高数B上课程期末练习试卷(一)

大一高数b期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. 2x2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. π/2D. 23. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^2+1D. y=x^3-14. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C5. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用（）。

A. lim(x→0) (x^2/x) = lim(x→0) (2x/1) = 0B. lim(x→0) (1/x) = lim(x→0) (0/0) = 1C. lim(x→0) (sin(x)/x) = lim(x→0) (cos(x)/1) = 1D. lim(x→0) (x^3/x^2) = lim(x→0) (3x^2/2x) = 06. 函数f(x)=x^3-3x的极值点是（）。

A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=27. 以下哪个选项是正确的二重积分计算（）。

A. ∬(1/(x^2+y^2)) dxdy = πB. ∬(1/(x^2+y^2)) dxdy = 2πC. ∬(x^2+y^2) dxdy = πD. ∬(x^2+y^2) dxdy = 4π8. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开（）。

A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的计算（）。

高等数学b1期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限是：A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在答案：D2. 设 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处可导，则下列说法正确的是：A. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处连续B. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处不可导C. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处不连续D. \( f'(a) \) 不存在答案：A3. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 \) 的导数是：A. \( 3x^2 + 6x - 9 \)B. \( 3x^2 + 6x + 9 \)C. \( x^2 + 6x - 9 \)D. \( 3x^2 + 6x - 9 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的切线方程是：A. \( y = 4x - 4 \)B. \( y = 4x + 4 \)C. \( y = 4x - 8 \)D. \( y = 4x + 8 \)答案：C6. 级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) 的和是：A. 1B. \( \frac{1}{2} \)C. 0D. 无穷大答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的极值点是 \( \boxed{0} \)。

2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 \( \boxed{\frac{1}{x}} \)。

大一高数b1期末考试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A解析：将x=2代入函数f(x) = x^2 - 4x + 4，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0。

2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B解析：根据洛必达法则，当x趋近于0时，sin(x)/x的极限等于cos(x)/1的极限，即1。

3. 计算定积分∫(0,1) x^3 dx。

A. 1/2B. 1/4D. 1/6答案：C解析：定积分∫(0,1) x^3 dx = (1/4)x^4 |(0,1) = (1/4)(1^4)- (1/4)(0^4) = 1/4 - 0 = 1/4。

4. 判断函数y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1在x=2处的凹凸性。

A. 凹B. 凸C. 不确定D. 无凹凸性答案：B解析：求导得到y' = 3x^2 + 6x - 9，再求二阶导数y'' = 6x + 6。

在x=2处，y''(2) = 6*2 + 6 = 18 > 0，所以函数在x=2处为凸。

5. 求级数∑(1,∞) (1/n^2)的和。

A. 1B. 2C. π^2/6D. e答案：C解析：级数∑(1,∞) (1/n^2)是一个p-级数，其中p=2 > 1，根据p-级数的收敛条件，该级数收敛，其和为π^2/6。

6. 求函数y = ln(x)的导数。

B. xC. e^xD. 1答案：A解析：根据自然对数的导数公式，y' = (ln(x))' = 1/x。

7. 判断函数f(x) = x^2 - 6x + 8在区间[2,4]上的单调性。

A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：B解析：求导得到f'(x) = 2x - 6。

一、填空题（每题3分）1、x x f -=11)(，则=))((x f f ，=)))(((x f f f 。

2、已知3111lim 30-=-+→x kx x ，则=k 。

3、若)(x f 在0x x =可导，且x x f x a x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000=)(340x f '，则=a 。

