人教A版高中数学必修3第一章算法初步1.3算法案例教案(6)
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A ．16 和 12 的最大公约数是 4 C．85 和 357 的最大公约数是 34
B．78 和 36 的最大公约数是 6 D．105 和 315 的最大公约数是 105
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【解析】： C 用更相减损术求它们的最大公约数 .
(85， 357) → (85， 272) → (85，187) → (85，102) → (85，17) → (68，17) → (51，17) → (34，17) → (17，
∴51 是 459 与 357 的最大公约数 .
（三）课后作业
基础型自主突破 1．用更相减损术求 36 与 134 的最大公约数，第一步为 ( )
A ．134－36＝98
B．134＝ 3×36＋ 26
C．先除以 2，得到 18 与 67
D．134÷36＝3(余 26)
【解析】： C 更相减损术的算法第一步要求若两数均为偶数则要用 2 约简，故选 C
解：错因：本题结果虽正确，但解题过程是错误的．错误的根源在于没有完全掌握更相减损术的
规则．更相减损术要求若两数均为偶数则要用 2 约简．本题出错正是忽略这一过程所致．
正确解法：∵ 36 和 20 都是偶数，
∴两次用 2 约简得 9 和 5.
用更相减损的步骤如下：
9－ 5＝ 4，
5－ 4＝ 1，
4－ 1＝ 3，
INPUT m， n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
A ．84
B．12
C．168
D．252
【解析】： A ∵1764＝840×2＋ 84，840＝ 84×10，∴ 1764 与 840 的最大公约数为 84.
能力型师生共研 6．下列各组数的最大公约数不正确的是 ( )
第一章 算法初步
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1.3 算法案例 第 1 课时
一、教学目标 1．核心素养 在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力， 在利用算法解决数学 问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力． 2．学习目标 （1）通过求较大的两个数的最大公约数感知其中蕴含的数学原理． （2）理解辗转相除法与更相减损术并进行算法分析． 3．学习重点 掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法，理解二者的区别与联系． 4．学习难点 认识并把握辗转相除法程序框图与程序语言． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务 1 阅读教材 P34－ P37，思考：你会求两个较为简单数的最大公约数吗？ 任务 2 辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理是什么？ 2． 预习自测 1．有关辗转相除法，下列说法正确的是 ( ) A ．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法 B．基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m＝ nq＋r ，直至 r <n 为止 C．基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m＝ qn＋r (0 ≤r <n)，反复进行，直到 r＝ 0 为止 D．以上说法都错误 【解析】： C 由辗转相除法的含义可得，故选 C. 2．用更相减损术求 36 与 134 的最大公约数，第一步为 ( )
17)，所以 85 和 357 的最大公约数是 17，故选 C.
7． (1)用辗转相除法求 840 与 1596 的最大公约数．
(2)用更相减损术求 561 与 357 的最大公约数．
【解析】： (1) 84
(2)51
(1)1596＝840＋756， 840＝756＋84,756＝84×9
所以 840 与 1596 的最大公约数为 84.
我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数， 如果两个数数比较大而且根据我们的观察又不能
得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求 8251 与 6105 的最大公约数？
●活动二 突破探索
方法分析： 8251 与 6105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据
已有的知识即可求出最大公约数 .
.
A ．134－36＝98
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B．134＝3×36＋26
C．先除以 2，得到 18 与 67
D．134÷36＝3(余 26) 【解析】：C 利用更相减损术求两个数的最大公约数时，若两个数都是偶数，则首先将两个数都
除以 2 之后再作减法，故选 C．
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）最大公因数：两个数的所有公因数中最大的一个数．
【解析】：每个小瓶的溶液的质量应是 147，343，133 的公约数，最大质量即是其最大公约数 . 先求 147 与 343 的最大公约数：
343－147＝196
196－147＝49
147－49＝ 98
98－49＝49
所以 147 与 343 的最大公约数是 49.
再求 49 与 133 的最大公约数：
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术 .
更相减损术求最大公约数的步骤如下：
可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之
.
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数 .若是，用 2 约简；若不是，执行第二步 .
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数
A．3
B． 4
C． 6
D．16
【解析】： C 486＝168×2＋150，168＝150×1＋18， 150＝18×8＋6，18＝ 6×3，所以 168 与 486 的
.
最大公约数是 6，故选 C.
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2．用更相减损术求 459 和 357 的最大公约数 .
【解析】：51 ∵ 459－357＝ 102，357－ 102＝ 255，255－102＝153，153－ 102＝51，102－ 51＝51，
2．用 “辗转相除法 ”求得 459 和 357 的最大公约数是 ( )
A．3
B． 9
C． 17
D．51
【解析】： D 459＝357×1＋102，357＝102×3＋51， 102＝51×2＋0，故选 D.
