中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)含详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1yx，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1yx的零点．

己知函数222(3)yxmxm(mm为常数)．

（1）当m=0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为1x和2x，且121114xx，此时函数图象与x轴的交点分

别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线10yx上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．

【答案】（1）当m=0时，该函数的零点为6和6．

（2）见解析,

（3）AM的解析式为112yx．

【解析】

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；

（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式

【详解】

（1）当m=0时，该函数的零点为6和6．

（2）令y=0，得△=

∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．

即无论m取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有，

由解得． ∴函数的解析式为．

令y=0，解得

∴A()，B(4,0)

作点B关于直线10yx的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线10yx的交点就是满足条件的M点．

易求得直线10yx与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）．

连结CB’，则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（106，）

设直线AB’的解析式为ykxb，则

20{106kbkb，解得112kb，

∴直线AB’的解析式为112yx，

即AM的解析式为112yx．

2．计算题

（1）先化简，再求值：21xx÷（1+211x），其中x=2017．

（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．

【答案】（1）2018；（2）m=4

【解析】

分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；

（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

详解：（1）21xx÷（1+211x）

=2221111xxxx

=22111xxxxx

=x+1，

当x=2017时，原式=2017+1=2018

（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，

解得，m=4 点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

3．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．

（1）求m的取值范围；

（2）若111，则m的值为多少？

【答案】（1）14m；（2）m的值为3．

【解析】

【分析】

（1）根据△≥0即可求解,

（2）化简11,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.

【详解】

解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，

解得：m≥-34；

（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，

∵111，即=-1,

∴2m3m2﹣（）=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0

解得：m1=﹣1，m1=3，

由（1）知m≥-34，

∴m1=﹣1应舍去，

∴m的值为3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.

4．用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.

【答案】（1）x1＝－1＋62，x2＝－1－62；（2）y1＝－14，y2＝32.

【解析】

试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可. 试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1

∴△=b2-4ac=16+8=24＞0

∴x=242bbcaa=42461222

∴x1＝－1＋62，x2＝－1－62

（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0

[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0

即4y+1=0或-2y+3=0

解得y1＝－14，y2＝32.

5．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？

（探究）

探究一：

（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=232=3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．

（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=342=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．

（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=aa12线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．

探究二：

（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有1+2=232=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为aa12×3×1=3aa12．

（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有1+2+3=342=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．

（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

探究三：

（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12

条线段，棱AD上有1+2=232=3条线段，则图中长方体的个数为3aa12×bb12×3=3aba1b14．

（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有1+2+3=342=6条线段，则图中长方体的个数为______．

（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

（拓展） 如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．

【答案】探究一：（3）aa12 ；探究二：（5）3a（a+1）；（6）aba1b14 ；探究三：（8）3aba1b12 ；【结论】：①abca1b1c18 ；【应用】：

180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.

【解析】

【分析】

（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；

(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．

【详解】

解：探究一、（3）棱AB上共有aa12线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，

则图中长方体的个数为aa12 ×1×1=aa12 ，

故答案为aa12 ；

探究二：（5）棱AB上有aa12 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，

则图中长方体的个数为aa12 ×6×1=3a（a+1），

故答案为3a（a+1）；

（6）棱AB上有aa12 条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上只有1条线段，

则图中长方体的个数为aa12 ×bb12×1=aba1b14，

故答案为aba1b14；

探究三：（8）棱AB上有aa12 条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有6条线段， 则图中长方体的个数为aa12 ×bb12×6=3aba1b12，

故答案为3aba1b12；

(结论)棱AB上有aa12 条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有cc12条线段，

则图中长方体的个数为aa12×bb12×cc12=abca1b1c18，

故答案为abca1b1c18；

(应用)由(结论)知，abca1b1c18，

∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为2342131418=180，

故答案为为180；

拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x，

由题意得

33(1)8xx=1000，

∴[x（x+1）]3=203，

∴x（x+1）=20，

∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）

∴4×4×4=64

所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．

【点睛】

解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．

6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？

【答案】共有35名同学参加了研学游活动．

【解析】

试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等