海南省海南中学12-13学年高二上学期期中考试数学试题(1班)

海南省临高县临高中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题考试时间：120分钟；满分：150分第I 卷（选择题)一、单选题（每题5分）1．已知集合U =R ，{}25,A x x x =<∈Z ，{|2B x x =<且}0x ≠，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}2B.{}12，C.{}02，D.{}012，， 2．已知()222,0{3,0x x f x x x -≥=-+<，则))0((f f =（ ）A.1B.2C.3D.43．设0.30.6a=，0.60.3b =，0.30.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．b c a <<D ．c b a ＜＜4．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何? ”其意思为“己知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?” (“钱”是古代一种重量单位),这个问题中,甲所得为( )钱 A 、23 B 、34 C 、45 D 、35 5．对于连续曲线)(x f ，若0)3()1(>-f f ，则下列判断正确的是（ ）A ．方程0)(=x f 在），（31-内有且有一个根B ．方程0)(=x f 在），（31-内有且只有两个根C ．方程0)(=x f 在），（31-内一定无根D ．方程0)(=x f 在），（31-内可能有无数个根6．已知过点(2,)A m 和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=．若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为（ ）A.10-B.2-C.0D.87．设点M(3，4)是线段PQ 的中点，点Q 的坐标是(－1，2)，则点P 的坐标是( ) .A.(1,3)B.(7,6)C.(－5,0)D.(3,1)8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//m α，n ⊂α，那么//m n ；②如果m α⊥，n α⊥，那么//m n ； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥． 其中正确的命题是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④9．已知a 与b 的夹角为120，3a =，13a b +=，则b =（ ）A.4B.3C.2D.110．过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ）A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=11．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A ．126B ．127C ．128D ．12912．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )A. B. C.第二卷（非选择题)二、填空题（每题5分)13．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．14. 若数列na 等差数列，6241,1a a a ==，则5a =____________．15．已知函数()sin 22f x x x =-，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()y g x =的图像，则34g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________. 16．若直线2ax-by+2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1a +1b的最小值是______．三、解答题（第17题10分，18-22题目各12分）17．已知直线l 过点()2,3P ,根据下列条件分别求出直线l 的方程： （1）直线l 的倾斜角为135︒； （2）l 与直线210x y -+=垂直.18．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.且cos cos 4A CB π==. （1）求cos A 的值；（2）若b =求ABC △的面积S19．已知动点M 到点()A 1,0-与点()B 2,0的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()P 5,4-作曲线C 的切线，求该切线方程．20．已知等差数列}{n a 的前n 项和是{}n s 若11=a，且1,,321+a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记3nn n b a =⋅的前n 项和是n T ，求n T .21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，42AB =，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥.（1）求1AA 的长度；（2）求平面1AB N 与平面1B CM 所成锐二面角的余弦值.22．已知过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2211x y -+=交于A ，B 两点.（1）求斜率k 的取值范围；（2）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 的斜率之和为定值.参考答案1-12．CBCBD ABBAC BD13．1 14．1或9515．3 16．417、18、19 20、（1）因为1,,321+a a a 成等比数列且11=a所以得()1211221++⋅=d a a d a ，解得3=d所以23-=n a n2122.。

海口市高二上学期数学期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）已知,则双曲线与的（）A . 实轴长相等B . 虚轴长相等C . 焦距相等D . 离心率相等2. （1分）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （1分） (2019高一下·海珠期末) 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则4. （1分）动点P到两定点,连线的斜率的乘积为k（）,则动点P在以下哪些曲线上（）（写出所有可能的序号）① 直线② 椭圆③ 双曲线④ 抛物线⑤ 圆A . ①⑤B . ③④⑤C . ①②③⑤D . ①②③④⑤5. （1分）下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是（）A . 水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B . 平行四边形的直观图仍是平行四边形C . 两条相交直线的直观图可能是平行直线D . 两条垂直的直线的直观图仍互相垂直6. （1分） (2018高二上·云南期中) 如图,正方体的棱长为 ,线段上有两个动点 ,且．则下列结论中正确的个数为（）① ;② 平面;③三棱锥的体积为定值;④ 的面积与的面积相等.A .B .C .D .7. （1分） (2018高二上·湖滨月考) 椭圆的左焦点为 ,直线与椭圆相交于点、 ,当的周长最大时,m等于（）A . 2B . 1C . 0D . -28. （1分）下列说法不正确的是（）A . 光由一点向外散射形成的投影，叫作中心投影B . 在一束平行光线照射下形成的投影，叫作平行投影C . 空间几何体的三视图是用中心投影的方法得到的D . 