 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴R 2＝98. ∴S 球＝4πR 2＝9π2.16．答案：解析：∵f (x )＝sin x －2cos x x －φ)，其中sin φ，cos φ当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值． 即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+.由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭， 从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭L ＝12n n-. 18．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得 x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3， y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6. 由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．19．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝又A 1C，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABCABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±， 所以|AB ||x 2－x 1|＝187. 当k＝时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a-≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。