平行线分线段成比例定理

1 平行线分线段成比例定理

【重点难点解析】

重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定.

难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用.

【命题趋势分析】

利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质.

核心知识

【基础知识精讲】

本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.

1.平行线分线段成比例定理

(1)定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例

(2)定理的基本图形(5.2-1)

若l1∥l2∥l3，则 ＝ ，

＝ ， ＝

2.平行线分线段成比例推论

(1)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

(2)推论的基本图形(如图5.2-2)

若DE∥BC，则 ＝

3.三角形一边平行线的判定

定理：如果一条直线截三角的两边(或两边的延长线)所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

4.相似三角形性质定理的预备定理

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例(如图)

2 △ABC中，若DE∥BC，则

＝

＝

上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项.

典型例题

例1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于F.求AF∶FC.

例2 如图，D为△ABC的AC边上一点，E为CB延长线上一点，且 ＝ ，求证：AD＝EB.

例3 已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？

3 例4

如图，已知AD为△ABC中∠BAC的平分线，求证： ＝ .

【课本难题解答】

例1 在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.(如图5.2-11)(P255 A.18)

例2 如图5.2-12，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB

例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步(1步等于6尺)，并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?(如图5.2-13)(P256B.17)

4 补充一些小问题

1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？

2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？

3.如图，D为△ABC的AB边上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.

4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB于F.求证： - ＝ .

5.如图，D、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF交BC的延长线于E.求EF∶FD.

5 6.已知：如图，在□ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取AF＝ FD，EF交AC于G.求证： ＝ .

7.如图，在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，线段DE和BC的延长线交于点P.

求证：BP∶CP＝BD∶CE

8.如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长.

【典型例题】

例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.

（1）求证：AF：AD=AD：AB

（2）若AF=4，FB=5，求FD的长.

（1）证明：∵EF∥DC，∴AF：AD=AE：AC

∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC

∴AF：AD=AD：AB

（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由AD2=AF·AB，∴AD=6，FD=2. A

B C D E FD

6

例2 如图，M为ABCD一边AD的中点，BM交AC于点P，若AC=6cm，求PC的值.

例3 如图，若DE∥AB，FD∥BC，ADAC=23，AB=9cm，BC=6cm，求BEDF的周长.

例4 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于D。求证：ADABDCBC。

平行线分线段成比例定理练习

1．在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，DE：BC=2：3，则AD：BD=__________。

2．在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，下列各式正确的是（ ）

A．ADDEBCBC B．ADDEBDBCDE

C．AEDBECAD D．AEBCECBCDE

3．在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若AB=2，BC=4，AD=12，则线段DE=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．2．5

4．如图，已知线段a、b、c，求作线段bcxa，下列作法中，正确的是（ ） A

B C D M

P

A

B C E D F

A

B C D

7

5．如图1，在ABCD中，E在CD延长线上，AB=10cm，DE=5cm，EF=8cm，则BF和BE的长分别为（ ）

A．2，3 B．16，24 C．16，8 D．24，16

6．如图2，E为ABCD中BC边上的点，AE交BD于F，若45BEEC，则BF：FD为（ ）

A．45 B．59 C．25 D．49

7．在△ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，且ADFE为菱形，且AB=7，BC=6，AC=5，则BF=（ ）

A．3 B．72 C．2512 D．3512

8．已知，如图， 中，边AD延长线上取一点F，BF分别交AC、DC于E、G。求证：EFEGBE2

9．如图，AC∥EG，EF∥BC，AC=8，EF=2，BD=6，求EG的长。

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，CD为角平分线，AC=4，BC=3.求角线CD的长.

鼓起勇气，过关斩将，胜利在前面等着你！

A

B C D E F

G a x

b c

A a b

x c

B a b

c

C x c b

a

D x

A

B C D E F

图1 A B

C D O

图2

A B C

D 1 2 A

B C D

E F

G

8 11.如图，若DE∥AB，FD∥BC，ADAC=23，AB=9cm，BC=6cm，求BEDF的周长.

12．如图1，在△ABC中，DE∥BC，DE=2，BC=5，BD=3．6，则AD：AB=_________，EC：AE=________,

AD=__________，（AD+AE）：（AB+AC）=__________.

13．如图2，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF延长交AC于点H，则AH：HE=________。

14．在△ABC中，D是BC上一点，且BD=4CD，M为AD的中点，BM交AC于E，则BE：ME=____________.

15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，且AF：FD=1：5，连结CF并延长交AB于E，则AE：BE=（ ）

A．1：6 B．1：8 C．1：9 D．1：10

课后练习

一、填空题

1.如图5.2-17，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，BD＝2，EC＝1，则AE＝ .

2.已知D、E分别为△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，AE＝6，AD＝3，AB＝5，则AC＝ .

3.△ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝7cm，BC＝9cm，那么CD＝ cm.

4.△ABC中，AD是角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝7cm，那么BD＝ cm.

5.△ABC中，AD是角平分线，AB＝6cm，AC＝8cm，则BD∶DC＝ . A

B 图1 D E

C A

B C E D F

B C D E F H A

图2

A

B C D E

F