高中数学高一下学期期末考试试卷(含答案)

职业高中下学期期末考试 高一《 数学_》试题5一． 选择题：(每小题3分，共30分）1.函数()x a y 1-=在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.a ＞1B.1＜a ＜2C.a ＞2D.2＜a ＜3 2．若n m ==5ln ,2ln ，则n m e +2的值为 （ ）A ．2B ．5C ．20D ．103.函数2()log (1)f x x π=+的定义域是( ) A ．(1,1)-B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．R4.下列说法中，正确的是（ ）A. 第一象限角一定是锐角B.锐角一定是第一象限角 B. 小于90度的角一定是锐角 D.第一象限角一定是正角5.已知α为第二象限角，则=-•αα2cos 1sin 1. A. 1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不是6.下列函数中,在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是减函数的是( )A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y tan =D ．2x y =7.等差数列{n a }的通项公式是n a = -3n + 2 ,则公差d = （ ）A. -4B. -3C. 3D. 48.在等差数列{n a }中，若=+173a a 10 ,则19S = （ ）A. 65B. 75C. 85D. 959.已知等比数列{}n a 中，,32,832==a a 则=1a （ ）A. 2B. 4C. 6D. 810.三个正数c b a ,,成等比数列, 是c b a lg ,lg ,lg 成等差数列的 A ．充要条件 B ．必要条件 C ．充分条件 D ．无法确定 二．填空题（每小题3分，共24分） 11.已知()[]0lg log log 37=x ；则=x .12.函数()lg(lg 2)f x x =-的定义域是 .13. =+2log 15514.与52π-终边相同的角中最小正角是 15.在三角形ABC 中,如果B A cos sin ⋅＜0,则△ABC 是 三角形 16.已知2cos sin =+αα，则=⋅ααcos sin . 17.等比数列{}n a 中，若,2563=a a 则=72a a _______ 18.等比数列{}n a 中，若12632==a a ，，则S 6 =_______ 三．计算题：（每小题8分，共24分）19.已知:()()521322231,31-++-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=x x x x x g x f ，()x f ＞()x g ，求x 的取值范围.专业 班级 姓名 学籍号 考场 座号20.求值sin()tan()cos()cos(2)tan()sin()πααπαπαπαπα+-+++-.21.在等比数列{}n a 中,若,2,12413=-=-a a a a 求首项1a 和公比q ．四．证明题：（每小题6分，共12分）22.已知(1,10)x ∈, 22lg ,lg ,lg(lg ),A x B x C x === 证明:C A B <<.23.1=-.五：综合题：（10分） 24.等比数列}{n a 中，公比q=2，25log log log 1022212=+•••++a a a ,求n a a a +•••++21.高一 《 数学__》试题5参考答案一．选择题：1---5 CCDBA 6----10 BBDAA 二．填空题11. 1000 12.[100，+∞ ） 13. 10 14.58π 15.钝角 16.2117.25 18.189 三．计算题：（每小题8分，共24分） 19.已知:()()521322231,31-++-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=x x x x x g x f ，()x f ＞()x g ，求x 的取值范围.20.求值sin()tan()cos()cos(2)tan()sin()πααπαπαπαπα+-+++-.解 原式=()()1sin tan cos cos tan sin -=---αααααα.21.在等比数列{}n a 中,若,2,12413=-=-a a a a 求首项1a 和公比q ． 解 由等比数列的通项公式得()()⎩⎨⎧=-=-=-=-21112113121121q q a q a q a q a a q a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==2311q a 所以2,311==q a 四．证明题：（每小题6分，共12分）22.已知(1,10)x ∈, 22lg ,lg ,lg(lg ),A x B x C x === 证明:C A B <<.（答案略）23.1=-.证明 左边=()()120cos 20sin 20cos 20sin 20cos 20sin 20cos 20sin 20cos 20sin 20cos 20sin 2-=---=--=--οοοοοοοοοοοο=右边所以1︒=-五：综合题：（10分） 24.等比数列}{n a 中，公比q=2，25log log log 1022212=+•••++a a a ,求na a a +•••++21.（答案略）。

2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高一下学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若，，，则的值为()A.4B.15C.7D.32.已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则()A.，B.，C.，D.，4.已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，则()A. B.C. D.5.如图，在直三棱柱中，，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与所成的角为()A. B. C. D.6.某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为()A. B.C.D.7.已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，则面积的最大值为()A.B.C.D.8.《九章算术商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面ABC ，，E ，F 分别在棱VB ，VC 上，且，若，则三棱锥外接球的体积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某市7天国庆节假期期间的楼房认购量单位：套与成交量单位：套的折线图如图所示，则以下说法错误的是()A.成交量的中位数是16B.日成交量超过日平均成交量的有1天C.认购量越大，则成交量就越大D.认购量的第一四分位数是10010.已知事件A，B相互独立，且，，则()A. B.C. D.11.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为，则()A.圆台的高为2B.圆台的侧面积为C.圆台的体积为D.圆台的轴截面面积为12.如图，正方体的棱长为4，F是侧面上的一个动点含边界，点E在棱上，且，则下列结论正确的有()A.平面被正方体截得截面为三角形B.若，直线C.若F在上，的最小值为D.若，点F的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（答案在最后）（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.22.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}3.已知向量()4,3a = ，则与向量a 同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C .若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15C.113-D.1136.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.D.28.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为110.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B <C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28mB.当2m x =时，正四棱锥的体积为3m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x xg x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()11f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF⋅的最小值及此时OB 的大小.2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模.【详解】因为()232i i 2i 3i 23i z =-=-+=+，所以z ==故选：C.2.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}【答案】A 【解析】【分析】先利用补集的概念求出U A ð，然后利用交集运算求解即可.【详解】由{}13A x x =-<≤可得{1U A x x =≤-ð或3}x >，又{}0,1,2,3,4,5B =，所以(){}4,5U A B ⋂=ð.故选：A.3.已知向量()4,3a = ，则与向量a同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由向量a 的坐标除以向量a 的模，可得与向量a同向的单位向量的坐标.【详解】向量()4,3a =，5a = ，所以与向量a同向的单位向量为43,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥【答案】B 【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A ：若//l α，l //β，则//αβ或相交，故A 错误；B ：若//l α，l β⊥，由线面平行和垂直的性质可得αβ⊥，故B 正确；C ：若l β⊥，αβ⊥，则//l α或l ⊂α，故C 错误；D ：若//l α，αβ⊥，则,l β相交或l //β或l β⊂，故D 错误；故选：B.5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15 C.113-D.113【答案】C 【解析】【分析】首先求出tan θ，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为5sin cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以sin 1tan cos 5θθθ==，所以2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ---==++221135513151⎛⎫⨯-⎪⎝⎭==⎛⎫+ -⎪⎝⎭.故选：C6.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =【答案】D 【解析】【分析】分2n =和3,4n n ==的情况分别考虑四个选项.【详解】当2n =时，A 表示一正一反，故()1112222P A =⨯⨯=，故A 正确；B 表示两个正面，此时()()11311224P B P B =-=-⨯=，故B 正确；当3n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()11111222234P A P A =-=-⨯⨯⨯=，故C 正确；当4n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()1111112282227P A P A =-=-⨯⨯⨯⨯=，故D 错误.故选：D.7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据三点,,O M N 共线求得,m n 的等量关系式，结合基本不等式求得mn 的最大值.【详解】根据题意，1,2BO OC BO BC =∴=，所以1111(),2222AO AB BO AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+ 又,AB mAM AC nAN ==，所以,1122AO mAM nAN =+ 因为三点,,O M N 共线，所以122m n+=，即2m n +=，由图可知，0,0m n >>，所以2=+≥m n mn ，当且仅当1m n ==时取等号，所以1,mn mn ≤的最大值为1.故选：B.8.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合赋值法思想求出函数()f x 的周期即可求出(2)f -.【详解】由函数(1)2y f x =-+是R 上的奇函数，得(1)2(1)2f x f x --+=---，即(1)(1)4f x f x --+-=-，则(2)()4f x f x --+=-，由(2)y f x =-为偶函数，得(2)(2)f x f x --=-，于是(2)()4f x f x -+=-，显然有()(2)4f x f x ++=-，因此(2)(2)f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，函数()f x 的周期为4，由(2024)5f =-，得(0)5f =-，又(2)(0)4f f -+=-，所以(2)4(0)1f f -=--=.故选：A【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论①()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，②()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，③()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，④()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据()()sin f x A x ωϕ=+的性质逐一判断即可.【详解】2ππ2T ==，故A 正确；2π2sin 63f π⎛⎫== ⎪⎝⎭π6x =不是对称轴，故B 错误；π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以π6x =-是()f x 的一个零点，故C 正确；因为振幅2A =，所以()f x 的最大值为2，故D 错误.故选：AC.10.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B<C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形【答案】AB【解析】【分析】根据大角对大边判断A ，由正弦定理及余弦函数的性质判断B ，利用余弦定理判断C ，利用二倍角公式判断D.【详解】对于A ：因为A B >，根据大角对大边可得a b >，故A 正确；对于B ：因为sin sin A B >，由正弦定理可得a b >，所以A B >，由cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，故B 正确；对于C ：若ABC 是锐角三角形，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以222a b c +>，故C 错误；对于D ：若sin cos sin cos A A B B =，则sin2sin2A B =，又(),0,πA B ∈，所以()2,20,2πA B ∈，所以22A B =或2π2A B =-，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故D 错误.故选：AB11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28m B.当2m x =时，正四棱锥的体积为343m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为3m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2【答案】ABC【解析】【分析】画出正四棱锥P ABCD -，对于A ，四棱锥的侧面积为4PBC S ，对于B ，求出四棱锥的高PG ，可求出其体积，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，由22OP OA OG AG ==+可求出外接球的半径，对于D ，利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径.【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥P ABCD -，对于A ，当2x =时，则2AB BC CD AD ====，设E 为BC 的中点，连接PE ，则,2PE BC PE ⊥=，所以四棱锥的侧面积为2144228m 2PBC S =⨯⨯⨯= ，所以A 正确，对于B ，设AC BD G ⋂=，连接,PG GE ，则PG ⊥平面ABCD ，1GE =，所以22413PG PE GE =-=-=所以四棱锥P ABCD -的体积为31122m 333ABCD S PG ⋅=⨯⨯=正方形，所以B 正确，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，连接OA ，设外接的半径为R ，则,,OA OP R OG R AG ====在Rt OAG △中，222OA OG AG =+，所以)222R R =-+，解得m 6R =，所以C 正确，对于D ，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为r ，则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则11(4)33PBC ABCD ABCD S S r S PG +=⋅ 正方形正方形，所以1(4224)2r ⨯⨯⨯+=，解得m 3r =，所以D 错误，故选：ABC第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出向量2,2a b a b +- 的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算即可求出m 的值；【详解】因为向量()()1,2,,1,2(12,4),2(2,3)a b m a b m a b m =-=+=-+-=-- ，若向量2a b + 与2a b -平行，所以0(12)3(2)4m m ---+-⨯=⨯，解得12m =-.故答案为：12-.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.【答案】c a b<<【解析】【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有c a b <<.故答案为：c a b <<.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE ∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.【答案】①.69.7②.【解析】【分析】根据题意在DMC 中，由正弦定理可求CM 的值，进而求解ME 的值，即可根据MO ME OE =+即可计算MO ；设QE x =，利用两角差的正切公式，基本不等式可求tan MQN ∠的最大值，即可求解.【详解】因为23MCE ∠= ，48MDE ∠= ，所以25DMC ∠= ，在DMC 中，100m CD =，由正弦定理得，()100sin sin sin 25sin 180CD CM CM DMC CDM MDE ︒︒=⇒=∠∠-∠，所以()100sin 18048100sin 48sin 25sin 25CM ︒︒︒︒︒-==，100sin 48sin 23sin 1000.6868m sin 25ME CM MCE ︒︒︒⋅∴=∠==⨯=， 1.7m OE =所以68 1.769.7MO ME OE =+=+=.因为8MN =，所以60NE =，设()m QE x =，68tan ME MQE x x ∠==，60tan NE NQE x x∠==，所以()tan tan tan tan 1tan tan MQE NQE MQN MQE NQE MQE NQE ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠68608686068601x x x x x x -=≤⨯+⋅+，当且仅当6860x x ⨯=，即x =时，MQN ∠最大，所以QE =.故答案为：69.7；.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).【答案】（1）区间[60,70)中应抽4人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人（2）良好的最低分数线84.5分，优秀的最低分数线为93.3分【解析】【分析】（1）根据分层抽样按比例得出每个区间分别抽取学生人数；（2）利用平均数和概率公式计算良好的最低分数线和优秀的最低分数线.【小问1详解】依题意，设四个区间人数依次为：a b c d ,,,，则:::2:3:9:6a b c d =所以区间[60,70)中应抽24042396⨯=+++人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人.【小问2详解】平均分为0.0110650.01510750.04510850.03109584.