初中数学同步讲义 8年级 第40讲：因式分解方法(1)(教师版)

第01讲_因式分解知识图谱因式分解知识精讲概念（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，（2）因式分解与整式乘法是互逆过程2222()2()a ab a a bx yx y x y-=-++=+（√）（√）注意事项（1）分解的对象必须是多项式；（2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；（3）要分解到不能分解为止2323623x y x y=⋅（×）2(1)(2)2x x x x+-=--（×）3229633(32)a a a a a a-+=-（×）概念（1）多项式()am bm cm m a b c++=++，其中m叫做这个多项式各项的公因式（2）m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式（1）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是5m2n（2）m(n-2) -m2(2-n)可化简为m(n-2)＋m2(n-2)，公因式是m (n-2)分解因式得m(n-2) (m＋1)步骤（1）公因式的系数——找各因式系数的最大公约数（2）公因式的字母——各因式中相同的字母 （3）相同字母指数——取各字母指数的最低次幂平方差公式（1）()()22a b a b a b -=+-即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积()()()22249232323x x x x -=-=+-完全平方公式 （1）()2222a ab b a b ±+=±其中，222a ab b ±+叫做完全平方式即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方()()()2222241292223323x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=-三点剖析一．考点：1．概念；2．提公因式法；3．公式法．二．重难点：提公因式法；公式法三．易错点：没有分解彻底，一定要分解到每一项都不能再分解为止．概念例题1、 下列各等式从左到右的变形是因式分解，且分解正确的是（ ） A.ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ）B.a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1C.（x ＋5）（x －1）＝x 2－4x －5D.2211()42x x x -+=-【答案】 D【解析】 A 、公因式是x ，应为ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ＋1），故本选项错误； B 、a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1＝（a ＋b ＋1）（a ＋b －1），分解不彻底，故本选项错误； C 、右边不是积的形式，故本选项错误；D 、完全平方公式分解因式，故本选项正确．例题2、 下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）（1）2(1)(2)2x x x x +-=-- （2）()ax ay a a x y a --=-- （3）2323623x y x y =⋅ （4）24(2)(2)x x x -=+-（5）3229633(32)a a a a a a -+=- A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】 B【解析】 从左到右，式（1）是整式乘法；式（2）右端不是积的形式；式（3）中左右两边均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成几个整式的乘积形式；式（5）的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式（4）是正确的．例题3、 若多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果（x －2）（x ＋3），则a ，b 的值分别是（ ） A.a ＝1，b ＝－6 B.a ＝5，b ＝6 C.a ＝1，b ＝6 D.a ＝5，b ＝－6 【答案】 A【解析】 ∵多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果为（x －2）（x ＋3）， ∴x 2＋ax ＋b ＝（x －2）（x ＋3）＝x 2＋x －6， 故a ＝1，b ＝－6．随练1、 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A.2xy+6xz+3=2x （y+3z ）+3 B.（x+6）（x ﹣6）=x 2﹣36 C.﹣2x 2﹣2xy=﹣2x （x+y ） D.3a 2﹣3b 2=3（a 2﹣b 2） 【答案】 C【解析】 A 、在等式的右边最后计算的是和，不符合因式分解的定义，故A 不正确； B 、等式从左边到右边属于整式的乘法，故B 不正确；C 、等式从左边到右边把一个多项式化成两个整式积的形式，符合因式分解的定义，故C 正确；D 、多项式a 2﹣b 2仍然可以继续分解为（a+b ）（a ﹣b ），故D 属于分解不彻底，故D 不正确； 故选C ．