在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全相同的9. （1分） (2019高二上·钦州期末) 设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则A .B .C .D .10. （1分） (2019高三上·深圳月考) 如图，平面四边形ABCD中，E、F是AD、BD中点，AB＝AD＝CD＝2， BD＝2 ，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△ ，使平面⊥平面BCD，则四面体中，下列结论不正确是（）A . EF∥平面B . 异面直线CD与所成的角为90°C . 异面直线EF与所成的角为60°D . 直线与平面BCD所成的角为30°二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2019高二下·盐城期末) 若命题“ ，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是________．12. （1分） (2017高二上·高邮期中) 若椭圆和双曲线有相同的焦点F1 ， F2 ，点P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是________．13. （1分）(2018·滨海模拟) 某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是________14. （1分） (2019高二上·牡丹江月考) 已知A、B、P为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线PA、PB的斜率记为，则的最小值为________15. （1分）(2019·淄博模拟) 如图所示，平面平面，，四边形为正方形，且，则异面直线与所成角的余弦值为________．16. （1分） (2019高一上·衡阳期末) 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2,，CC1=1，一条绳子从点A 沿表面拉到点C1 ，则绳子的最短的长度________.17. （1分）(2019·十堰模拟) 过抛物线：的焦点作两条斜率之积为的直线，，其中交于、两点，交于，两点，则的最小值为________．三、解答题 (共5题；共8分)18. （2分） (2019高二上·龙潭期中) 设命题对任意实数，不等式恒成立；命题方程表示焦点在轴上的双曲线．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题：“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数的取值范围．19. （2分）(2018·成都模拟) 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，， .（Ⅰ）求证：平面面；（Ⅱ）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.20. （2分）(2019·绵阳模拟) 己知椭圆C：的左右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l：y＝kx+m 与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．（2）若直线l过点F1，且｜AF2｜十｜BF2 ｜＝，求直线l的方程；（3）若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．21. （1分）(2019·浙江模拟) 等边三角形ABC的边长为，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（Ⅰ）求证：A1D 平面BCED；（Ⅱ）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°?若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．22. （1分） (2019高二上·牡丹江月考) 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与轴交于点 .（1）求证:，，成等比数列；（2）求证:，，成等比数列；（3）设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．（4）设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共8分) 18-1、18-2、19、答案：略20、答案：略21-1、22-1、22-2、22-3、22-4、第11 页共11 页。

2024学年海口市高二数学上学期11月期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20x +-=的倾斜角为（）A.π3B.5π6C. D.3-2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则z z ⋅=（）A.3- B.3C.4D.53.有一组样本数据1x 、2x 、L 、n x ，由这组数据得到新样本数据1y 、2y 、L 、n y ，其()1,2,,i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则下列说法正确的是（）①两组样本数据的样本平均数相同②两组样本数据的样本中位数相同③两组样本数据的样本标准差相同④两组样本数据的样本极差相同A.③④B.②③C.②④D.①③4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.3B.3C.23D.135.已知向量a 、b 满足2a = ，b = ，24a b -= ，则b 在a上的投影向量为（）A.2bB.2aC.12a- D.12a 6.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的面积为222S a b c =+-，则tan C 的值为（）A.14B.12C.2D.47.在四面体OABC 中，0O A O B O A O C O B O C ⋅=⋅=⋅= ，3332OC OB OA === ，2O D D C =，若点G 为ABC V 的重心，则点G 到直线BD 的距离为（）A.4B.3C.2D.68.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，则下列事件发生的可能性最小的是（）A.6a b += B.2a b>C.2log a b> D.方程230ax bx ++=有实数解二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B.两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥C.直线的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D.直线的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α10.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件A 为“两次都击中飞机”，事件B 为“两次都没击中飞机”，事件C 为“恰有一次击中飞机”，事件D 为“至少有一次击中飞机”，则（）A.A D⊆ B.B D =∅C.A C D+= D.A C B D-=+11.如图，P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则下列说法正确的有（）A.当P 在平面11BCC B 内运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.当P 在平面1111D C B A 内运动时，使得直线AP 与平面ABCD 所成的角为45 的点P 的轨迹长度为πD.若F 是棱11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线()23y ax a a =-+∈R 过定点______；13.已知事件A 和B 互斥，且()0.8P A B = ，()0.6P B =，则()P A =______.14.