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以良好的最低分数线84.5分由频率分布直方图易得，[]90,100的频率为0.03100.3⨯=，所以成绩优秀的最低分数线落在区间[]90,100中，不妨记为0x ，故()01000.030.2x -⨯=，解得093.3x ≈，所以成绩优秀的最低分数线为93.3分16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）2π3（2）【解析】【分析】（1）若选①，则利用正弦统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；若选②，利用三角函数恒等变换公式化简可求得答案；（2）对b c +=bc ，从而可求出三角形的面积.【小问1详解】选①，由222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=，得：222b c bc a ++=，所以222b c a bc +-=-，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0πA <<，所以2π3A =.选②，由2sin cos cos 2sin sin sin sin()ABC B C A B C -=+，得2sin (cos cos sin sin )sin A B C B C A -=，所以2sin cos()sin A B C A +=，因为sin 0A ≠，所以1cos()2B C +=，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】因为222()248b c b c bc +=++=，所以22482b c bc +=-，因为2π3A =，所以由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以2236bc b c -=+，所以48236bc bc -=-，故12bc =，所以11sin 12222ABC S bc A ==⨯⨯= 17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）只需由中位线定理证明//EF SA ，再结合线面平行的判定定理即可得解；（2）通过平行的传递性将原问题转换为：求EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角的余弦值，再结合解三角形相关知识进行求解即可.【小问1详解】如图，因为点F 是正方形ABCD 的对角线BD 的中点，所以,,A F C 三点共线，连结AC ，点F 是对角线,AC BD 的交点，所以F 是AC 的中点，因为E 是SC 的中点，所以//EF SA ，又因为EF ⊄平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以EF //平面SAB ，【小问2详解】连结BE ，由于平面SAB ⊥平面ABCD ，且平面SAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以BC SB ⊥，又因为4,2SB BC ==，所以SC =，则12BE SC ==又122EF SA ==，12BF BD ==，异面直线SA 与BD 所成的角为EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角，在BEF △中，222cos28BF EF BE BFE BF EF +-∠==⨯⨯，所以异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为8.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x x g x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，在R 上为增函数；1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）①m <.【解析】【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式；（2）①观察函数()f x 和()g x 的结构，结合题干提示，计算()()22g x f x ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦的值，从而得到()f x 和()g x 的关系式，继而求出()g a 的值；②利用①小问中()f x 和()g x 的关系式，将题干不等式转化为关于()g x 的不等式.结合()g x 的定义和基本不等式得到m 的取值范围.【小问1详解】由题意可知，()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，()()e e 2x x f x f x ---==-，所以()f x 为奇函数；因为e x y =在R 上单调递增，e x y -=在R 上单调递减，()f x 在R 上为增函数；由()()2310f x f x +->，所以()()()231=13f x f x f x >---，由于()f x 在R 上单调递增，所以213x x >-，解得15x >，所以x 的解集是1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】①()()222222e 2e e 2e 144x x x xg x f x --++-+⎡⎤⎡⎤-=-=⎣⎦⎣⎦.由()f a =()2[]12g a =，而()0g a >，所以()g a =.②由①可知()()221f x g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，所以()()213g x m g x ⎡⎤--⋅>-⎣⎦，即()()22g x m g x ⎡⎤+>⋅⎣⎦，因为e e 2()122x x g x -+=≥=，当e 1x =即0x =时等号成立，所以()1g x ≥.故()2()g x m g x +>.而()2()g x g x +≥()g x =时等号成立，所以m <.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e 分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF ⋅ 的最小值及此时OB 的大小.【答案】（1（2）①2π3②最小值为154-，OB =【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解；（2）①分别得出OP =，OQ = ，121e e OP OQ ⋅=-⋅ ，然后列方程求解即可；②得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，即可求解.【小问1详解】因为()2,3OM = ，则1223OM e e =+ ，2212112222(23)412913619e e e e e OM e =+=++=+⋅= ，所以OM = ；【小问2详解】①因为()122,12OP e e ==+ ，()121,1OQ e e =-=-，OP =，OQ = ，()()121212*********OP OQ e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=--⋅+⋅=-⋅ ，则1cos 2OP OQ OP OQθ⋅== ，化简并整理得()21212210e e e e ⋅-⋅-= ，解得121cos 2e e α=-⋅= 或12cos 1e e α==⋅ （舍去，因为0πα<<），则2π3α=；②依题意设1OA me = ，2OB ne =，因为F 为AB 中点，则1211112222OF OA OB me ne =+=+ ，同理()1211516666OE OA AE OA AB OA AO OB me ne =+=+=++=+ ，则()()22222212121156531212OE OF m e n e mne e m n mn ⋅=++⋅=+- ，在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，依据余弦定理得229m n mn +-=-，所以()()2222119842721234OE OF m n m n ⋅=+-=+- 在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，由正弦定理32πsin sin sin 3OA OB OBA OAB ==∠∠，设OAB β∠=，则OB n β==，π3OA m β⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2222π2π1cos 22122sin sin 121cos 2332m n ββββ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+=-+=⨯-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦312sin 222β⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π03β⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，当π4β=时，222m n +取最小值18-OE OF ⋅取最小值154-，OB n β===.【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解.。

2024届河南省周口市重点高中数学高一第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在空间四边形ABCD 中，2AD = ， 23BC =，E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，7EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ）A ．150︒B ．60︒C ．120︒D ．30︒2．在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，若610a =，则11S =( ) A ．150B ．165C ．110D ．2203．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且23AB =，则PA PB +的最小值是（ ）A ．22B ．42C ．222-D ．422-4．已知点()1,2A 在直线10(0,0)ax by a b +-=>>上，若存在满足该条件的,a b 使得不等式2128m m a b+≤+成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,1][9,)-∞-⋃+∞ B ．(,9][1,)-∞-⋃+∞ C ．[]1,9-D ．[]9,1-5．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m ，m +1，m +2，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．526．函数的图象可由函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度得到B ．向左平移个单位长度得到C ．向右平移个单位长度得到D ．向右平移个单位长度得到7．等比数列{}n a 中,21a =,58a =,则公比q =( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下： 甲：7，7，8，8，1； 乙：8，9，9，9，1．若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用1x ，2x 表示，方差分别用21s ，22s 表示，则（ ） A ．12x x >，2212s s >B ．12x x >，2212s s <C ．12x x <，2212s s <D ．12x x <，2212s s >9．点(2,3),(3,2),A B -直线20ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A ．4132a -≤≤ B ．12a ≥或43a ≤-C ．1423a -≤≤ D ．43a ≥或12a ≤-10．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，则//l βD ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

高一（下）期末数学试卷一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．（5分）下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．（5分）已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．（5分）在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60°B．120°C．30°D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．（5分）已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1627．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cos B=，则•=（）A．B．﹣C．3 D．﹣39．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．10．（5分）数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sin B，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14．（5分）若数列{a n}满足，则a2017=．15．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4=．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B的大小；（2）求cos A+cos C的最大值．18．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．（12分）在△ABC中，AC=6，cos B=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．D【解析】A. 6，6，6，6，6常数列，公差为0；B. ﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C. 5，8，11，14公差为3；D. 数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选D．2．B【解析】∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选B．3．A【解析】在△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cos A===，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选A．4．C【解析】等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选C．5．A【解析】∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．故选A．6．B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选B．7．C【解析】由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选C.8．B【解析】∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cos B=，∴由余弦定理得：cos B=====，即ac=2，则•=﹣ca cos B=﹣．故选B．9．A【解析】在△P AB，∠P AB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PB sin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选A.10．B【解析】∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选B．11．A【解析】△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sin B，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cos C==，∴角C的大小为30°，故选A．12．B【解析】∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cos A==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得=== =．故选B．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．120°【解析】根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为120°．14．2【解析】数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为2.15．15【解析】正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为15．16．【解析】由cos A=，cos C=，可得sin A===，sin C===，sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）∵在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．∴，∴由余弦定理得：，∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C=π，，∴，∴===，∵，∴，∴，∴最大值为1，∴cos A+cos C的最大值为1．18．解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．19．解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．解：（1）∵△ABC中，cos B=，∴sin B=，∵，∴AB==5；（2）cos A=﹣cos（C+B）=sin B sin C﹣cos B cos C=﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A=，∴cos（A﹣）=cos A+sin A=．21．解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值范围是．。

人教A版高一下学期数学期末检测试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若实数a＞b，则下列结论成立的是（）A．a2＞b2B．＜C．ln2a＞ln2b D．ax2＞bx22．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下列命题正确是（）A．m∥n，m∥α⇒n∥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n D．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β3．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，则S8＝（）A．36 B．42 C．48 D．604．在△ABC中，AC，BC＝1，∠B＝45°，则∠A＝（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．0 B．0.5 C．1 D．26．石臼是人类以各种石材制造的，用以砸、捣、研磨药材、食品等的生产工具，是由长方体挖去半球所得几何体，若某石臼的三视图如图所示（单位：dm），则其表面积（单位：dm2）为（）A．132+8πB．168+4πC．132+12πD．168+16π7．已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（）A．x﹣y+2＝0 B．x y+2＝0 C．x y+2＝0 D．x﹣2y+2＝0 8．若tan（）＝2，则sin2α＝（）A．B．C．D．9．如图，平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，则异面直线BD与CE所成的角为（）A．B．C．D．10．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（）A．B．C．D．11．在数列{a n}中，若a1，且对任意的n∈N*有，则数列{a n}前10项的和为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝sin2sinωx（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1）C．（0，] D．（0，]∪[，]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．直线x﹣y+3＝0的倾斜角为．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．15．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为．16．若A为△ABC的最小内角，则函数f（A）的值域为．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，求当m为何值时，l1与l2：（1）垂直；（2）平行，并求出两平行线间的距离．18．记公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，a4是a2与a8的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．19．（1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围．