随练2、 下列变形，属于因式分解的有（ ） ①x 2－16＝（x ＋4）（x －4） ②x 2＋3x －16＝x （x ＋3）－16 ③（x ＋4）（x －4）＝x 2－16 ④x 2＋x ＝x （x ＋1） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 B【解析】 由因式分解的意义可知： ①④是因式分解，提公因式法例题1、 3322222491421a bc a b c ab c +-在分解因式时，应提取的公因式是（ ） A.27abc B.227ab c C.2227a b c D.337a bc 【答案】 A【解析】 因为()3322222224914217723a bc a b c ab c abc a c ab b +-=+-，所以提取的公因式为27abc ，故选A 选项． 例题2、 单项式2234a b c -，212ab c ，38ab 的公因式是________． 【答案】 24ab【解析】 由公因式的定义可知，题目中三项的公因式为24ab ． 例题3、 多项式（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ）的公因式是（ ） A.x+y ﹣z B.x ﹣y+z C.y+z ﹣x D.不存在 【答案】 A【解析】 （x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ） =（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）+（y+z ﹣x ）（x+y ﹣z ） =（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z+y+z ﹣x ） =2z （x+y ﹣z ），故多项式（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ）的公因式是：x+y ﹣z 例题4、 若x －y ＝5，xy ＝6，则x 2y －xy 2＝________． 【答案】 30【解析】 ∵x －y ＝5，xy ＝6， ∴x 2y －xy 2＝xy （x －y ）＝6×5＝30．例题5、 计算：20182－2018×2017＝________． 【答案】 2018【解析】 20182－2018×2017＝2018（2018－2017）＝2018×1＝2018． 例题6、 若m ﹣n=﹣1，则（m ﹣n ）2﹣2m+2n=______． 【答案】 3【解析】 ∵m ﹣n=﹣1， ∴（m ﹣n ）2﹣2m+2n =（m ﹣n ）2﹣2（m ﹣n ） =（﹣1）2﹣2×（﹣1） =1+2 =3．例题7、 分解因式：（1）324x x y -（2）324(1)2(1)q p p -+- （3）22x y xy - （4）22x xy -【答案】 （1）2(4)x x y -（2）22(1)(221)p q pq --+（3）22()x y xy xy x y -=-（4）()2x x y -【解析】 （1）()32244x x y x x y -=-（2）()()()()()()322241212121121221q p p p q p p q pq -+-=--+=--+⎡⎤⎣⎦ （3）()22x y xy xy x y -=- （4）()222x xy x x y -=-随练1、 下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A.5()m a b --与()b a - B.2()a b +与a b -- C.mx y +与x y +D.2a ab -+与22a b ab -【答案】 C【解析】 A 选项公因式为a b -；B 选项公因式为a b +；C 选项没有公因式；D 选项公因式为()a a b -；故答案为C 选项．随练2、 多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是（ ） A.x －1 B.x ＋1 C.x 2－1 D.（x －1）2 【答案】 A【解析】 暂无解析随练3、 在分解3225(32)(23)x a b b a --+-时，提出公因式2(32)a b --后，另一个因式是（ ） A.35xB.351x +C.351x -D.35x -【答案】 C【解析】 因为()()()()22233532233251x a b b a a b x --+-=---，所以另一个因式是351x -，故选C 选项． 随练4、 若m －n ＝－1，则（m －n ）2－2m ＋2n ＝________． 【答案】 3【解析】 ∵m －n ＝－1， ∴（m －n ）2－2m ＋2n ＝（m －n ）2－2（m －n ） ＝（－1）2－2×（－1） ＝1＋2 ＝3．随练5、 已知m 2＝n ＋2，n 2＝m ＋2，m ≠n ，求m 3－2mn ＋n 3的值． 