如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求：（1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程；（3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，2SA AD ==，SA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为棱SB 、SC 的中点.（1）证明：平面AMND ⊥平面SBC ；（2）求点C 到平面AMND 的距离.17.在ABC V 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对边，满足：cos cos cos a A b c B C=++且C A B >>；（1）求A ；（2）若()22a b c =-=，求BC 边上的高.18.已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是13，12，14，面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．19.如下图，在ABC V 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AC 中点，E 、F 分别是BA 、BC 边上的动点，且//EF AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥；（1）求证：EF PC ⊥；（2）若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正切值；（3）当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围．2024学年海口市高二数学上学期11月期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20x +-=的倾斜角为（）A.π3B.5π6C. D.3-【答案】B 【解析】【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角.直线20x +-=的斜率3k =-，则该直线的倾斜角为5π6.故选：B.2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则z z ⋅=（）A.3- B.3C.4D.5【答案】D【分析】由题意可知：12z i =-，根据共轭复数的概念以及乘法运算求解.由题意可知：12z i =-，所以()()12125⋅=-+=z z i i .故选：D.3.有一组样本数据1x 、2x 、L 、n x ，由这组数据得到新样本数据1y 、2y 、L 、n y ，其()1,2,,i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则下列说法正确的是（）①两组样本数据的样本平均数相同②两组样本数据的样本中位数相同③两组样本数据的样本标准差相同④两组样本数据的样本极差相同A.③④ B.②③C.②④D.①③【答案】A【分析】利用平均数公式可判断①；利用中位数的定义可判断②；利用标准差公式可判断③；利用极差的定义可判断④.对于①，设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均数为x ，数据1y 、2y 、L 、n y 的平均数为y ，则()()()1212n n x c x c x c y y y y n n+++++++++==12n x x x ncx c n++++==+ ，故①错；对于②，设数据1x 、2x 、L 、n x 中位数为M ，数据1y 、2y 、L 、n y 的中位数为N ，不妨设12n x x x <<< ，则12n y y y <<< ，若n 为奇数，则12n M x +=，1122n n N y x c M c ++==+=+；若n 为偶数，则1222n nx x M ++=，112222222n nn n y y x x c N M c ++++===+.N M c =+，故②错；对于③，设数据1x 、2x 、L 、n x 的标准差为，数据1y 、2y 、L 、n y 的标准差为s '，s ='=s ==，故③对；对于④，不妨设12n x x x <<< ，则12n y y y <<< ，则数据1x 、2x 、L 、n x 的极差为1n x x -，数据1y 、2y 、L 、n y 的极差为()()111n n n y y x c x c x x -=+-+=-，故④对.故选：A.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.3B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.已知向量a 、b 满足2a =，b = ，24a b -= ，则b 在a上的投影向量为（）A.2bB.2aC.12a -D.12a 【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出a b ⋅ 的值，再利用投影向量的定义可求得b 在a上的投影向量.因为向量a 、b满足2a =，b = ，24a b -= ，则222216441648a a b b a b a b =-⋅+==--⋅+ ，可得2a b ⋅=，所以，b 在a上的投影向量为221cos ,42a a b a a b b a b b a a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅==⋅.故选：D.6.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的面积为222S a b c =+-，则tan C 的值为（）A.14B.12C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解.因为ABC V 的面积为222S a b c =+-，所以2221sin 2ab C a b c =+-，又∵222cos 2a b c C ab+-=，∴12cos sin 2ab C ab C =，则tan 4C =，故选:D.7.在四面体OABC 中，0O A O B O A O C O B O C ⋅=⋅=⋅= ，3332OC OB OA === ，2O D D C =，若点G 为ABC V 的重心，则点G 到直线BD 的距离为（）A.4B.3C.2D.6【答案】D 【解析】【分析】以射线OA ，OB ，OC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，应用向量法求距离.由题意知，在四面体OABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，如图，以O 为原点，以射线OA ，OB ，OC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.∵1OA =，2OB =，3OC =，2O D D C =，∴1,0,0，()0,2,0B ，()0,0,3C ，()0,0,2D ，12,,133G ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()0,2,2BD =-，14,,133BG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22214261333BG ⎛⎫⎛⎫=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4142233BG BD ⎛⎫⋅=-⨯-+= ⎪⎝⎭，∴点G 到直线BD 的距离2221426639622BG BD d BG BD ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D8.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，则下列事件发生的可能性最小的是（）A.6a b += B.2a b>C.2log a b > D.方程230ax bx ++=有实数解【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求出各选项中事件的概率，即可得出合适的选项.