万有引力知识点总结

1 知识点一 万有引力应用

两条线索

(1)万有引力=向心力

(2)重力=向心力

G2RMm= mg GM=gR2 (黄金代换式)

1、（中心天体质量密度）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为0v假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为

A．GNmv2 B. GNmv4 C．GmNv2 D. GmNv4

【解析】行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有RvmR22mGM①

行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力有，mgR2GMm②

根据题意有N=mg③,解以上三式可得GNmv4M，选项B正确。

2、（多天体比较）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A．Rd1 B．Rd1 C．2)(RdR D．2)(dRR

【答案】A

【解析】在地面上质量为m的物体根据万有引力定律有:mgRMmG2 ，从而得RGRRGg343423。根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则矿井底部的物体m′只受到其以下球体对它的万有引力同理有)(34)(2dRGdRMGg，式中3)(34dRM。两式相除化简RdRdRgg1。答案A。

3、（多天体比较）火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为2T，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T、2T之比为

A.3pq B. 31pq C. 3pq D. 3qp 222222224[8]2[9]4[10][11][12]MmvGmmrmrrrTvmgrmmrmrrT

2 答案：D

解析：设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由

222MmGmRRT和343MVR，解得23GT，即31TG；又因为3343MMMVRR，所以3RTM，312TqTp。

4、（中心天体质量密度）若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常数为G，那么该行星的平均密度为（

B ）

A. 32GT B. 23GT C. 42GT D. 24GT

5、（多天体比较）近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆．某火星探测器绕火星做匀速圆周运动，它的轨道距火星表面的高度等于火星的半径，它的运动周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( D )

A．ρ＝kT B．ρ＝kT

C．ρ＝kT2 D．ρ＝kT2

6、（中心天体质量密度）如图K19－3所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( D )

A．M＝4π2R＋h3Gt2，ρ＝3πR＋h3Gt2R3

B．M＝4π2R＋h2Gt2，ρ＝3πR＋h2Gt2R3

C．M＝4π2t2R＋h3gn2，ρ＝3πt2R＋h3Gn2R3

D．M＝4π2n2r＋h3Gt2，ρ＝3πn2R＋h3Gt2R3

知识点二 双星模型、多星模型

7、两颗靠得较近的天体称为双星，它们以连线上某点为圆心作匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起，以下说法中正确的是（ BD ）

A．它们作圆周运动的角速度之比与其质量成反比

B．它们作圆周运动的线速度之比与其质量成反比

C．它们所受向心力之比与其质量成反比

D．它们作圆周运动的半径与其质量成反比。

8、如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速 圆周运动，星 A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期。

（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

3 解析：⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有

RMrm22，LRr，连立解得LMmmR，LMmMr

对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得LmMMTmLGMm22)2(

化简得 )(23mMGLT

⑵将地月看成双星，由⑴得)(231mMGLT

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得LTmLGMm22)2(

化简得 GMLT322

所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(242224212MMmTT

9、宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可 忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

解析：（1）第一种形式下，以某个运动星体为研究对象，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：

F1＝G22Rm F2＝G22)2(Rm F1＋F2＝mRv2

运动星体的线速度：54GmvR

周期为T，则有：245RRTRvGm

（2）第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体作圆周运动的半径为R/为

R/＝30cos2r

由于星体作圆周运动所需的向心力靠两个星体的万有引力的合力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律，得： F2 F1

R

4 F合＝222rGmcos30°

F向＝m/224RT

222cos30mGl°＝2cos30rm22()T

所以星体之间的距离为：r3125R

知识点三 宇宙速度

含义：（1）第一宇宙速度(环绕速度)：v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度.

（2）第二宇宙速度(脱离速度)：v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度

（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度.

环绕速度推算：地gRv

地RGMv

推导一：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力即地22地RvmRMmG，得地RGMv。

推导二：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动需要的向心力等于重力，即地2Rvmmg，得地gRv

10、若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ C ）

A. 2 km/s B. 4 km/s

C. 16 km/s D. 32 km/s

11、[2011·杭州检测] 宇航员在一行星上以10 m/s的初速度竖直上抛一质量为0.2 kg的物体，不计阻力，经2.5 s后落回手中，已知该星球半径为7 220 km.

(1)该星球表面的重力加速度是多大？

(2)要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？

(3)若物体距离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体距离星球球心r时其引力势能Ep＝－GMmr(式中m为物体的质量，M为星球的质量，G为引力常量)．问要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？

11．(1)8 m/s2 (2)7600 m/s (3)10746 m/s

[解析] (1)由匀变速运动规律知星球表面的重力加速度g′＝2v0t＝8 m/s2.

(2)由牛顿第二定律，有

mg′＝mv21R

解得v1＝g′R＝7600 m/s.

(3)由机械能守恒定律，有

12mv22＋(－GMmR)＝0

在该行星表面质量为m的物体受到的重力等于万有引力，有 F2 F1

F合 R/

r

5 mg′＝GMmR2

解得v2＝2g′R＝10746 m/s.

知识点四 同步卫星与卫星变轨等卫星问题

同步卫星：“六同”：即同轨道面（同在赤道的正上方）、同周期（与地球自转的周期相同）、同角速度、同高度、同线速度大小、同向心加速度大小。“五不同”（通常情况）：质量不同、向心力的大小不同、动能、势能、机械能不同。

环绕模型：不同物理量与半径关系

总结：“越高越慢”，只有T与r正相关

变轨判定：提供的力与所需力比较

当F>mv2／r时，卫星做近心运动，此时卫星的速度将变大；

当F

12、关于环绕地球运动的卫星，下列说法中正确的是 （ ）

A、分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期

B、沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C 、在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同

D、沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

解析：所有的同步卫星都在同一个赤道轨道上运动，C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星它们的运行轨道面与赤道面的夹角可以不同，它们的轨道平面就不会重合，D错误；分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颖卫星，可能具有相同的周期，A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道的关于长轴对称的两个位置的速率相等，所以在轨道不同位置可能具有相同的速率是正确的。答案B。

13、

通信卫星大多是相对地球“静止”的同步卫星，在地球周围均匀地配置3颗同步通信卫星，通信范围就覆盖了几乎全部地球表面，可以实现全球通信。假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，则下列说法中正确的是 （ ）