《第17章勾股定理》期末综合复习能力提升训练1和2(附答案)八年级数学人教版下册

人教版八年级数学第十七章勾股定理综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为25 B．三角形周长为25C．斜边长为5 D．三角形面积为202. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动()A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米3. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.1、2、3B.C.D.4. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定6. 如图所示，在中，三边的大小关系是（）A. B.C. D.7. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．，，B．，，C．，，D．，，8. 已知的三边为、、，且，，，则是（）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9. 如图，梯子斜靠在墙面上，，当梯子的顶端沿方向下滑米时，梯足沿方向滑动米，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不确定10. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍二、填空题（本大题共8道小题）11. 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为，则的取值范围为12. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．13. 已知的的对边分别是，且满足，则三角形的形状是14. 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是和，那么最小的正方形的面积为15. 已知是边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是．16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形的面积之和为_______cm2.17.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为________．18. 如图，是等边中的一个点，，则的边长是.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，分别是正方形中和边上的点，且，为的中点，连接，问是什么三角形？请说明理由.ABCD7cm20. 如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？21. 已知：如图，在四边形中，，，，，．求这个四边形的面积．22. 已知为正三角形内一点，，证明：。

2021 -2021年度人教版八年级|数学下册第17章勾股定理章末综合提升训练(附答案) 1．以以下各组数为边长,能组成直角三角形的是()A．1 ,1 ,2B．2 ,3 ,4C．2 ,2 ,2D．2 ,,2．由以下条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A．∠A +∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：3：2C．a＝2 ,b＝3 ,c＝4D．(b +c ) (b﹣c )＝a23．在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a ,b ,c ,以下说法中错误的选项是() A．如果∠C﹣∠B＝∠A ,那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°,那么c2﹣a2＝b2C．如果(a +b ) (a﹣b )＝c2 ,那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°,那么AC2＝3BC24．△ABC中,AB＝7 ,BC＝24 ,AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等,那么这个距离为()A．1 B．2C．3D．45．?九章算术?是我国古代最|重要的数学著作之一,在"勾股〞章中记载了一道"折竹抵地〞问题："今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?〞翻译成数学问题是：如下图,△ABC中,∠ACB＝90°,AC +AB＝10 ,BC＝3 ,求AC的长．在这个问题中,AC 的长为()A．4尺B．尺C．尺D．5尺6．△ABC中,假设AC＝4 ,BC＝2,AB＝2 ,那么以下判断正确的选项是() A．∠A＝60°B．∠B＝45°C．∠C＝90°D．∠A＝30°7．如图,学校有一块长方形草地,有极少数人为了避开拐角走"捷径〞,在草地内走出了一条"路〞,他们仅仅少走了()米路,却踩伤了花草．A．1B．2C．5D．128．小红同学经常要测量学校旗杆的高度,她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上,当她把绳子下端拉开5m后,发现这时绳子的下端正好距地面1m ,学校旗杆的高度是()A．21m B．13m C．10m D．8m9．如图,在高3米,坡面线段AB长为5米的楼梯外表铺地毯,楼梯宽1.5米,地毯售价为40元/平方米,假设将楼梯外表铺满地毯,那么至|少需元．10．如图,长为12cm的弹性皮筋直放置在x轴上,固定两端A和B ,然后把中点C向上拉升8cm至|D点,那么弹性皮筋被拉长了．11．如图,有一个长为50cm ,宽为30cm ,高为40cm的长方体木箱,一根长70cm的木棍放入(填"能〞或"不能〞)．12．如图,△ABC中,D是AC边上的一点,AD＝9 ,BD＝12 ,BC＝13 ,CD＝5 ,那么△ABC的面积是．13．如图,∠A＝∠OCD＝90°,OA＝2 ,OD＝,AB＝BC＝CD＝1 ,那么△OBC形状．14．如图,一棵大树在一次台风中于离地面4米处折断倒下,大树顶端落在离大树底部3米处,这棵大树在折断前的高度为米．15．一架云梯长25m ,如果斜靠在墙上,梯子底端离墙7m ,梯子的顶端距离地面有m ,如果梯子的顶端下滑了4m ,那么梯子的底端在水平方向滑动了m．16．印度数学家什迦罗(1141年﹣1225年)曾提出过"荷花问题〞：平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边；渔人观看忙向前,花离原位二尺远；能算诸君请解题,湖水如何知深浅?如下图：荷花茎与湖面的交点为O ,点O距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后,荷花底端与湖面交于点B ,点B到点O的距离为2尺,那么湖水深度OC的长是尺．17．操场上有一根竖直立在地面上的旗杆,绳子自然下垂到地面还剩余2米,当把绳子拉开8米后,绳子刚好斜着拉直下端接触地面(如图① )(1 )请根据你的阅读理解,将题目的条件补充完整：如图②,Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝8米,．求AC的长．(2 )根据(1 )中的条件,求出旗杆的高度．18．提出问题：△ABC的三边长分别为记a ,b ,c ,且a＝n2﹣16 ,b＝8n ,c＝n2 +16 (n＞4 ) ,试判断△ABC的形状,并说明理由．解法展示：因为a2＝(n2﹣16 )2＝n4﹣32n2 +256 ,b2＝(8n )2＝,c2＝(n2 +16 )2＝n4 +32n2 +256 ,所以a2 +b2＝n4﹣32n2 +256 +＝n4 +32n2 +256＝c2．所以△ABC是三角形．反思交流：(1 )填空并答复上述解法用到了我们学过的哪些数学知识?写出四点；(2 )假设三角形的边长分别为2n2 +2n ,2n +1 ,2n2 +2n +1 (n＞0 ) ,请问这个三角形是直角三角形吗?说明你的理由．19．在四边形ABCD中,∠D＝90°,AD＝,CD＝2 ,BC＝3 ,AB＝5 ,求：四边形ABCD 的面积．20．如图,学校有一块三角形草坪,数学课外小组的同学测得其三边的长分别为AB＝200米,AC＝160米,BC＝120米．(1 )小明根据测量的数据,猜测△ABC是直角三角形,请判断他的猜测是否正确,并说明理由；(2 )假设方案修一条从点C到BA边的小路CH ,使CH⊥AB于点H ,求小路CH的长．21．如图,在5×5的方格纸中,每一个小正方形的边长都为1．(1 )∠BCD是不是直角?请说明理由；(2 )求四边形ABCD的面积．22．如图,在四边形ABCD中,∠B＝90°,AB＝9 ,BC＝12 ,AD＝8 ,CD＝17．求：(1 )AC的长．(2 )四边形ABCD的面积．23．如图,△ABC中,AB＝13cm ,BC＝10cm ,AD是BC的中线,且AD＝12cm ,(1 )求AC的长；(2 )求△ABC的面积．24．根据道路交通管理条例的规定,在某段笔直的公路l上行驶的车辆,限速12米/秒．测速点M到测速区间的端点A,B的距离分别为50米、34米,M距公路l的距离(即MN 的长)为30米．现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5秒,通过计算判断此车是否超速．25．如图,某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人,在平坦的操场上进行走展示．输入指令后,机器人从出发点A先向东走10米,又向南走40米,再向西走20米,又向南走40米,再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．参考答案1．解：A、12 +12≠22 ,故不是直角三角形,应选项错误；B、22 +32≠42 ,故不是直角三角形,应选项错误；C、22 +22≠22 ,故不是直角三角形,应选项错误；D、22 + ()2＝()2 ,故是直角三角形,应选项正确．应选：D．2．解：A、∠A +∠B＝∠C ,可得∠C＝90°,是直角三角形,错误；B、∠A：∠B：∠C＝1：3：2 ,可得∠C＝90°,是直角三角形,错误；C、∵22 +32≠42 ,故不能判定是直角三角形,正确；D、∵(b +c ) (b﹣c )＝a2 ,∴b2﹣c2＝a2 ,即a2 +c2＝b2 ,故是直角三角形,错误；3．解：A、∵∠C﹣∠B＝∠A ,∠A +∠B +∠C＝180°,∴∠C＝90°,故本选项正确,不符合题意．B、∵∠C＝90°,∴c2＝a2 +b2 ,∴c2﹣a2＝b2 ,故本选项正确,不符合题意．C、∵(a +b ) (a﹣b )＝c2 ,∴a2﹣b2＝c2 ,∴a2＝b2 +c2 ,∴∠A＝90°,故本选项正确,不符合题意．D、∠A＝30°,不能推出AC2＝3BC2 ,故本选项错误,符合题意．应选：D．4．解：∵△ABC中,AB＝7 ,BC＝24 ,AC＝25 ,∴AB2 +BC2＝72 +242＝252＝AC2 ,∴∠ABC＝90°,连接AP ,BP ,CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝×AB×CB＝84 ,S△ABC＝AB×x +AC×x +BC×x＝(AB +BC +AC )•x＝×56x＝28x ,那么28x＝84 ,x＝3．应选：C．5．解：设AC＝x ,∵AC +AB＝10 ,∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∴AC2 +BC2＝AB2 ,即x2 +32＝(10﹣x )2．解得：x＝4.55 ,即AC＝4.55．6．解：∵△ABC中,AC＝4 ,BC＝2,AB＝2 ,∴42＝(2)2 +22 ,即AC2＝BC2 +AB2 ,∴△ABC是直角三角形,且∠B＝90°,∵sin C＝＝＝,∴∠C＝30°,∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．应选：A．7．解：由题意可得,直角三角形的斜边为：＝5 ,那么他们仅仅少走了3 +4﹣5＝2 (米)．应选：B．8．解：如图,AB＝AC ,CD⊥BD ,CH⊥AB ,CD＝1米,CH＝5米,设AB＝AC＝x米．在Rt△ACH中,∵AC2＝AH2 +CH2 ,∴x2＝52 + (x﹣1 )2 ,∴x＝13 ,∴AB＝13 (米) ,应选：B．9．解：如下图：在Rt△ABC中,由勾股定理可知：BC＝＝4米．地毯的总长＝BC +AC＝4 +3＝7米．地毯的面积＝7×1.5＝10.5平方米．地毯的总价＝40×10.5＝420元．故答案为：420元．10．解：根据题意得：AD＝BD ,AC＝BC ,AB⊥CD ,那么在Rt△ACD中,AC＝AB＝6cm ,CD＝8cm；根据勾股定理,得：AD＝＝＝10 (cm )；所以AD +BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣12＝8 (cm )；即橡皮筋被拉长了8cm；故答案为：8cm．11．解：可设放入长方体盒子中的最|大长度是xcm ,根据题意,得x2＝502 +402 +302＝5000 ,702＝4900 ,因为4900＜5000 ,所以能放进去．故答案是：能．12．解：∵BD＝12 ,BC＝13 ,CD＝5 ,CD2 +BD2＝25 +144＝169 ,BC2＝169 ,∴CD2 +BD2＝BC2 ,∴BD⊥AC (勾股定理的逆定理) ,∴△ABC的面积＝AC•BD＝×(9 +5 )×12＝84．故答案为：84．13．解：∵∠A＝∠OCD＝90°,OA＝2 ,OD＝,AB＝BC＝CD＝1 ,∴在Rt△BAO中,由勾股定理得：OB＝＝,在Rt△DCO中,由勾股定理得：OC＝＝,∴OB2 +BC2＝OC2＝6 ,∴∠OBC＝90°,故答案为：直角三角形．14．解：设这棵大树在折断之前的高度为x ,根据题意得,42 +32＝(x﹣4 )2 ,∴x＝9或x＝﹣1 (舍)∴这棵大树在折断之前的高度为9米,故答案为9 ,15．解：水平方向为7米,且梯子长度为25米,那么在梯子与底面、墙面构成的直角三角形中,梯子顶端与地面距离为＝24 ,故答案为24；(2 )设梯子的底部在水平方向滑动了x米那么(24﹣4 )2 + (7 +x )2＝252(7 +x )2＝252﹣202＝225∴7 +x＝15x＝8 ,即梯子在水平方向移动了8米,故答案为8．16．解：设水深x尺,那么荷花茎的长度为x +0.5 ,根据勾股定理得：(x +0.5 )2＝x2 +4解得：x＝3.75．答：湖水深3.75尺．故答案为：3.75．17．解：(1 )AB比AC长2米．故答案为：AB比AC长2米；(2 )设AC＝x米,那么AB＝(x +2 )米,在Rt△ABC中,由勾股定理得：x2 +82＝(x +2 )2 ,解得：x＝15 ,x +2＝17．答：旗杆的高度为15m ,升旗用的绳子的长度为17m．18．解：(1 )因为a2＝(n2﹣16 )2＝n4﹣32n2 +256 ,b2＝(8n)2＝64n2,c2＝(n2 +16 )2＝n4 +32n2 +256 ,所以a2 +b2＝n4﹣32n2 +256 +64n2＝n4 +32n2 +256＝c2．所以△ABC是直角三角形．解法中用到的数学知识有：积的乘方法那么,等量代换,合并同类项的法那么,勾股定理的逆定理；(2 )这个三角形是直角三角形．理由如下：∵三边长为2n2 +2n ,2n +1 ,2n2 +2n +1 (n＞0 ) ,∴(2n2 +2n )2＝4n4 +8n3 +4n2 ,(2n +1 )2＝4n2 +4n +1 ,(2n2 +2n +1 )2＝4n4 +4n2 +1 +8n3 +4n2 +4n＝4n4 +8n3 +8n2 +4n +1 ,∴(2n2 +2n )2 + (2n +1 )2＝4n4 +8n3 +8n2 +4n +1 ,∴(2n2 +2n )2 + (2n +1 )2＝(2n2 +2n +1 )2 ,故三边长为2n2 +2n ,2n +1 ,2n2 +2n +1 (n＞0 )的三角形是直角三角形．故答案为64n2 ,64n2 ,直角．19．解：∵连接AC ,如下图：∵∠D＝90°,AD＝,CD＝2 ,∴AC＝＝4．∵BC＝3 ,AB＝5 ,22 +42＝52 ,∴△ABC是直角三角形,∠ACB＝90°,∴S四边形ABCD＝S△ACD +S△ABC＝××2 +×4×3＝2+6．20．解：(1 )正确,理由：在△ABC中,AB＝200米,AC＝160米,BC＝120米,∵AC2 +BC2＝1602 +1202＝2002＝AB2 ,即AC2 +BC2＝AB2 ,∴△ABC是直角三角形；(2 )∵CH⊥AB ,∴S△ABC＝AB•CH ,由(1 )知,△ABC是直角三角形,∵∠ABC＝90°,∴S△ABC＝AC•BC ,∴AB•CH＝AC•BC ,即160×120＝200CH ,解得：CH＝96 ,答：小路CH的长为96m．21．解：(1 )∠BCD是直角,理由如下：连接BD ,如下图．∵BC＝＝2,CD＝＝,BD＝＝5 ,∴BC2 +CD2＝BD2 ,∴∠BCD为直角．(2 )S四边形ABCD＝5×5﹣×4×2﹣×2×1﹣1×1﹣×4×1﹣×5×1 ,＝25﹣4﹣1﹣1﹣2﹣,＝．22．解：(1 )在Rt△ABC中,∵∠B＝90°∴AC＝＝15；(2 )∵152 +82＝172 ,∴AD2 +AC2＝DC2 ,∴∠DAC＝90°,∴S四边形ABCD＝S△ABC +S△DAC＝AB•BC +DA•AC＝＝114．23．解：(1 )∵D是BC的中点,BC＝10cm ,∴DC＝BD＝5cm ,∵BD2 +AD2＝144 +25＝169 ,AB2＝169 ,∴BD2 +AD2＝AB2 ,∴△ABD是直角三角形,且∠ADB＝90°,∴△ADC也是直角三角形,且AC是斜边,∴AC2＝AD2 +DC2＝AB2∴AC＝13cm．(1 )∵AB＝AC＝13 ,BD＝CD ,∴AD⊥BC ,由勾股定理得：AD＝＝12 ,∴S△ABC＝BC•AD＝×10×12＝60 ,答：△ABC的面积是60cm2．24．解：∵在Rt△AMN中,AM＝50 ,MN＝30 ,∴AN＝＝40米,∵在Rt△MNB中,BM＝34 ,MN＝30 ,∴BN＝＝16米,∴AB＝AN +NB＝40 +16＝56 (米) ,∴汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2 (米/秒) ,∵11.2米/秒＜12米/秒,∴此车没有超速．25．解：如下图：过点A作AC⊥CB于C ,那么在Rt△ABC中,AC＝40 +40＝80 (米) ,BC＝70﹣20 +10＝60 (米) ,故终止点与原出发点的距离AB＝＝100 (米) ,答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．。