【答案】 －2【解析】 暂无解析随练6、 （﹣8）2014+（﹣8）2013能被下列数整除的是（ ） A.3 B.5 C.7 D.9【答案】 C【解析】 （﹣8）2014+（﹣8）2013 =（﹣8）2013×（﹣8+1） =﹣7×（﹣8）2013，则（﹣8）2014+（﹣8）2013能被7整除 随练7、 把下列各多项式分解因式 （1）5232a b a b a b -+（2）222271449x y xy x y --+（3）22()(1)()(1)x y a a x y a a +++--++ （4）222318(2)24(2)12(2)x x y xy y x x y x ----- （5）()()()x x y z y x y z z x y z ++++++++【答案】 （1）232(1)a b a b -+（2）7(27)xy x y xy -+-（3）22(1)y a a ++（4）26(2)(58)x y x x y --（5）2()x y z ++【解析】 （1）()52322321a b a b a b a b a b -+=-+ （2）2222714497(27)x y xy x y xy x y xy --+=-+-（3）()()()()()()()222211121x y a a x y a a a a x y x y y a a +++--++=+++-+=++（4）()()()()()22322182242122623422x x y xy y x x y x x x y x y x y -----=--+-⎡⎤⎣⎦()()26258x x y x y =--（5）()()()()2x x y z y x y z z x y z x y z ++++++++=++公式法例题1、 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A.a 2+（﹣b ）2 B.5m 2﹣20m C.﹣x 2﹣y 2 D.﹣x 2+9 【答案】 D【解析】 A 、a 2+（﹣b ）2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； B 、5m 2﹣20m=5m （m ﹣4），无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； C 、﹣x 2﹣y 2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； D 、﹣x 2+9=（3﹣x ）（3+x ），符合题意，故此选项正确．例题2、 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A.21x x ++ B.221x x +- C.21x - D.269x x -+ 【答案】 D【解析】 A 、21x x ++不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A 错误； B 、221x x +-不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B 错误； C 、21x -不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C 错误；D 、22693x x x +=--（）2，故D 正确． 例题3、 下列多项式可以用公式法因式分解的是（ ）A.m 2+4mB.﹣a 2﹣b 2C.m 2+3m+9D.﹣y 2+x 2 【答案】 D【解析】 A ．m 2+4m 只有一项平方项，所以不能用平方差公式因式分解，故此选项错误； B ．﹣a 2﹣b 2两项的符号相同，所以不能用平方差公式因式分解，故此选项错误； C ．m 2+3m+9不符合完全平方公式形式，故此选项错误；D ．﹣y 2+x 2符合平方差公式因式分解的式子的特点，故选项正确． 例题4、 分解因式（1）p 2（q －1）－p （1－q ）．（2）（a 2＋4b 2）2－16a 2b 2． 【答案】 （1）p （p ＋1）（q －1） （2）（a ＋2b ）2（a －2b ）2 【解析】 暂无解析 例题5、 因式分解： （1）x 2－36；（2）3x （a －b ）－6y （b －a ）； （3）（y 2－1）2－6（y 2－1）＋9． 【答案】 （1）（x ＋6）（x －6） （2）3（a －b ）（x ＋2y ） （3）（y ＋2）2（y －2）2【解析】 （1）x 2－36＝（x ＋6）（x －6）；（2）3x （a －b ）－6y （b －a ）＝3x （a －b ）＋6y （a －b ）＝3（a －b ）（x ＋2y ）； （3）原式＝（y 2－1－3）2 ＝（y 2－4）2＝（y ＋2）2（y －2）2．例题6、 已知x ＋y ＝4，xy ＝1，求下列各式的值： （1）x 2y ＋xy 2； （2）（x 2－1）（y 2－1）． 【答案】 （1）4 （2）－12【解析】 （1）当x ＋y ＝4、xy ＝1时， x 2y ＋xy 2＝xy （x ＋y ）＝1×4＝4； （2）当x ＋y ＝4、xy ＝1时， 原式＝x 2y 2－x 2－y 2＋1 ＝x 2y 2－（x 2＋y 2）＋1＝（xy ）2－（x ＋y ）2＋2xy ＋1 ＝1－16＋2＋1 ＝－12．