（2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x，其中x∈R，（1）求函数f（x）的值域及最小正周期；（2）如图，在四边形ABCD中，AD＝3，BD，f（A）＝0，BC⊥BD，BC＝5，求△ABC的面积S△ABC．21．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△P AB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△P AB沿AB边折起，使平面P AB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由22．动直线m：3x+8y+3λx+λy+21＝0（λ∈R）过定点M，直线l过点M且倾斜角α满足cosα，数列{a n}的前n项和为S n，点P（S n，a n+1）在直线l上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n，数列{b n}的前n项和T n，如果存在任意一个n∈N*，不等式成立，求整数k的最大值．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．D3．C4．A5．C6．B7．D8．B9．C10．C11．A12．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．45°．14．．15．．16．∵A为△ABC的最小内角，∴0＜A，又cos A+sin A＝sin（A），∴＜A，∴＜sin（A）≤1，∴1＜sin（A），∴cos A+sin A的取值范围是（1，]．令t＝cos A+sin A，则t∈（1，]⇒t2＝1+2sin A cos A⇒2sin A cos A＝t2﹣1；∴f（A）；即为g（t）；∵t∈（1，]⇒t∈（2，2]．∴g（t）∈[，）．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（1）两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，当（3+m）•2+4（5+m）＝0时，即6m+26＝0时，l1与l2垂直，即m时，l1与l2垂直．（2）当时，l1与l2平行，即m＝﹣7时，l1与l2平行，此时，两条直线l1：﹣2x+2y＝13，l2：﹣2x+2y＝﹣8，此时，两平行线间的距离为．18．（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2＝（2+d）（2+7d），解得：d＝2（d≠0），∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴，∴．19．（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，化简得﹣4m﹣3＜0，解得m＞，所以实数m的取值范围是m＞；（2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＞0，且＞1，解得x＜1或x＞，所以不等式的解集为{x|x＜1或x＞}；a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0，解得x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}；a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＜0，且＜1，解得＜x＜1，所以不等式的解集为{x|＜x＜1}．综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}；a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜1}．20．（1）f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x sin2x﹣22sin （2x）﹣1，函数f（x）的值域为[﹣3，1]最小正周期为π；（2）∵f（A）＝0，即sin（2A），∴A．在Rt△ADB中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB cos A⇒，解得ABcos，则sin∠ABC＝cos．△ABC的面积S△ABC．21．（1）证明：∵△P AB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，∴PM⊥AB．∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，∴AB⊥面PMC，∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；（2）∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．∴PM⊥面ABCD，∴∠PDMPD与平面ABCD所成角．PM，MD，PDsin∠PMD，即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．（3）设DB∩MC＝E，连接NE，则有面PBD∩面MNC＝NE，∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．∴．线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．22．（1）3x+8y+3λx+λy+21＝0即为（3x+8y+21）+λ（3x+y）＝0，由3x+y＝0且3x+8y+21＝0，解得x＝1，y＝﹣3，可得M（1，﹣3），可得直线l的斜率为tanα2，即直线l的方程为y+3＝2（x﹣1），即有y＝2x﹣5，即有a n+1＝2S n﹣5，即a n+6＝2S n，当n＝1时，可得a1+6＝2S1＝2a1，即a1＝6，n≥2时，a n﹣1+6＝2S n﹣1，又a n+6＝2S n，相减可得2a n＝a n﹣a n﹣1，即a n＝﹣a n﹣1，可得数列{a n}的通项公式a n＝6•（﹣1）n﹣1；（2）b n，即b n•（﹣1）n﹣1，当n为偶数时，T n n；当n为奇数时，T n n，当n为偶数时，不等式成立，即为2n﹣7即k≤2n﹣2，可得k≤2；当n为奇数时，不等式成立，即为2n﹣7即4k≤6n﹣1，可得k，综上可得k≤2，即k的最大值为2．。

职业高中下学期期末考试高一《数学》试题一、选择题.(每小题3分，共30分）1.若a 3log ＜1，则a 的取值范围为（ ）A .a ＞3B . a ＜3C . 1＜a ＜3D . 0＜a ＜32.函数x x a a y --=且(0>a 且R a a ∈≠,1) 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数3.”y x lg lg =”是“y x =”的（ ）A.充分条件B. 必要条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件4.化简式子cos()sin(2)tan(2)sin()απαππαπα-⋅-⋅--得 （ ）A ．sin αB ．cos αC ．sin α-D ．cos α-5.函数sin y x =与cos y x = 都是单调递增的区间是（ ）A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+22,2πππk kB . ⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 2,22C . ⎪⎭⎫ ⎝⎛++232,2ππππk kD . ⎪⎭⎫⎝⎛++ππππ22,232k k 6．函数()()1ln 2-=x x f 的定义域是（ ）A ．()1,1-B ．()()+∞-∞-,11,C ．()+∞-,1D ．R7．若4.06.0a a <，则a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．10<<aC ．0>aD ．无法确定 8.在等比数列{}n a 中，若9,473-=-=a a ，则=5a （ ） A ．6±B ． 6-C ． 213-D ．69. 函数x y 28-=的定义域是（ ） A ． (]3,∞-B ．[]3,0C ．[]3,3-D ．(]0,∞-10. 若54cos ,53sin -==αα且，则角α终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（每小题3分，共24分）11．已知等差数列{}n a 中，53=a ，则=+412a a .12. 已知等比数列{}n a 中，若120,304321=+=+a a a a ，则=+65a a .13. 已知()ππαα,,21cos -∈-=，则=α_________.14. ()()=---+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-02322381π .15. 若a =2log 3，则=-6log 28log 33 .16. c b a ,,成等比数列, 是c b a lg ,lg ,lg 成等差数列的_____________. 17.已知α为第二象限角，则=-•αα2cos 1sin 1_____ . 18. 若αtan 与cos α同号，则α属于第_______象限角。

2024届河南省八市重点高中联盟数学高一第二学期期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且114a =，41a =，则10a =（ ） A ．-5B ．-11C ．-12D ．32．如图，向量1e ，2e ，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若12a e e λμ=+，则λμ+=（ ）A ．1-B ．3C ．1D ．3-3．已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且)a b c -⊥（，则实数k 的值为 A ．32B ．12C ．1D ．1-4．要得到函数1cos 312y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 5．某赛季中，甲､乙两名篮球队员各场比赛的得分茎叶图如图所示，若甲得分的众数为15，乙得分的中位数为13，则xy =（ ）A ．15B ．16C ．17D ．186．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6B ．1C ．﹣1D ．﹣67．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12A A =，1AB AC ==，2CAB π∠=，则异面直线1A B 与1C A 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35 8．已知a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b >B ．11a b> C ．22ac bc >D ．22a b c c > 9．已知()f x 为定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，若方程()0f x kx -=（0k >）恰有5个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ） A ．11[,)74B ．11[,)64C ．11[,)65D ．11[,)7510．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

衢州市2023年6月高一年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，22小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.1．已知集合{}1,2A =，则集合A 的子集有（）A ．7个B ．6个C ．4个D ．3个2．若复数21iz =+，则复数z 的模为（）A ．2B ．2C ．1D ．1i-3．函数()e xf x x =+零点所在的区间为（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（）①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆A ．①②③B ．①②④C ．①②③④D ．①②③④⑤5．已知向量(),2a m = ，()2,1b =-r ，则“0a b ⋅<”是“01m <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有两条对称轴，则ω的取值范围为（）A ．713,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．911,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．711,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．59,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知函数()22ln 1,0e2,e x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，若0a b c <<<且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．(]e,9B ．(2e ,9e ⎤⎦C ．(34e ,e ⎤⎦D ．(42e ,9e ⎤⎦8．在矩形ABCD 中，4BC =，M 为BC 的中点，将ABM 和DCM △沿AM ，DM 翻折，使点B 与点C 重合于点P ，若135APD ∠=︒，则三棱锥M PAD -外接球的表面积为（）A ．12πB ．36πC ．()36162π-D ．()44162π-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．给出下列说法，其中正确的是（）A ．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6B ．已知一组数据12,,,n x x x 的方差是5，则数据1241,41,,41n x x x --- 的方差是20C ．已知一组数据12,,,n x x x 的方差为0，则此组数据的众数唯一D ．已知一组不完全相同的数据12,,,n x x x 的平均数为0x ，在这组数据中加入一个数0x 后得到一组新数据012,,,,n x x x x ，其平均数为x ，则0x x =10．函数()3sin 2cos 2f x x x =-，如下结论正确的是（）A ．()f x 的最大值为31+B ．对任意的x ∈R ，都有()()33ππ+=-f x f xC ．()f x 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数D ．由2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数()f x 的图象11．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．若函数()f x AD xAB =-，则函数()f x 的最小值为22+B ．PA PB ⋅的最大值为1282+C ．AG 在AB 方向上的投影向量为2AB -D ．3OA OC OB+=12．某同学在研究函数()2222610f x x x x x =+++-+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将()f x 变形为()()()()()2222101301f x x x =++-+-+-，则下列关于函数()f x 的描述正确的是（）A ．()f x 的图象是中心对称图形B ．()f x 的图象是轴对称图形C ．()f x 的值域为)25,⎡+∞⎣D ．方程()10f f x =⎡⎤⎣⎦有两个解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，角α的终边经过点()1,2P -，则sin α=__________．14．设0x >，则函数2121y x x =+-+的最小值为_____15．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，()2f x +为偶函数，且对任意的1x ，()20,2x ∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，试写出符合上述条件的一个函数解析式()f x =______.16．若点M 为边长为2的正ABC 内的一个动点且2π3BMC ∠=，则MA MC 的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．已知函数()πcos 2sin 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)求函数()f x 的值域.18．随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按[)0,20，[)20,40，…，[]120,140分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知3a b =.(1)求频率分布直方图中a ，b 的值；(2)估计该校学生每周零花钱的第55百分位数；(3)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在[)60,120内的人中抽取11人，求[)100,120内抽取的人数.19．衢州市某公园供市民休息的石凳是阿基米德多面体，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体（各棱长都相等），已知正方体的棱长为30cm.(1)证明：平面//ABE 平面GNK ；(2)求石凳所对应几何体的体积.20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足π2sin 6b c C a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小；(2)求222b c a +的取值范围.21．如图在三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，111A C =，12AA AC BC ===.(1)求点A 到平面11A BC 的距离；(2)求二面角11C A B C --的正弦值.22．已知函数()()21121f x a x x x =-+--，(1)当1a =时，求()f x 的单调递减区间；(2)若()f x 有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<求证：①33111x a a x <<+②()211a x x -<.1．C【分析】列举出集合A 的子集即可得解.【详解】因为集合{}1,2A =，所以集合A 的子集有{}{}{},1,2,1,2∅共4个.故选：C.2．A【分析】首先化简复数z ，再求模.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以()22112z =+-=.故选：A 3．B【分析】先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在定理求解答案即可.【详解】由()e xf x x =+，则函数图像是连续的且单调递增，则()1111e 10ef --=-+=-+<，121111e 0222e f -⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭，由函数零点存在定理可得函数零点所在区间为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故选：B 4．C【分析】由正方体的结构特征，作出截面即可判断.【详解】用一个平面去截一个正方体，A B C D E F 、、、、、分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示：故选：C.5．B【分析】利用向量的数量积的坐标表示及充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】因为(),2a m = ，()2,1b =-r ，所以由()2210a b m ⋅=+⨯-<，解得1m <，所以(),1-∞ ()0,1，所以“1m <”是“01m <<”的必要不充分条件，即“0a b ⋅<”是“01m <<”的必要不充分条件.故选：B.6．D【分析】求出函数的对称轴方程为()14π4k x ω+=，k ∈Z ，原题等价于()14π0π4k ω+≤≤有2个整数k 符合，解不等式1414142ω+⨯≤<+⨯即得解.【详解】()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，令πππ42x k ω+=+，k ∈Z ，则()14π4k x ω+=，k ∈Z ，函数()f x 在区间[0，π]上有且仅有2条对称轴，即()14π0π4k ω+≤≤有2个整数k 符合，()14π0π4k ω+≤≤，得140101444k k ωω+≤≤⇒≤+≤，则0,1k =，即1414142ω+⨯≤<+⨯，∴5944ω≤<.故选：D.7．D【分析】画出函数()f x 的图象，根据图象分析可得ab 的值，再由c 的取值范围即可得出答案.【详解】画出函数()22ln 1,0e2,e x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩的图象如图，若0a b c <<<，由()()f a f b =，即ln 1ln 1a b -=-，即1ln ln 1a b -=-，即ln ln 2b a +=，所以2e ab =，当2e x >时，2y x =-单调递增，且()22e ln e 11f =-=，令21x -=，则9x =，所以(2e ,9c ⎤∈⎦，(242e e ,9e abc c ⎤=∈⎦.故选：D.8．B【分析】先证明出MP ⊥平面PAD ，设△ADP 的外接圆的半径为r ，三棱锥M-PAD 的外接球的半径为R ，由222()2PM R r =+，求出R ，进而求出外接球的表面积.【详解】由题意可知，,MP PA MP PD ⊥⊥.又,PA PD P PA ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以MP ⊥平面PAD .