2021年度人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》章末综合课后提升作业题（附答案）1．在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，DC＝2，则BD等于（）A．2B．4C．6D．82．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．9B．36C．27D．343．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC4．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A．B．C．D．5．下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a2+b2＝c2C．a：b：c＝2：2：3D．∠A：∠B：∠C＝1：2：36．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．4或5B．4或7C．4或5或7D．4或7或97．如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．8B．10C．64D．1368．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．B．0.8C．3﹣D．9．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+10．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（）A．B．C．15D．211．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm212．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96B．49C．24D．4813．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④14．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，23 15．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A．5、12、23B．6、8、10C．2、3、4D．4、5、616．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC的长为（）A．13B．12C．9D．817．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm18．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形19．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14B．13C．14D．1420．如图，Rt△ABC中，∠C＝90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D 重合，若BE＝4，则AC的长为．21．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为．22．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是．23．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为m．24．如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是m．25．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm 到D，则橡皮筋被拉长了cm．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于点E，则△BED的周长为．27．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．28．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a ＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．29．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C三点在一条直线上），利用这个图形，求证：a2+b2＝c2（2）当a＝1，b＝2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．①请在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形．写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：；写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标：，这样的点有个．30．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．31．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？32．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB＝30°，试证明；DC2+BC2＝AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形）33．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．34．已知：在△ABC中，CD⊥AB于D，且CD2＝AD•BD．求证：△ABC总是直角三角形．35．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．36．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（本题可根据需要，自己画图并解答）37．在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm．求△ABC的面积．38．在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．39．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且AD2﹣DC2＝BC2．（1）求证：∠C＝90°；（2）若AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长．40．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．41．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．42．有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？43．如图，把一块三角形（△ABC）土地挖去一个直角三角形（∠ADC＝90°）后，测得CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米．求剩余土地（图中阴影部分）的面积．44．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？45．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．46．（1）已知在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝5，则△ABC的形状为．（直接写出结果）（2）试在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上．（每个小方格的边长为1）47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．48．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠ADC＝150°，四边形ABCD的周长为32．（1）求∠BDC的度数；（2）四边形ABCD的面积．49．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．50．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？参考答案1．解：∵AB＝AC＝10，CD＝2，∴AD＝10﹣2＝8，∵BD是AC边上的高，∴∠BDA＝90°，由勾股定理得：BD＝＝＝6，故选：C．2．解：根据题意得：小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45，45﹣9＝36．故选：B．3．解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B．4．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：A、∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∵22+22≠32，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；故选：C．6．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，∵D为BC中点，∴BD＝2cm，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝tcm，BE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，当∠EDB＝90°时，则有AC∥ED，∵D为BC中点，∴E为AB中点，此时AE＝4cm，可得t＝4；当∠DEB＝90°时，∵∠DEB＝∠C，∠B＝∠B，即，解得t＝7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；综上可知t的值为4或7或9，故选：D．7．解：由勾股定理得，AC2+CD2＝AD2，则字母B所代表的正方形的面积＝CD2＝AC2﹣AD2＝100﹣36＝64，故选：C．8．解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，又∵CE＝3，故选：C．9．解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，则根据勾股定理知OB＝＝＝，∴OA＝OB＝，∴a＝﹣1﹣．故选：A．10．解：过P作PE⊥x轴，连接OP，∵P（﹣2，3），∴PE＝3，OE＝2，∴在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2＝PE2+OE2，∴OP＝＝，则点P在原点的距离为．故选：B．11．解：∵a+b＝14∴（a+b）2＝196∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96∴ab＝24．故选：A．12．解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10＝14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2＝100，解得x＝6或8，所以面积为6×8÷2＝24．故选：C．13．解：①∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，故本选项正确；②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，故本选项正确；③由2xy+4＝49可得2xy＝45①，又∵x2+y2＝49②，∴①+②得，x2+2xy+y2＝49+45，整理得，（x+y）2＝94，x+y＝≠9，故本选项错误；④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4××xy+4＝49，即2xy+4＝49；故本选项正确．∴正确结论有①②④．故选：C．14．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．15．解：A、因为52+122≠232，故不能作为直角三角形三边长度；B、因为62+82＝102，故能作为直角三角形三边长度；C、因为22+32≠42，故不能作为直角三角形三边长度；D、因为42+52≠62，故不能作为直角三角形三边长度．故选：B．16．解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC＝＝＝9，故选：C．17．解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC＝24cm，CB＝32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB＝＝40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选：C．18．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．19．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF＝＝14．故选：D．20．解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE＝BE．得∠A＝∠ABE根据折叠，得∠ABE＝∠CBE再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°∴CE＝BE＝2则AC＝4+2＝6．