例题7、 分解因式： （1）2269x ax a ++（2）2244x y xy --+（3）29()6()1a b a b -+-+【答案】 （1）2(3)x a +（2）2(2)x y --（3）2(331)a b -+【解析】 （1）222226923(3)(3)x ax a x x a a x a +++⋅⋅++==（2）222222244(44)[222](2)x y xy x xy y x x y y x y --+=--+=--⋅⋅+=--（） （3）222229()6()1[3()]23()11[3()1](331)a b a b a b a b a b a b -+-+-+⋅-⋅+-+-+===例题8、 分解因式：（1）48610369b x c y - （2）22(2)(2)x y x y +-- （3）8881x y -（4）()()223223a b a b +-+【答案】 （1）243524359(2)(2)b x c y b x c y +-（2）8xy （3）442222(9)(3+)(3)x y x y x y +-（4）()5()a b a b +-【解析】 （1）4861048610242352243524353699(4)9[(2)()]9(2)(2)b x c y b x c y b x c y b x c y b x c y ---+-＝＝＝，（2）22(2)(2)x y x y +--[(2)(2)][(2)(2)](22)(22)(2)(4)8x y x y x y x y x y x y x y x y x y xy =++-+--=++-+-+=＝ （3）8881x y -42424444442222442222442222(9)()(9)(9)(9)[(3)()](9)[(3+)(3)](9)(3+)(3)x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y =-=+-=+-=+-=+-（4）()()223223a b a b +-+[(32)(23)][(32)(23)](3223)(3223)(55)()5()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++++-+=++++--=+-=+-随练1、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）①x 2﹣4x+8；②﹣x 2﹣2x ﹣1；③4m 2+4m ﹣1；④﹣m 2+m ﹣14；⑤4a 4﹣a 2+1a．A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】 C【解析】 ①x 2﹣4x+8，不能；②﹣x 2﹣2x ﹣1，能；③4m 2+4m ﹣1，不能；④﹣m 2+m ﹣14，能；⑤4a 4﹣a 2+1a，不能，则不能用完全平方公式分解的个数为3个， 故选C随练2、 已知a ＝20182，b ＝2017×2019，则a －b 的值为________． 【答案】 1【解析】 ∵a ＝20182，b ＝2017×2019，∴a －b ＝20182－2017×2019＝20182－（2018－1）×（2018＋1）＝20182－20182＋1＝1． 随练3、 因式分解x 4－4＝________（实数范围内分解）． 【答案】2(2)(x x x ++ 【解析】 x 4－4＝（x 2＋2）（x 2－2）222(2)[]x x =+-2(2)(x x x =+-．随练4、 下列各式：x 2－y 2，－x 2＋y 2，－x 2－y 2，（－x ）2＋（－y ）2，x 4－y 4中能用平方差公式分解因式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C【解析】 x 2－y 2＝（x ＋y ）（x －y ），－x 2＋y 2＝（y ＋x ）（y －x ），－x 2－y 2，（－x ）2＋（－y ）2，x 4－y 4＝（x ＋y ）（x －y ）（x 2＋y 2），则能用平方差公式分解因式的有3个．随练5、 若x 2＋2（m －3）x ＋16＝（x ＋n ）2，则m ＝________． 【答案】 7或－1【解析】 ∵x 2＋2（m －3）x ＋16＝（x ＋n ）2， ∴n ＝±4，∴2（m －3）＝±8， 解得：m ＝7或－1．随练6、 分解因式:（1）5a b ab -（2）44()()a m n b m n +-+ （3）11116m m a a +--+【答案】 （1）2(1)(1)(1)ab a a a ++-（2）22()()()()m n a b a b a b +++-（3）11(4)(4)16m a a a --+-【解析】 （1）54222(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a ab a a a -=-=+-=++-（2）4444222222()()()()()()()()()()()a m n b m n m n a b m n a b a b m n a b a b a b +-+=+-=++-=+++-（3）11121111(16)(4)(4)161616m m m m a a a a a a a +----+=--=-+- 随练7、 把下列各式因式分解： （1）x （x －5）2－x （－5＋x ）（x ＋5） （2）（a ＋2b ）2－a 2－2ab ； （3）－2（m －n ）2＋32；（4）－x 3＋2x 2－x ； 【答案】 （1）－10x （x －5） （2）2b （a ＋2b ）（3）－2（m －n ＋4）（m －n －4） （4）－x （x －1）2【解析】 （1）原式＝x （x －5）2－x （x －5）（x ＋5）＝x （x －5）[（x －5）－（x ＋5）]＝－10x （x －5） （2）原式＝a 2＋4ab ＋4b 2－a 2－2ab ＝2ab ＋4b 2＝2b （a ＋2b ） （3）原式＝－2[（m －n ）2－16]＝－2（m －n ＋4）（m －n －4） （4）原式＝－x （x 2－2x ＋1）＝－x （x －1）2 随练8、 （1）分解因式2a 3－8ab 2； （2）计算：（－2a 2b ）2•（3ab 2－5a 2b ）÷（－ab ）3； （3）先化简后求值：[（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）]÷2x ，其中x ＝5，y ＝3． 