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第10章重积分习题与答案

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1 第10章 重积分

一、填空题

1．设区域22:1, 0, 0Dxyxy，则221Dxyd__________

2．设D是由直线2, 2, 3yxxyxy所围的三角形区域，则Ddxdy__________

3．设区域D由曲线2xy与1y所围成，则221Dyxfxydxdy__________

4．交换下列积分次序：1220010(,)(,)xxdxfxydydxfxydy__________

二、选择题

1．设31ln()DIxydxdy，32()DIxydxdy，33sin()DIxydxdy，其中D由0x，0y，12xy，1xy围成，则1I，2I，3I之间的大小顺序为__________

2．设函数()fu连续，区域22(,)|2Dxyxyy，则()Dfxydxdy等于__________

(A) 221111()xxdxfxydy (B) 222002()yydyfxydx

(C) 2sin200(sincos)dfrdr (D) 2sin200(sincos)dfrrdr

3．改变积分次序后，21101(,)yydyfxydy__________

(A) 11210111(,)(,)xxdxfxydydxfxydy

(B) 11210111(,)(,)xxdxfxydydxfxydy

(C) 11210111(,)(,)xxdxfxydydxfxydy

(D) 11210111(,)(,)xxdxfxydydxfxydy

4．改变积分次序后，12330010(,)(,)yydyfxydxdyfxydx__________ 2 (A) 330(,)xxdxfxydy (B) 230(,)xxdxfxydy

(C) 2302(,)xxdxfxydy (D) 203(,)xxdxfxydy

5．改变积分次序后，22440020(,)(,)xxxdxfxydydxfxydy__________

(A) 222400(,)ydyfxydx (B) 22240(,)yydyfxydx

(C) 22240(,)yydyfxydx (D) 222400(,)ydyfxydx

6．累次积分/2cos00(cos,sin)dfrrrdr__________

(A) 2100(,)yydyfxydx (B) 2210(,)xxxxdxfxydy

(C) 1100(,)dxfxydy (D) 2100(,)xxdxfxydy

三、计算题

1．计算二重积分Ddxdyxy22，其中D是由曲线xyx222所围成的平面区域．

2．计算球体22222azyx在锥面22yxz上方部分的体积.

3．计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标面及平面1xyz所围成的闭区域．

【答案】

一、1．6； 2．32； 3．45； 4．120(,)yydyfxydx．

二、1．C；2．D；3．A；4．C；5．C；6．D．

三、1．（吴赣昌版P.129例3）；

2．34(21)3a（吴赣昌版P.146例4）；

3．124（投影法：吴赣昌版P.139例1、截面法：吴赣昌版P.141例4）．

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高数同济第六版下高等数学2第十章答案

高数同济第六版下高等数学2第十章答案

1 习题10-1 二重积分的概念与性质

1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

（1）2()Dxyd与3()Dxyd，其中积分区域D是圆周22(2)(1)2xy所围成；

（2）ln()Dxyd与2[ln()]Dxyd，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；

2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：

（1）22sinsinDIxyd，其中{(,)|0,0}Dxyxy；

（2）22(49)DIxyd，其中22{(,)|4}Dxyxy.

（3）.22216DdIxyxy，其中{(,)|01,02}Dxyxy

解21,16fxyxy，积分区域的面积等于2，在D上,fxy的最大值 2 104Mxy，最小值22111,2534mxy

故0.40.5I

习题10-2 二重积分的计算法

1.计算下列二重积分：

（1）22()Dxyd，其中{(,)|||1,||1}Dxyxy；

（2）cos()Dxxyd，其中D是顶点分别为(0,0)，(,0)和(,)的三角形闭区域。

2.画出积分区域，并计算下列二重积分：

（1）xyDed，其中{(,)|||1}Dxyxy

3

（2）22()Dxyxd，其中D是由直线2y，yx及2yx所围成的闭区域。

3.化二重积分(,)DIfxyd为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D是：

（1）由直线yx及抛物线24yx所围成的闭区域；

（2）由直线yx，2x及双曲线1(0)yxx所围成的闭区域。

4

4.求由曲面222zxy及2262zxy所围成的立体的体积。

第十章重积分

第十章重积分

个人收集整理 仅供参考学习

1 / 17 第十章重积分

教学目的：

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

教学重点：

1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。

教学难点：

1、 利用极坐标计算二重积分；

2、 利用球坐标计算三重积分；

3、 物理应用中的引力问题。

§9 1 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1曲顶柱体的体积

设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf(xy)这里f(xy)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积资料个人收集整理，勿做商业用途

首先用一组曲线网把D分成n个小区域

 1 2n

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(ii)以f (ii)为资料个人收集整理，勿做商业用途

高而底为i的平顶柱体的体积为

f (ii) i (i1 2n )

这个平顶柱体体积之和

iiinifV),(1

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即

iiinifV),(lim10

其中是个小区域的直径中的最大值

2平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为(xy)这里(xy)0且在D上连续现在要计算该薄片的质量M资料个人收集整理，勿做商业用途

第十章 重积分(整理解答)

第十章 重积分(整理解答)

1 第十章 重积分

一. 二重积分、三重积分的计算

10.2设}10,10),{(yxyxD, Dyxyxdd)(( )；

A.0 B. 21 C. 1 D. 2

解：1111210000011()dd()[][]122Dxyxydxxydyxyydxxdx，所以选C。

10.4 Dydx2( ),其中D是由直线xy、1x和x轴所围成的区域。

A.41 B.31 C.101 D.51

解：1122400011210xDxydxdxydyxdx，所以选C。

10.6 设}10,10),{(yxyxD, Dyxxdd( )；

A.21 B. 1 C. 2 D. 0

解：101dd2Dxxyxdx，所以选A。

10.12 设{(,)01,01}Dxyxy, ddDyxy( ).

(A) 2 (B) 14 (C) 1 (D) 12

解：11001dd2Dyxydxydy，所以选D。

10.15 设{(,)01,01}Dxyxy, ddDxyxy( )；

A.1 B.12 C.14 D. 18

解：11001dd4Dxyxyxdxydy，所以选C。

10.19 设}0,0),{(yxyxD，则sincosddDxyxy( ).

(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2

第十章 重积分单元测试卷

第十章 重积分单元测试卷

第十章 重积分单元测试卷

一、填空题（每小题4分，共20分）：

.,1)2()1(.5.,),,(,2,1,2.4.sin.3.,0,1|),(.2.,),(,),(.122222102210202dvzyxIdxdydzzyxfIzzzyxdyxxdyydxdyyyxyxDIdyyxfdxIyxfyyDxx则为设则下的三次积分化为柱面坐标系将所围成由设则设则改变积分次序将连续设

二、选择题（每小题5分，共20分）：

.)(;)(;)(;)()(,,,)sin(,)(,)ln(,1,21,0,0.1312231123321321321IIIDIIICIIIBIIIAIIIdxdyyxIdxdyyxIdxdyyxIyxyxyxDDDD间的大小关系为则所围成由设

.),(),()(;),()(;),(),()(;),()(),(,),(.20180212121228262182212121228212262142yyyyyyyyyyyxxdxyxfdydxyxfdyDdxyxfdyCdxyxfdydxyxfdyBdxyxfdyAdyyxfdxyxf则二次积分是连续函数设

3. 半径为R和r(0

).(81)();(41)();(21)();()(44444444rRDrRCrRBrRA

.721)(;641)(;561)(;481)()(,0,0,0,1.4222DCBAxyzdxdydzzyxzyx则限的部分所围空间区域在第一卦是由设