椭圆简单的几何性质3

3.1.2 椭圆的简单几何性质

第1课时

学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．

一、椭圆的几何性质

问题1 观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；

顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．

知识梳理

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a

焦点 (±a2－b2，0) (0，±a2－b2)

焦距 |F1F2|＝2a2－b2

对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点

注意点：

(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．

(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．

(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.

问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？

提示 利用离心率e＝ca来刻画椭圆的扁平程度．

如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0

知识梳理

椭圆的离心率：e＝ca∈(0,1)．

注意点：

(1)e＝1－b2a2＝11＋b2c2.

(2)离心率的范围为(0,1)．

(3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．

1 椭圆及其标准方程

1。平面内 ，叫做椭圆。 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。

2。根据椭圆的定义可知：集合AMFMFMP221，0,0,221cacFF，且ca,

为常数。当 时，集合P为椭圆；当

时，集合P为线段；

当 时，集合P为空集。

3。焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 。

焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 。

其中cba,,满足关系为 。

练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标

练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标

练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴4,1ab，焦点在x轴上；

⑵4,15ab，焦点在y轴上；

⑶10,25abc

例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0,2,0，并且经过点53,22，求它的标准方程.

1162522yx116914422yx112222mymx022525922yx13222yx0,,22CBACByAx 2 例2 在圆x2+y2 =4上任取一点P，向x轴作垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形？

相关点法：寻求点M的坐标,xy与中间00,xy的关系，然后消去00,xy，得到点M的轨迹方程.

例3 设点,AB的坐标分别为5,0,5,0，.直线,AMBM相交于点M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程.

.知识小结：

1、椭圆的定义（强调2a>|F1F2|）和椭圆的标准方程

2、椭圆的标准方程有两种，注意区分

龙源期刊网

椭圆的简单几何性质

作者：唐毓国

来源：《新校园·中旬刊》2013年第08期

摘 要：本教案的设计遵循启发式的教学原则，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

关键词：椭圆；几何性质；教学案例

一、教学目标

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形；培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力；培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识；通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教材分析及处理与学情分析及对策

本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，在教学中适当对教材中原有安排顺序做了一些变动，引导学生从观察课前布置的预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进地进行探究。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次接触，因此教学中教师要注意对学生的引导和及时的点拨。

重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：利用双曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

德育点：在研究性质的过程中，引导学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。通过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受。

创新点：一是教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。在范围这一性质的教学中，鼓励用多种方法推导，培养学生的创新思维。二是在反馈训练中，让学生自己编拟方程并研究其性质。三是留研究性作业，鼓励学生进一步探索。

空白点：一是研究性质过程中多处留白，鼓励学生大胆猜想并根据方程给予论证。二是反思性小结中设计表格留空白，调动学生积极参与。

1 §2.2.2 椭圆的简单几何性质

学习目标：

1.通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;

2.能够根据椭圆的标准方程求范围、顶点坐标、离心率;

3.培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.

学习重点:椭圆的几何性质.

学习难点:椭圆离心率的概念的理解.

预习案

一．复习：

1.椭圆的定义，标准方程.

2.椭圆中的a、b、c三者的关系.

二．阅读课本P65—P66，并完成以下内容：

关于椭圆2211612xy的几何性质

1.范围：x： ，y ：

2.对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；

3.顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴长为 ；短轴长为 ；

4离心率： cea= ．刻画椭圆 程度．

探究案

一、新课导学：

探究 椭圆的简单几何性质

1.顶点：

问题1：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的

位置。你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

2 问题2：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

注意：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a和2b ,其中a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.

2. 范围

问题3：观察椭圆，如果分别过A1、A2作x轴的平行线，过B1、B2作y轴的平行线，你能发现什么？

问题4：能否利用标准方程22ax+22by=1(a>b>0)来证明这一结论正确性。

3．对称性

问题4：椭圆的图形给人们以视觉上的美感，如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？