21．解：如图，连接BD，∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，根据勾股定理得，BD＝5，在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•BD＝×3×4+×12×5＝36．故答案为：36．22．解：∵正方形A的边长为，∴S A＝37，根据勾股定理的几何意义，得x+10+（8+y）＝S A＝37，∴x+y＝37﹣18＝19，即x+y＝19．故答案为x+y＝19．23．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，∴AB＝12．∴旗杆的高12m．故答案是：12．24．解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10（米）．所以大树的高度是10+6＝16（米）．故答案为：16．25．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．26．解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴由勾股定理可得，Rt△ABC中，AC＝6，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（AAS），∴CD＝ED，AE＝AC＝6，又∵AB＝10，∴BE＝4，∴△BED的周长＝BD+CD+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝8+4＝12，故答案为：12．27．解：分两种情况：①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD＝，AD＝1，∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC＝＝＝2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．28．解：（1）作AM⊥BC于M，∵△ABC的面积为84，∴×BC×AM＝84，解得，AM＝8，即BC边上的高为8；（2）①在Rt△ABM中，BM＝＝6，∴CM＝BC﹣BM＝15，在Rt△ACM中，AC＝＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，则a＝BE＝12；当EA＝EB＝a时，ME＝a﹣6，在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，即82+（a﹣6）2＝a2，解得，a＝，则当△ABE时等腰三角形时，a的值为10或12或．29．解：（1）由图可得，×（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，整理得＝，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．（2）一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（﹣1，0）；一个满足条件的在y轴上的点的坐标：（0，2+），这样的点有4个．故答案为：（﹣1，0）；（0，2+），4．30．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．31．解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，解得x＝8．∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．32．（1）解：∵直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形．（2）证明：连接CE，∵BC＝BE，∠CBE＝60°∴△CBE为等边三角形，∴∠BCE＝60°又∵∠DCB＝30°∴∠DCE＝90°∴△DCE为直角三角形∴DE2＝DC2+CE2∵AC＝DE，CE＝BC∴DC2+BC2＝AC233．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．34．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴在RT△ACD中，根据勾股定理，得AC2＝AD2+CD2，在RT△ACD中，根据勾股定理，得BC2＝CD2+BD2，∴AC2+BC2＝AD2+2CD2+BD2＝AD2+2AD•BD+BD2＝（AD+BD）2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴△ABC总是直角三角形．35．解：根据题意得；AC＝30海里，AB＝40海里，BC＝50海里；∵302+402＝502，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴180°﹣90°﹣35°＝55°，∴乙船的航行方向为南偏东55°．36．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4 cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4÷2＝2s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，解得t＝s．综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．（2）①当BP＝BA＝5时，∴t＝2.5s．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，∴t＝4s．③当PB＝P A时，PB＝P A＝2t cm，CP＝（4﹣2t）cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，解得t＝s．综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝2.5s或4s或s．37．解：（1）如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12在Rt△ACD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴CD＝5，在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴BD＝9，∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14，△ABC的面积：×BC×AD＝×14×12＝84；（2）钝角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴CD＝5，在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴BD＝9，∴BC＝DB﹣CD＝9﹣5＝4．△ABC的面积：×BC×AD＝×4×12＝24；综上所述：△ABC的面积为84cm2或24cm2．38．解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，∴CD2+AD2＝CA2，∴△△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴BD＝＝16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴△ABC的面积＝×25×12＝150；（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，设AD为x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，则132﹣x2＝202﹣（x+11）2，解得：x＝5，∴CD＝＝＝12，∴△ABC的面积＝•AB•CD＝×11×12＝66．39．（1）证明：连接BD，∵AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，∴AD＝BD，∵AD2﹣DC2＝BC2，∴BD2﹣DC2＝BC2，即DC2+BC2＝BD2，∴∠C＝90°；（2）解：∵AC＝16，CD：AD＝3：5，∴CD＝6，AD＝10，∵AD＝BD，∴BD＝10，在Rt△DCB中，由勾股定理得：BC＝＝＝8．40．解：由题意得：OA＝12，OB＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵∠DOA＝60°，∴∠COB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°．41．解：连接AC．由勾股定理可知AC＝＝＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝＝24（m2）．42．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，故小鸟至少飞行10m．43．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．答：剩余土地（图中阴影部分）的面积为：96米2．44．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°；根据勾股定理，得BC＝＝＝12，∴BD＝12+2＝14（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．45．解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°．在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，AC＝＝＝13．∵BC＝13，∴AC＝BC．∵CE⊥AB，AB＝10，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．在Rt△CAE中，CE＝＝＝12．∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．46．解：（1）在△ABC中，∵AB＝，AC＝，BC＝5，∴AB2+AC2＝5+20＝25＝BC2，∴△ABC为直角三角形．（2）如图所示：故答案为：直角三角形．47．解：（1）如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝5．（2）∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8﹣x，故62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝8﹣＝．48．解：（1）∵AB＝AD＝8cm，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵∠ADC＝150°∴∠BDC＝150°﹣60°＝90°；（2）∵△ABD为正三角形，AB＝8cm，∴其面积为××AB×AD＝16，∵BC+CD＝32﹣8﹣8＝16，且BD＝8，BD2+CD2＝BC2，解得BC＝10，CD＝6，∴直角△BCD的面积＝×6×8＝24，故四边形ABCD的面积为24+16．49．解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根据勾股定理得AB＝500米，∵AB•CD＝BC•AC，∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．50．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15km．（6分）所以，E应建在距A点15km处31。

2020-2021学年人教版数学八年级下册第十七章-勾股定理综合练习一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为()A. 5B. 6C. 7D. 82.已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为()A. 9B. 12C. 15D. 183.下列已知三角形的三边长，其中为直角三角形的是()A. 2，4，6B. 4，6，8C. 6，8，10D. 10，12，144.如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是()A. 5米B. 6米C. 7米D. 8米5.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M为()A. 2B. √5−1C. √10−1D. √56.如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是()A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π7.如图，P为第一象限的角平分线上一点，且OP=2，则点P的坐标是()A. (−√2,√2)B. (√2,√2)C. (2,√2)D. (√2,2)8.如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90∘，AC=BC=3，则B′C的长为()A. 3√3B. 6C. 3√2D. √219.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处.若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°10.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=13，b=14，c=15；②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25；⑤a=2，b=2，c=4．A. 2B. 3C. 4D. 511.如图，字母B所代表的正方形的面积是()A. 12cm2B. 15cm2C. 144cm2D. 306cm212.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，BD平分∠ABC，E是BD上一点，且BE=2，M，N分别是BC，BD上的动点，则EM+ MN+NC的最小值是A.√29B. 5√3−2C. √21D. 3√3+2二、填空题13.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为_______．14.如图所示，在高3米，斜边长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少为米．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=．16.如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6.则∠ACD=______度．17.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．18.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=9尺，BC=3尺，则AC=________尺．三、计算题19.已知直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中两边a，b满足√a+2b−7+(3a−2b+5)2=0，求第三边长c的值．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12，BC=5，求BD的长．21.为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．(1)求出空地ABCD的面积．(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？22.如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90∘，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；(2)如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？