高等数学第三章课后习题答案

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学习资料 整理分享 第三章 中值定理与导数的应用

1. 验证拉格朗日中值定理对函数xxfln)(在区间e,1上的正确性。

解：函数()lnfxx在区间[1,]e上连续，在区间(1,)e内可导，故()fx在[1,]e上满足拉格朗日中值定理的条件。又xxf1)(，解方程,111,1)1()()(eefeff即得),1(1ee。因此，拉格朗日中值定理对函数()lnfxx在区间[1,]e上是正确的。

2．不求函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数，说明方程0)('xf有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(xf上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导，

且(1)(2)(3)(4)0ffff。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1),3,2(2

),4,3(3使),3,2,1( 0)(ifi即方程'()0fx有至少三个实根。又因方程'()0fx为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0fx有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。

3．若方程 01110xaxaxannn有一个正根,0x 证明:

方程0)1(12110nnnaxnanxa必有一个小于0x的正根。

解：取函数1011nnnfxaxaxax。0()[0,]fxx在上连续，在0(0,)x内可导，且0(0)()0,ffx由罗尔定理知至少存在一点00,x使'()0,f即方程12011(1)0nnnanxanxa必有一个小于0x的正根。

4．设,11ba 求证不等式： .arcsinarcsinbaba 班级 姓名 学号

2 证明：取函数)(,arcsin)(xfxxf在[a,b]上连续，在（a, b）内可导，

由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),,(ba，使()()'()()fafbfab，

即21arcsinarcsin()1abab，

故.11arcsinarcsin2bababa

5．设)(xf在)0](,[baba上连续，在),(ba内可导，证明存在),,(ba使

.3)()()()(2'22fbabaabafbf

证明：取函数3()gxx，则()gx在[,](0)abab上连续，在(,)ab内可导，由柯西中值定理知，存在(a,b)，使333()()'()fbfafba，

即222()()'()()3fbfafaabbba。

6．证明恒等式: .2cotarctanxarcx

证明：取函数()arctanarccotfxxx，则2211'()011fxxx. 则).()(为常数ccxf因为(1)arctan1cot12farc，故(1)()2ffx。

7．证明：若函数)(xf在),(内满足关系式),()('xfxf且,1)0(f 则xexf)(.

证明：,0)()()()()(,)()(2xxxxxexfxfeexfexfxFexfxF因取故word专业整理

学习资料 整理分享 CxF)(，又(0)1,1,1,.xxxFFxfxeef故即故

8．用洛必达法则求下列极限

（1） nnmmaxaxaxlim

解：11limlim0.mmmmnnnnxaxaxamxmaaxanxn

（2） xbaxxx0lim

解：00lnlnlimlimlnln1xxxxxxabaabbabx

（3）22)2(sinlnlimxxx

解： 818csclim)2(4cotlim)2(sinlnlim22222xxxxxxxx

（4）)0,1(loglimaxxax

解： 0ln1limln1limloglim1axxaxxxxxax

（5）)2ln(tan)7ln(tanlim0xxx

解：22sec2177sec71lim22sec2tan177sec7tan1lim)2ln(tan)7ln(tanlim2202200xxxxxxxxxxxxx

122sec777sec2lim220xxx 班级 姓名 学号

4 （6）xxx2cotlim0

解：2122coslim22sec1limtan2lim2cotlim202000xxxxxxxxxx

（7）)11ln1(lim1xxx

解：11111111lnlim()limlim1ln1ln(1)(1)lnxxxxxxxxxxxxx

11111limlim1(1)ln21lnxxxxxxxxx

（8）)ln(lim110xexx

解：因为1lnln(1)1ln(1)xxexexe，而1lim1lim)1(lnlnlim0x0x0xxxxxxxxeeexeeex.

所以exxex)1ln(10lim

（9）xxxtan)(lim10

解：因为tantanln1()xxxex，而0sinlimcsc1limcotlnlimlntanlim22xxxxxxxxxxxx,

所以，tan01lim()1.xxx

9. 验证 xxxxsinlim 存在，但是不能用洛必达法则求出。 word专业整理

学习资料 整理分享 解：由于(sin)'1coslimlim()'1xxxxxx不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：sinsinlimlim1101xxxxxxx。

10. 当10x时，求函数xxf1)(的n阶泰勒公式。

解：因为1(1)!,1!,nnnnnfxfnx

故23''1'''111'11112!3!ffffxxxx

11111!1!nnnnffxxnn

2112111111nnnnxxxx

其中介于x与1之间.

11. 求函数xxexf)(的n阶麦克劳林公式。

解：因为(),0,nnxfxnxefn故

121''000'02!!1!nnxnnffffxxeffxxxxnn

32111.2!(1)!1!nnxxxxenxnn

其中介于x与0之间。

12． 确定函数xxxy6941023的单调区间。

解：函数除0x外处处可导，且 班级 姓名 学号

6 23223221120()(1)10(12186)2'.(496)(496)xxxxyxxxxxx

令'0y，得驻点121,1.2xx这两个驻点及点0x把区间,分成四个部分区间11,0,0,,,1,1,.22

当1,00,1,2x时，'0y，因此函数在1,0,(0,],[1,)2内单调减少。

当1,12x时，'0y，因此函数在1[,1]2内单调增加。

13．证明不等式：当0x时，.1)1ln(122xxxx

证明：取函数221ln(1)1,[0,].fttttttx

2222'ln(1)ln(1),(0,).11ttfttttttxtt

因此，函数ft在[0,]x上单调增加，故当0x时，0ftf，即

221ln(1)11010,xxxx

亦即，当0x时，221ln(1)1.xxxx

14. 设xbxxaxf2ln)(在2,121xx时都取得极值，试确定ba,的值，并判断)(xf在21,xx是取得极大值还是极小值？

解：1'21fxabxx ，fx在121,2xx取得极值，则word专业整理

学习资料 整理分享 '1210fab，1'(2)4102fab，故21,.36ab

又因21''2fxabx，故1111'2204636fab，所以fx在22x时取得极大值；211''120333fab，所以fx在11x时取得极小值。

15．求函数32)1()(xxxf在闭区间1,1上的最大值与最小值。

解：函数除0x外处处可导，13232'(1).3fxxxx令'0fx，得驻点2.5x又因12f，00f，32345525f，10f，

故，最小值为2，最大值为0。

16．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为.52m问底宽x为多少时，

才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

解：设界面周长为l，已知22xlxy及25,22xxy即5.8xyx

故1040,(0,).4xlxxx231020'1,''.4llxx

令'0l，得驻点40.4x由3402420''0404xl知404x为极小值点。

又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为404x时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。

17．求函数)1ln(2xy图形的拐点及凹或凸的区间。