样本空间中样本点的个数为2636=个，以(),a b 表示样本空间中的一个样本点，对于A 选项，记事件A =“6a b +=”，则()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1A =，所以()536P A =；对于B 选项，记事件B =“2a b >”，则()()()()()(){}3,1,4,1,5,1,5,2,6,1,6,2B =，所以()61366P B ==；对于C 选项，记事件C =“2log a b >”，则()()()()()(){}3,1,4,1,5,1,5,2,6,1,6,2C =，所以，()61366P C ==；对于D 选项，记事件D =“方程230ax bx ++=有实数解”，则2120b a ∆=-≥，则()()()()()(){}4,1,5,1,5,2,6,1,6,2,6,3D =，所以，()61366P D ==.所以A 选项中的事件发生的概率最小.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B.两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥C.直线的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D.直线的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α【答案】AB【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，则b a =- ，所以12l l //，A 正确；两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则()2324120u v ⋅=⨯-+⨯-⨯=，所以αβ⊥，B 正确；直线的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =- ，则()1614210a u ⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以//l α或l α⊂，C 错误；直线的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =- ，则53u a =- ，所以l α⊥，D 错误．故选：AB10.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件A 为“两次都击中飞机”，事件B 为“两次都没击中飞机”，事件C 为“恰有一次击中飞机”，事件D 为“至少有一次击中飞机”，则（）A.A D⊆ B.B D =∅ C.A C D += D.A C B D-=+【答案】ABC【分析】利用随机事件的关系和运算直接判断选项即可.对空中飞行的飞机连续射击两次，其样本点有：“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，和“恰有一次击中飞机”，所以D A C =+，AC 正确；事件B 和事件D 交集为∅，且B D =Ω ，B 正确，D 错.故选：ABC11.如图，P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则下列说法正确的有（）A.当P 在平面11BCC B 内运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.当P 在平面1111D C B A 内运动时，使得直线AP 与平面ABCD 所成的角为45 的点P 的轨迹长度为πD.若F 是棱11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 【答案】AC【分析】A 选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B 选项，找到异面直线所成角即可判断；C 选项，找到P 的轨迹，计算即可；D 选项，找到P 的轨迹，计算即可.对于A 选项，底面正方形11AA D D 的面积不变，P 到平面11AA D D 的距离为正方体棱长，故四棱锥11P AA D D -的体积不变，故A 正确；对于B 选项，1D P 与11A C 所成的角即为1D P 与AC 所成的角，当P 在端点A 、C 时，所成的角最小，为π3，当P 在AC 的中点时，所成的角最大，为π2，故B 错误；对于C 选项，P 在平面1111D C B A 内运动，且直线AP 与平面ABCD 所成的角为45 ，如图①所示，因为平面1111//A B C D 平面ABCD ，所以直线AP 与平面1111D C B A 所成的角为45 ，因为1AA ⊥平面1111D C B A ，则AP 与平面1111D C B A 所成角为145APA ∠= ，因为1A P ⊂平面1111D C B A ，则11AA A P ⊥，所以，1AA P 为等腰直角三角形，则112A P AA ==，所以点P 在平面1111D C B A 内以1A 为圆心、2为半径的14圆弧，故P 的轨迹长度为12π2π4⨯⨯=，故C 正确；分别取11A D 、1DD 、BC 、1BB 、CD 的中点M 、N 、S 、E 、P ，由正方体的性质可知M 、N 、S 、E 、P 、F 六点共面，且为正六边形MNPSEF ，由中位线定理，11//MF B D ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//MF 平面11B CD ，同理//MN 平面11B CD ，且MF MN M = ，MF 、MN ⊂平面MNPSEF ，所以平面//MNPSEF 平面11B CD ，所以FP 所在的平面为如图②所示的正六边形，当P 为BC 的中点时，FP 的长最小，为，故D 错误．故选：AC.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线()23y ax a a =-+∈R 过定点______；【答案】2,3【解析】【分析】将直线方程变形为()230a x y -+-=，由2030x y -=⎧⎨-=⎩可求得直线所过定点的坐标.将直线方程化为()230a x y -+-=，由2030x y -=⎧⎨-=⎩可得23x y =⎧⎨=⎩，因此，直线()23y ax a a =-+∈R 过定点()2,3.故答案为：()2,3.13.已知事件A 和B 互斥，且()0.8P A B = ，()0.6P B =，则()P A =______.【答案】0.4##25【解析】【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解.∵事件A 和B 互斥，∴()()()0.8P A B P A P B ⋃=+=，又()0.6P B =，∴()()1P B P B =-=10.60.4-=，∴()()0.80.4P A P B =-=.故答案为：0.4.14.如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则λ的值为__．【答案】①.1-②.23【分析】①BD AN ⊥ ，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--= ，即可得出λ．②连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出．解：①BD AN ⊥ ，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒== ．1λ∴=．②连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==，∴11123A N A D = ．则23λ=．1-，23．【点睛】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求：（1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程；（3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.