23.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域(1)求∠ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE=CF=250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？参考答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】C 10.【答案】A 11.【答案】C 12.【答案】A 13.【答案】13或√11914.【答案】715.【答案】216.【答案】4517.【答案】518.【答案】419.【答案】解：∵√a +2b −7+(3a −2b +5)2=0，∴√a +2b −7=0，(3a −2b +5)2=0， ∴{a +2b −7=03a −2b +5=0，解得，{a =12b =134，∵a ，b ，c 为直角三角形的三边长， ∴c =√a 2+b 2=√(12)2+(134)2=√1734．20.【答案】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =12，BC =5， ∴AB =√122+52=13，∵12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ∴CD =12×513=6013，∴BD =√52−(6013)2=2513．21.【答案】解：(1)连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=32+42=52， 在△CBD 中，CD 2=132，BC 2=122， 而122+52=132， 即BC 2+BD 2=CD 2， ∴∠DBC =90°，则S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC =12⋅AD ⋅AB +12DB ⋅BC =12×4×3+12×12×5=36； (2)所以需费用36×200=7200(元)．22.【答案】解：(1)在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2.5，BC =0.7，根据勾股定理得AC =√AB 2−BC 2=2.4(米)， 答：此时梯子的顶端A 距地面的高度是2.4米；(2)∵在Rt △A ′B ′C 中，A ′C =AC −AA ′=2.4−0.9=1.5(米)，A ′B ′=2.5(米)， ∴B ′C =√A ′B ′2−A ′C 2=2(米)， ∴B ′B =B ′C −BC =2−0.7=1.3(米)， ∴梯子的顶端B 在水平方向上向右滑动了1.3米．23.【答案】解：(1)∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，(2)海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240(km)，∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；(3)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，∵ED=√EC2−CD2=70(km)，∴EF=140km，∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20=7(小时)．答：台风影响该海港持续的时间为7小时．。

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——高斯人教版八年级数学第17章勾股定理综合训练一、选择题1. 下列说法正确的是（）A. 若a b c，，是ABC∆的三边，则222a b c+=B. 若a b c，，是Rt ABC∆的三边，则222a b c+=C. 若a b c，，是Rt ABC∆的三边，90A∠=︒，则222a b c+=D. 若a b c，，是Rt ABC∆的三边，90C∠=︒，则222a b c+=2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A.433B. 4 C. 8 3 D. 4 33. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. 7,24,25B. 312,412,512C. 3,4,5D. 4,712,8124. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③22222m n m n mn+-，，（m n，均为正整数,m n>）；④2a,21a+,22a+.其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④5. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，GH D．AB，CD，EF6. 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC BC AC BC⊥=，，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）C．x y<D．不确定CBA7. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定8. 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）c baC BAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<9. 如图所示，底边BC 为23，顶角A 为120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于D ，则△ACE 的周长为( ) A . 2＋2 3 B . 2＋ 3 C . 4 D . 3 310. 已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )A . 32B . 332C . 32D . 不能确定二、填空题 11. 如图，在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 的中点，若∠A ＝40°，则∠BCE ＝________.12. 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为13. 已知ABC ∆的A B C ∠∠∠，，的对边分别是a b c ，，，且满足()22220a b a b c -++-=，则三角形ABC 的形状是14. 如图,点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC OA 交OB 于点C .若60,4AOB OC ∠==,则点P 到OA 的距离PD 等于__________.PODC BA15. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．16. 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）6817. 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为18. 已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．GFED CB A三、解答题 19. 如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，=10BC ，=8AC ，求DE 的长.ED CBA20. 如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AB AC =，E 、F为BC 上的点，且45EAF ∠=︒，求证：222EF BE FC =+．F E CB A21. 如图1，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+．⑴ 如图2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）⑵ 如图3，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、3S表示，请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明．ABC S 1S 3S 2图3ABC S 1S 3S 2图2图1S 2S 3S 1CBA22. 在ABC ∆中，90,,A AB AC D ∠==为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD +=.CBA人教版 八年级数学 第17章 勾股定理 综合训练-答案一、选择题 1. 【答案】D 2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】B5. 【答案】B6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】C9. 【答案】A10. 【答案】B二、填空题 11. 【答案】50°12. 【答案】2.3cm13. 【答案】等腰直角三角形 14.【答案】15. 【答案】1016. 【答案】大于17. 【答案】601318.【答案】n三、解答题19. 【答案】4【解析】设DE x =.由AE BC ⊥于点E 可知: 22222AB BE AE AC CE -==-.又∵12=10=8==5AB BC AC BD CD =，，，，∴222212585x x -+=--（）（）， 解得=4x ，即4DE =.20. 【答案】过点A 作线段AD ，使CAF BAD ∠=∠，且AD AF =．DF ECB A在ACF ∆和ABD ∆中，AC AB CAF BAD AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF ABD ∆∆≌ ∴CF BD =，DBA FCA ∠=∠90DBE DBA ABE FCA ABE ∠=∠+∠=∠+∠=︒在ADE ∆和AFE ∆中，45AE AE EAF EAD AD AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADE AFE ∆∆≌ ∴ED EF =在Rt BDE ∆中，222DE BD BE =+，∴222EF BE FC =+．21. 【答案】设Rt ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则222c a b =+ ．⑴ 123S S S =+ ．⑵ 123S S S =+．证明如下：显然，21S，22S，23S ，∴222231)S S a b S +=+==． 点评：分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用1S 、2S 、3S 表示，则123S S S =+．22. 【答案】将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90，得ACD '∆.D'DCBA∴,,AD AD BD CD BAD CAD '''==∠=∠. ∵90,A AB AC ∠==，∴45B ACB ACD '∠=∠=∠=，90DAD '∠=. ∴90DCD '∠=， ∴222DD AD '=.∴22222CD CD DD AD ''+==，即2222BD CD AD +=.一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，若AB＝3，AD＝5，则EC的长为（）A．1 B．53C．32D．432、下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．13，14，153、若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（）A．4、6、8 B．3、4、5C．5、12、13 D．1、34、如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．D．65、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（）A．20 B．27 C．25 D．496、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（）A．64 B．16 C．8 D．47、如图，OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（）A．﹣1.5 B C D．﹣28、下列长度的线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，6 B．3，4，5 C．6，8，9 D．5，12，149、下列命题属于假命题的是（）A．3，4，5是一组勾股数B．内错角相等，两直线平行C．三角形的内角和为180°D．9的平方根是310、若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（）A．B C．D．10第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D，E，F均落在格点上．（Ⅰ）BAF∠的大小为________（度）；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画一条直线把这个六边形ABCDEF分成面积相等的两部分，并简要说明画法（不要求证明）________________．2、一个直角三角形的两边长为3和6，则第三边的边长是_______________．3、若Rt⊿ABC的三边为a，b，c，斜边c= 2，则22a b+=________4、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．5、如图，在Rt ABC中，∠A是直角，AB=3，AC=3，则BC的长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知a，b，c满足|a c2＝0（1）求a，b，c的值；并求出以a，b，c为三边的三角形周长；（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．2、生态兴则文明兴，生态衰则文明衰．“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续改善生态环境．如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知∠A＝90°，AB＝AD＝米，BC＝10米，CD＝8米，已知每平方米的改造费用为200元，请问改造该区域需要花费多少元？3、图①、图②、图③都是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上．分别在图①、图②、图③中以AB为边画一个等腰三角形，使该三角形的第三个顶点在格点上，且该顶点的位置不同．4、如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．5、如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．（1）求∠B的度数；（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．---------参考答案-----------一、单选题1、D【分析】由翻折可知：AD＝AF＝5．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝5，DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．在Rt△ABF中，BF4，∴CF＝BC−BF＝5−4＝1，在Rt△EFC中，EF2＝CE2＋CF2，∴（3−x）2＝x2＋12，∴x＝43，∴EC＝43．故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．2、C【分析】先计算两条小的边的平方和，再计算最长边的平方，根据勾股定理的逆定理判断解题．