设△ADP 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2sin AD r APD=∠，即42sin135r =︒，所以22r =，设三棱锥M-PAD 的外接球的半径为R ，则2221(8)29R r PM =+=+=，所以外接球的表面积为24π4π936πR =⨯=.故选：B 9．ACD【分析】对于A ，求得极差、中位数即可判断；对于B ，根据方差的性质即可判断；对于C ，根据方差的定义可得12n x x x x ==== ，从而可判断；对于D ，根据平均数的计算公式即可判断.【详解】对于A ，极差为404-=，中位数为12322+=，所以极差与中位数之积为3462⨯=，A 对；对于B ，根据方差的性质可知，数据1241,41,,41n x x x --- 的方差是24580⨯=，B 错；对于C ，由方差()()()22221210n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦ ，可得12n x x x x ==== ，即此组数据众数唯一，C 对；对于D ，120120,nn x x x x x x x nx n+++=∴+++= ，01200011n x x x x x nx x n n +++++∴==++ ，D 对.故选：ACD 10．BC【分析】根据两角差的正弦公式可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质及图象变换逐项判断.【详解】()31π3sin 2cos 22sin 2cos 22sin 2226f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，故A 错误；ππππ2sin 22sin 23362f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 关于π3x =对称，所以对任意的x ∈R ，都有()()33ππ+=-f x f x ，故B 正确；ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ2,622x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以()f x 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，故C 正确；由2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故D 错误.故选：BC.11．AB【分析】以AE 为y 轴，GC 为x 轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次函数求出最值，A 正确；取AB 的中点M ，得到22214PA PB PM MA PM ⋅=-=- ，求出2PM的最大值，从而得到PA PB ⋅ 的最大值，B 正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C 错误；计算向量坐标即可判断D 错误，得到答案.【详解】如图所示：以AE 为y 轴，GC 为x 轴建立直角坐标系，设OA OB OC OD OE OF OG OH a ========，在OAB 中，根据余弦定理可得，222π42cos4a a a =+-⨯，整理得到2422a =+，()()()2222220,,,,,0,,,0,,,222222A a B a a C a D a a E a F a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(),0G a -，22,22H a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()00,P x y ，对选项A ：22,22AD a a a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，22,22AB a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以22((1),(1)(1))22AD xAB a x a x a x -=-++- ，所以()2222[(1)][(1)(1)]22f x AD x AB a x a x a x =-=-+++- 22222(22)(22)24(842)1282a a x a x x x =++--=-+++22(22)322x x =-+++，所以当212x =+时，函数()f x 有最小值为22+，A 正确；对选项B ：取AB 的中点M ，则2PA PB PM += ，2PA PB BA MA -==，则()224PA PB PM += ，()224PA PB MA -= ，两式相减得：2221PA PB PM MA PM ⋅=-=-，由正八边形的对称性知，当点P 与点E 或F 重合时，2PM 最大，又()212,,0,424M a a a E a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以232,424EM a a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以222222321032()()13824244EM EM a a a a +==+--==+ ，所以PA PB ⋅ 的最大值为21138211282EM -=+-=+ ，B 正确；对选项C ：(),AG a a =- ，22,22AB a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以2222222222221222a a a AG AB AB a a a -+-⋅==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，即投影向量为22AB - ，C 错误；对选项D ：因为()0,OA a =- ，(),0OA a = ，所以(),OA OC a a +=-，又663,22OB a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3OA OC OB +≠ ，D 错误.故选：AB 12．BCD【分析】计算得出()()2=f x f x -，利用函数对称性的定义可判断B 选项；利用函数()f x 的几何意义求出()f x 的值域，可判断C 选项；利用反证法可判断A 选项；解方程()10f t =，结合函数()f x 的单调性、对称性以及零点存在定理可判断D 选项.【详解】对于B 选项，因为函数()f x 的定义域为R ，()()()()()2222221012301f x x x -=-++-+--+-()()()()()2222301101x x f x =-+-+++-=，所以，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，B 对；对于C 选项，因为()()()()()2222101301f x x x =++++-+-函数()f x 的几何意义为点(),0P x 到点()1,1A --和点()3,1B 的距离之和，如下图所示：()()()22131125f x AP BP AB =+≥=--+--=，当且仅当点A 、P 、B 共线时，等号成立，所以，函数()f x 的值域为)25,⎡+∞⎣，C 对；对于A 选项，由C 选项可知，函数()f x 只有最小值，若函数()f x 的图象为中心对称图形，则函数()f x 有最大值，这与函数()f x 的值域为)25,⎡+∞⎣矛盾，A 错；对于D 选项，设()t f x =，由()10f f x =⎡⎤⎣⎦可得()()()22113110f t t t =+++-+=，解得10105121t =±，因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且函数()f x 的值域为)25,⎡+∞⎣，因为1010512521-<，1010512521+>，所以，方程()10105121f x =-无解，令()()10105121g x f x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，易知函数()g x 在()1,+∞上为增函数，且()()101051010511125102121g f ⎛⎫⎛⎫=-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10105101051010510110190212121g ⎛⎫⎛⎫-+>-+=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在定理可知，()g x 在()1,10上存在一个零点，即方程()10105121f x =+在()1,+∞由一个根，则方程()10105121f x =+在(),1-∞上有个根，综上所述，方程()10f f x =⎡⎤⎣⎦有两个根，D 对.故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n == ；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n == 与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、L 、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++ .13．255【分析】先求出||OP ，由三角函数的定义即可求解.【详解】由题意知22||(1)25OP =-+=，225sin 55α∴==．故答案为：255.【点睛】本题考查三角函数定义的应用，属于基础题.14．12##0.5【分析】利用换元法令12t x =+，12t >则21131311212222y x x t x t x =+-=++-=+-++，再利用基本不等式求最值．【详解】解：令12t x =+，则12t >，所以2113133112121222222y x x t x t x =+-=++-=+-≥-=++，当且仅当1t t =，即1t =，12x =时等号成立，故函数2121y x x =+-+的最小值为12．故答案为：12.15．πsin4x -（答案不唯一）【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得函数的周期性，再结合单调性求解作答.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，且()00f =，又()2f x +为偶函数，则()()22f x f x -+=+，即(4)()f x f x +=-，于是(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以8为周期的周期函数，对任意1x ，()20,2x ∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，可得()f x 在()0,2单调递减，不妨设()sin f x A x ω=，由题意，2π8T ω==，所以π4ω=，则π()sin 4f x A x =，当()0,2x ∈时，ππ0,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π()sin4f x A x =在()0,2上单调递减，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以0A <，不妨取1A =-，此时π()sin4f x x =-.故符合上述条件的一个函数解析式π()sin 4f x x =-，（答案不唯一）.故答案为：πsin 4x -（答案不唯一）16．32##132【分析】利用旋转法绕点B 旋转BMC △成BDA △，过点A 作AH DM ⊥，则3322MA AH AD MC ≥==，即可得出答案.【详解】由题知，绕点B 旋转BMC △成BDA △，使得BC 与AB 重合，如图所示，则BDM 是等边三角形，AD MC =，60ADM ∠=︒，过点A 作AH DM ⊥，因为M 为边长为2的正ABC 内的一个动点，所以3322MA AH AD MC ≥==，所以32MA MC ≥.故答案为：3217．(1)132-(2)9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）直接代入计算可得；（2）利用二倍角公式及诱导公式将函数转化为cos x 的二次型函数，再换元，结合二次函数的的性质计算可得.【详解】（1）因为()πcos 2sin 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以ππ2πcos sin 633f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132-=.（2）()22πcos 2s 1in 2cos cos f x x x x x ⎛⎫=-+-⎝=⎪⎭- 令cos t x =，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，则[]0,1t ∈，令()221g t t t =--，[]0,1t ∈，则()g t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()01g =-，1948g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()10g =，所以()9,08g t ⎡⎤-⎢⎥∈⎣⎦，所以函数()f x 的值域9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．(1)0.015a =，0.005b =(2)70元(3)2人【分析】（1）根据频率之和为1，结合已知可得；（2）先判断第55百分位数所在区间，然后可得；（3）先求各组频率，根据频率比例即可求得抽取人数.【详解】（1）()0.01250.0075220.0025201a b ++++⨯⨯=，即20.025a b +=又3a b =，所以0.015a =，0.005b =.（2）前3组的频率和为()0.00250.0050.0125200.4++⨯=，前4组的频率和为()0.00250.0050.01250.015200.7+++⨯=，∴第55百分位数位于第4组[)60,80内.∴估计第55百分位数为0.550.46020700.3-+⨯=元.（3）[)60,80，[)80,100，[)100,120这三组的频率分别为0.015200.3⨯=，0.0075200.15⨯=，0.005200.1⨯=，比例为6:3:2，则从[)100,120内抽取的人数分别为211211⨯=.19．(1)证明见解析；(2)()322500cm .【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明即可；（2）先求出正方体的体积，再求出截去的八个四面体的体积，作差即可求解.【详解】（1）多面体为二十四等边体知A 、B 、E 、G 、N 、K 为正方体对应棱上的中点则//AB NK ，//BE GN ，AB BE B = ，,AB BE ⊂平面ABE ，GN NK N = ，,GN NK ⊂平面GNK ，则平面//ABE 平面GNK .（2）正方体的体积()3130303027000cm V Sh ==⨯⨯=，截去的每个四面体体积为()3222111515112515cm 3322V S h ⨯==⨯⨯=，所以石凳所对应几何体的体积为()312822500cm V V -=.20．(1)π3A =(2)(]1,2【分析】（1）先利用两角和的正弦公式将条件化简，再利用正弦定理和三角恒等变换求出π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据三角形内角的取值范围即可求解；（2）法1：利用正弦定理将边化为角，然后利用三角形内角和定理、三角恒等变换和余弦函数的图像即可求解；由（1）先利用余弦定理得到222111b c a b c c b+=-+，然后利用基本不等式即可求解.【详解】（1）因为π2sin 6b c C a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简可得cos 3sin b c C C a +=+，由正弦定理可得sin sin cos 3sin sin B CC C A+=+，∴sin sin sin cos 3sin sin B C A C A C +=+，∴sin cos cos sin sin sin cos 3sin sin A C A C C A C A C ++=+，∴cos sin sin 3sin sin A C C A C +=，∴cos 13sin A A +=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,π)A ∈，则ππ5π666A -<-<，∴ππ66A -=，则π3A =.（2）法1：由正弦定理可得222222sin sin sin b c B Ca A++=()()()()41cos 21cos 24411cos cos 1cos 322332B C B C B C B C --⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭412π1cos 2323B ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为2π032π2π033B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以2π03B <<，则2π2π2π2(,)333B -∈-，所以2π1cos(2)(,1]32B -∈-，故412π1cos 2(1,2]323B ⎡⎤⎛⎫+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以222b c a +的取值范围为(]1,2.法2：由（1）可知π3A =，在ABC 中，由余弦定理可得222a b c bc =+-，则22222222211111b c b c bc a b c bc b c b c c b++===+---++，0b c >，2b cc b+≥，所以1102b c c b <≤+，则11112b c c b≤-<+，所以222b c a+的取值范围为(]1,2.21．(1)2(2)32【分析】解法一：（1）先利用线面垂直关系证明BC ⊥平面1A AC ，进而结合余弦定理求得11cos A BC ∠，进而利用等体积法求解即可；（2）过1C 作11C E A C ⊥，垂足为E ，先证明1C E ⊥平面1A BC ，过点E 作1EF A B ⊥，垂足为F ，连接1C F ，可得1C FE ∠为二面角11C A B C --的平面角，进而求解即可.解法二：（1）先利用线面垂直关系证明BC ⊥平面1A AC ，进而建立空间直角坐标系，求出平面11A BC 的法向量，再结合空间向量求解即可；（2）求出平面11A BC 的法向量，再利用空间向量求解即可.【详解】（1）解法一：因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又BC AC ⊥，1AA AC A = ，且1,AA AC ⊂平面1A AC ，所以BC ⊥平面1A AC ，因为1CC ⊂平面1A AC ，所以1BC CC ⊥.在Rt ABC △中，2222AB AC BC =+=，在1Rt A AB △中，221123A B AA AB =+=，过1C 作1C D AC ⊥，垂足为D ，则112AA C D ==，111A C AD ==，则1CD =，所以22115CC C D CD =+=，所以在1Rt C BC 中，22113C B CC BC =+=，则在11A BC V 中，2221111111153cos 29C B A B AC A BC C B A B +-∠==⋅，则211116sin 1cos 9A BC A BC ∠=-∠=，所以1111111sin 22A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠=△，11111112AA C AA S AC =⋅=△，设点A 到面11A BC 的距离为h ，根据1111A A BC B AA C V V --=，即11111133A BC AA C S h S BC ⨯⨯=⨯⨯△△，即1121233h ⨯⨯=⨯⨯，解得2h =，所以点A 到平面11A BC 的距离为2.解法二：同解法一先证BC ⊥平面1A AC ，如图建系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()12,0,2A ，()11,0,2C ，则()12,2,2BA =- ，()111,0,0AC =- ，()10,0,2AA = ，设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，由11100n BA n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z x -+=⎧⎨-=⎩，即0x y z =⎧⎨=⎩，取()0,1,1n = ，则点A 到平面11A BC 的距离为12AA nd n⋅==.（2）解法一：过1C 作11C E A C ⊥，垂足为E ，由（1）知BC ⊥平面1A AC ，因为1C E ⊂平面1A AC ，所以1BC C E ⊥，又1A C BC C = ，且1,A C BC ⊂平面1A BC ，则1C E ⊥平面1A BC ，过点E 作1EF A B ⊥，垂足为F ，连接1C F ，则1C FE ∠为二面角11C A B C --的平面角，又11145C A C A CA ∠=∠=︒，122A C =，123A B =，则1122C E E A ==，由1A EF ∽1A BC ，得11A EEF BC A B=，所以66EF =，所以221163C F C E EF =+=，所以111232sin 263C E C FE C F ∠===，所以二面角11C A B C --的正弦值为32.解法二：由（1）解法二知，()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()12,0,2A ，()11,0,2C ，则()12,0,2CA = ，()0,2,0CB =，设平面11A BC 的法向量为()2222,,n x y z =，由21200n CA n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22222020x z y +=⎧⎨=⎩，即220x z y =-⎧⎨=⎩，取()21,0,1n =- ，又平面11A BC 的法向量为()0,1,1n = ，则2221cos ,2n n n n n n ⋅==⋅ ，则二面角11C A B C --的正弦值为32.22．