错位相减法的公式法

习题课错位相减法、裂项相消法求和学习目标1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的意义.2.掌握错位

相减和裂项相消求和的一般过程和思路．

一、错位相减法

例1求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．

解当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1

2；

当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，

xS

n＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，

∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1

＝x1－xn

1－x－nxn＋1，

∴Sn＝x1－xn

1－x2－nxn＋1

1－x.

综上可得，Sn

＝nn＋1

2，x＝1，

x1－xn

1－x2－nxn＋1

1－x，x≠1且x≠0.

反思感悟(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{b

n}是等比数列，求数列{a

n·b

n}的前n项

和时，可采用错位相减法．

(2)用错位相减法求和时，应注意：

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．

②在写出“Sn”与“qS

n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地

写出“Sn－qS

n”的表达式．

跟踪训练1已知数列{an}的前n项和为S

n

，数列S

n

n是公差为1的等差数列，且a

2＝3.

(1)求数列{a

n}的通项公式；

(2)设b

n＝a

n·3n，求数列{bn}的前n项和T

n.

解(1)数列S

n

n是公差为1的等差数列，

∴S

n

n＝a1＋n－1，

可得Sn＝n(a

1＋n－1)，∴a

1＋a

2＝2(a

1＋1)，且a

2＝3.解得a

1＝1.∴S

n＝n2.∴n≥2时，

a

n＝S

n－S

n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立)．

∴an＝2n－1.

(2)b

n＝a

n·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和

T

n＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，

∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1，

∴－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×93n－1－1

高中数学数列求和的七种方法

数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差×等比)、公式法、迭加法。下面是小编给大家带来的数列求和的七种方法，希望能够帮助到大家!

高中数学数列求和的七种方法

1、倒序相加法

倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。

2、分组求和法

分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。

3、错位相减法

错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

4、裂项相消法

裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

5、乘公比错项相减(等差×等比)

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

6、公式法

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

7、迭加法

主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。

求数列前n项和的方法

数列前n项和求解的七种方法为：倒序相加法、公式法、裂项相消法、错位相减法、迭加法、分组求和法、构造法。这七种方法可以结合实际情况进行合理选择。

一、用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”

二、用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

三、用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

四、用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

五、用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+fn，其中fn是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=fn，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。

六、用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

七、用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

高中数学数列求和题解题方法技巧

数列求和的七种解法

1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。

2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。

3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫做错位相减。

4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。

5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。

6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。

7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜

想证明起到了关键作用。

高中数学解题方法实用技巧

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解决绝对值问题

主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有：

①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。