4、1112++=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x f ，则)(x f '= 。

5、设)1ln()(20+=⎰x dt t f x ，则)2(f '= 。

6、若)(x f 满足)()0()(x g x f x f ++=，且0)(lim 0=→xx g x ，则)0(f '= 。

7、=⎰ππ-xdx 5sin 。

8、方程0)()(=+-'x q y x p y 的通解是 。

9、在极坐标下，由曲线)(,,β<αβ=θα=θ，),(1θρ=ρ),(2θρ=ρ（)()(21θρ<θρ）围成的平面图形的面积A= 。

10、⎰∞-∞→=+a t ax x dt te x)11(lim ，则=a 。

二、计算题（每题7分） 1、⎪⎭⎫⎝⎛+-=112x x f y ，且2sin )(x x f ='，求dy2、求曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点)1,0(的法线方程。

3、⎰+xx e dx e 1 4、⎰+10dx e xe x 5、{}⎰-3432,,1max dx x x 6、计算⎰-10)1(x x dx7、求y x y y x -='+)(的通解 8、求二阶方程xe y y 24=-''的通解 三、已知曲线)0(,>=a x a y 与x y ln=在点),(00y x 处有公切线，求（1）常数a 与切点),(00y x 。

（5分） （2）曲线与x 轴所围的几何图形的面积。

（4分） （3）该图形饶x 轴旋转所成的旋转体的体积。

高数b1大一期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：C2. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在[0,2]上是增函数，则c的取值范围是：A. c≥0B. c≤0C. c≥4D. c≤4答案：C3. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A5. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(x)在(1,2)内有唯一的零点，则该零点是：A. 1B. 2C. 3/2D. 1/2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，f(1)=____。

答案：22. 函数y=ln(x)的导数是y'=____。

答案：1/x3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则数列{an}的通项公式为an=____。

答案：2^(n-1)4. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程是y=____。

答案：3x-25. 设函数f(x)=x^3-3x+1，f'(x)=____。

答案：3x^2-3三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间(1,2)内的零点。

答案：令f(x)=0，解得x=3/2，所以零点为3/2。

2. 求曲线y=x^3-3x+1在点(1,1)处的切线方程。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3，代入x=1得到f'(1)=0。

切点为(1,1)，所以切线方程为y=1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x-1)/x。

答案：令f(x)=(e^x-1)/x，求导得到f'(x)=e^x/x-(e^x-1)/x^2。

高数B(上)试题及答案1一、判断题（每题2分；共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续；则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续；则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点；则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡；则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分；共24分） 1. 设2)1(x x f =-；则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。

3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=；则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠；当(0)f =0时；)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数；(1)1f '=；21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；则=')1(F 1.三、计算题（每题6分；共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n→+∞+++ . 解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim1cos x x x xx →-+=- （2分） 02sin cos limsin x x x xx→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++； （2分）123123y y x x x '=+++++； （2分） 故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x=++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos ln sin y x x = （3分）()()cos 12sin cotlnsin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋；现有存砖只够砌20米长的墙壁；问应围成的长方形的长；宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ；所以平行于墙壁的边为202x -；所以；面积为2(202)220S x x x x =-=-+； （3分）由4200S x '=-+=；知 （3分） 当宽5x =时；长20210y x =-=； （3分） 面积最大51050S =⨯=（平方米）。