【答案】（1）3x ﹣y +9＝0（2）2x ﹣3y +6＝0（3）2x ﹣y +6＝0【解析】【分析】（1）利用直线方程的两点式，即可求解；（2）求出BC 边上的中点D 坐标，利用,A D 两点坐标，即可求出直线方程；（3）求出直线BC 的斜率，即可得到高AE 的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.（1）∵A （﹣3，0），C （﹣2，3），故边AC 所在直线的方程为：3233x y +=-+，即3x ﹣y +9＝0，（2）BC 边上的中点D （0，2），故BC 边上的中线AD 所在直线的方程为132x y +=-，即2x ﹣3y +6＝0，（3）BC 边斜率k 131222-==-+，故BC 边上的高AE 的斜率k ＝2，故BC 边上的高AE 所在直线的方程为y ＝2（x +3），即2x ﹣y +6＝0.【点睛】本题考查直线方程，熟练掌握直线方程的各种形式是解题的关键，属于基础题.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，2SA AD ==，SA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为棱SB 、SC 的中点.（1）证明：平面AMND ⊥平面SBC ；（2）求点C 到平面AMND 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）推导出AM ⊥平面SBC ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出//BC 平面AMND ，可知点C 到平面AMND 的距离等于点B 到平面AMND 的距离，推导出SB ⊥平面AMND ，即可求得点C 到平面AMND 的距离.【小问1详解】因为M 、N 分别为棱SB 、SC 的中点，则//MN BC ，因为四边形ABCD 为正方形，则//AD BC ，所以，//MN AD ，所以，A 、D 、M 、N 四点共面，因为四边形ABCD 为正方形，则BC AB ⊥，因为SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，则BC SA ⊥，因为SA AB A ⋂=，SA 、AB ⊂平面SAB ，所以，⊥BC 平面SAB ，因为AM ⊂平面SAB ，则AM BC ⊥，因为SA AD AB ==，M 为SB 的中点，则AM SB ⊥，因为SB BC B = ，SB 、⊂BC 平面SBC ，所以，AM⊥平面SBC ，因为AM ⊂平面AMND ，所以，平面AMND ⊥平面SBC .【小问2详解】因为//MN BC ，MN ⊂平面AMND ，BC ⊄平面AMND ，所以，//BC 平面AMND ，所以，点C 到平面AMND 的距离等于点B 到平面AMND 的距离，因为SA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则AD SA ⊥，因为AD AB ⊥，SA AB A ⋂=，SA 、AB ⊂平面SAB ，所以，AD ⊥平面SAB ，因为SB ⊂平面SAB ，则SB AD ⊥，因为AM SB ⊥，AM AD A = ，AM 、AD ⊂平面AMND ，所以，SB ⊥平面AMND ，因为SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则SA AB ⊥，所以，SB ===，所以，点C 到平面AMND 的距离等于12BM SB ==.17.在ABC V 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对边，满足：cos cos cos a A b c B C =++且C A B >>；（1）求A ；（2）若()22a b c =-=，求BC 边上的高.【答案】（1）π3A =（2）334【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简可得出222b c a bc +-=，利用余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）利用余弦定理以及三角形的面积公式求解.【小问1详解】因为cos cos cos a A b c B C=++，则cos cos cos cos a B a C b A c A +=+，由余弦定理可得2222222222222222a c b a b c b c a b c a a a b c ac ab bc bc+-+-+-+-⋅+⋅=⋅+⋅，整理可得2332a b b c a c -=-，即()()2220b c b c bc a ++--=，因为0b c +>，所以，222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,πA ∈，则π3A =.【小问2详解】由（1）知，π3A =．由余定理得2222cos a b c bc A =+-，即()22241b c bc b c bc bc =+-=-+=+，所以3bc =．于是，11sin 32224ABC S bc A ==⨯⨯= ．设BC 边上的高为h ，则12ABC S ah =，即1224h ⨯=，得h =，即BC 边上的高为334．18.已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是13，12，14，面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．【答案】（1）16；（2）518；（3）91216．【解析】【分析】设事件A 、B 、C 分别为“甲、乙、丙获得该高校综合评价录取资格”，根据独立事件概率计算方法可直接求出()P A 、()P B 、()P C .由此可得(1)题答案，(2)题概率为()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+，(3)题可先计算其对立事件概率从而求解．【小问1详解】设事件A 表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，则()111326P A =⨯=；【小问2详解】设事件B 表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则()111236P B =⨯=，则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：()()()()()1111511666618P P AB AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问3详解】设事件C 表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则()121436P C =⨯=，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：()1119111111666216P P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19.如下图，在ABC V 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AC 中点，E 、F 分别是BA 、BC 边上的动点，且//EF AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥；（1）求证：EF PC ⊥；（2）若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正切值；（3）当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2（3）0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；（3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可.