【答案】 （1）2a （a ＋2b ）（a －2b ） （2）－12a 2b ＋20a 3 （3）x －y ；2【解析】 （1）2a 3－8ab 2 ＝2a （a 2－4b 2） ＝2a （a ＋2b ）（a －2b ）；（2）原式＝4a 4b 2•（3ab 2－5a 2b ）÷（－a 3b 3） ＝（12a 5b 4－20a 6b 3）÷（－a 3b 3） ＝－12a 2b ＋20a 3；（3）[（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）]÷2x ＝[（x 2－2xy ＋y 2）＋（x 2－y 2）]÷2x ＝（2x 2－2xy ）÷2x ＝x －y ，当x ＝5，y ＝3时，原式＝5－3＝2． 随练9、 分解因式：（1）42222244a x a x y x y -+ （2）22()12()36x y x y z z +-++ （3）222(4)8(4)16x x x x ++++（4）22222241(2)2(2)22x y x y y y ---+【答案】 （1）222(2)x a y -（2）2(6)x y z +-（3）4(2)x +（4）221(2)(2)2x y x y +-【解析】（1）()24222222422222222244(44)[()2()(2)2](2)a x a x y x y x a a y y x a a y y x a y -+=-+=-⋅⋅+=-（2）22222()12()36()2()(6)(6)(6)x y x y z z x y x y z z x y z +-++=+-++=+-（3）222222222224(4)8(4)16(4)2(4)44(44)[(2)](2)x x x x x x x x x x x x ++++=++⋅+⋅+=++=+=+（4）22222241(2)2(2)22x y x y y y ---+ 22222242222222222222222221[(2)4(2)4]21[(2)2(2)(2)(2)]21(22)21(4)21[(2)(2)]21(2)(2)2x y x y y y x y x y y y x y y x y x y x y x y x y =---+=--⋅-⋅+=--=-=+-=+-拓展1、 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A.3x ＋3y －5＝3（x ＋y ）－5 B.（x ＋1）（x －1）＝x 2－1 C.x 2＋2x ＋1＝（x ＋1）2 D.x （x －y ）＝x 2－xy 【答案】 C【解析】 暂无解析2、 下列变形：①（x+1）（x ﹣1）=x 2﹣1；②9a 2﹣12a+4=（3a ﹣2）2；③3abc 3=3c•abc 2；④3a 2﹣6a=3a （a ﹣2）中，是因式分解的有__________（填序号） 【答案】 ②④【解析】 分析：直接利用因式分解的意义分析得出答案． 解：①（x+1）（x ﹣1）=x 2﹣1，是多项式乘法，故此选项错误； ②9a 2﹣12a+4=（3a ﹣2）2，是因式分解； ③3abc 3=3c•abc 2，不是因式分解； ④3a 2﹣6a=3a （a ﹣2），是因式分解； 故答案为：②④．3、 下列从左到右的变形，是在式分解的是（ ）①()a x y ax ay +=+ ②22111()()a a a b b b-=+- ③29(3)(3)ax a a x x -=+-④221()()1x y x y x y --=+-- ⑤222222()2()x x y y x y x y -+-=---A.②③B.③C.③⑤D.③④ 【答案】 B【解析】 暂无解析4、 多项式4x 2﹣4与多项式x 2﹣2x +1的公因式是（ ） A.x ﹣1 B.x +1 C.x 2﹣1 D.（x ﹣1）2 【答案】 A【解析】 ∵4x 2﹣4=4（x +1）（x ﹣1），x 2﹣2x +1=（x ﹣1）2， ∴多项式4x 2﹣4与多项式x 2﹣2x +1的公因式是（x ﹣1）． 5、 多项式15m 3n 2+5m 2n ﹣20m 2n 3的公因式是（ ） A.5mn B.5m 2n 2 C.5m 2n D.5mn 2 【答案】 C【解析】 多项式15m 3n 2+5m 2n ﹣20m 2n 3中， 各项系数的最大公约数是5，各项都含有的相同字母是m 、n ，字母m 的指数最低是2，字母n 的指数最低是1， 所以它的公因式是5m 2n ．6、 如多项式339363x y xy xy -+提取公因式________后，另一个因式是________． 【答案】 3xy ，223121x y -+【解析】 由提公因式法可知，()3322936333121x y xy xy xy x y -+=-+所以提出公因式3xy 之后，另一个公因式为223121x y -+．7、 分解因式()()()()x m n a b y n m b a -----=_________． 