数学建模练习题

A-露天采矿问题

某公司获准在一块mm200200的方形土地上露天采矿。因为土石滑坡，挖坑的坑边坡度不能超过45。公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题按长方形块的挖取问题处理。每个长方形块的水平尺寸为mm5050，铅直尺寸为m25。若在一个深度层上挖了4块；则在下一层上还可为挖一块；下图所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）是俯视这5块的水平位置关系。

俯视图

这样以来，所能挖取的块数，第一层最多16块，第二层最多9块，第三层最多4块，第四层最多1块。不能再往深挖取。所有这些可能挖取的块，按已得的估计值，将各块含金属的百分数作为块的值，则各块的值如下：

第一层（地表层）

1.5

1.5

1.5

0.75

1.5 2.0 1.5 0.75

1.0 1.0 0.75 0.5

0.75 0.75 0.5 0.25

第二层（深25m处）

4.0 4.0 2.0

3.0 3.0 1.0

2.0 2.0 0.5

第三层（深50m处）

12.0 6.0

5.0 4.0

第四层（深75m处）

6.0 各层的块挖取费用

层 一 二 三 四

块费用 3000 6000 8000 10000

挖取一块的收入同该块值成正比；挖一个值为100的块可收入为200000。试建立一模型以帮助决定挖取哪些块，使纯收入最大。

B-粮库选址问题

某乡要建立一个粮库，以存储各村农民上缴的公粮。该乡九个村庄IHCBA,,,,,，如下图所示：

图中的数字是各村要上交的公粮数（吨），各村之间的距离为：kmAB5，kmBC7，kmBF6，kmCD10，kmDE12，kmDG5，kmEF5，kmIE6，kmGH8，kmHI15。

为了最大限度地减少运输费用，粮库就应建在合适的位置（或在村中，或在村间的道路上）。试建立一模型以确定粮库的最佳位置。

屋檐水槽模型

房屋管理部门想在房顶的边缘安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便，简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看作是一个长12m，宽6m的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角要视具体的房屋而定，一般说来，这个角度通常在20。~50。之间。

现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm），并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。

·但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实现。于是想请你用数学的方法给出一个详细的分析，论证它这个方案的可行性。

2 模型假设

2．1 合理假设 ①降雨分布均匀并以垂直降落，并且直接落在房顶上②所有落在房顶上的雨水迅速流入水槽中；③雨水不从水槽中溅出；④排水管道顺畅，没有任何障碍或阻塞；④假设雨开始下时槽内有雨水深度0．O1 In

图1 屋檐水槽连接示意

2．2 符号说明 笔者列出与问题有关的因素及符号说明(表1)。

3 建立模型

参照图1，根据速度平衡的原理，对于房顶排水系统有：水槽中水的流量的变化率=雨水的流人流量-排水流出的流量。即 01)('QQtV，房顶 b

d α 这里01QQ、分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水流量。房顶雨水的流动情况，如图2所示。房顶的面积是bd，由于房顶是倾斜的，根据合理假设(1)，实际受雨的水平面积应为abdcos，房顶上雨水的流量就是)(trabdcos，雨水的流动是沿倾斜的房顶向下的，从而流入水槽的流量应该是它在铅垂方向的分量，直接落入水槽中的雨形成的水的流量2)(atr，即21)(sincos)(atraabdtrQ。

有关的因素 因素类型 符号 单位

降水强度 输入变量 r sm/

时间 变量 t s

房顶倾斜度 输入参数 a 弧度

房顶的长度 输入参数 d m

房顶的宽度 输入参数 b m

2014年数学建模暑期练习题 2014年数学建模暑期练习题

1． 食品厂用三种原料生产两种糖果，糖果的成分要求和销售价见表1。

表1 糖果有关数据

原料A 原料B 原料C 价格（元/kg）

高级奶糖 ≥50% ≥25% ≤10% 24

水果糖 ≤40% ≤40% ≥15%

15

各种原料的可供量和成本见表2。

表2 各种原料数据

原料 可供量（公斤） 成本（员/公斤）

A 500 20

B 750 12

C 625 8

该厂根据订单至少需要生产600公斤高级奶糖，800公斤水果糖，为求最大利润，试建立线性规划模型并求解。

2．某商业公司计划开办5家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司iA（5,4,3,2,1i）对新商店jB（5,4,3,2,1j）的建造费用的报价（万元）为ijc（5,4,3,2,1,ji），见表3。商业公司应当对5家建筑公司怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最少？

表3 各建筑公司的建筑费用数据

1B 2B 3B 4B 5B

1A 4 8 7 15 12

2A 7 9 17 14 10

3A 6 9 12 8

7

4A 6 7 14 6 10

5A 6 9 12 10 6

3．上海医科大学病理生理教研室曾做过小鼠肉瘤的增长实验，并得到了如表4所示的数据。

表4 小鼠肉瘤的实验数据

时间 0 6 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27

体积 0.004 0.031 0.061 0.074 0.103 0.152 0.210 0.339

0.520 0.813 1.269 1.558

（1）若t时刻肿瘤的体积)(tv满足指数模型

《数学建模入门》练习题

练习题1：发现新大陆！

发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？

练习题2：棋盘问题

有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？

练习题3：硬币游戏

如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？

练习题4：高速问题

一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？、

练习题5：登山问题

某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？

练习题6：兄弟三人戴帽子问题

解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：

兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。

此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。

只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！

(县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗？)

练习题7：做出空间图形

做出由曲面222yxz与2226yxz相交的空间曲线和所围成的立体的图形。