中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)含答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x的方程230xxa①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2(1)320kxxa②有实数根，又k为正整数，求代数式2216kkk的值．

【答案】0.

【解析】

【分析】

由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．

【详解】

解：设方程①的两个实数根分别为x1、x2

则12123940xxxxaa＝＝＝ ，

由条件，知12121211xxxxxx=3，

即33a，且94a，

故a＝－1，

则方程②为(k-1)x2+3x+2=0，

Ⅰ.当k-1=0时，k=1,x=23，则22106kkk.

Ⅱ.当k-1≠0时，=9-8（k-1）=17-6-8k≥0，则178k，

又k是正整数，且k≠1，则k=2，但使2216kkk无意义.

综上，代数式2216kkk的值为0

【点睛】

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，

2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【解析】

【分析】

作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．

【详解】

解：

如图，

过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．

∵∠ABC＝30°，

∴2QE＝QB．

∴S△PQB＝12•PB•QE．

设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，

则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．

根据题意，12 •（6﹣t）•t＝4．

t2﹣6t+8＝0．

t2＝2，t2＝4．

当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．

答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．

3．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．

涵涵的作业

解：x2﹣7x+10=0

a=1 b=﹣7 c=10 ∵b2﹣4ac=9＞0

∴x=2bb4ac2a=732

∴x1=5，x2=2

所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．

当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．

探究应用：请解答以下问题：

已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣14=0的两个实数根．

（1）当m=2时，求△ABC的周长；

（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．

【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为72；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【解析】

【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．

（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.

【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．

错误原因：此时不能构成三角形．

（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，

∴x1=12，x2=32．

当12为腰时，12+12<32，

∴12、12、32不能构成三角形；

当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，

此时周长为32+32+12=72．

答：当m=2时，△ABC的周长为72．

（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，

∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，

∴m1=m2=1． 答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.

4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．

【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．

5．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？

（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?

【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元

【解析】

【分析】

（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,

（2）解一元二次方程即可求解,

（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.

【详解】

解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,

设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),

(2)依题意得：

（x-40）(-10x+780)=3570,

解得：x=57,

∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.

（3）设每星期的利润为w，

W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,

∵-100,二次函数向下,函数有最大值,

当x=59时, 利润最大，为3610元.

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.

6．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【解析】

【详解】

分析：（1）求出根的判别式24bac，判断其范围，即可判断方程根的情况.

（2）方程有两个相等的实数根，则240bac，写出一组满足条件的a，b的值即可.

详解：（1）解：由题意：0a．

∵22242440bacaaa，

∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足240bac（0a）即可，例如：

解：令1a，2b，则原方程为2210xx，

解得：121xx．

点睛：考查一元二次方程200axbxca根的判别式24bac，

当240bac时，方程有两个不相等的实数根.

当240bac时，方程有两个相等的实数根.

当240bac时，方程没有实数根.

7．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.

【解析】

试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400，

解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20

考点：一元二次方程的应用．

8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：

当a＞0，b＞0时：

∵（ab）2=a﹣2ab+b≥0

∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题：

（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1x的最小值为

．当x＜0时，x+1x的最大值为 ；

（2）若y=27101xxx，（x＞﹣1），求y的最小值；

（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．

【解析】

【分析】

（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，1x＞0，则也可以按公式a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）来计算；

（2）将y27101xxx的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；

（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．

【详解】

（1）当x＞0时，x1x21xx2；

当x＜0时，﹣x＞0，1x＞0．

∵﹣x1x21xx2，∴则x1x（﹣x1x）≤﹣2，∴当x＞0时，x1x的最小值为 2．当x＜0时，x1x的最大值为﹣2．

故答案为：2，﹣2．

（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y27101xxx2(1)5141xxx=（x+1）