【小问1详解】因为,//AC BC AC EF ⊥，所以EF BC ⊥，即,,,,EF FC EF PF PF FC F PF FC ⊥⊥⋂=⊂平面PFC ，⊥EF 平面PFC ，PC ⊂平面PFC ，所以.EF PC ⊥【小问2详解】因为二面角P EF C --是直二面角，所以平面PEF ⊥平面EFC ，平面PEF 平面EFC EF =，,PF EF PF ⊥⊂平面PEF ，PF ⊥平面EFC ，以,,FE FC FP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设平面CEF 法向量为()0,0,1n = ，42424420,0,,0,,0,,0,0,0,,,,,03333333P C E PC CE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面PCE 法向量为(),,m x y z = 2403342033y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1z =，得2,1y x ==，所以()1,2,1m = ，设二面角P CE F --为θ，·cos 6n m n m θ===⨯.sin 6θ=====，sin 6tan cos 66θθθ===【小问3详解】分别以B 反方向和C 方向分别为,x y 轴，过F 做BC 的垂线为z 轴，设()()0,,,0,,0P m n F t ，()()()1,0,0,2,0,0,2,,0D A E t t ---，显然0n >，()(),,0,1,,AE t t PD m n ==--- ，·0AE PD t mt =--= ，得出1m =-，则()0,1,P n -，则()2,1,PE t t n =-+- ，根据翻折后勾股定理得()()22212n t t ++=-，化简得236n t =-，因为构成直角三角形，则21t t ->+，且0t >，解得102t <<，设平面ABC 的法向量为()0,0,1n = ，设直线PE 与平面ABC 所成角为β，·sin ·PE p PE pβ== 则()()222223636312sin 2882442136tt t t t t t t t t β---===⨯-+-+-+++-，令2443212t t t y -⨯-=+，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令12t a -=，则12a t -=，且()0,1a ∈，221669691164422aa y a a a a a a==⨯=⨯++--⎛⎫++-⨯+ ⎪⎝⎭，根据对勾函数9y a a=+在0,1上单调递减，且恒大于0，则函数1696a y a ⨯+=+在0,1单调递增，则30,8y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即23sin 0,8β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则6sin 0,4β⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即正弦值的取值范围60,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可.。

海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题（本试卷总分150分，总时量120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）A ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±2. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）A ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==3. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )A ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴4. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( ) A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．15. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）A ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<6. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A B ． C ．12 D ．7. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=8. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ） A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=10. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --=11. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ） A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=12. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）A ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．14. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．15. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．16. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程．18. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）点(,)P x y 在轨迹C 上，求2yx -的最小值．19. （12分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小．20. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．21. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF与平面PCD所成角的正弦值等于15；②DA与平面PDF所成角的正弦值等于34；③P A与平面PDF所成角的正弦值等于3．问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线:l x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 23. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）CA ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±24. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）DA ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==25. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )CA ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴26. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( )B A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．127. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）DA ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<28. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）AA B ． C ．