由万有引力定律推导行星椭圆轨道

由万有引力定律推导行星椭圆轨道
万有引力定律是十九世纪物理学大师诺曼·巴斯德发现的，定律由两条简单的推导表
明了物体之间的引力作用关系，即物体之间的引力恒量等于它们质能量乘以相对距离的平
方的反平方。

万有引力定律阐明了自身作用的物体之间的相互引力，没有向量存在在两个
物体之间，这个引力是恒定的，因而物体它们之间会形成一个椭圆轨道，引力汇点就是椭
圆轨道上的两个焦点。

根据定律，引力是一个向外伸展的带电或者无电荷粒子质量的平方和反平方距离相关
的力。

它和距离符号构成：F=kx/r2 其中 r表示两个物体之间的距离。

当物体运动时，它们之间的距离不断变化，引力也不断变化。

从物理学上来说，经过时间的运动，引力的变
化会使物体沿着不同的轨道运动。

在太阳系中，由于太阳在物理量化上是非常大的，它与行星间的引力变化更大，因此
行星旋转太阳，这个引力距离也发生了变化，这也就引发了行星椭圆轨道的形成。

当行星
旋转太阳时，它们的运动椭圆化，两者的距离在运动中就不断变化，引力也不断变化，最
终形成椭圆轨道。

椭圆轨道是由两个焦点构成的，其中一个焦点是太阳（椭圆的长轴的两个端点之一），另一个焦点是行星的另一端点。

这两个端点之间的距离就是长轴，而这长轴的位置受旋转
物体的引力影响，所以行星不会无限地远离太阳，也不会接近太阳，而是一条椭圆轨道。

最后，根据万有引力定律可以看出，物体之间的引力汇点就是行星椭圆轨道的两个焦点，旋转物体的引力影响了椭圆轨道的长轴的位置。

有旋转物体的引力，在物体间的引力
汇点形成一个椭圆，便构成了行星椭圆轨道。

m´
F
m
F
r m
m´ 6.67 1011 Nm 2 / kg 2
r
放大思想
引力常量通常取
G=6.67 10 Nm / kg
2
11
2
G的含义—表示两质量m1 =m2=1kg的匀质小球， 相距r=1m时万有引力的大小
m1m2 11 1 1 11 F G 2 6.67 10 2 N 6.67 10 N r 1
实际测量计算与假设的理论推导结果一致
验证结论：
地球对地面上物体的引力 地球对月球的引力 太阳对行星的引力
是同一种性质力， 都遵循
m1m 2 FG 2 r
例1.由公式 F G
m1m2 可知， 2 r
当两物体之间的距离
r 时,两个物体可视为质
点，公式适用，则两物体之间的引力 F 0 问题：当两物体间的距离 r 0 时,则两物体之间
r3 =常数 2 T
3 r F=4 2 2 T
m 2 r
F 又由牛顿定三定律行星吸引太阳：
因此引力与m、M成正比，与r2成反比，即： F Mm
r2
M r2
地面上的物体，被抛 出去后总要落回地面， 是什么原因使物体不 离开地球呢？ 树上熟透的苹果掉 下来落到地面上
继续猜想：
即：月球公转轨道半径 r=3.8×108m
在牛顿的时代，已能比较精确测定：
地球的自由落体加速度 g=9.8m/s2
4 2 求月球公转的向心加速度： a r 2 T
4 2 4 3.142 8 2 a 2 r 3.8 10 m / s T (27.3 24 3600) 2 2.7 103 m / s 2

利用统计学方法
如最小二乘法、方差分析等，对实验 数据进行处理和分析，以减小随机误 差。
提高测量精度和减小误差策略
完善实验方法
控制环境因素
在实验过程中，严格控制温度、 湿度等环境因素，以减小其对实 验结果的影响。
不断改进和优化实验方法，提高 实验原理和方法的准确性和可靠 性。
增加测量次数
通过增加测量次数，可以减小随 机误差对实验结果的影响，提高 实验结果的稳定性和可靠性。
02
03
通过实验手段测量万有引力常数 等物理量，提高实验的精度和可 靠性。
04
02
牛顿万有引力定律的表述
定律内容
任何两个质点都存在通过连心线方向 上的相互吸引的力。该引力大小与它 们质量的乘积成正比，与它们距离的 平方成反比。
力的性质：相互作用的两个物体之间 的作用力是相互的，大小相等，方向 相反，作用在同一条直线上。
开普勒第三定律（周期定律）
行星绕太阳运动的周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。这 一定律为万有引力定律的推导提供了关键线索，表明引力与距离的平方 成反比。
牛顿第二定律在万有引力场中应用
牛顿第二定律（F=ma）表明物体受到的力与其加速度成正比。在万有引力场中，行星受到的力与其质量成正比 ，因此加速度与质量无关，所有行星在相同距离上受到的加速度相同。
05
误差来源分析及减小误差措施
系统误差来源识别
1 2
实验装置误差
包括测量仪器的精度、稳定性和校准等方面的误 差。
环境因素误差
如温度、湿度、气压等环境因素对实验结果的影 响。
3
方法误差
由于实验方法或测量原理不完善而引入的误差。
随机误差处理方法
多次测量求平均值