(1)11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据题意去绝对值，然后根据二次函数的性质即可求解；（2）①根据题意可得当0a ≤时不符合题意即0a >，且10f a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭进而得到31x a <，然后根据题意代入即可证明；②根据题意和求根公式可得()2129444a a a x a++-+=-，()2229444a a a x a--++=，然后作差即可证明.【详解】（1）因为1a =，所以2222,(1)()(21)12123,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--≥-=-+--=⎨--<-⎩，当11,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减；当1(,)4x ∞∈+时，()f x 单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()f x 单调递增；因此()f x 的单调递减区间为11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）①222(2)1,(1)()(21)1212(2)1,(1)ax a x a x f x a x x x ax a x a x ⎧+---≥-=-+--=⎨--++-<-⎩，当0a =时，()21f x x =--仅有一个零点，不合题意；当a<0时，1111,(1)102424f a a -<---=>当11124a -≥-时，()f x 在[1,)x ∈-+∞仅有一个零点，()f x 在(,1)x ∈-∞-没有零点，不合题意；当11124a -<-时，()f x 在[1,)x ∈-+∞仅有一个零点，因为111242a -->，所以()f x 在(,1)x ∈-∞-没有零点，不合题意；因此0a >，所以1111,(1)102424f a a ->---=>()21112210f a a a a a a a ⎛⎫=⋅+-⋅--=-< ⎪⎝⎭()f x \在(,1)x ∈-∞-仅有一个零点，()f x 在[1,)x ∈-+∞有两个零点，12311124x x x a <-<<-<，且当23(,)x x x ∈时()0f x <；10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴31x a <，∵()2332210ax a x a +---=，∴23332210ax ax x a +---=，∴2333311112222x x x a a x a a a +---=--=-，∵31x a<，∴23333111111102222222x x x a a a x a a a a a +----=--=-<-=-<，233331110,x x x a a x ∴--<<+综上：33111x a a x <<+②由题意可知：2211222(2)10,2(2)10,0ax a x a ax a x a a --++-=+---=>121111,,2424x x a a <--<-Q ()2129444a a a x a++-+∴=-，()2229444a a a x a --++=，∴()()22212944294444a a a a a ax xa a--++++-+ -=+2249449444144a a a aa a a-+++-+=<=，∴()211a x x-<.。

蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.OA OB AC -+= （）A .OCB.BCC.CBD.CA2.7πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.23.已知点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且cos 4m α=，则sin α=（）A.64-B.4-C.64D.1044.如图，OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O A B ''' ，y'轴经过斜边A'B'的中点，则OAB 中OA 边上的高为（）A. B. C.2 D.45.要得到函数()πsin 24x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数()sin f x x =的图象（）A.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍6.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m ∥n ，则α∥βB.若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥C.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D.若αγ⊥，β∥γ，则αβ⊥7.已知π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，πsin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.10-B.10C.10D.108.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2sin sin B C A B +=，a =，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数11i z =-，21i z =+，其中i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.12z z =B.12||||z z =C.12i z z = D.2212122z z z z +≥10.已知正方体1111ABCD A B C D -，,E M 分别为AB ，1BD 的中点，下列说法正确的是（）A .//EM BCB.EM MC⊥C.直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45D.直线EM 与平面11BB D 所成角的大小为3011.已知向量a ，b满足()2a b a +⊥ ，则以下说法正确的是（）A.若()2,a m =，(b =- ，则0m =或-B.若||a b +=，则||b =C.若||a =||2b =r，则向量b 在向量aD.向量b 在向量a 上的投影向量为2a-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.13.已知()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，则tan α＝________．14.在△ABC 中，22AC AB ==，AB BC ⊥，点M 满足2π3AMC BMC ∠=∠=，则AM BM CM ++=________．四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．（1）若z 为纯虚数，求|2|z +；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．16.如图，在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AFFB =，G 为DF 与BE 的交点．（1）记向量AB a =，AD b = ，试以向量a ，b 为基底表示BE ，DF；（2）若AC mBE nDF =+，求m ，n 的值；（3）求证：A ，G ，H 三点共线．17.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1B C 与1BC 交于点O ，M 为线段AC 的中点，1B C AB ⊥，1222AB BC AA ===．（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（3）求三棱锥1B BOM -的体积．18.已知函数()π2cos cos sin26f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）关于x 的方程()f x a =在区间π[0,]2有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）不等式()204m mf x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭≥对R m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．19.已知球O 半径为2，A ，B ，C ，D 是球面上的点，平面OAC ⊥平面ABC ，四边形OACD 为平行四边形．（1）证明：AB BC ⊥；（2）若AB BC =，求点O 到平面BCD 的距离；（3）求BD 与平面OAC 所成角的余弦值的最小值．蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.OA OB AC -+= （）A.OCB.BCC.CBD.CA【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量加减运算法则及运算律计算可得.【详解】OA OB AC OA BO AC BO OA AC BC -+=++++==.故选：B 2.7πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C3.已知点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且cos 4m α=，则sin α=（）A.4-B.4-C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出2m ，再由定义计算可得.【详解】因为点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且2cos 4m α=，即cos 4m α==，解得25m =，所以sin 4α===-.故选：A4.如图，OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O A B ''' ，y'轴经过斜边A'B'的中点，则OAB 中OA边上的高为（）A. B. C.2 D.4【答案】B 【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，即可得OAB 的原图，根据长度关系即可求解.【详解】根据题意可得OAB 的原图如图所示，其中D 为AB 的中点，由于D ¢为A B''的中点，O D ''=且2OD O D ''==，则OAB中OA 边上的高为2OD =故选：B.5.要得到函数()πsin 24x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数()sin f x x =的图象（）A.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍得到1πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的12倍得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 错误；将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍得到1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误；将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的12倍得到πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：A6.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m ∥n ，则α∥βB.若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥C.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D.若αγ⊥，β∥γ，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ，举例判断，对于D ，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可.【详解】对于A ，如图当m α⊂，n β⊂，m ∥n 时，α与β相交，所以A 错误，对于B ，如图，当m α⊥，m β⊥时，α∥β，所以B 错误，对于C ，如图当m α⊂，n β⊂，m n ⊥时，α∥β，所以C 错误，对于D ，设l αγ= ，在平面α内作b l ⊥，因为αγ⊥，所以b γ⊥，因为β∥γ，所以b β⊥，因为b α⊂，所以αβ⊥，所以D 正确.故选：D 7.已知π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.210-B.210C.210D.310【答案】C 【解析】【分析】由π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出πcos 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，πππsin 2sin 212124x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角和的正弦公式化简，再利用二倍角公式化简可求得答案.【详解】因为π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以ππ0,122x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2ππ25cos 1sin 12125x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 212124x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin 2cos cos 2sin124124x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππsin 2cos 221212x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22πππ2sin cos 2cos 12121212x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦225552212555⎡⎤⎛⎢⎥=⨯+⨯- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦210=.故选：C8.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2sin sin B C A B +=，a =，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得2B A =，由正弦定理得sin A B =，再利用正弦的二倍角公式可得答案.【详解】因为()cos cos cos cos +=-+B C B A B cos cos cos sin sin 2sin sin =-+=B A B A B A B ，所以()cos cos cos sin sin cos =+=-B A B A B A B ，因为0,πA B <<，所以B A B =-，或B A B =-+舍去，可得2B A =，因为a =，由正弦定理得sin A B =，所以sin 22sin cos B B B B ==，因为0πB <<cos B =，可得π6B =，π23A B ==，所以π2C =.故选：D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数11i z =-，21i z =+，其中i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.12z z =B.12||||z z =C.12i z z = D.2212122z z z z +≥【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，由共轭复数的概念即可判断A ，由复数的模长公式即可判断B ，由复数的四则运算，即可判断CD【详解】对A 因为复数11i z =-，21i z =+，则121i z z =+=，故A 正确；对B,12z z ====12||||z z =，故B 正确；对C,()()()()121i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ----====-++-，故C 错误；对D,()()2222121i 1i 2i 2i 0z z +=++-=-=，()()12221i 1i 4z z =-+=，所以2212122z z z z <+，故D 错误；故选：AB10.已知正方体1111ABCD A B C D -，,E M分别为AB ，1BD 的中点，下列说法正确的是（）A.//EM BCB.EM MC⊥C.直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45D.直线EM 与平面11BB D 所成角的大小为30【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线的定义可判断A ；连接BD ，取BD 中点O ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在MEC 中由余弦定理求出cos ∠EMC 可判断B ；设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线EM 与直线1CC 所成的角即为EMO ∠，求出EMO ∠可判断C ；连接BD 、AC 相交于点O ，利用线面垂直的判定定理得1AD O ∠即为EM 与平面11BB D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，求出1sin ∠AD O 可判断D .【详解】对于A ，因为E ∈平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，E BC ∉，M ∉平面ABCD ，所以EM 与BC 是异面直线，故A 错误；对于B ，连接BD ，取BD 中点O ，连接,,,MO EO OC EC ，可得1//MO DD ，所以OM ⊥平面ABCD ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则11,22====OE OM OC BD ，225=+=CE EB BC ，222=+=ME OM OE ，223=+=MC OM OC 由余弦定理得222235cos 02223+-∠===⋅⨯⨯ME MC CE EMC ME MC ，所以90∠= EMC ，所以EM MC ⊥，故B正确；对于C ，由B ，1//MO DD ，11//DD CC ，所以1//MO CC ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以直线EM 与直线1CC 所成的角即为EM 与直线MO 所成的角，即为EMO ∠，因为1==OE OM ，OM ⊥平面ABCD ，所以45∠= EMO ，即直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45 ，故C 正确；对于D ，连接1AD ，因为,E M 分别为AB ，1BD 的中点，所以1//EM AD ，连接BD 、AC 相交于点O ，则AO BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1DD AO ⊥，且1DD BD D =I ，1、⊂DD BD 平面11BB D ，所以AO ⊥平面11BB D ，所以1AD O ∠等于EM 与平面11BB D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则122AD =，2AO =，所以111sin 2AO AD O AD ∠==，1π02<∠<AD O ，所以130AD O ∠= ，所以EM 与平面11BB D 所成的角大小为30 ，故D正确.故选：BCD.11.已知向量a ，b 满足()2a b a +⊥ ，则以下说法正确的是（）A.若()2,a m = ，(3b =- ，则0m =或23-B.若||5a b += ，则||5b = C.若||5a = ||2b =r ，则向量b 在向量a 5D.向量b 在向量a 上的投影向量为2a - 【答案】ABD【解析】【分析】A选项，计算出(20,a m b =++ ，根据向量垂直得到方程，求出0m =或-，A 正确；B选项，||a b +=||b = C 选项，根据垂直关系得到21522a b a ⋅=-=- ，从而根据投影向量的模长公式求出C 正确；D 选项，在C 选项基础上，根据投影向量的公式进行求解.【详解】A选项，(20,a m b =++ ，因为()2a b a +⊥ ，所以()(()(20,2,0b m a a m m m +⋅=+⋅+== ，解得0m =或-，A 正确；B选项，||a b += 两边平方得，2225a a b b +⋅+= ，因为()2a b a +⊥ ，所以()2220a a a a b b +⋅=+⋅= ，故25b =，则||b = B 正确；C 选项，因为()2a b a +⊥ ，所以()2220a a a a b b +⋅=+⋅=，||a = 21522a b a ⋅=-=- ，则向量b 在向量a上的投影数量为252b a a-⋅==- ，C 错误；D 选项，由C 选项知，212a b a ⋅=- ，向量b 在向量a 上的投影向量为2b a a a a a⋅⋅=- ，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π13.已知()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，则tan α＝________．【答案】1【解析】【分析】先利用根与系数的关系，再利用两角和的正切公式可求得答案.【详解】因为()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，所以()3tan tan 2αββ-+=，()1tan tan 2αββ-⋅=-，所以()tan tan αββ⎡⎤=-+⎣⎦()()tan tan 1tan tan αββαββ-+=--321112==⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：114.