【答案】 ()()()m n a b x y ---【解析】 ()()()()()()()()()()()x m n a b y n m b a x m n a b y m n a b m n a b x y -----=-----=--- 8、 因式分解：x 2﹣2x+（x ﹣2）=______________． 【答案】 （x+1）（x ﹣2）【解析】 原式=x （x ﹣2）+（x ﹣2）=（x+1）（x ﹣2）． 9、 因式分解：（a －b ）2－（b －a ）＝________． 【答案】 （a －b ）（a －b ＋1）【解析】 原式＝（a －b ）2＋（a －b ）＝（a －b ）（a －b ＋1），10、 若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，则x y （填＞，＜或=）【答案】 ＜．【解析】 ∵x ﹣y=123456789×123456786﹣123456788×123456787 =（123456788+1）×123456786﹣123456788×（123456786+1）=123456788×123456786+123456786﹣123456788×123456786﹣123456788 =﹣2＜0， ∴x ＜y.11、 代数式x 4﹣81，x 2﹣9与x 2﹣6x+9的公因式为（ ）A.x+3B.（x+3）2C.x ﹣3D.x 2+9【答案】 C【解析】 x 4﹣81=（x 2+9）（x 2﹣9）， =（x 2+9）（x+3）（x ﹣3）； x 2﹣9=（x+3）（x ﹣3）； x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2．因此3个多项式的公因式是x ﹣3． 故选：C ．12、 分解因式：9（a －1）2－4（b －2）2． 【答案】 （3a ＋2b －7）（3a －2b ＋1）【解析】 原式＝[3（a －1）＋2（b －2）][3（a －1）－2（b －2）] ＝（3a －3＋2b －4）（3a －3－2b ＋4） ＝（3a ＋2b －7）（3a －2b ＋1）．13、 分解因式：（1）2249a b -（2）24162516a y b -+【答案】 （1）()23(23)a b a b +-（2）8282(45)(45)b ay b ay +-【解析】 （1）222249(2)(3)(23)(23)a b a b a b a b -=-=+-（2）241616248222828225161625(4)(5)(45)(45)a y b b a y b ay b ay b ay -+=-=-=+-14、 因式分解： （1）2x 2－18；（2）3m 2n －12mn ＋12n ； （3）（x －y ）2－6（x －y ）＋9； （4）（m 2＋4n 2）2－16m 2n 2． 【答案】 （1）2（x ＋3）（x －3） （2）3n （m －2）2 （3）（x －y －3）2 （4）（m ＋2n ）2（m －2n ）2【解析】 （1）原式＝2（x 2－9）＝2（x ＋3）（x －3）； （2）原式＝3n （m 2－4m ＋4）＝3n （m －2）2； （3）原式＝（x －y －3）2； （4）原式＝（m 2＋4mn ＋4n 2）（m 2－4mn ＋4n 2） ＝（m ＋2n ）2（m －2n ）2． 15、 分解因式（1）244ma ma m -+ （2）232a a a -+（3）22244a b ab c +--【答案】 （1）2(2)m a -（2）2(1)a a -（3）(2)(2)a b c a b c ---+【解析】 （1）22244(44)(2)ma ma m m a a m a -+=-+=- （2）23222(12)(1)a a a a a a a a -+=-+=- （3）2222244(2)(2)(2)a b ab c a b c a b c a b c +--=--=-+-- 16、 分解因式：（1）22229()12()4()a b a b a b -+-++（2）42363a a -+11 （3）112n n n a a a +-+-（4）22222(1)4m n m n +--【答案】 （1）2(5)a b -（2）223(1)(1)a a +-（3）12(1)n a a --（4）(1)(1)(1)(1)m n m n m n m n +++--+--【解析】（1）22229()12()4()a b a b a b -+-++2222222[3()]12()()[2()][3()]23()2()[2()][3()2()](3322)(5)a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-++⋅-++=-+⨯-⨯+++=-++=-++=-（2）4242222223633(21)3(1)3[(1)(1)]3(1)(1)a a a a a a a a a -+=-+=-=+⋅-=+-（3）1111121222(21)(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +-+---+-=-+=-+=-（4）22222(1)4m n m n +-- 2222222222(12)(12)[(2)1][(2)1][()1][()1](1)(1)(1)(1)m n mn m n mn m mn n m mn n m n m n m n m n m n m n =+-+⋅+--=++--+-=+---=+++--+--。