【详解】解：A.222≠，不是直角三角形，故A不符合题意；1+23B. 2224+56≠，不是直角三角形，故B不符合题意；C. 2225+12=13，是直角三角形，故C不符合题意；D. 222≠，不是直角三角形，故D不符合题意，13+1415故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；D、12+32=2，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4、A【分析】=米，根据勾股定理用含x的代数式表示y，进而列出方程，解方程得到答案．设CD x=米，BD y【详解】解：设CD x =米，BD y =米，在Rt BCD 中，222BD BC CD =-，即2224y x =-，在Rt BAD 中，222BD AB AD =-，即222(4)y x =-+，22224(4)x x ∴-=-+，解得：2x =，即2CD =米，故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理列出方程．5、B【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，四边形EFGH ，四边形MNKT 是正方形，得出CG ＝KG ，CF ＝DG ＝KF ，再根据S 1＝（CG +DG ）2，S 2＝GF 2，S 3＝（KF ﹣NF ）2，S 1+S 2+S 3＝3GF 2，即可求解．【详解】解：在Rt △CFG 中，由勾股定理得：CG 2+CF 2=GF 2，∵八个直角三角形全等，四边形ABCD ，四边形EFGH ，四边形MNKT 是正方形，∴CG =KG =FN ，CF =DG =KF ，∴S 1=（CG +DG ）2=CG 2+DG 2+2CG •DG=CG 2+CF 2+2CG •DG=GF 2+2CG •DG ， S 2=GF 2，S 3=（KF -NF ）2，=KF2+NF2-2KF•NF=KF2+KG2-2DG•CG=FG2-2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为3，∴GF2=9，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．6、C【分析】根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．【详解】解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，8，∴字母A故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7、C【分析】利用勾股定理求得线段OB的长，结合数轴即可得出结论．【详解】解：OB∵OA＝OB，∴OA∴数轴上点A故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴，勾股定理．利用勾股定理求得线段OB的长度是解题的关键．8、B【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】解：A、32+42≠62，故此选项不符合题意；B、32+42＝52，故此选项符合题意；C、62+82≠92，故此选项不符合题意；D、52+122≠142，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是理解如果三角形的三边长为a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．9、D利用勾股数的定义、平行线的判定、三角形的内角和及平方根的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、3，4，5是一组勾股数，正确，是真命题，不符合题意；B、内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；C、三角形的内角和为180°，正确，是真命题，不符合题意；D、9的平方根是±3，故原命题是假命题，符合题意．故选：D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义、平行线的判定、三角形的内角和及平方根的定义，难度不大．10、C【分析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用勾股定理的知识求出高．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，①当三边是6、6、8时，底边上的高AD②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．二、填空题1、90 连接AE 与BF 交于点O ，连接BD ，CE 交于点P ，过点O ，P 作直线l ．【分析】（1）运用勾股定理求出AF ，AB ，BF 的长，再运用勾股定理逆定理判断出ABF ∆是直角三角形即可得出结论；（2）连接AE 与BF 交于点O ，连接BD ，CE 交于点P ，过点O ，P 作直线l ，则可得结论．【详解】解：（1）连接BF ，如图，由勾股得，22222222215,125,21310AF AB BF =+==+==+=∵222AF AB BF +=∴ABF∆是直角三角形∴90BAF∠=︒故答案为：90；（2）连接AE与BF交于点O，连接BD，CE交于点P，过点O，P作直线l，如图，则直线l即为所求．【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．2、【分析】由于这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．【详解】解：分两种情况：；（1）3、6（2）3为直角边，6故答案为：【点睛】此题考查的知识点是勾股定理，关键要明确本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．3、4【分析】根据勾股定理得出a2+b2=c2，把c=2代入求出即可．【详解】解：∵根据勾股定理得：a2+b2=c2，∵c=2，∴a2+b2=22=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中．两直角边的平方和等于斜边的平方．4、120【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．【详解】解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．【点睛】本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．5、【分析】根据勾股定理可直接进行求解．【详解】解：在Rt ABC中，∠A是直角，AB=3，AC=3，∴BC=；故答案为【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题1、（1）a=b=5，c==5+；（2）不能构成直角三角形，理由见解答．【分析】（1）由非数的性质可分别求得a、b、c的值，进而解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可．【详解】解：（1）∵|a＋（c2＝0．∴a，b-5=0，c，∴a b=5，c∴以a，b，c为三边的三角形周长（2）不能构成直角三角形，∵a2+c2=8+18=26，b2=25，∴a2+c2≠b2，∴不能构成直角三角形．【点睛】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．2、改造该区域需要花费6600元．【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明90∠=︒，从而解决问题．BDC【详解】解：如图，连接BD，在Rt ABD △中，由勾股定理得，6BD （米)，222268100BD CD +=+=，2100CB =，222BD CD CB ∴+=，90BDC ∴∠=︒，ΔΔ11689243322ABD BDC ABCD S S S ∴=+=⨯⨯⨯=+=四边形（平方米）， 200336600∴⨯=（元)，∴改造该区域需要花费6600元．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．3、见解析【分析】由于AB =5，只能画出以AB 为腰的等腰三角形．【详解】由于AB=5，则只能画出以AB为腰的等腰三角形，所画图如图①、图②、图③（答案不唯一）【点睛】本题考查了网格中勾股定理的应用，等腰三角形的判定，关键是勾股定理的应用．4、【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE＝∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长．【详解】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6．∠B＝∠C＝90°，∴∠ADE＝∠CED，∵ED平分∠AEC，∴∠AED＝∠CED，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE＝10，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE8，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，在Rt△DCE中，根据勾股定理，得DE设点A到DE的距离为h，则12AD•CD＝12DE•h，∴h＝答：点A到DE的距离为【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义三角形面积公式及勾股定理是解题关键．5、（1）∠B＝90°；（2）P、Q两点之间的距离为13cm【分析】（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．【详解】解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，∴AB2+BC2＝625＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），Rt△BPQ中，13cmPQ===，∴P、Q两点之间的距离为13cm．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出∠B＝90°．。

勾股定理 章末练习一、单选题1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（）A 2B ．2C ．2D ．无法确定2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．143．如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（ ）A ．0＜h ≤11B ．11≤h ≤12C ．h ≥12D ．0＜h ≤124．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =3．设AB 长是m ，下列关于m 的四种说法：①m 是无理数；②m 可以用数轴上的一个点来表示；③m 是13的平方根；④23m <<．其中所有正确说法的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④5．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，设每个小方格的边长都为1段有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．如图，长方形ABCD 中，4AB BC ==，点E 是DC 边上的动点，现将BCE 沿直线BE 折叠，使点C 落在点F 处，则点D 到点F 的最短距离为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28．若实数m 、n 满足0m =，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（）．A ．5BC ．5D ．以上都不对9．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ）A ．2mB ．2.5cmC ．2.25mD ．3m10．如图，在四边形ABCD 中，已知//AD BC ，90,45,BCD ABC BD ∠=︒∠=︒平分ABC ∠．若1CD =cm ，则AC 等于（ ）A cmBC ．2 cmD ．3 cm 11．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得12BC AB =；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）A ．5-B ．5-C ．10-D ．512．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S …按照此规律继续下去，则2017S 的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．201412⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．201512⎛⎫ ⎪⎝⎭13．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积是（ ）A ．1或4B ．4C ．1D ．2或414．如图，分别以Rt ABC 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边6AB =，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．6B ．12C ．16D ．1815．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．D 16．如图，等边△ABC 的边长为2，AD 是BC 边上的高，则高AD 的长为（ ）A B C ．1D 17．如图，等腰ABC 中，5AB AC ==，8BC =，AD AC ⊥交BC 于点D ，则AD 的值为（ ）A ．125B ．154C ．5D ．20318．如图，在ABC 中，90C ︒∠=，2AC =，点D 在BC 上，ADC 2B ∠=∠，AD =BC 的长为（ ）A 1-B 1C 1D 1+二、填空题19．三角形的三边长分别为23，则该三角形最长边上的中线长为_______20．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，32AC =，24BC =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则AE 的长是__________．21．如图，已知ABC ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，AC 的垂直平分线交AC 于F ，交BC 于G ，若3BE =，4EG =，12BC =，则ABC 的面积为______．22．已知在ABC 中，45ABC ︒∠=，AB =，1BC =，且以AB 为边作等腰Rt ABD ，90ABD ︒∠=，连结CD ，则CD 的长为________．23．如图，在四边形ABCD 中，AD =，AB =10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．三、解答题24．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是2cm ，高是3cm ．（1）小明想在长方体盒子里插入一根细木棒，求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）在长方体盒子外表面的A 点有一只蚂蚁，若它想吃到E 点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？25．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q 、R 处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？26．