在△ABC 中，22AC AB ==，AB BC ⊥，点M 满足2π3AMC BMC ∠=∠=，则AM BM CM ++=________．【解析】【分析】设,,AM x BM y CM z ===，根据ABC AMB BMC AMC S S S S =++ 可得2xy xz yz ++=，在,,ABM BMC ACM 中分别利用余弦定理可得2223x y z ++=，再求出2()x y z ++可得答案.【详解】设,,AM x BM y CM z ===，因为22AC AB ==，AB BC ⊥，所以BC =，因为2π3AMC BMC ∠=∠=，所以2π3AMB ∠=,因为ABC AMB BMC AMC S S S S =++ ，所以11()24xy xz yz ⨯⨯=++，得2xy xz yz ++=，在,,ABM BMC ACM 分别由余弦定理得221x y xy ++=，223y z yz ++=，224x z xz ++=，所以2222()8x y z xy xz yz +++++=，所以2222()28x y z +++=，得2223x y z ++=，所以2222()2()347x y z x y z xy xz yz ++=+++++=+=，所以7x y z ++=，即7AM BM CM ++=.故答案为：7【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，解题的关键是在,,ABM BMC ACM 中分别利用余弦定理找出,,AM BM CM 的关系，再结合ABC AMB BMC AMC S S S S =++ 又得到,,AM BM CM 的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．（1）若z 为纯虚数，求|2|z +；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．【答案】（15（2）1a <.【解析】【分析】（1）由已知求出a ，再由模的意义求出结果.（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.【小问1详解】由z 为纯虚数，得232020a a a ⎧-+=⎨-≠⎩，解得1a =，则i z =-，所以|2||2i |z +=-=.【小问2详解】由复数z 在复平面内对应的点在第四象限，得232020a a a ⎧-+>⎨-<⎩，解得1a <，所以实数a 的取值范围是1a <.16.如图，在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AF FB = ，G 为DF 与BE 的交点．（1）记向量AB a =，AD b = ，试以向量a ，b 为基底表示BE ，DF ；（2）若AC mBE nDF =+，求m ，n 的值；（3）求证：A ，G ，H 三点共线．【答案】（1）12BE b a =- ，23DF a b =- （2）59,24m n =-=-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的减法法则结合题意求解；（2）对AC mBE nDF =+ 结合（1）化简用a ，b 表示，而A C a b =+ ，然后列方程组可求得结果；（3）设BG BE λ= ，DG DF μ= ，由AG AB BG =+ ，AG AD DG =+ ，用用a ，b 表示，列方程组求出,λμ，从而可得12AG AH = ，进而证得结论.【小问1详解】因为在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AFFB = ，所以1122BE AE AB AD AB b a =-=-=-uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r r r ，2233DF AF AD AB AD a b =-=-=- ．【小问2详解】由（1）知12BE b a =- ，23DF a b =- ，所以12212332AC mBE nDF m b a n a b n m a m n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为A C a b =+ ，所以213112n m m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5294m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【小问3详解】12AH AB BH a b =+=+ ，设BG BE λ= ，DG DF μ= ，则()11122AG AB BG a b a a b λλλ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，又()22133AG AD DG b a b a b μμμ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭ ，所以213112μλμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124AG a b =+ ，∴111222AG a b AH ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，∴AG AH，即A ，G ，H三点共线．17.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1B C 与1BC 交于点O ，M 为线段AC 的中点，1B C AB ⊥，1222AB BC AA ===．（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（3）求三棱锥1B BOM -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）112．【解析】【分析】（1）根据线面平行判定定理证明；（2）应用面面垂直判定定理证明；（3）等体积法求三棱锥的体积.【小问1详解】连接1AB ，因为直三棱柱111ABC A B C -，1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，又11BB AA BC ==∴11BB C C 是正方形且O 为线段1B C 的中点，又M 为线段AC 中点，∴1//MO AB ，又OM ⊄平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，∴//OM 平面11ABB A ；【小问2详解】∵1BB AB ⊥，1B C AB ⊥，1111,BB B C B B C ⋂=⊂平面111,BCC B BB ⊂平面11BCC B ，∴AB ⊥平面11BCC B ，又AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11BCC B ；【小问3详解】∵M 为线段AC 中点，∴111111111111222362212B BOM M BB O A BB O BB O V V V S AB ---===⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，即三棱锥1B BOM -的体积为112．18.已知函数()π2cos cos sin26f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）关于x 的方程()f x a =在区间π[0,]2有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）不等式()204m mf x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭≥对R m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为πππ,π36⎡⎤-+⎢⎣⎦k k ，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）2（3）ππππ,ππ,π632k k k k ⎡⎤⎡⎤-+⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）先化简，再根据正弦函数的单调性求解；（2）根据函数两个不相等的实数根，结合正弦单调性及值域求参；（3）把恒成立问题转化为解三角不等式即可.【小问1详解】()333π3cos2sin2222262f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈，解得()ππππZ 36k x k k -≤≤+∈，令()ππ3π2π22πZ 262k x k k +≤+≤+∈，解得()π2πππZ 63k x k k +≤≤+∈，故函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】由（1）知函数()f x 在区间π[0,]6单调递增，在区间ππ[,]62单调递减，又()0f =π3362f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()f x 图象可知a 的取值范围是2．【小问3详解】即不等式2π3sin 20616m x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对R m ∈恒成立，有2π31π1Δ3sin 20,sin 264262x x ⎛⎫⎛⎫=+-≤-≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π22π+666k x k -+≤+≤或5ππ7π2π22π666k x k +≤+≤+解得πππ6k x k -+≤≤，或ππππ32k x k +≤≤+故x 的取值范围是ππππ,ππ,π632k k k k ⎡⎤⎡⎤-+⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．19.已知球O 半径为2，A ，B ，C ，D 是球面上的点，平面OAC ⊥平面ABC ，四边形OACD 为平行四边形．（1）证明：AB BC ⊥；（2）若AB BC =，求点O 到平面BCD 的距离；（3）求BD 与平面OAC 所成角的余弦值的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）7（3）1434⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到平行四边形OACD 为菱形，AOC 为等边三角形，则OEAC ⊥，由面面垂直得到线面垂直，故OE BE ⊥，故1BE ==，又因为1AE BE CE ===，得到AB BC ⊥；（2）求出AB BC ==BE OE ⊥，得到线面垂直，线线垂直，求出BD =，由余弦定理和同角三角函数关系得到sin 4BCD ∠=，得到△BCD 外接圆的半径，进而得到点到平面的距离；（3）作出辅助线，得到0BDE ∠为BD 与平面OAC 所成的角，设π0,2ACB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，表达出02cos sin BE θθ=，202cos CE θ=，由余弦定理求出0DE =，得到0tan BDE ∠=由基本不等式，求出线面角的正切值的最大值，从而得到余弦值的最小值为1434⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问1详解】证明：取AC 中点E ，连接BE ，OE ，OC ，因为2OA OB OC OD ====，所以平行四边形OACD 为菱形，AOC 为等边三角形，则2AC CD ==，60OAC ∠=︒，故OE AC ⊥，且OE =又平面OAC ⊥平面ABC ，平面OAC 平面ABC AC =，OE ⊂平面OAC ，所以OE ⊥平面ABC ，因为BE ⊂平面ABC ，所以OE BE ⊥，故221BE OB OE =-=，又因为1AE BE CE ===，所以,ABE BAE CBE BCE ∠=∠∠=∠，因为180ABE BAE CBE BCE ∠+∠+∠+∠=︒，所以90ABE CBE +=︒∠∠，AB BC ⊥．【小问2详解】因为AB BC =，2AC =，又AB BC ⊥，所以2AB BC ==BE AC ⊥，又3OE =1BE =，2OB =，故222BE OE OB +=，故BE OE ⊥，又AC OE E = ，,AC OE ⊂平面OAC ，所以BE ⊥平面OAC ，因为DE ⊂平面OAC ，所以BE DE ⊥，在ODE 中，OE ⊥AC ，故OE ⊥OD ，由勾股定理得222237DE OE OD =+=+=在△BDE 中，由勾股定理得2222BD BE DE +=，所以在△BCD 中，易知2222cos 24222BC CD BD BCD BC CD +-∠==-⋅⨯，则214sin 1cos 4BCD BCD ∠=-∠，记△BCD 外接圆的半径为r ，故872sin 8BD r BCD ==∠，即477r =，所以点O 到平面BCD距离7d ==．【小问3详解】作0BE AC ⊥于0E ，因为平面OAC ⊥平面ABC ，平面OAC 平面ABC AC =，0BE ⊂平面ABC ，所以0BE ⊥平面OAC ，因为0DE ⊂平面OAC ，所以00BE DE ⊥，故0BDE ∠为BD 与平面OAC所成的角，设π0,2ACB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，其中cos 2cos BC AC θθ==，0sin 2cos sin BE BC θθθ==，20cos 2cos CE BC θθ==，在0CDE 中，0120E CD ∠=︒，由余弦定理得222420002cos12044cos 4cos E D CD E C CD E C θθ=+-⋅︒=++，故0DE =，故000tan BE BDE DE ∠===≤当且仅当2tan θ=时，等号成立，143cos4BDE⎛⎫∠=≥ ⎪⎝⎭，故BD与平面OAC所成角的余弦值的最小值为1434⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.。

第二学期期末考试 高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合2{|560}A x x x =-+≥，{|0}B x x =>，则AB =（ ）A.[]2,3B.(][),23,-∞+∞C.[)3,+∞D.(][)0,23,+∞2. 某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查.如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（ ） A.8B.9C.10D.113. 若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A.12B.24C.16D.364. 两个相关变量满足如下关系：根据表格已得回归方程ˆ9.49.2yx =+，表中有一组数据模糊，请推算该数据是（ ） A.37.4B.39C.38.5D.40.55. 班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：如果校长随机地问这个班的一名学生，认为作业多的概率为（ ）A.925B.425C.13 25D.23506. 若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是（ ）A.1a b< B.2b aa b+< C.2211ab a b< D.22a a b b +<+7. 已知点E 为平行四边形ABCD 所在平面上一点且满足2DE CE =，点F 为AE 与BD 的交点，若AB a =，AD b =，则AF =（ ）A.2133a b + B.1322a b -+ C.3144a b + D.5523a b + 8. 在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（ ）A.25%B.30%C.45%D.55%附随机数表034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 10. 已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ）A.4C. D.5二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是15，下面结论正确的是（ ） A.甲不输的概率710 B.乙不输的概率45C.乙获胜的概率310D.乙输的概率1512. 已知数列{} n a 满足11a =，121n n a a n ++=+，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A.()21121n n S n a -=-⋅B.212n n S S =C.2311222n n n S S =-+D.212n n S S =+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.其中第14题第一空3分，第二空2分. 13. 已知向量()1,2AB =，()2,2BC =-，则cos ,AB BC =_______________.14. 一个棱长为a 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是_______________，球的体积是_______________.15. 甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同．．．的概率是_______________. 16. 已知数列{} n a 中，若11a =，12n n n a a +=，则n a =_______________.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在直三棱柱111 ABC A B C -中，1AB =，2BC =，3AC =，11AA =. （Ⅰ）求三棱锥1A ABC -的表面积； （Ⅱ）求1 B 到面1A BC 的距离.18.（本小题满分12分）已知{} n a 是公比 2q =，3 12a =的等比数列，其前n 项和为n S . （Ⅰ）是否存在正整数k ，使得 2020k S >；若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求()135211ni i a aa a +=++++∑.19.（本小题满分12分）在ABC 中，已知45A =︒，D 是AC 上一点，6DC =，14BC =，120BDC ∠=︒. （Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求ABD 的面积. 20.（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快递公司记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]25,35,35,45,45,55,55,65,65,75,75,85,85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？21.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-且A C ∠>∠.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）给出三个条件：①2b =；②AC 边上的中线为33m m ≤≤⎝；③2c a =试从中选出两个可以确定ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求c 的值（只需写出二个选定方案即可）.22.（本小题满分12分）已知数列{} n a 的前n 项和为 n S ，满足()12n n n a a S +=. （Ⅰ）求证：{} n a 是等差数列；（Ⅱ）已知{}n b 是公比为q 的等比数列，11a b =，221a b a =≠，记 n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）若k m b a =（,m k 是大于2的正整数），求证：()111k T m a -=-； （2）若3i b a =（i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项.佛山市南海区2019-2020学年第二学期期末考试高一数学试题参考答案2020年7月一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 14. 233a π 15. 59 16. ()122n n -四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）：因为222AB AC BC +=，所以ABC 为直角三角形，则12ABCSAB AC =⋅=. 因为直三棱柱111 ABC A B C -， 所以1A AB ，1A AC 为直角三角形，则2AB =，12AC =，111122A ABS A A AB =⋅=， 111322A CA SA A AC =⋅=，在等腰1A BC 中， 1A B 边上的高142h =，则112 172A BCS A B h =⋅=， 所以三棱锥1 A ABC -的表面积111173ABC A AB A AC A BCS SSSS+=+++=+. （Ⅱ）：因为三棱锥1 C A AB -与三棱锥11C A BB -的底面积相等()111A ABA B BS S=，高也相等（点C 到平面11ABB A 的距离）； 所以三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A B B -的体积相等. 又111113313326C A AB A ABC ABC V V S AA --===⨯⨯=， 所以111136C A B B B A BC V V --==. 设1 B 到面1 A BC 的距离为H ， 则1111336B A BC A BC V S H -==，解得217H =.18、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为312a =，2q =，所以13a =，所以()321 202021k k S -=>-，得202323k >， 所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10.