其次，提公因式法是因式分解中的一个重点，也是同学们容易出错的地方。在课堂上，我尽量用简单明了的语言和具体的例子来解释，但仍有同学在操作过程中出现问题。我考虑在下一节课中，增加一些针对性的练习，帮助同学们更好地掌握这个方法。
此外，平方差公式的运用也是一个难点。部分同学在识别和应用平方差公式时感ห้องสมุดไป่ตู้困难，这说明我在教学过程中需要更加强调这个公式的特征和适用条件。或许可以通过一些具体的数学问题和实际案例，让同学们更好地理解平方差公式的运用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解因式分解的概念：因式分解是将一个多项式分解成几个整式的积的形式。这是本节课的核心内容，需要学生掌握。
-掌握提公因式法：学生需要学会从多项式中提取公因式，并进行因式分解，如：ax + bx = x(a + b)。
-运用平方差公式：学生应掌握平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，并能应用于因式分解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解1.1因式分解概念（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》的第一节“因式分解概念”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解因式分解的概念，能将多项式分解成几个整式的积的形式。
2.掌握因式分解的基本步骤，能够运用提公因式法进行因式分解。

2、下列因式分解错误的是 ( )
A、x2 y2 (x y)( x y) B、x2 6x 9 (x 3)2 C、x2 xy x(x y) D、x2 y2 (x y)2
❖ 1、因式分解是整式乘法的逆变形． ❖ 2、因式分解的对象应是多项式． ❖ 3、因式分解的结果一定是积的形式． ❖ 4、结果中的每一个因式都必须是整式． ❖ 5、要分解到再也不能分解为止．
You made my day!
我们，还在路上……
1 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式．
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2x y 2、单项式乘多项式：形如 m (ab)am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n )a ( b ) a m a b n m bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积
转化一个多项式．
一、扩建绿地面积：
整式的积
结果是多项式
整式乘法
ma+mb+mc= m(a+b+c)
多项式
结果是整式的积
因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式, 叫做因式分解.(与整式乘法正好相反)
1、判断哪些是因式分解？并说明理由．
(1)a(x y) ax ay (2)3a2bc 3aabc (3)x2 2x 1 x(x 2) 1 (4)x2 2xy y2 1 x(x 2y) (y 1)(y 1) (5)ax2 9a a(x 3)(x 3) (6)x2 x 6 (x 2)(x 3)
ab
m am bm
n an bn
扩建后的面积：
(ab)m ( n) = a m a n b m bn
整式乘法
a m a n b m bn = (ab)m ( n)

2、结果：化成几个整式（单、多）的积的形式．
做一做，计算下列各式：
(1) 3x(x-1)=_3__x_2___3__x__
(2) m(a+b+c)=_m__a____m__b___m_ c
(3) (m+4)(m-4)=___m__2____1_6___
(4) (y 3)2 = __y_2____6_y____9___
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（5）x2 1x(x1) 不是 x
（6）1 8 a 3 b c 3 a 2 b 6 a c不是
（7）x 4(x2 )(x 2 )不是
做一做
1、你能否先写出整式相乘的 两个例子； 2、你能由此得到相应的两个 多项式的因式分解吗？
（1） ∵3a(a+4) =3a2+12a （乘法运算） ∴ 3a2+12a = ( 3a)( a＋4)；
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/11
谢谢观看
(3) a2+18a+81=(a+9)2
(4) 9x2-16y2=(3x+4y)(3x-4y)
左边：是一个多项式．
右边：是整式(单、多)的积．
多项式的因式分解（或分解因式） 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的积的形式， 叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解 因式．
强调：
1、符合因式分解的条件是……多项式．
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.