3．用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时，需要做除法的次数是 ( )
A．1
B． 2
（2）本课的辗转相除法与更相减损术对于求两数的最大公约数有什么意义？
2．问题探究 问题探究一 如何求两个较大的数的最大公约数？
●活动一 回顾旧知
在初中，我们已经学过求两数的最大公约数，你能求出 18 与 30 的最大公约数吗？
易知 18 与 30 的公约数有： 2、 3、 6，所以 18 与 30 的最大公约数是 6.
又 264=36×7+12，36=12×3，所以 264 和 36 的最大公约数为 12；
综上三个数 612，396，264 的最大公约数是 12.
10．求 225 和 135 的最小公倍数 . 【解析】： 675 ∵ 225＝135×1＋ 90， 135＝90×1＋45， 90＝45×2，
∴45 是 225 和 135 的最大公约数 . ∴225 和 135 的最小公倍数为 (225 ×135)/45＝675.
.
差相等而得到 . (2)辗转相除法的程序框图与程序语言
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程序：
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF m<n THEN x=m
m=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
4．随堂检测
1．用辗转相除法求得 168 与 486 的最大公约数是 ( )
.继续这
个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数 . 例 2 分析下列解法错因，并用更相减损术正确写出求 36 和 20 的最大公约数的解法 .
错解：用更相减损术步骤如下：
36－20＝16，
20－16＝4，
16－4＝12，
12－4＝8，
.
8－为 4.
第二步： 若 r0 ＝ 0，则 n 为 m ， n 的最大公约数； 若 r0 ≠0，则用除数 n 除以余数 r0 得到一个商 q1 和
一个余数 r1 ；
第三步：若 r1＝0，则 r1 为 m ， n 的最大公约数；若 r1 ≠0，则用除数 r0 除以余数 r1 得到一个商 q2 和
一个余数 r2 ；
(2)561－ 357＝204
357－204＝153
204－153＝102
153－102＝51
102－51＝ 51
所以 459 与 357 的最大公约数为 51.
8．有甲、乙、丙三种溶液分别重 147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中（最后一 个瓶子也装满），每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？
133－49＝ 84
84－39＝35
49－35＝14
35－14＝21
21－14＝7
.
14－7＝7
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所以 49 与 133 的最大公约数为 7，因此 147，343，133 的最大公约数为 7.即每瓶最多装 7 g 溶液 .
探究型多维突破
9．求 612、 396、264 的最大公约数 . 【解析】：12 由辗转相除法可得： 612=396×1+216，396=216×1+180，216=180×1+36，180=36×5， 所以 612 和 396 的最大公约数为 36；
6105＝ 2146× 2＋ 1813
2146＝ 1813× 1＋ 333
1813＝ 333×5＋148
A ．16 和 12 的最大公约数是 4 C．85 和 357 的最大公约数是 34
B．78 和 36 的最大公约数是 6 D．105 和 315 的最大公约数是 105
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【解析】： C 用更相减损术求它们的最大公约数 .
(85， 357) → (85， 272) → (85，187) → (85，102) → (85，17) → (68，17) → (51，17) → (34，17) → (17，
∴51 是 459 与 357 的最大公约数 .
（三）课后作业
基础型自主突破 1．用更相减损术求 36 与 134 的最大公约数，第一步为 ( )
A ．134－36＝98
B．134＝ 3×36＋ 26
C．先除以 2，得到 18 与 67
D．134÷36＝3(余 26)
【解析】： C 更相减损术的算法第一步要求若两数均为偶数则要用 2 约简，故选 C
解：错因：本题结果虽正确，但解题过程是错误的．错误的根源在于没有完全掌握更相减损术的
规则．更相减损术要求若两数均为偶数则要用 2 约简．本题出错正是忽略这一过程所致．
正确解法：∵ 36 和 20 都是偶数，
∴两次用 2 约简得 9 和 5.
用更相减损的步骤如下：
9－ 5＝ 4，
5－ 4＝ 1，
4－ 1＝ 3，
INPUT m， n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
A ．84
B．12
C．168
D．252
【解析】： A ∵1764＝840×2＋ 84，840＝ 84×10，∴ 1764 与 840 的最大公约数为 84.
能力型师生共研 6．下列各组数的最大公约数不正确的是 ( )
第一章 算法初步
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1.3 算法案例 第 1 课时
一、教学目标 1．核心素养 在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力， 在利用算法解决数学 问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力． 2．学习目标 （1）通过求较大的两个数的最大公约数感知其中蕴含的数学原理． （2）理解辗转相除法与更相减损术并进行算法分析． 3．学习重点 掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法，理解二者的区别与联系． 4．学习难点 认识并把握辗转相除法程序框图与程序语言． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务 1 阅读教材 P34－ P37，思考：你会求两个较为简单数的最大公约数吗？ 任务 2 辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理是什么？ 2． 预习自测 1．有关辗转相除法，下列说法正确的是 ( ) A ．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法 B．基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m＝ nq＋r ，直至 r <n 为止 C．基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m＝ qn＋r (0 ≤r <n)，反复进行，直到 r＝ 0 为止 D．以上说法都错误 【解析】： C 由辗转相除法的含义可得，故选 C. 2．用更相减损术求 36 与 134 的最大公约数，第一步为 ( )
17)，所以 85 和 357 的最大公约数是 17，故选 C.