如图所示，在ABC 中，20AB =，12AC =，16BC =，把ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上．（1）判断ABC 的形状．（2）求重叠部分（阴影部分）的面积．27．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺=10寸），则AB 的长是多少?28．在四边形ABCD 中，已知5,2AB AD CD ===．BC =，90A ∠︒＝．（1）求BD 的长．（2）ADC ∠的度数．参考答案1．B解：如图①，作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，∵∠ACB=90°， ∴12CF AB AB =≠， 又在Rt △ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，,AD BC ∴≠∴满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则,2,CE AE a BE a ===在Rt △BCE 中∠BCE=90°，∴,BC ==在Rt △ABC 中，,AB ===∴AC ：BC ：AB=22a =2．C解：DE 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，ACD ∆ 的周长为17，17AC CD AD ∴++=，17AC CD DB AC BC ∴++=+=，5AC = ，17512BC ∴=-=，由勾股定理得，13AB ==，3．B 解：当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大＝24﹣12＝12cm ．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．4．C解：∠ACB=90°，AC=2，BC=3，AB=，故①②③正确，34，故④错误，5．B解：设喷头在点P，则A(6，0)，B（3，0）；C（3，3）；D（4.5；1.5）；P（14，0）则AP=14-6=8m<10m，故A需调整；BP=14-3=11m>10m，故B不需调整；=，不需调整；=<10m，故D需调整；6．D解：，是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF7．B解：连接DB ，DF ，在△FDB 中，DF+BF ＞DB ，由折叠的性质可知，FB=CB=4，∴当F 在线段DB 上时，点D 到点F 的距离最短，在Rt △DCB 中，8BD ==，此时DF=8-4=4，8．C解：∵0m =，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=，9．A解：在直角△ABC 中，AC ＝1.5m ．AB ﹣BC ＝0.5m ．设水池的深度BC ＝xm ，则AB ＝（0.5+x ）m ．根据勾股定理得出：∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴1.52+x 2＝（x +0.5）2，解得：x ＝2．10．B解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD，∵CD＝1，∴DE＝1，∵AD∥BC，∠ABC＝45°，∴∠EAD＝∠ABC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE＝1，∴AD，∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC==，11．A解：∵BC⊥AB，AB=10，CE＝BC=11105 22AB=⨯=，∴==∴AD=AE=AC-CE=5-，12．C解： 正方形ABCD的边长为2，CDE∆为等腰直角三角形，222DE CE CD ∴+=，DE CE =，221S S S ∴+=．观察，发现规律：2124S ==，21122S S ==，32112S S ==，431122S S ==，⋯，31(2n n S -∴=．当2017n =时，2014201611(3(22S =-=．13．B解：3和5为两条直角边长时，小正方形的边长=5-3=2，∴小正方形的面积22=4；14．D解：在Rt △AHC 中，AC 2=AH 2+HC 2，AH=HC ，∴AC 2=2AH 2，∴，同理：，在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，AB=6，S 阴影=S △AHC +S △BFC +S △AEB =12HC•AH+12CF•BF+12AE•BE ，即22211112224++=(AC 2+BC 2+AB 2)14=(AB 2+AB 2)12=AB 22162=⨯18=．15．C解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4，∴AC ==；16．B解：∵等边△ABC 的边长为2，AD 是BC 边上的高，∴∠ADC =90°，BD=CD =12BC =1，由勾股定理得：AD ==，17．B解：由题意，作AE ⊥BC 于E ，如图在等腰ABC 中，线段AE 是中线，∵8BC =，5AB AC ==，∴4CE =，∴3AE ===，在直角三角形ADE 中，有22229AD AE DE DE =+=+，在直角三角形ACD 中，有222CD AD AC =+，即22(4)25DE AD +=+，联合两式，解得：94DE =，154AD =，18．D解：∵∠C ＝90°，AC ＝3，AD =∴CD ，∵∠ADC ＝2∠B ，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∴∠B ＝∠BAD ，∴DB ＝AD =∴BC ＝BD ＋CD 19．32解：由题知222293+==，∴三角形是直角三角形，3是斜边长，∴最长边上的中线长为32；20．25解：连接BE ，∵AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，∴AE ＝BE ，设AE ＝x ，则BE ＝x ，EC ＝AC−AE ＝32−x ，∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝32，BC ＝24，∴x 2＝242＋（32−x ）2，解得：x ＝25，21．18解：连接AE 、AG∵DE 垂直平分AB ，∴3AE BE ==，∵FG 垂直平分AC ，∴AG CG =，∵3BE =，4EG =，12BC =，∴5CG AG ==，在AEG ∠中，29AE =，216EG =，225AG =，∴AEG △为直角三角形，∴AE BC ⊥，∴111231822ABC S BC AE =⋅=⨯⨯=△．225解：若点C 和点D 在AB 的同侧时，如下图所示，延长BC 交AD 于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=AB =∠DBC=∠ABD －∠ABC=45°∴6=，∠DBC=∠ABC∴BE ⊥AD ，BE 是AD 的中线∴BE=DE=12AD=3∴CE=BE －BC=2在Rt △CDE 中，=若点C 和点D 在AB 的两侧时，如下图所示，过点D 作DE ⊥CB 交CB 延长线于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=AB =∠DBE=180°－∠ABD －∠ABC=45°∴△EDB 为等腰直角三角形，DE=BE∵DE 2＋BE 2=BD 2∴2DE 2=(2解得：DE=3∴BE=3∴CE=BE ＋BC=4在Rt △CDE 中，5=；综上：或5．23．+24解：连结BD ，∵90BAD ∠=︒，∴BD =∵AD =，AB =，∴BD=6，∵BD 2=36，CD 2=64，BC 2=100，BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，S △ABD =12⨯=，S △BDC =168242⨯⨯=，四边形ABCD 的面积是= S △ABD + S △BDC =+2424．（1cm ；（2）5cm解：（1=（cm ）；AE==（cm）；（2）将长方体的正面和右侧面展开，如图，5将长方体的上底面和右侧面展开，如图，AE==cm）；将长方体的正面和下底面展开，如图，AE==cm）．>，5∴它爬行的最短距离是5cm．25．“海天”号沿北偏西40°方向航行．解：根据题意可知，PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），因为QR=30，242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90°．由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS=50°．因此∠RPS=∠QPR－∠QPS=90°－50°=40°，即“海天”号沿北偏西40°方向航行．26．（1）直角三角形；（2）36解：（1）∵20AB =，12AC =，16BC =，则222121620+=，即满足222AB BC AC =+，∴△ABC 是直角三角形；（2）设CD =x ，∵在△ABC 中，AB =20，AC =12，BC =16，把△ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，∴BD =B ′D =16-x ，B ′C =AB -AC =20-12=8，∠DCB ′=90°，∴在Rt △DCB ′中，CD 2+B ′C 2=DB ′2，∴x 2+82=（16-x ）2，解得：x =6，∴重叠部分（阴影部分）的面积为：12×6×12=36．27．101寸解：取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，如图2所示：由题意得：OA=OB=AD=BC ，设OA=OB=AD=BC=r 寸，则AB=2r （寸），DE=10寸，OE=12CD=1寸，∴AE=（r -1）寸，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2=AD 2，即（r -1）2+102=r 2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．28．（1）BD =（2）135°解：(1)∵90A ∠=︒，5AB AD ==．∴45ADB ∠=︒在Rt ABD △中，由勾股定理得：222225550BD AB AD =+=+=∴BD =(2)∵24CD =，(2254BC ==，250BD =∴222+BD CD BC =∴△BCD 是直角三角形，∴90BDC ∠=︒∴9045135ADC ∠=︒+︒=︒。

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》章末综合测试题一．选择题（共10小题，满分30分）1．判断下列各组数能作为直角三角形三边的是（）A．3，4，6B．4，5，7C．2，3，D．7，6，2．已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于（）A．10B．14C．4.8D．2.43．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6B．7C．8D．94．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是9、16、1、9，则最大正方形E的边长是（）A．35B．C．70D．无法确定5．下面的三角形中：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③△ABC中，a：b：c＝5：12：13；④△ABC中，三边长分别为，其中，直角三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，分别以数轴的单位长度1和2为直角边长作Rt△OBC，然后以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交数轴于点A，那么点A所表示的数为（）A．B．1+C．+2D．3.27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（）A．2B．3C．4D．58．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿直插到离岸边6米远的水底，竹竿高出水面2米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A．7m B．8m C．9m D．10m9．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和3（m＜3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+6m+9＝0B．m2﹣6m+9＝0C．m2+6m﹣9＝0D．m2﹣6m﹣9＝0 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．或B．或12或4C．或或12D．或12或4二．填空题（共6小题，满分18分）11．若一个直角三角形的两直角边长分别是1、2，则第三边长为．12．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．13．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为．14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为．15．如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端A距离地面的距离AO为4m，底端B远离墙的距离BO为3m，当它的顶端A下滑2m时，底端B在地面上水平滑行的距离是m．16．如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为（用含a的代数式表示）三．解答题（共8小题，满分52分）17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边．（1）如图1，已知：a＝7，c＝25，求b；（2）如图2，已知：c＝25，a：b＝4：3，求a、b．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12，BC＝5，求BD的长．19．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）△ABC的周长为；（2）∠ABC＝度；（3）△ABC的面积为．20．某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行20nmile，“海天”号每小时航行15nmile，它们离开港口两个小时后，“远航”号到达A处，“海天”号到达B处，A，B相距50nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？21．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．22．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？23．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．（1）如图1，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿CB匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇．设点P的速度为xcm/s．则点Q的速度可以表示为cm/s（用含x的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，两点在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持原速度不变，沿B→A→C的路径匀速运动，如图2．两点在AC边上点D处再次相遇后停止运动．又知AD＝1cm．求点P原来的速度x的值．24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形（直接写出结果）？