高等数学（ B2）期末模拟试卷（一）题号一二三五六七总 分23四14得分一、选择题（ 本大题共 10 小题，每题 3，共 30）:1.z1y 2 ln( x 2 y 2 1) ，其定义域为 ----------------------------------（A ）.4x 2A ( x, y)1 x 2y 2 4B ( x, y) 1 x 2 y 2 4C ( x, y)1 x 2 y 2 4D ( x, y)1 x 2y 24 .2. 设 z x y ，则 dz --------------------------------------------------------------------------（D ）.A x y ln xdx yx y 1dyB yx y 1dx x y dyCyx y 1 ln xdx x y ln xdyDyx y 1 dx x y ln xdy .3. x 2 y21绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（C ）.由椭圆1625A 252dxB 45 y2dx24442dy .y 0Cx 2dyDx4. 设 a(1, 2, 3) ， b (2, 3, 4) ， c(1, 1, 2) ，则 (a b ) c. 为 --------------------（A ）.A 5B1C1D 5 .5. 设: 2x 3 y 4z 50 ， L :x1y z 1 ，则 与直 L 的关系为 ---（ A ）.2 3 4A L 与垂直B L 与 斜交C L 与 平行D L 落于 内.6. 若 D (x, y)x 2, y 4 ， D 1 ( x, y) 0 x 2,0y4 , f ( x 2 y 2 ) 为 D 上的连续函数，则f ( x 2y 2 ) d 可化为 ----------------------------------------------------（ C ）.DAf ( x 2y 2 )dB 2f ( x 2y 2 )dD 1D 1C 4f ( x 2y 2 )dD 8f ( x 2y 2 )d .D 1D 17. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.Ay cx e xBy c 1 e c 2 x xC y c 1 e xc 2 xD y c 1 c 2 (x e x ) .8. 下列哪个级数收敛 ---------------------------------------------------------------------------（D ）.A( 1) nB1 n 1C1 n nD100 .n 1n100n100n 1 n 1009. 若d4，其中 D:0xa, 0yax ，则正数 a ---------------------（ B ）.D243A 2 3B 2C 2 3D 22.10. 若幂级数a n (x 1)n 在 x3处条件收敛，则其收敛半径为----------------- （ B ） .n 1A 1B2C 3D 4 .二 、 计算题（ 本大题共 4 小题，每题 7 ，共 28 ）:1. 设 zf (u, v) 具有二阶连续偏导数，若zz 2zf (sin x, cos y) ，求 ,.xx y解：z c o sxf 1 ,2z( z ) cos xf 12( sin y)sin y cos xf 12 .xx yy x2. 设 zsin(x 2y 2 ) ，求zdxdy. D :2x 2 y 24 2 .D解：zdxdy = (cos 2cos42 )D3. 设曲线 ye 2 x ， y ln( x 1) 与直线 x 1 及 y 轴所围成的区域为 D ，求D 的面积.解D 的面积=1( e 2 1) 2ln 2 .24. 解微分方程 x dyyx 2 e x .解：dy1 y dxxe xdxxP( x)1, Q (x) xe xxP(x)dxln x ，Q(x)e P( x) dxdxxexeln xdxex故通解为 yx( e x C)y三 、 计算题（ 本题 9 ）设 I2dy2ysin x xdx ，（ 1）改变积分次序；（2）计算 I 的值 .解： I2dyy 2ysin xdxxx2 dx 2 2xsin xdy x2sin x ( x2x 2 )dx 12x四、证明题（ 本题 8 ）求证：曲面xyza 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（ x 0 , y 0 , z 0 ）且设 F ( x, y, z)x yza ，则切平面方程为：1 ( x x 0 )1 ( y y 0 )1(zz 0 )2 x 0 2 y 02 z 0令 y z 0 可得： 切平面在 x 轴上的截距为x 0 x 0 y 0 x 0 z 0 x 0 a同理可得： 切平面在 y, z 轴上的截距分别为 y 0 a, z 0 a ,因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于x 0 ay 0 az 0 aa 。

高等数学B(上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”) （ × )1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量。

（ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界。

( √ ）3。

若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × )4。

单调函数的导函数也是单调函数。

( √ ）5。

无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

（ × ）6。

()y f x =在点0x 连续,则()y f x =在点0x 必定可导。

（ × ）7。

若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=。

（ × ）8。

若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡。

二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16。

2．1lim sinx x x→∞＝1。

3。

112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4。

曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23。

5．设0()f x A '=,则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A。

6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7。

函数33y x x =-在x =1-处有极大值。

8。

设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1。

三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n→+∞+++ . 解: 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解:0cos lim sin x x x x x x→--01cos sin lim1cos x x x xx →-+=- （2分） 02sin cos limsin x x x xx→+= （2分） 3= （2分）3。

高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。

答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。

答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。

答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。