12 D ．29. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=30. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）BA ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 31. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ）ABD A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=32. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）CDA ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过点2)且与直线l 40y --=33. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ）BC A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=34. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）ACDA ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当2m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF【解析】设椭圆的左焦点为F '，则||||AF BF '=，所以||||||||AF BF AF AF '+=+为定值6，A 正确；ABF ∆的周长为||||||AB AF BF ++，因为||||AF BF +为定值6，易知||AB 的范围是(0,6)，所以ABF ∆的周长的范围是(6,12)，B 错误；将y 与椭圆方程联立，可解得(A ，B ，又易知F ，所以2(60AF BF =+=，所以ABF ∆为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得(A ，B ，所以112ABF S ∆=⨯=D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．35. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．336. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．21537. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．34(,0,)55--38. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．【解析】直线()()21340m x m y m +-+--=化为 (3)240m x y x y --+--=，令30{ 240x y x y --=--=，解得1{2x y -＝．＝∴直线()()21340m x m y m +-+--=过定点12Q -（，）． ∴点M 在以PQ 为直径的圆上，圆心为线段PQ 的中点11C --（，）线段MN 长度的最大值5CN r =+==线段MN 长度的最大值5CN r =-==故答案为5⎡+⎣.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 39. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程． 解：(1)设线段BC 的中点为D ． 因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 的中点D(3,−5)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y−0−5−0=x−43−4， 即5x −y −20=0．(2)因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 边所在直线的斜率k BC =−3−(−7)0−6=−23，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32，所以BC 边上的高所在直线的方程为y =32(x −4)， 即3x −2y −12=0．40. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）求2yx -的最小值． 解：(1)设动点M(x,y)， 根据题意得，√(x+1)2+y 2√(x−2)2+y 2=12，化简得，(x +2)2+y 2=4，所以动点M 的轨迹方程为(x +2)2+y 2=4． (2)设过点(2,0)的直线方程为y =k(x −2)， 圆心到直线的距离d =√k 2+1≤2，解得−√33≤k ≤√33， 所以yx−2的最小值为−√33．41. （12分）如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小． （1）证明：∵F,G 分别为PB,EB 中点，∴FG PE ∥，,FG PED PE PED ⊄⊂平面平面，FG PED ∴平面∥. （2）解：EA ABCD EA PD ⊥平面，∥，PD ABCD ∴⊥平面. 又ABCD 四边形为矩形，,,DA DC DP ∴两两垂直.故以D 为坐标原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，、则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，所以可取(0,1,1)n =，同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =，设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ， 则||2cos ||||m n m n θ⋅==⋅，又[0,]2πθ∈，∴平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.42. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =，求m 的值． 解：(1)把圆x 2+y 2−8x −12y +36=0， 化为标准方程得(x −4)2+(y −6)2=16， 所以圆心坐标为(4,6)，半径为R =4，则两圆心间的距离d =√(42+(6−2)2=5， 因为两圆的位置关系是外切，所以d =R +r ，即4+√5−m =5，解得m =4， 故m 的值为4；(2)因为圆心C 的坐标为(1,2)， 所以圆心C 到直线l 的距离d =√5=√55， 所以(√5−m)2=(12|MN|)2+d 2=(2√55)2+(√55)2，即5−m =1，解得m =4， 故m 的值为4．43. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题 处，若问题中的四棱锥存在，求AB 的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF 与平面PCD 所成角的正弦值等于15； ②DA 与平面PDF 所成角的正弦值等于34； ③P A 与平面PDF 所成角的正弦值等于3． 问题：若点F 是AB 的中点，是否存在这样的四棱锥，满足 ？ （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）证明：=90PAB ∠，AB PA ∴⊥， ∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥， 又,PA AD PAD ⊂平面，且PAAD A =，AB PAD ∴⊥平面，又AB ABCD ⊂平面，故平面PAD ⊥平面ABCD.