参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A、∵32+42≠62，∴不能作为直角三角形三边；B、∵42+52≠72，∴不能作为直角三角形三边；C、∵22+（）2≠32，∴不能作为直角三角形三边；D、∵62+（）2＝72，∴能作为直角三角形三边．故选：D．2．【解答】解：∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，设三角形最长边上的高是h，根据三角形的面积公式得：×6×8＝×10h，解得h＝4.8．故选：C．3．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，故选：C．4．【解答】解：正方形A、B、C、D的面积分别是9、16、1、9，由勾股定理得，正方形G的面积为：9+16＝25，正方形H的面积为：1+9＝10，则正方形E的面积为：25+10＝35，最大正方形E的边长＝，故选：B．5．【解答】解：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B，即∠C+∠B＝∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③∵△ABC中，a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故③正确；④∵△ABC中，三边长分别为，∴（）2+（）2≠（）2，即△ABC不是直角三角形，故④错误；即正确的个数是3个，故选：C．6．【解答】解：∵Rt△OBC中，OC＝2，OB＝1，∴BC＝＝，∵以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交数轴于点A，∴BA＝BC＝，∴OA＝1+，∴点A所表示的数为1+，故选：B．7．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C．8．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝6m．AB﹣BC＝2m．设河深BC＝xm，则AB＝2+x（m）．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2∴62+x2＝（x+2）2解得：x＝8．即河水的深度为8m，故选：B．9．【解答】解：如图，m2+m2＝（3﹣m）2，2m2＝32﹣6m+m2，m2+6m﹣9＝0．故选：C．10．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．①当BP＝BA＝13时，∴t＝s．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，∴t＝12s．③当PB＝P A时，PB＝P A＝t cm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得t＝s．综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝s或12s或s，故选：C．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和2，∴斜边＝＝，故答案为．12．【解答】解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×π×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．13．【解答】解：由题意得，OB＝6，OA＝8，∴AB＝＝10，则AC＝10，∴OC＝AC﹣OA＝2，∴点C坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．14．【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，由作图可知：MN是AB的垂直平分线，∴O是AB的中点，∴CO＝AB＝，故答案为：．15．【解答】解：∵∠C＝90°，AO＝4m，BO＝5m，∴AB＝＝5m；∵梯子的顶端A下滑2m，∴OA′＝4﹣2＝2m，∴OB′＝＝＝（m），∴BB′＝B′C﹣BC＝﹣3（m）．∴底端B在地面上水平滑行的距离是（﹣3）m．16．【解答】解：如图，设AC＝x，则BC＝AD＝a+x，∵∠ADC＝30°，∴AD＝AC，∴a+x＝x，∴x＝，∴AC＝，∴图中阴影部分面积＝4×AC2＝4××（）2＝（2+）a2．故答案为：（2+）a2．三．解答题（共8小题）17．【解答】解：（1）b＝，（2）设a＝4x，b＝3x，可得：c＝＝5x＝25，解得：x＝5，所以a＝20，b＝15．18．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∵AB•CD＝AC•BC∴CD＝＝，∴BD＝＝．19．【解答】解：（1）AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝5，△ABC的周长＝2++5＝3+5；（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）△ABC的面积为2×÷2＝5．故答案为：3+5；90；5．20．【解答】解：如图所示：由题意得：P A＝2×20＝40（nmile），PB＝2×15＝30（nmile），AB＝50nmile，∵402+302＝502，∴P A2+PB2＝AB2，∴△P AB是直角三角形，∴∠APB＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴“海天”号沿西北方向或东南方向航行．21．【解答】解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理，得x2+92＝（x+3）2，解得：x＝12；答：旗杆的高度为12米22．【解答】解：（1）连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝•AC•BC﹣AD•CD，＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．（2）需费用96×200＝19200（元）．23．【解答】解解：（1）设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x＝4÷y，∴y＝x，故答案为：x；（2）AC＝＝5，CD＝5﹣1＝4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，由题意得＝，解得：x＝（cm/s），经检验x＝是原方程的根，答：点P原来的速度为cm/s．24．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴AC＝cm，故答案为：3；（2）如图，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝4，∴AD＝5﹣4＝1，设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴12+y2＝（3﹣y）2，解得y＝，∴CP＝，∴t＝；当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝；综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或；（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中点，即AP＝AB＝，∴t＝；②如图，当P在AB上且AP＝CA＝3时，t＝；③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝，∴Rt△ACD中，AD＝，∴AP＝2AD＝，∴t＝；④如图，当P在BC上且AC＝PC＝3时，BP＝4﹣3＝1，∴t＝＝3．综上所述，当t＝或或或3s时，△ACP为等腰三角形．。

人教版八年级数学下册期末复习第十七章勾股定理的综合习题一．选择题（共6小题）1．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+BC2＝AB2B．AB2+BC2＝AC2C．AC2﹣BC2＝AB2D．AC2+AB2＝BC22．在下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5B．7，24，25C．4，5，6D．1，√2，23．下列命题中，逆命题不正确的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形对应角相等D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50B．16C．25D．415．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF=4√3，则QM+QN的长是（）A．4√3B．3√2C．4D．2√36．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B 位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（）A．（√2+√6）海里B．2√3海里C．（√3+1）海里D．2√2海里二．填空题（共6小题）7．在平面直角坐标系中，O为原点，点M（﹣4，3）到原点的距离是．8．已知三角形的两条较短边的长分别为6和8，当第三边的长为时，此三角形是直角三角形．9．已知命题“全等三角形的面积相等．”写出它的逆命题，该逆命题是命题（填“真”或“假”）．10．某人从A处出发沿北偏东30°方向走了100米到达B处，再沿北偏西60°方向走了100米到达C处，则他从C处回到A处至少要走米．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB，BC，AC为边在AB同侧作正方形ABMN，正方形ACDE和正方形BCFG，其中线段DE经过点N，CF与BM交于点P，CD与MN交于点Q，图中阴影部分的面积为．12．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为．三．解答题（共6小题）13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．（1）若a ＝5，b ＝10，求c 的值．（2）若c =54，b ＝1，求a 的值．14．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）如果a ＞b ，那么ac ＞bc ；（3）两个锐角的和是钝角．15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边BC 上的高，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，求AD 的长．16．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的13时，则梯子比较稳定，现有一长度为9m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5m 高的墙头吗？17．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，已知四边形ABCD 的周长为30．（1）求CD 的长；（2）求四边形ABCD 的面积．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝20，BC ＝15，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，设点D 运动的时间为t 秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t 的值．人教版八年级数学下册期末复习第十七章 勾股定理的综合习题参考答案一．选择题（共6小题）1．A ．2．B ．3．C ．4．A ．5．C ．6．A ．二．填空题（共6小题）7．5．8．10．9．面积相等的三角形是全等三角形；假．10．100√2．11．13．12．2√2．三．解答题（共6小题）13．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝10，求c 的值．（2）若c =54，b ＝1，求a 的值．【解答】解：（1）由勾股定理知：c 2＝a 2+b 2＝52+102＝125．则c ＝5√5．（2）由勾股定理知：a 2＝c 2﹣b 2＝（54）2﹣12=916．则a =34．14．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）如果a ＞b ，那么ac ＞bc ；（3）两个锐角的和是钝角．【解答】解：（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题，如：三角形三边可看作为两条直线被第三条直线所截，则同旁内角不互补；（2）如果a ＞b ，那么ac ＞bc 是假命题，如：当c ＝0，则ac ＝bc ；（3）两个锐角的和是钝角是假命题，如：20°和30°的和为锐角．15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边BC 上的高，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，求AD 的长．【解答】解：∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ，∴BD ＝CD ＝3cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD =√AB 2−BD 2=4cm ．16．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的13时，则梯子比较稳定，现有一长度为9m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5m 高的墙头吗？【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的13，且梯子的长度为9米， ∴梯子底端离墙约为梯子长度为9×13=3米， ∴梯子的顶端距离地面的高度为√92−32=√72=6√2，∵6√2＜8.5，∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．答：它的顶端不能到达8.5m 高的墙头．17．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，已知四边形ABCD的周长为30．（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）连接BD∵AB＝AD，∠A＝600，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝6，∠ADB＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠BDC＝90°，∵四边形ABCD周长为30，∴BC+CD＝18，设CD＝x，则BC＝18﹣x，在Rt△BCD中，62+x2＝（18﹣x）2，∴x＝8，∴CD＝8；（2）过点D作DE⊥AB于E，∵AB＝6，∴AE＝BE＝3，∴DE=3√3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD=12×6×3√3+12×6×8，＝9√3+24．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t 的值．【解答】解：（1）由勾股定理得：AC=2+AB2=√152+202=25，当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；（2）△CBD能为直角三角形，理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，∵S△ABC=12×BC×AB=12×AC×BD，∴BD=AB×BCAC=20×1525=12，由勾股定理得：CD=√BC2−BD2=√152−122=9，所以t=92=4.5，②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，t=252=12.5，∴t的值是4.5或12.5。

