万有引力知识点
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一、万有引力定律的内容和公式
宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，这一规律叫万有引力定律。其数学表达式为：
221rmmGF 式中G= 6.67×10-11Nm2/kg2 ,叫万有引力常量。这个定律适用的条件是：质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
万有引力和重力的关系是：重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。 物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可以认为二者大小相等，即
mg0 =G2021Rmm式中g0为地球表面附近的加速度，R0为地球半径。
[例题析思]
[例析1] 两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F。若两个
半径2倍于小铁球的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为：（ ）
A、2F B、4F C、8F D、16F
[思考1] 用m表示地球同步卫星的质量，h表示它距地面的高度，R0表示地球半径，g0表示地球表面的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则同步卫星所受地球对它的万有引力的大小是：（ ）
A、等于零 B、等于02020)(ghRmR C、等于400203gRm D、以上均不对
二、应用万有引力定律分析天体的运动
1、 1、 基本方法：
把天体的运动近似看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
①2RGmM=mg g=2RGM(或GM=gR2),要注意g与R的对应关系,如当R是地球半径时,对应的g是地球表面的重力加速度.
②2RGmM=Rmv2=mω2R=m(T2)2R=m(2πf)2R,应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析.
卫星运行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径R的关系：
①由2RGmM=Rmv2有v='RGM即v∝R1,故R越大,运行速度v越小;
②由2RGmM=mω2R有ω=3RGM,即v∝31R,故R越大,角速度ω越小;
③由2RGmM=m(T2)2R有T=GMR324,即T∝3R,故R越大,周期T越大.
[例析2] 两颗人造地球卫星，甲的质量是乙的质量的2倍，同样时间内，甲的转数是乙的转数的4倍，则甲受向心力是乙受向心力的 。
解本题需注意的是：不能把卫星的半径看成不变，殊不知。半径是和卫星旋转速度、周期相联系的。V和T一变，R必然要变，变化规律应满足万有引力提供的向心力。
[思考2] 设月球绕地球运动的周期为27天，则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R之比r : R = 。
2、估算天体质量M，密度。只要测出卫星绕天体作匀速圆周运动的半径R和周期T，再根据RTmRMmG2224得出：
M=2324GTR
202330334RGTRRmVM
当卫星沿天体表面绕天体运动时，R=R0，则=23GT。
[例析3] 某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运转。若引力恒量G为已知，则计算该行星的密度，唯一需要测出的物理量是：（ ）
A、行星的半径 B、卫星轨道的半径 C、卫星运行的线速度 D、卫星运行的周期。
[思考3] 一物体在某星球表面时受到的吸引力是在同地球表面所受吸引力的n倍，该星球半径是地球半径的m倍，若该星球和地球的质量分布都是均匀的，则该星球的密度是地球密度的 几倍。
[提示] 抓住万有引力定律可得出。
3、卫星的环绕速度、角速度、周期与半径R的关系见下表：
表达形式 速度、角速度、周期与半径R的关系
RVmRMmG22 RGMV R越大、v越小
RmRMmG22 3RGM R越大，ω越小
RTmRMmG2224 GMRT324 R越大，T越大
[例析4] 两个球形行星A和B各有一卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星的表面。
如果两行星质量之比MA/MB=P，两行星半径之比RA/RB=q，中Ta/Tb为：（ ） A、pqq B、pq C、qpq D、pq
[思考4] 人造地球卫星的轨道半径越大，则（ ）
A、速度越小，周期越小 B、速度越小，周期越大
C、速度越大，周期越小 D、速度越大，周期越大
[提示]由Ｆ万＝Ｆ向，即rVmrMmG22知，r越大，v越小，又因为VrT2，所以v越小，
r 越大，Ｔ一定越大。确认选项Ｂ是正确的。
[例析5] (95年全国)两颗人造地球卫星Ａ、Ｂ绕地球作圆周运动，周期之比为ＴＡ：ＴＢ＝1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为：（ ）
A、rA: rB = 4: 1、vA: vB= 1: 2 B、rA: rB = 4: 1、vA:vB=2:1
C、rA: rB = 1: 4、vA: vB= 1: 2 D、rA: rB = 1: 4、vA:vB= 2: 1
[思考5] 甲、乙两颗人造地球卫星，其线速度大小之比为1:2，则这两颗卫星的转动半径之比为 ，转动角速度之比 ，转动周期之比为 ，向心加速度的大小之比为 。
三、地球同步卫星、三种宇宙速度
地球同步卫星是相对于地面静止的和地球自转具有相同周期的卫星，T=24h,同步卫星轨道平面与地球的赤道平面重合,且必须位于赤道正上方距地面高度h≈3.59×104km处。
三种宇宙速度分别是：第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9km/s，是人造地球卫星的最小发射速度；第二宇宙速度（脱离速度）， v2=11.2km/s是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；第三宇宙速度（逃逸速度），v3=16.7km/s，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
人造地球卫星的环绕速度是指卫星绕地球作圆周运动所具备的速度，由
2RMmGmg、rVmrMmG22两式得出rgRV2，可见，环绕速度与轨道半径平方根成反比，离地越高，环绕速度越小。
人造地球卫星的发射速度是指把卫星从地球上发射出去的速度，速度越大，发射得越远，发射的最小速度，恰好是在地球表面附近的环绕速度，但人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面上所需要的发射速度就越大。
[例析6](93年全国)同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星：（ ）
A、它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值； B、它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的；
C、它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值；
D、它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的。
[思考6] 已知地球的半径为R，自转角速度为ω，地球表面的重力加速度为g，在赤道上空一颗相对地球静止的同步卫星离开地面的高度是 。（用以上三个量表示）
[提示]利用32rGMT和2RMmGmg讨论求解得出RgR223的结论。
[例析7] (98年上海)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3、
轨道1、2、相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图4-24
所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以
下说法正确的是：（ ）
A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率；
B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度；
C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度；
D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。
[思考7] 某一颗人造地球同步卫星距地面的高度为h,设地球半径为R，自转周期为Ｔ，
地面处的重力加速度为g，则该同步卫星的线速度的大小应该为：（ ）
Ａ、ggh)( Ｂ、TRh)(2 Ｃ、)/(2RhgR Ｄ、Rg
[提示]Ｔ星＝Ｔ，r星＝h+R,所以TRhTrV/)(22星星星；由星星rVmrMmG22和2RMmGmg联系可得)/(2RhgRV，由此得出选项Ｂ、Ｃ是正确的。
[例析8] （98年全国高考题）宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一
小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为Ｌ。若抛出时的初速增大到２倍，则抛出点与落地点之间的距离为3Ｌ。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为Ｒ，万有引力常数为Ｑ。求该星球的质量M。
[思考8] 月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8，如果以同一初速度在地球上和月球上竖直上抛一物体，则两者上升的高度之比是 ，两者从抛出到落回原处的时间之比是 。
[提示] 应用万有引力定律、竖直上抛运动等运动学公式求解。
图4-24