（Ⅱ）数列{}21 i a +是首项为3，公比为4的等比数列.()113521341 41i i a a a a ++-++++=-141i +=-.()111114141ni i ni ni i ++===-=-∑∑∑()16413n n -=-.19.（本小题满分12分）解：（1）在BDC 中，由余弦定理得：2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠，化简得：261600BD BD +-=，解得10BD =或-16（舍去）. （2）在ABD 中，由120BDC ∠=︒，得60BDA ∠=︒，由正弦定理得sin sin BD ABA BDA=∠∠，解得AB =()sin sin ABD BAD BDA ∠=∠+∠sin 43ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 所以ABD的面积1sin 2ABDSBA BD ABD =⋅⋅∠=20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，各组的频率之和为：100.005100.00510100.0310100.015100.05a a +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 故0.6201a +=，解得0.02a =. （Ⅱ）快递公司人均每日完成快递数量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯，∴方案（1）日工资为50623236+⨯=，方案（2）日工资约为()15062445240236+-⨯=>， 故骑手应选择方案（2）.（Ⅲ）该骑手要使自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，则平均业务量应超过的75%的骑手.前五个小组的频率分别为0.05，0.05，0.2，0.3，0.2； 前四个小组的频率之和为0.050.050.20.30.6+++=； 前五个小组的频率之和为0.050.050.20.30.20.8++++=； 故该骑手的平均业务量应在区间[)65,75内. 设他的平均业务量为x ，则()0.6650.020.75x +-⨯≥，解得：72.5x ≥， 又x N *∈.故x 的最小值为73.所以，该骑手每天的平均业务量至少应达到73单.21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-，得()()()b c b c a c a +-=-，即222b ac ac =+-，由余弦定理2222cos b a c c B α=+-，得1cos 2B =， 由于0B π<<，所以3B π=.（Ⅱ）方案1，选①2b =和③2c a =，因为2b =，2c a =，可得22442a a a a =+-⨯，所以3a =3c =.方案2，②AC 边上的中线为3m m ⎛≤≤ ⎝，和③2c a =， 2222422b m a c +=+，()2222 4222b m a a +=+，222104b a m =-，2222222423b a c ac a a a a =+-=+-=， 2223104a a m =-，2247a m =.a m =，c =.方案3，选①2b =和②AC 边上的中线为m m ≤≤⎝， 由条件得2224422m a c +=+，22222a c m +=+，2422m ac =+-， 222ac m =-，()2262a c m +=-，a c + ①()2262a c m -=-，A C ∠>∠，a c -= ②①-②得c =.22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：由()12n n n a a S +=，得12n n S na na =+ ①()()111211n n S n a n a --=-+-② ①-②得：()()11210n n n a n a a ----+= ③ 故()()112320n n n a n a a -----+=④③-④得：()()()1222420n n n n a n a n a -----+-=， 即122n n n a a a --=+对任意的*n N ∈且3n ≥成立. 所以，{} n a 是等差数列. （Ⅱ）（1）设等差数列的公差为d ，则由题设得11a d a q +=，()11d a q =-，且1q ≠.由k m b a =，得()1111k b qa m d -=+-，所以()()1111k b q m d --=-，()()()()()1111111111111k k b q m d m a q T m a q q q ------====----，故等式成立.（2）（i ）证明q 为整数：由3 i b a =，得()2111b q a i d =+-，即()()211111a q a i a q =+--，移项得()()()()111111a q q a i q +-=--. 因110a b =≠，1q ≠，得 2q i =-， 故q 为整数.（ii ）证明数列{} n b 中的每一项都是数列{} n a 中的项： 设n b 是数列{} n b 中的任一项，只要讨论3n >的情形. 令()1111n b qa k d -=+-， 即()()111111n a qa k a q --=--，得1221121n n q k q q q q ---=+=++++-.因 2q i =-，当1i =时，1q =-，22n q q q -+++为-1或0，则k 为1或2；而2i ≠，否则0q =，矛盾.当3i ≥时，q 为正整数， 所以k 为正整数，从而n k b a =.故数列{}n b中的每一项都是数列{}n a中的项.11。

2023学年第二学期期末教学质量监测高一数学（试题）本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在ABC 中，3BE EC =，则AE = （ ）A. 1233AB AC +B. 2133AB AC +C. 1344AB AC +D. 3144AB AC +2. 下列的表述中，正确的是（ ）A. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行3. 若两个非零向量,a b 的夹角为θ，且满足||2||,(3)a b a b a =+⊥，则cos θ=（ ）A. 23-B. 13-C.13D.234. 有一组从小到大排列的样本数据12,,,n x x x ⋯，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ⋯，其中i i y ax b =+(1,2,,)i n =⋯，0,0a b >≠，则（ ）A. 数据231,,,n y y y -⋯的标准差不小于数据12,,,n y y y ⋯的标准差B. 数据231,,,n y y y -⋯的中位数与数据12,,,n y y y ⋯的中位数相等C. 若数据12,,,n x x x ⋯的方差为m ，则数据12,,,n y y y ⋯的方差为amD. 若数据12,,,n x x x ⋯的极差为d ，则数据12,,,n y y y ⋯的极差为ad b +5. 为了得到2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把sin y x =图象上所有的点（ ）A. 先向右平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变B. 先向右平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来2倍，纵坐标保持不变C. 先向左平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变D. 先向左平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变6. 已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,|||AO AB AC AB AO =+= ，则BA 在BC上的投影向量为（ ）A. B. 34BC u uu r C. 58BCD. BC7. 设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ+=，则（ ）A π22αβ+=B. π22αβ-=C. π22βα-=D. π22βα+=8. 通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm ）来判断降雨程度，其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位1cm 10mm =）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是（ ）的.A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量(2,),(1,3)a m b ==-，则下列说法中正确是（ ）A.若||a b +=，则4m =B. 若||||a b a b +=-，则23m =C. 若//a b ，则6m =-D. 若向量,a b的夹角为钝角，则m 的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10. 已知复数12,z z ，则下列说法中正确是（ ）A. 1212z z z z +≤+ B. 若2121z z z =，则12z z =C. 若1212z z z z -=+，则120z z = D. 若20z ≠，则1122z z z z =11. 在正三棱柱111ABC A B C -中，已知动点P 满足1BP BC BB λμ=+，[0,1],[0,1]λμ∈∈，且1AB AA =，则下列说法中正确的是（ ）A. 若1λ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值B. 若1μ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值C. 若12λμ==，则三棱锥1B AB P -的体积是三棱柱111ABC A B C -的体积的16D. 若1λμ+=，则直线AP 与平面11BB C C三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足(1i)2i z +=+，则||z =__________．13. 某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：课后阅读时长平均数（小时）方差的的男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为___________小时，方差为___________．14. 己知点,G O 在ABC 所在平面内，满足0,||||||GA GB GC OA OB OC ++===，且3AG AO ⋅=，||AG = ，则边BC 的长为___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，P 分别为CD ，11A B 的中点．（1）求证：直线//DP 平面1AB E ；（2）求点A 到平面1BB E 的距离．16. 一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：分组频数频率[)12,14100.1[)14,16x 0.15[)16,18200.2[)18,2030y [)20,2215015[)22,2450.05.[]24,2650.05合计100 1.00（1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；（2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．17. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南60︒的方向航行．（1）甲船航行3小时到达C处，求AC；（2）在A海岛西偏南60︒方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．-中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩18. 在四棱锥P ABCD形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求直线AM 与直线PB 所成角的余弦值；（3）求平面ABM 与平面PBC 所成二面角的正弦值．19. 如图，E 为线段AD 的中点，C 为DA 延长线上的一点，以A 为圆心，AE 长度为半径作半圆，B 为半圆上一点，连接BC ，BD ．（1）若2AD =，以BD 为边作正三角形BFD ，求四边形ABFD 面积的最大值；（2）在ABC 中，记BAC ABC ACB ∠∠∠，，的对边分别为a ，b ，c ，且满足2()c b b a +=①求证：2BAC ABC ∠=∠；②求4cos c bb ABC+∠的最小值．2023学年第二学期期末教学质量监测高一数学（试题）本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在ABC 中，3BE EC =，则AE = （ ）A. 1233AB AC +B. 2133AB AC +C. 1344AB AC +D. 3144AB AC +【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量运算法则逐步转换即可.【详解】33()44AE AB BE AB BC AB AC AB =+=+=+-= 1344AB AC +.故选：C2. 下列的表述中，正确的是（ ）A. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行【答案】B 【解析】【分析】对于A ，根据过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直以及线面垂直定义即可判断；对于B ，由平面概念即可判断；对于C ，由线面垂直定义即可判断；对于D ，“由过直线外一点只能作出一条直线与该直线平行”和“过所作直线的平面有无数个即可判断”.【详解】对于A ，因为过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直，而过该垂线的面有无数个，根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故A 错误；对于B ，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故B 正确；对于C ，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直，所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故C 错误；对于D ，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，而过所作直线的平面有无数个，所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故D 错误.故选：B.3. 若两个非零向量,a b 的夹角为θ，且满足||2||,(3)a b a b a =+⊥，则cos θ=（ ）A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】由()3a b a +⊥ 可得()30a b a +⋅=，再根据向量的数量积运算律和夹角公式求解即可.【详解】因为()3a b a +⊥ ，所以()30a b a +⋅=，所以230a a b +⋅= ，所以23a ab ⋅=- ，所以223cos 32aa b a b aa θ-⋅===-⋅⋅ .故选:A.4. 有一组从小到大排列的样本数据12,,,n x x x ⋯，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ⋯，其中i i y ax b =+(1,2,,)i n =⋯，0,0a b >≠，则（ ）A. 数据231,,,n y y y -⋯的标准差不小于数据12,,,n y y y ⋯的标准差B. 数据231,,,n y y y -⋯中位数与数据12,,,n y y y ⋯的中位数相等C. 若数据12,,,n x x x ⋯的方差为m ，则数据12,,,n y y y ⋯的方差为amD. 若数据12,,,n x x x ⋯的极差为d ，则数据12,,,n y y y ⋯的极差为ad b +【答案】B 【解析】【分析】对于A ，根据题意以及标准差的意义即可判断；对于B ，根据中位数定义即可判断；对于C ，由方差性质即可判断；对于D ，根据极差定义直接计算即可得解.【详解】对于A ， 因为1,2,3...,1i n y y y i n =-<<，所以根据标准差的意义可知数据231,,,n y y y -⋯的标准差小于等于数据12,,,n y y y ⋯的标准差，故A 错误；对于B ，根据中位数定义可知，数据231,,,n y y y -⋯的中位数与数据12,,,n y y y ⋯的中位数是相同数据所得，所以两组数据中位数相等，故B 正确；对于C ，若数据12,,,n x x x ⋯的方差为m ，则由方差性质得数据12,,,n y y y ⋯的方差为2a m ，故C 错误；对于D ，由题意数据12,,,n x x x ⋯的极差为1n d x x =-，所以数据12,,,n y y y ⋯的极差为()()()11n n ax b ax b a x x ad +-+=-=，故D 错误.故选：B.5. 为了得到2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把sin y x =图象上所有的点（ ）A. 先向右平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变B. 先向右平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变C. 先向左平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变D. 先向左平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变的【答案】C 【解析】【分析】根据平移变换知识即可判断.【详解】根据平移变换知识sin y x =先向左平移2π3个单位长度可得2πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得曲线横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C.6. 已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,|||AO AB AC AB AO =+=，则BA 在BC上的投影向量为（ ）A. B. 34BC u uu r C. 58BCD. BC【答案】B 【解析】【分析】由题意得出BC 为ABC 的外接圆的直径以及π6ABC ∠=，再根据投影向量的概念直接计算即可得解.【详解】因为2AO AB AC =+，所以O 为BC 边中点，所以BC 为外接圆的直径，π2BAC ∠=且OA OB OC R ===（R 为外接圆半径），又||||AB AO ==，故12AC R BC ====，所以π6ABC ∠=，则BA在BC 上的投影向量为π3cos ·cos 624BC BC BA BAC BC R BC∠=⋅=.故选：B.7. 设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ+=，则（ ）A. π22αβ+= B. π22αβ-=C. π22βα-=D. π22βα+=【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及诱导公式对题中条件进行化简，即可求得.【详解】因为1tan tan cos αββ+=，所以sin sin 1cos cos cos αβαββ+=，所以sin cos cos sin cos αβαβα+=，即()πsin sin 2αβα⎛⎫+=-⎪⎝⎭．又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2αβα+=-，即π22αβ+=或ππ2αβα++-=，即π2β=（舍去）．故选：A.8. 通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm ）来判断降雨程度，其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位1cm 10mm =）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B 【解析】【分析】计算出水桶桶中水体积，除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度，即可得解.【详解】由题桶的下底面面积为21200π10000π2S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，上底面面积2320π25600π2S ⎛⎫== ⎪⎝⎭又桶中水水面与底面距离为1305cm 50mm 6⨯==，设水面半径为r ，如图为桶的轴截面图形，则16106cm BL =-=，则30525cm MD =-=，故由BMD BLA 得2565cm 30MD BM BL LA =⨯=⨯=，故水面半径为116511cm 110mm r CD Q M ===-==，所以桶中水水面面积为21π11012100πS =⨯=所以连续24小时的桶中水的体积为(11655000π12100π10000π5033V =⨯+⨯=水，所以24小时内降水在平地上积水厚度为()1655000π321.510,2525600π≈∈，所以当天的降雨等级是中雨.故选：B.【点睛】思路点睛：先计算出水面半径，进而得水桶桶中水的体积，再除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量(2,),(1,3)a m b ==-，则下列说法中正确的是（ ）的A.若||a b +=，则4m =B. 若||||a b a b +=-，则23m =C. 若//a b ，则6m =-D. 若向量,a b的夹角为钝角，则m 的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，计算出(1,3)a b m +=+，利用模长公式列出方程，求出0m =，A 错误；B 选项，根据模长公式列出方程，求出答案；C 选项，根据平行关系列出方程，求出6m =-；D 选项，得到0a b ⋅<且,a b 不反向共线，得到不等式，求出答案.