数列多选题知识点及练习题含答案

数列多选题知识点及练习题含答案

一、数列多选题

1．已知等比数列na的公比为q，前n项和0nS，设2132nnnbaa，记nb的前n项和为nT，则下列判断正确的是（ ）

A．若1q，则nnTS B．若2q，则nnTS

C．若14q，则nnTS D．若34q，则nnTS

【答案】BD

【分析】

先求得q的取值范围，根据q的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出nT和nS的大小关系.

【详解】

由于na是等比数列，0nS，所以110,0aSq，

当1q时，10nSna，符合题意；

当1q时，1101nnaqSq，即101nqq，上式等价于1010nqq①或1010nqq②.解②得1q.解①，由于n可能是奇数，也可能是偶数，所以1,00,1q.

综上所述，q的取值范围是1,00,.

2213322nnnnbaaaqq，所以232nnTqqS，所以2311222nnnnTSSqqSqq，而0nS，且1,00,q.

所以，当112q，或2q时，0nnTS，即nnTS，故BD选项正确，C选项错误.

当12(0)2qq时，0nnTS，即nnTS.

当12q或2q时，0,nnnnTSTS，A选项错误.

综上所述，正确的选项为BD.

故选：BD

【点睛】

本小题主要考查等比数列的前n项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

2．已知数列na的前n项和为nS，前n项积为nT，0na，且202021111212aa（ ）

A．若数列na为等差数列，则20210S B．若数列na为等差数列，则10110a

C．若数列na为等比数列，则20200T D．若数列na为等比数列，则20200a

【答案】AC

【分析】

由不等关系式，构造11()212xfx，易得()fx在R上单调递减且为奇函数，即有220200aa，讨论na为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n项和或积的符号即可.

【详解】

由202021111212aa，得2020211110212212aa，

令11()212xfx，则()fx在R上单调递减，而1121()212212xxxfx，

∴12()()102121xxxfxfx，即()fx为奇函数，

∴220200aa，

当na为等差数列，22020101120aaa，即10110a，且2202020212021()02aaS，故A正确，B错误；

当na为等比数列，201820202aaq，显然22020,aa同号，若20200a，则220200aa与上述结论矛盾且0na，所以前2020项都为正项，则202012020...0Taa，故C正确，D错误.

故选：AC.

【点睛】

关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200aa，基于该不等关系，讨论na为等差、等比数列时项、前n项和、前n项积的符号.

3．下列说法正确的是（ ）

A．若na为等差数列，nS为其前n项和，则kS，2kkSS，32kkSS，…仍为等差数列kN B．若na为等比数列，nS为其前n项和，则kS，2kkSS，32kkSS，仍为等比数列kN

C．若na为等差数列，10a，0d，则前n项和nS有最大值

D．若数列na满足21159,4nnnaaaa，则121111222naaa

【答案】ACD

【分析】

根据等差数列的定义，可判定A正确；当1q时，取2k，得到20S，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；化简得到1111233nnnaaa，利用裂项法，可判定D正确.

【详解】

对于A中，设数列na的公差为d，

因为12kkSaaa，2122kkkkkSSaaa，3221223kkkkkSSaaa，，

可得22322kkkkkkkSSSSSSSkdkN，

所以kS，2kkSS，32kkSS，构成等差数列，故A正确；

对于B中，设数列na的公比为0qq，

当1q时，取2k，此时2120Saa，此时不成等比数列，故B错误；

对于C中，当10a，0d时，等差数列为递减数列，

此时所有正数项的和为nS的最大值，故C正确；

对于D中，由2159nnnaaa，可得2135623nnnnnaaaaa，

所以2na或3na，

则1111132332nnnnnaaaaa，所以1111233nnnaaa，

所以1212231111111111222333333nnnaaaaaaaaa

1111111333nnaaa.

因为14a，所以2159nnnnaaaa，可得14na，所以11113na，故D正确.

故选：ACD

【点睛】

方法点睛：由2159nnnaaa，得到2135623nnnnnaaaaa，进而得出1111233nnnaaa，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.

4．已知数列na，nb满足，11a，11nnnaaa，1(1)nnbna，若23100100122223100bbbTb，则（ ）

A．nan B．1nnbn C．100100101T

D．10099100T

【答案】BC

【分析】

先证明数列1na是等差数列得1nan，进而得1(1)1nnnbnan，进一步得211111nbnnnnn，再结合裂项求和得100100101T.

【详解】

解:因为11nnnaaa,两边取倒数得:

1111nnaa,即1111nnaa,

所以数列1na是等差数列,公差为1,首项为111a,

故1111nnna,所以1nan,

所以1(1)1nnnbnan，故211111nbnnnnn，

所以31002100122211112310022334100101bbbTb

11111111100122334100101101101，

故BC正确，AD错误；

故选：BC

【点睛】

本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列1na是等差数列，进而结合裂项求和求解100T.

5．将23nn个数排成n行n列的一个数阵，如图：

11a 12a 13a ……1na 21a 22a 23a ……2na

31a 32a 33a ……3na

……

1na 2na 3na ……nna

该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中0m）.已知113a，61131aa，记这2n个数的和为S.下列结论正确的有（ ）

A．2m B．767132a C．1212jijai D．221nSnn

【答案】ACD

【分析】

由题中条件113a，61131aa，得23531mm解得m的值可判断A；根据第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列可判断BC；由等差数列、等比数列的前n项和公式可判断D.

【详解】

由113a，61131aa，得23531mm，所以2m或13m（舍去），A正确；

666735132amm，B错误；

112132212jjijaii，C正确；

111212122212nnnnnnSaaaaaaaaa

1121(12)(12)(12)121212nnnnnaaa

11211332(1)21212nnnnaaan

221nnn，D正确.

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.

6．将2n个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中0m).已知112a，13611aa，记这2n个数的和为S.下列结论正确的有（ ）

A．3m B．18181103354kkia

C．(31)3ijjai D．1(31)314nSnn

【答案】ABD

【分析】

根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,aa，列式即可求出m，从而求出通项ija，进而可得iia，根据错位相减法可求得181kkia，再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．

【详解】

∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m12（舍去），A正确；

∴11113213313jjjijiaaimi，C错误；

∴1313iiiai，

0171811223318182353533Saaaa①

12181832353533S②,

①-②化简计算可得：1818103354S,B正确；

S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)

11211131313131313nnnnaaa

231131.22nnn

1=(31)314nnn，D正确；

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；