7． (1)用辗转相除法求 840 与 1596 的最大公约数．
(2)用更相减损术求 561 与 357 的最大公约数．
【解析】： (1) 84
(2)51
(1)1596＝840＋756， 840＝756＋84,756＝84×9
所以 840 与 1596 的最大公约数为 84.
我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数， 如果两个数数比较大而且根据我们的观察又不能
得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求 8251 与 6105 的最大公约数？
●活动二 突破探索
方法分析： 8251 与 6105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据
已有的知识即可求出最大公约数 .
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A ．134－36＝98
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B．134＝3×36＋26
C．先除以 2，得到 18 与 67
D．134÷36＝3(余 26) 【解析】：C 利用更相减损术求两个数的最大公约数时，若两个数都是偶数，则首先将两个数都
除以 2 之后再作减法，故选 C．
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）最大公因数：两个数的所有公因数中最大的一个数．
【解析】：每个小瓶的溶液的质量应是 147，343，133 的公约数，最大质量即是其最大公约数 . 先求 147 与 343 的最大公约数：
343－147＝196
196－147＝49
147－49＝ 98
98－49＝49
所以 147 与 343 的最大公约数是 49.
再求 49 与 133 的最大公约数：
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术 .
更相减损术求最大公约数的步骤如下：
可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之
.
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数 .若是，用 2 约简；若不是，执行第二步 .
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数
A．3
B． 4
C． 6
D．16
【解析】： C 486＝168×2＋150，168＝150×1＋18， 150＝18×8＋6，18＝ 6×3，所以 168 与 486 的
.
最大公约数是 6，故选 C.
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2．用更相减损术求 459 和 357 的最大公约数 .
【解析】：51 ∵ 459－357＝ 102，357－ 102＝ 255，255－102＝153，153－ 102＝51，102－ 51＝51，
2．用 “辗转相除法 ”求得 459 和 357 的最大公约数是 ( )
A．3
B． 9
C． 17
D．51
【解析】： D 459＝357×1＋102，357＝102×3＋51， 102＝51×2＋0，故选 D.
3．用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时，需要做除法的次数是 ( )
A．1
B． 2
（2）本课的辗转相除法与更相减损术对于求两数的最大公约数有什么意义？
2．问题探究 问题探究一 如何求两个较大的数的最大公约数？
●活动一 回顾旧知
在初中，我们已经学过求两数的最大公约数，你能求出 18 与 30 的最大公约数吗？
易知 18 与 30 的公约数有： 2、 3、 6，所以 18 与 30 的最大公约数是 6.
又 264=36×7+12，36=12×3，所以 264 和 36 的最大公约数为 12；
综上三个数 612，396，264 的最大公约数是 12.
10．求 225 和 135 的最小公倍数 . 【解析】： 675 ∵ 225＝135×1＋ 90， 135＝90×1＋45， 90＝45×2，
∴45 是 225 和 135 的最大公约数 . ∴225 和 135 的最小公倍数为 (225 ×135)/45＝675.
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差相等而得到 . (2)辗转相除法的程序框图与程序语言
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程序：
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF m<n THEN x=m
m=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
4．随堂检测
1．用辗转相除法求得 168 与 486 的最大公约数是 ( )
.继续这
个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数 . 例 2 分析下列解法错因，并用更相减损术正确写出求 36 和 20 的最大公约数的解法 .
错解：用更相减损术步骤如下：
36－20＝16，
20－16＝4，
16－4＝12，
12－4＝8，
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8－为 4.
第二步： 若 r0 ＝ 0，则 n 为 m ， n 的最大公约数； 若 r0 ≠0，则用除数 n 除以余数 r0 得到一个商 q1 和
一个余数 r1 ；
第三步：若 r1＝0，则 r1 为 m ， n 的最大公约数；若 r1 ≠0，则用除数 r0 除以余数 r1 得到一个商 q2 和
一个余数 r2 ；
(2)561－ 357＝204
357－204＝153
204－153＝102
153－102＝51
102－51＝ 51
所以 459 与 357 的最大公约数为 51.
8．有甲、乙、丙三种溶液分别重 147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中（最后一 个瓶子也装满），每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？
133－49＝ 84
84－39＝35
49－35＝14
35－14＝21
21－14＝7
.
14－7＝7
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所以 49 与 133 的最大公约数为 7，因此 147，343，133 的最大公约数为 7.即每瓶最多装 7 g 溶液 .
探究型多维突破
9．求 612、 396、264 的最大公约数 . 【解析】：12 由辗转相除法可得： 612=396×1+216，396=216×1+180，216=180×1+36，180=36×5， 所以 612 和 396 的最大公约数为 36；
6105＝ 2146× 2＋ 1813
2146＝ 1813× 1＋ 333
1813＝ 333×5＋148
