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标 题: （3）平面及其基本性质
——三个公理三个推论的应用
关键词: 三个公理三个推论
描 述: 教学目标
理解三个公理三个推论，并能灵活运用和证明，培养严密的逻辑推理、证明能力.
教学重点与难点
理解三个公理三个推论.
熟悉立体几何证明的格式和数学语言，能灵活运用三个公理三个推论进行证明.
学 科: 高三年级>数学第一册>（3） 语 种: 汉语
媒体格式: 教学设计.doc
课件.ppt 学习者: 学生
资源类型: 文本类、课件类素材 教育类型: 高中教育>高中三年级
作 者: 马亚萍 单 位: 上海市南洋中学
地 址: 中山南二路225号
（3）平面及其基本性质
——三个公理三个推论的应用
上海市南洋中学 马亚萍
一、教学内容分析
本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个公理三个推论进行证明.
公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.
公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.
二、教学目标设计 理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力.
三、教学重点及难点
利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题
四、教学流程设计
五、教学过程设计
（一）复习上节课的概念，三个公理三个推论
1）若B,ABAC平面，平面直线，则（ A ）
A、C B、C C、AB D、ABC
理解平面性质三个公理
初学立体几何，首先学习的是平面性质的三个公理．但是多数同学却因感觉三个公理简单，而未进行深入学习，从而造成对基础知识理解不透，学习受阻．针对这种情况，下面就这三个公理的理解及应用加以说明，以期对同学们的学习有所帮助．
一、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
1．理解：公理1强调的是直线与平面的结合关系，从集合角度看，这个公理就是说：如果一条直线（点集）上有两点（元素）在（属于）一个平面（点集）内，那么这条直线在此平面内．也就是直线的点集是平面的点集的真子集．该公理的集合表示为：A且B直线AB．
2．应用：公理1可用于判断直线是否在平面内，更多的是用于证明多线共面．
3．应用举例
例1 如图1，已知直线l与四边形ABCD的三边分别交于点PQR，，，求证：ABCD为平面四边形．
证明：∵ABD，，三点不共线，
∴ABD，，确定一个平面．
∵PAB，QAD，
∴P，Q．
∴l，∴R，
又∵D，
∴DRa，而CDR，
∴C，
∴ABCD，，，四点共面．
∴四边形ABCD为平面四边形．
二、公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
1．理解：公理2强调的是确定平面的条件，应牢记：“不在一条直线上”和“三点”两个要点，同时对结论中的“有且只有一个”要理解透彻，“有”表示图形存在，“只有一个”表示图形唯一．
2．应用：公理2可用于确定平面的个数，又可用于证明多线共面或多点共面． 3．应用举例
例2 设，是两个不重合的平面，在上任取三个点，在上任取两个点，由这五个点中的三个点所确定的平面最多是_________个．
解：（1）若在上任取一个点，在点上任取两个点，则确定3个平面；
（2）若在上任取两个点，在上任取一个点，则确定6个平面；
（3）若仅在上取三个点，则确定1个平面．
平面及其基本性质
教学目标：
掌握平面的基本性质，主要是三个公理、三个推论及其应用.会用斜二测画法画水平放置的直观图；会证明共面、共点、共线问题；掌握反证法的应用；知道什么叫“空间四边形”.
重点
1.理解并会应用平面的基本性质,掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法
2.公理4及等角定理.
3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.
4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.
基础扫描
1．分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是
2．下列命题中真命题的序号为
（1）四边形是平面图形（2）有三个公共点的两个平面重合（3）两两相交的三条直线必在同一平面内（4）三角形必是平面图形
3．角与的两边分别平行，当70时，
4．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l
.A平行 .B相交 .C垂直 .D互为异面直线
解题平台
例1如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2
（1）求证：E、F、G、H四点共面。
（2）设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线。
A
C D
B E F
G H
例2若P是两条异面直线,lm外的任意一点，则下列正确的是
.A过点P有且仅有一条直线与,lm都平行
.B过点P有且仅有一条直线与,lm都垂直
.C过点P有且仅有一条直线与,lm都相交
.D过点P有且仅有一条直线与,lm都异面
例3
正方体1111ABCDABCD中，
P、Q、R分别是AB、AD、11BC的中点．
那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是
小结
A B C D 1A
1B 1C 1D
平面的三个公理
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。
公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（推论一:直线与直线外一点可确定一个平面；
推论二：两条相交直线可确定一个平面；
推论三：两条平行直线可确定一个平面）
公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
直线与平面平行的判定定理
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
a￠α，bα，且a∥b→a∥α
两个平面平行的判定定理
定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
aβ,bβ,a∩b＝A,a∥α,b∥αα∥β.
推论：:如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行。aα，bα，a∩b=P，cβ，dβ，c∩d=P’,a∥b, b∥c→α∥β.
直线与平面平行的性质定理
定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
a∥α, aβ, α∩β=ba∥b
两个平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b， a∥b
直线与平面垂直的判定定理
定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
mα，nα，M∩N＝A,l⊥m,l⊥nl⊥α
重要结论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.
a∥b，a⊥αb⊥α
直线与平面垂直的性质定理
定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
a⊥α，b⊥αa∥b
两个平面互相垂直的定义及判定定理与性质定理
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