【详解】A 选项，(1,3)a b m +=+=，解得0m =，A 错误；B 选项，||||a b a b +=-=23m =，B 正确；C 选项，由题意得()2310m ⨯--=，解得6m =-，C 正确；D 选项，若向量,a b的夹角为钝角，则0a b ⋅<且,a b不反向共线，故230m -+<且230m ⨯+≠，解得23m <且6≠-m ，D 错误.故选：BC10. 已知复数12,z z ，则下列说法中正确的是（ ）A. 1212z z z z +≤+ B. 若2121z z z =，则12z z =C. 若1212z z z z -=+，则120z z =D. 若20z ≠，则1122z z z z =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于B 、C ，举反例即可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断.【详解】对于A ，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得12121212z z OZ OZ OZ OZ z z +=+≤+=+，故A 正确；对于B ，当10z =，则21210z z z ==，2z 可为任意复数，即1z 与2z 不一定相等，故B 错误；对于C ，设复数11z =、2i z =， 则1212i 1i,1z z z z -+==+-，故1212z z z z -=+=，但不满足120z z =，故C 错误；对于D ，若20z ≠，设1i z a b =+，2i,,,,R z c d a b c d =+∈，故()()()()()1222i i i i i i i a b c d ac bd bc ad z a b z c d c d c d c d +-++-+===++-+，则12z z ====又12i i z a b c d z +==-，故1122z z z z =，故D 正确.故选：AD.11. 在正三棱柱111ABC A B C -中，已知动点P 满足1BP BC BB λμ=+，[0,1],[0,1]λμ∈∈，且1AB AA =，则下列说法中正确的是（ ）A. 若1λ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值B. 若1μ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值C. 若12λμ==，则三棱锥1B AB P -的体积是三棱柱111ABC A B C -的体积的16D. 若1λμ+=，则直线AP 与平面11BB C C 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，易得点P 在1CC 上，再根据棱锥的体积公式即可判断；对于B ，易得点P 在11B C 上，再根据棱锥的体积公式即可判断；对于C ，由题意得点P 为1B C 的中点，再根据棱锥和棱柱的体积公式即可判断；对于D ，由题意可得点P 在1B C 上，取BC 的中点D ，连接,,AD DP AP ，证明AD ⊥平面11BB C C ，则APD ∠即为直线AP 与平面11BB C C 所成角的平面角，再解Rt APD 即可判断.【详解】对于A ，若1λ=，则1BP BC BB μ=+，所以1BB BP BC CP μ=-=，所以1//BB CP ，所以点P 在1CC 上，因为11//CC BB ，所以点P 到平面1ABB 的距离即为点C 到平面1ABB 的距离，为定值，而1ABB S △为定值，所以11A B AB P P BB V V --=为定值，故A 正确；对于B ，若1μ=，则1BP BC BB λ=+，所以11BC BP BB B P λ=-=，所以1//BC B P ，所以点P 在11B C 上，所以点P 到平面1ABB 的距离不是定值，因为1ABB S △为定值，所以11A B AB P P BB V V --=不是定值，故B 错误；对于C ，若12λμ==，则点P 为1B C 的中点，故111111111111122236P ABB C ABB B A C ABC A B C A BC AB B B P V V V V S BB -----====⨯⋅= ，故C 正确；对于D ，若1λμ+=，则1,,B P C 三点共线，即点P 在1B C 上，取BC 的中点D ，连接,,AD DP AP ，则AD BC ⊥，因为1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥，又11,,BC BB B BC BB =⊂ 平面11BB C C ，所以AD ⊥平面11BB C C ，所以APD ∠即为直线AP 与平面11BB C C 所成角的平面角，设正三棱柱111ABC A B C -的棱长为2，则AD =，而tan AD APD PD ∠==，要使sin APD ∠最大，则tan APD ∠要最大，则PD 最小，当1PD B C ⊥时，PD最小，此时1sin PD CD BCB =∠=，此时PA ==所以()max sin APD ∠==即直线AP 与平面11BB C C，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足(1i)2i z +=+，则||z =__________．【解析】【分析】先求出复数z ，再根据复数的模的定义直接计算即可得解.【详解】由题意()()()()2i 3i 312i 1i i 1i 2221i 1i z +-+-====-++-，故||z ==.13. 某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：课后阅读时长平均数（小时）方差男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为___________小时，方差为___________．【答案】 ①. 25.6②. 1.3【解析】【分析】将数据代入平均数公式和分层抽样方差公式进行运算.【详解】该班学生这个月的课后阅读时长平均数为2520263025.650⨯+⨯=，方差为2220[1(2525.6)]30[1.1(2625.6)] 1.350⨯+-+⨯+-=.故答案为：25.6；1.314. 己知点,G O 在ABC 所在平面内，满足0,||||||GA GB GC OA OB OC ++===，且3AG AO ⋅=，||AG = ，则边BC 的长为___________．【答案】【解析】【分析】取AB 的中点D ，先证明点G 为ABC 的重心，易得点O 为ABC 的外心，将AG用,AB AC 表示，再根据数量积的几何意义结合3AG AO ⋅=求出22AB AC + ，再根据||AG = 求出AB AC ⋅u u u r u u u r，进而可得出答案.【详解】取AB 的中点D ，则2GD GA GB =+，因为0GA GB GC ++=，所以2GD GC =- ，所以//GD GC，又G 为公共端点，所以,,C G D 三点共线，所以点G 在AB 边的中线上，且23CG CD =，同理点G 在,AC BC 边的中线上，即点G 为ABC 的重心，故()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+，因为||||||OA OB OC == ，所以点O 为ABC 的外心，即为O 为ABC 中垂线的交点，故11cos ,cos 22AO OAB AB AO OAC AC ∠=∠= ，则()()()221113336AG AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⋅=+⋅=⋅+⋅=+= ，所以2218AB AC += ，而()13AG AB AC =+，所以()22129AG AB AC =+= ，即22218AB AC AB AC ++⋅=，所以0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，所以BC ==.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合3AG AO ⋅=求出2218AB AC += ，是解决本题的关键.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，P 分别为CD ，11A B 的中点．（1）求证：直线//DP 平面1AB E ；（2）求点A 到平面1BB E 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证明四边形1B EDP 是平行四边形，进而得1//B E DP 即可得证直线//DP 平面1AB E ；（2）由11A B BE B ABE V V --=即可求解.【小问1详解】由正方体性质可知，11//B A CD 且11B A CD =，故1//B P ED ，又因为点E ，P 分别为CD ，11A B 的中点，所以1111122B P B A CD ED ===，所以四边形1B EDP 是平行四边形，所以1//B E DP ，又1B E ⊂平面1AB E ，DP ⊄平面1AB E ，所以直线//DP 平面1AB E .【小问2详解】设点A 到平面1BB E 的距离为h ，由题BE AE ====故1122222ABE S AB BC =⨯⨯=⨯⨯= ,又由正方体性质1B B ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以1B B BE ⊥，所以1111222B BE S B B BE =⨯⨯=⨯= ，所以111111114,2233333A B BE B BE B ABE ABE V S h h V S B B --=====⨯⨯= ，又11A B BE B ABE V V --=43h =⇒=，即点A 到平面1BB E 16. 一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：分组频数频率[)12,14100.1[)14,16x 0.15[)16,18200.2[)18,2030y[)20,22150.15[)22,2450.05[]24,265005合计100 1.00（1）请求出频率分布表中x ，y 的值，并画出频率分布直方图；（2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．【答案】（1）15,0.3x y ==，频率分布直方图见解析.（2）18.2x =（3）选取本年度营销总额大于175.百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.【解析】【分析】（1）根据频率与频数的关系，即可求解,x y ，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图.（2）根据平均数计算公式即可求解.（3）根据百分位数公式即可求解.【小问1详解】1000.15,301000.3x y =⨯=÷=,频率分布直方图如图所示，【小问2详解】130.1150.15170.2190.3210.15230.05250.0518.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2..【小问3详解】第40百分位数为0.40.10.1516217.50.2--+⨯=，故应选取本年度营销总额大于175.百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.17. 已知甲船在A 海岛正北方向海里的B 处，以7海里/小时的速度沿东偏南60︒的方向航行．（1）甲船航行3小时到达C 处，求AC ；（2）在A 海岛西偏南60︒方向6海里的E 处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A 海岛正东方向的D 处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A 海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE 方向航行前往救援？请说明理由．【答案】（1）AC =海里；（2）甲船能沿DE 方向航行前往救援，理由见解析.【解析】【分析】（1）在ABC 中使用余弦定理即可求得答案.（2）先根据题目所给的条件作图，在ABD △中，由tan AD AB ABC =∠求得AD 长度，在ADE V 中，先根据余弦定理求得DE 长度，再利用等面积法求得AF 长度，即可判断.【小问1详解】由题意得，AB =海里，3721BC =⨯=海里，906030ABC ︒︒︒∠=-=，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅⋅∠(2221221cos30171︒=+-⨯⨯= ，所以，AC =(海里).【小问2详解】甲船能沿DE 方向航行前往救援，理由如下：如图所示，延长BC ，过点A 向正东方向作AD 交BC 的延长线于点D ，连接DE ，过点A 作AF D E ⊥ 交DE 于点F ，ABD △中，tan 15AD AB ABC =∠==(海里)，在ADE V 中，6AE = (海里)， 18060120DAE ︒︒︒∠=-=， 由余弦定理得222222cos 1562156cos120351DE AD AE AD AE DAE ︒=+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以DE =(海里)，所以31156221122ADE AF DE S ==⨯=⨯⨯> ，因此甲船能沿DE 方向航行前往救援.18. 在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为矩形，M 是PD 的中点，且PB 与平面ABCD（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求直线AM 与直线PB 所成角的余弦值；（3）求平面ABM 与平面PBC 所成二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析在（2（3【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD ，则CD AM ⊥，再由等边三角形三线合一的性质可得AM PD ⊥，然后由线在垂直的判定定理可证得结论；（2）取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OP OE ，可证得,,OE OD OP 两两垂直，所以以O 为原点，,,OE OD OP 所在的直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；（3）求出平面ABM 与平面PBC 的法向量，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥,因为侧面PAD 为正三角形，M 是PD 的中点，所以AM PD ⊥，因为PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD ；【小问2详解】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OP OE ，因为PAD 为正三角形，所以OP AD ⊥，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ，因为,OE OD ⊂平面ABCD ，所以,OP OE OP OD ⊥⊥，因为四边形ABCD 为矩形，AD 的中点O ，BC 的中点E ，所以OE OD ⊥，所以,,OE OD OP 两两垂直，所以以O 为原点，,,OE OD OP 所在的直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，设,AB a BC b ==，因为OP ⊥平面ABCD ，所以PBO ∠为PB 与平面ABCD 所成角，所以sin POPBO PB ∠===a b =，令2a =，则1(0,1,0),(2,1,0),(0,2A B P M --,所以3(0,(2,1,2AM PB ==-，所以33cos ,AM PB AM PB AM PB --⋅==== ，所以直线AM 与直线PB【小问3详解】因为1(0,1,0),(2,1,0),(0,(2,1,0)2A B P M C --，所以3(0,(2,1,2AM PB ==- ，(2,0,0),(0,2,0)AB BC == ，设平面ABM 的法向量为111(,,)m x y z =，则11120302m AB x m AM y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =，则(0,m =- ，设平面PBC 的法向量为222(,,)n x y z = ，则22222020n PB x y n BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩，令2z =3(2n = ，所以cos ,m n m n m n ⋅=== ，设平面ABM 与平面PBC 所成二面角为θ，所以sin θ==所以平面ABM 与平面PBC．19. 如图，E 为线段AD 的中点，C 为DA 延长线上的一点，以A 为圆心，AE 长度为半径作半圆，B 为半圆上一点，连接BC ，BD ．（1）若2AD =，以BD 为边作正三角形BFD ，求四边形ABFD 面积的最大值；（2）在ABC 中，记BAC ABC ACB ∠∠∠，，的对边分别为a ，b ，c ，且满足2()c b b a +=①求证：2BAC ABC ∠=∠；②求4cos c b b ABC+∠的最小值．【答案】（12+ （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可；（2）①应用已知结合余弦定理求出边关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值.【小问1详解】设[],0,πBD t BAD αα=∠=∈，,的在ABD 中2,1AD AE AB ===，由余弦定理得214212cos 54cos t αα=+-⨯⨯⨯=-,1112sin 22ABFD ABD BDF S S S t t α=+=⨯⨯⨯+⨯⨯)2πsin sin 54cos 2sin 3αααα⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，当5π6α=时，()max 2ABFD S =+.【小问2详解】①在ABC 中，由余弦定理22222cos a b bc b c bc BAC =+=+-∠,所以2cos b c b BAC =-∠，再由正弦定理得sin sin 2sin cos ABC ACB ABC BAC ∠=∠-∠∠,()sin sin 2sin cos ABC ABC CAB ABC BAC ∠=∠+∠-∠∠,sin sin cos cos sin 2sin cos ABC ABC BAC ABC BAC ABC BAC ∠=∠∠+∠∠-∠∠,()sin cos sin sin cos sin ABC ABC BAC ABC BAC BAC ABC ∠=∠∠-∠∠=∠-∠,()sin sin ABC BAC ABC ∠=∠-∠,()()π,π,0,π,BAC ABC ABC ∠-∠∈-∠∈所以ABC BAC ABC ∠=∠-∠，2BAC ABC ∠=∠.②设2ABC BAC θθ∠=∠=，，则π3ACB θ∠=-，由正弦定理可得()sin sin 2b c θθθ=+,所以()sin 2sin b c θθθ+=,所以()()()sin 2sin 244sin 24sin 4sin sin cos cos cos sin cos b b c b b ABC b θθθθθθθθθθθθθ+++++++===∠232222sin cos2cos sin24sin sin cos sin 2cos sin 4sin cos sin 2cos 4sin cos sin cos cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ++-++-++===24cos 334cos cos cos θθθθ+==+≥=当πcos 6θθ==时，4cos c b b ABC +∠的最小值为【点睛】方法点睛：最值问题可以通过转化未知量转化为函数，结合三角函数的值域或者基本不等式求解即可.。

2023-2024学年湖北省恩施州高中教育联盟秋季学期高一年级期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列方程中不能用二分法求近似解的为( )A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，点位于第象限.( )A. 一B. 二C. 三D. 四3.下列函数中最小值为4的是( )A. B.C. 当时，D.4.已知，，，则的大小关系为( )A. B. C. D.5.函数的图象可能是( )A. B. C. D.6.已知关于x的不等式恰有三个整数解，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.7.由于疫情的影响，经济形势有所下滑，消费者的购买力明显下降，某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，有方案甲：第一次降价，第二次降价，方案乙：第一次降价，第二次降价，方案丙：两次均降价，其中，则两次降价后价格最高的方案为( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法判断8.已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.兴趣是最好的老师。

学校为了丰富学生的兴趣，成立了多个兴趣小组，其中数学学习兴趣小组发现：形如、d 不同时为的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数的图象及性质，下列表述正确的是( )A. 图象上点的纵坐标不可能为1B. 图象与x轴无交点C. 函数在区间上单调递减D. 图象关于点成中心对称10.设函数，其中表示x，y，z中的居中者．下列说法正确的有( )A. 函数只有一个最小值点B. 函数的值域为C. 函数为偶函数D. 函数在上单调递减11.若表示不超过x的最大整数，比如，，设函数，则下列说法正确的是( )A. 若，则B. 是周期函数C. 的值域为D. 方程有三个根12.已知定义在的函数满足：当时，恒有，则( )A.B. 函数在区间为增函数C.D. 函数在区间为增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。