万有引力的推导作者:老司机摘要很多中学生以为已知开普勒三大定律就能推导出牛顿万有引力定律,其实并不是如此.仅仅依靠开普勒三定律是没有办法推导出牛顿万有引力方程的.为了解开这个误区,今天就让我们一起来探索牛顿万有引力方程是如何推导出来的吧.233关键词:万有引力定律,比耐公式,开普勒定律,理论力学,物理拔高,毁梗用的1基本物理概念首先我们要引入角动量L与力矩M这个概念.定义角动量的表达式:L=r×p定义力矩的表达式:M=r×F力矩和角动量之间有如下关系:L=dM dt证明:我们已知牛顿第二定律F=ma=m dvdt,两边同时对牛顿第二定律叉乘r.得：r×F=mr×dv dt我们知道乘积求导有这样的一个关系:(ab) =a b+ab ,d(ab)dt=dadtb+adbdt 1把这个关系带入之前的式子:r×F=mr×dvdt=md(r×v)dt−mv×drdt我们知道v=drdt ,所以上式最后一项是mv×drdt=mv×v=0这样我们就得到了关系式L=r×F=d(r×mv)dt =dMdt角动量定理:L=dM dt我们现在知道了角动量和力矩的概念后我们就可以开始去探索如何推导出牛顿万有引力方程了.2比耐公式首先我们先看看在一般的中心力场中的规律.所谓中心力场,就是满足F=F(r) rr这样的力场,比如万有引力只与距离r有关,我们把这种只与距离有关而与其他无关(比如角度θ,φ)的力场叫做中心力场.中心力场中运动的物体一定是在一个平面内的轨迹.图1:中心力场(力心在o点处)根据牛顿第二定律：F(r) rr=ma=md2 rdt2写成x,y分量形式.m d2xdt2=F(r)xrm d2ydt2=F(r)yr2把直角坐标和极坐标互化公式x=rcosθ,y=rsinθ带进去.得:m(d2rdt2−r(dθdt)2)=F(r)(1)m(r d2θdt2+2drdtdθdt)=0(2)把(2)式凑全微分,得m1r dt(r2dθdt)=0,所以:r2dθdt=Constant(3) mr2dθdt=Constant(4)这样我们得到了中心力场的基本方程组m(d2rdt2−r(dθdt)2)=F(r)(5) r2dθdt=C(6)现在我们知道了在中心力场中的运动规律满足上面两个式子,那么我们对上面两个式子消去时间变量t就得到任意中心力场F(r)下的运动轨迹方程r= r(θ)(这是个极坐标方程).我们已知r2dθdt =C,做变量代换,以u=1r代换.得dθdt=Cu2dr dt =drdθdθdt=ddθ(1u)dθdt=−1u2dudθdθdt=−Cdudθd2r dt2=ddtdrdt=ddr(−Cdudθ)=ddθ(−Cdudθ)dθdt=−C2u2d2udθ2把以上三式带入(5)式,得:C2u2(d2udθ2+u)=−Fm这就是所要求的轨道微分方程,通常叫做比耐公式,引力时,F为负号,斥力时F为正号.由这个方程可知,若我们已知中心力场具体轨道形式,便可以求出该中心力场的力的形式.33万有引力定律好了,咱们回到推导万有引力定律来.1609年,开普勒发表了他的三大定律.开普勒第一定律,行星绕太阳做椭圆运动,太阳位于椭圆的一个焦点上.开普勒第二定律,行星和太阳之间的连线,在相等时间内扫过的面积相等.开普勒第三定律,行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.首先看开普勒第二定律.图2:开普勒第二定律设A 是矢径扫过的面积,由开普勒第二定律,知道单位面积内,矢径所扫过的面积相等,即dAdt=constant 现在来求dA dt 的表达式,P 1,P 2分别是行星沿着它轨道运动时的两个相邻位置,对太阳张开的角度为dθ,从P 1到P 2的时间是∆t ,在这一段时间内扫过的面积∆A 为OP 1P 2.当∆t →0的时候,P 2→P 1,∆A 就近似的等于∆OP 1P 2的面积,即12r (r ∆θ),所以.dA dt =lim ∆t →0∆A ∆t =lim ∆t →012r 2∆θ∆t =12r 2dθdt或2dA dt =r 2dθdt4这个就是开普勒第二定律的数学表达式.现在我们考虑开普勒第一定律,我们已知行星轨道是椭圆轨道.椭圆的极坐标方程为:r=p1+ecosθ令u=1ru=1p+epcosθ把这个式子带入比耐公式F=−mC2u2(d2udθ2+u)=−mC2u2p=−C2pmr2由于每个行星的C,p是不同的,所以我们还需要利用开普勒第三定律来确定C,p两边对2dAdt =r2dθdt积分.积分范围是全周期.2A=CT=2πabT=2πabC带入开普勒第三定律T2 a3=4π2b2C2a而b2 a =1a(a2−c2)=a(1−c2a2)=a(1−e2)=p即可以得到C2 p =4π2a3T2=k由开普勒第三定律知k是一个常数.与行星位置、质量无关F=−mk2 r2令k2=GMF(r)=−GMm r2牛顿万有引力公式得到证明.5。