（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路
第⼋章相量图和相量法求解电路
⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的
概念及表达形式。3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；
(2). 正弦量的相量差和有效值的概念
(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式
(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量
形式。2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：
本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。§8.1 复数
相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。1. 复数的四种表⽰形式
代数形式A = a +j b
复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1
根据图 8.1 得复数的三⾓形式：
两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：
指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。2. 复数的运算
(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若
则
即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则
即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：
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浅析正弦交流电路的相量法解题
作者：陈新芬
来源：《速读·上旬》2015年第12期
教学中笔者发现，在高职学生电路分析的教材中，关于正弦交流电的相量法分析，大多数的教科书都是直接给出具体的解题步骤，但对其中隐含的一部分电路特性的说明、描述线性电路的数学方程的特点、相量法来源的简单介绍有所欠缺，导致学生对此方法的掌握和熟练应用都存在一定的困难。本文就关于正弦交流电路的相量法进行简单程度的来龙去脉的分析讲解，旨在让高职的学生能够在阅读此文后，对电路分析中的相量法有一个更加深刻的理解和掌握，便于熟练应用于各种电路模型的分析计算。
正弦交流电是人类智慧的创造发明，现实生活中，大型电站发电、传输、供电以及耗电基本都是发生在正弦稳态的条件下;其次，掌握正弦电路的行为是分析非正弦电路的前提，再次，正弦稳态可以简化电力系统的设计，在很多场合下，设计师首先设计出吻合正弦交流电要求的电力设备，而后，此设备对于非正弦交流电通常也会有令人满意的响应结果。
在研究电路对正弦交流电的响应时，首先明确电路的研究范围，我们这里的电路是线性电路，所以有必要对线性电路的概念进行简单讲述。
一、线性电路
线性电路是指完全由线性时不变无源元件、独立源或线性受控源构成的电路。线性就是指输入和输出之间关系可以用线性函数表示，从而使之与非线性区分开来。
线性电路最基本的特性应该是它具有叠加性与均匀性。叠加性与均匀性的含义可以用图1来说明。
图1：线性电路示意图
图1电路中，x表示加在电路上的输入信号，即激励;y表示电路对该输入信号产生的输出，即响应。
叠加性的含义：若激励x1产生的响应为y1，激励x2产生的响应为y2，则当x1和x2共同作用于电路时产生的响应为y1+y2。
1 / 15 第八章相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。8－1将下列复数化为极坐标形式：（1）551jF；（2）342jF；（3）40203jF；（4）104jF；（5）35F；（6）20.978.26jF。解：（1）ajF55125)5()5(22a13555arctan(因1F在第三象限) 故1F的极坐标形式为135251F（2）13.1435)43arctan(3)4(34222jF（2F在第二象限）（3）43.6372.44)2040arctan(40204020223jF（4）9010104jF（5）180335F（6）19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226jF注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即jaeajaaF21,它们相互转换的关系为：
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
相量分析法
相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤
正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；
2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；
3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知 ，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为
感抗
容抗
所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有 则
由 KCL
得
由 KVL 得
将相量再转换成正弦函数表达式，得
例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知 ， ，电压源的角频率 ，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是 和 ，列写节点电压方程，
节点 a ： 节点 b ：
代入参数并整理，得
则，
所以，
因此，，
例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源 ，求电流 。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，
代入参数，得 则
一、有功功率
无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为 。其端电压和端电流分别为 。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为
平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即