人教版八年级下册第17章《勾股定理》章末综合测试满分100分班级__________姓名__________成绩__________一．选择题（共10小题，30分）1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6B．5，7，12C．3，5，D．1，，2．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（）A．3B．C．D．13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．474．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．1B．﹣1C．1﹣D．5．若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（）A．6B．7C．9D．126．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．37．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝1：2：3C．∠A＝∠B＝2∠C D．a＝1，b＝2，c＝8．下列说法正确的是（）A．一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是组勾股数C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则另一边的长度一定是49．如图，一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动了（）米A．4B．6C．8D．1010．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米B．5米C．6米D．7米二．填空题（共8小题，24分）11．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式．12．已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝．14．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．15．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝°．16．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为．17．观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝，b＝，c＝．18．现有两根长6分米和3分米的木条，小华想再找一根木条为老师制作一个直角三角形教具，则第三根木条的长度应该为分米．三．解答题（共8小题，46分）19．（5分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，求△ABC的面积．20．（5分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝13，BD＝12，CD＝．（1）求AD的长；（2）求△ABC的周长．21．（5分）勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多，你能验证它吗？请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的方法并写出验证过程．22．（5分）如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．23．（6分）平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则A、B两点之间的距离可表示为|AB|＝；在平面直角坐标系中．（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为．（2）若点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），求E、F两点之间的距离．24．（6分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）25．（6分）如图，有一块等腰三角形草地，测得腰CA＝CB，AB＝6米，腰比底边上的高多1米，现在园艺师想更换一下草坪，已知每平方米草坪售价200元，请你帮园艺师计算一下全部更换草坪需要少资金？26．（8分）如图，已知∠MAN＝30°，点B在射线AM上，且AB＝6，点C在射线AN上．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有个；（3）设BC＝x，当△ABC唯一确定时，直接写出x的取值范围．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6B．5，7，12C．3，5，D．1，，【解答】解：A、∵52+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵52+72≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+（）2≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵12+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；故选：D．2．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（）A．3B．C．D．1【解答】解：点A的坐标为（2，﹣1）到原点O的距离：OA＝＝．故选：C．3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．47【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，故选：D．4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．1B．﹣1C．1﹣D．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴BC＝＝，∴AC＝，即|A﹣1|＝，故点A表示1﹣．故选：C．5．若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（）A．6B．7C．9D．12【解答】解：如图：AB＝AC＝13，BC＝10．△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC；∴BD＝DC＝BC＝5；Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5；由勾股定理，得：AD＝＝＝12．故选：D．6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．7．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝1：2：3C．∠A＝∠B＝2∠C D．a＝1，b＝2，c＝【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形；B、∵12+22≠32，∴△ABC不是直角三角形；C、∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝75°，∠C＝37.5°，∴△ABC不是直角三角形；D、∵12+（）2＝22，∴△ABC是直角三角形．故选：D．8．下列说法正确的是（）A．一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是组勾股数C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则另一边的长度一定是4【解答】解：A、一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形，正确，符合题意；B、因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意；C、∵122+352≠362，∴三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形错误，不符合题意；D、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则另一边的长度是4或，故错误，不符合题意，故选：A．9．如图，一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动了（）米A．4B．6C．8D．10【解答】解：在直角△ABC中，已知AB＝25米，BC＝7米，∴AC＝＝＝24米，在直角△CDE中，已知CE＝CE+EA＝24米，DE＝AB＝25米，AE＝4米，∴CE＝AC﹣AE＝20米，∴CD＝＝＝15米，∴BD＝15﹣7＝8米故云梯底端B在水平方向滑动了8米，故选：C．10．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米B．5米C．6米D．7米【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选：D．二．填空题（共8小题）11．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式c2＝a2+b2．【解答】解：依题意得：ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），整理，得c2＝a2+b2．故答案是：c2＝a2+b2．12．已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝5．【解答】解：∵P（3，2）和Q（﹣1，5），∴PQ＝，故答案为：513．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9．【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．故答案为：9．14．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为．15．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝135°．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝45°，∴∠APB＝135°．故答案为：135．16．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为30．【解答】解：∵52+122＝169＝132，∴△ABC是直角三角形，S阴影＝π（）2+π（）2﹣[π（）2﹣×5×12]＝30．故答案为：30．17．观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．【解答】解：∵当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．18．现有两根长6分米和3分米的木条，小华想再找一根木条为老师制作一个直角三角形教具，则第三根木条的长度应该为3或3分米．【解答】解：第三根木条的长度应该为或分米；故答案为：3或3．三．解答题（共8小题）19．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，求△ABC的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，∴BD＝CD＝5cm，AD⊥BC，由勾股定理得：AD＝＝12（cm），∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×10×12＝60（cm2）．20．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝13，BD＝12，CD＝．（1）求AD的长；（2）求△ABC的周长．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝＝5；（2）在Rt△ADC中，AC＝＝2，则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+12++2＝25++2．21．勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多，你能验证它吗？请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的方法并写出验证过程．【解答】解：则由图形可知：（a+b）2﹣4×ab＝a2+b2+2ab﹣4×ab＝c2，整理得：a2+b2＝c2．答案不唯一．22．如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD ﹣DC＝1．求DC的长．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．∵AD＝AC，AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，DE＝CE．∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BE．在Rt△ABE中，AB＝4，∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（4）2，∴BE＝4，∴BD+DC＝4．又∵BD﹣DC＝1，∴DC+1+DC＝4，∴DC＝2．23．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则A、B两点之间的距离可表示为|AB|＝；在平面直角坐标系中．（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为5．（2）若点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），求E、F两点之间的距离．【解答】解：（1）∵O为原点，∴O坐标为（0，0），∵点C的坐标为（3，4），∴CO＝＝5，故答案为：5；（2）∵点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），E、F两点之间的距离可表示为|EF|＝，∴EF＝＝＝10．24．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10（米），∴AD＝＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米．25．如图，有一块等腰三角形草地，测得腰CA＝CB，AB＝6米，腰比底边上的高多1米，现在园艺师想更换一下草坪，已知每平方米草坪售价200元，请你帮园艺师计算一下全部更换草坪需要少资金？【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC，∴AD＝AB＝3，∵腰比底边上的高多1米，∴AC＝CD+1，∵AC2＝AD2+CD2，∴（CD+1）2＝32+CD2，解得：CD＝4，∴S△ABC＝AB•CD＝×6×4＝12（m2），∴全部更换草坪需要12×200＝2400（元），答：全部更换草坪需要2400元资金．26．如图，已知∠MAN＝30°，点B在射线AM上，且AB＝6，点C在射线AN上．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有3个；（3）设BC＝x，当△ABC唯一确定时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）当∠ABC＝90°时，∵∠A＝30°，∴BC＝，∴设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得36+x2＝4x2，解得x＝2，x＝﹣2（舍去）．∴AC＝4，当∠ACB＝90°时，∵∠A＝30°∴BC＝，∴AC＝3．（2）如图3，当AC＝BC时，满足题意．如图4，当AC＝AB时，满足题意．如图3，当AB＝BC时，满足题意．故答案为：3．（3）当BC≥6或BC＝3时，△ABC唯一确定．即x＝3或x≥6．。