（2）解：取AD 中点为O ，∵4PA PD AD ===，∴OA ⊥OP ，以O 为原点，OA,OP 所在直线分别为x,z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>， 则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,,0)A D P B a C a F a --， 选①：(2,,0),(0,2,0),(1,0,3)CF a DC a DP =-==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030ay x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,0,1)n =-，设CF 与平面PCD 所成角为θ，则2||315sin 5||||4CF n CF n aθ⋅===⋅+，解得1a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时22AB a ==. 选②：(2,0,0),(1,0,3)(2,,0)DA DP DF a ===，，设平面PDF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x z x ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,)n a a =--，设DA 与平面PDF 所成角为θ， 则||3sin 4||||2DA n DA n θ⋅===⋅，解得3a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时26AB a ==. 选③：易知P A 与平面PDF 所成角小于APD ∠，设P A 与平面PDF 所成角为θ，则sin sin sin32APD πθ<∠==，故不存在符合题意的四棱锥.44. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的 右顶点C ，求m 的值．解：(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2， 所以2a +2c =6+4√2，又椭圆的离心率为2√23， 即c a =2√23， 所以c =2√23a ， 所以a =3，c =2√2．所以b =1， 椭圆M 的方程为x 29+y 2=1;(Ⅱ)由{x =ky +m x 29+y 2=1消去x 得(k 2+9)y 2+2kmy +m 2−9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2km k +9，y 1y 2=m 2−9k +9.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)， 得(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式， 得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0． 将①代入上式，解得m =125或m =3．。

海南中学2013—2014学年第一学期期中考试高二数学文科试卷（试题）（16-20班用）第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列全称命题为真命题．．．的是 A ．所有被3整除的数都是奇数 B ．2,22x R x ∀∈+≥ C ．无理数的平方都是有理数D ．所有的平行向量都相等2．椭圆2244x y +=的焦距．．为A ．2B ．3C ．D ．43．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．4．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则A ．p 或q 为假B ．q 真C ．q 假D ．不能判断q 的真假5．若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离为 A ．94 B ．64 C ．16 D ．146．函数a x x x f +-=2332)(的极大值为6，那么a 等于A ．0B ．5C ．6D ．17．已知点()2,3-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p 的值是A ．2B ．4C ．8D ．168．已知方程0ax by c ++=和22(0,,0)ax by ab ab a b c +=≠≠>，它们所表示的曲线可能是A ．B ．C ．D ．9．下列命题错误．．的是 A ．命题“若m>0，则方程x 2+x-m=0有实根”的逆否命题．．．．为：“若方程x 2+x-m=0无实根，则m≤0”； B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要．．．．．条件 C ．对于命题p ∶0x ∃∈R ，使得20x +0x +1<0；则﹁p 是∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0； D ．命题“若xy=0，则x,y 中至少有一个为零”的否定．．是“若x y≠0，则x,y 都不为零”10．已知双曲线C ：22x a-22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1 11．设点M(a , b)是曲线C ：21()ln 22y f x x x ==++上的任意一点，直线l 是曲线C 在点M 处的切线，那么直线l 斜率的最小值为A ．2B ．4C ．0D ．-212．过抛物线24x y =的焦点F 作直线交抛物线于()()111222,,,P x y P x y 两点，若126y y +=，则12P P 的值为A ．5B ．6C ．8D ．10第二卷（非选择题，共90分）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x+2，则f ′(1)＝___▲__．14．函数32()32f x x x =-+的单调递减区间是 ▲ ．15．抛物线x y 82=上的点),(00y x 到抛物线焦点的距离为3，则|y 0|= ▲ ．16．已知P(4,2)是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则l 的方程是 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）直线b x y l +=:与抛物线C y x 4:2=相切于点A ．求实数b 的值，及点A 的坐标．18．（本题满分12分）已知命题:p 关于x 的一元二次不等式0422>++mx x 对R x ∈∀恒成立；命题:q 函数2)1()(+-=x m x f 是增函数．19．（本题满分12分）已知函数32()3f x ax bx x =+-在1x =±处的导数值都为0．求函数()f x 的解析式，并求其在区间[1,1]-上的最大、最小值．20．（本题满分12分）已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的弦AB ，若1ABF ∆的周长为16，离心率2e =(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)若A 1,A 2是椭圆长轴上的两个顶点，P 是椭圆上不同于A 1,A 2的任意一点．求证：直线A 1P 与直线A 2P 的斜率之积是定值．21．（本题满分12分）已知双曲线22:14x C y -=．(Ⅰ)求曲线C 的焦点；(Ⅱ)求与曲线C 有共同渐近线且过点的双曲线方程；22．（本题满分12分）已知函数21()()ln 2f x a x x =-+（R a ∈）．(Ⅰ)当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值； (Ⅱ)求()f x 的极值．参考解答与评分标准二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．12； 14．(0,2)； 15．22； 16．x+2y -8=0．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）直线b x y l +=:与抛物线C y x 4:2=相切于点A ．求实数b 的值，及点A 的坐标．17．解：由24y x b x y=+⎧⎨=⎩得2440x x b --=． ()*因为直线l 与抛物线C 相切，所以2(4)4(4)0b ∆=--⨯-=，解得1b =-； 代入方程()*即为2440x x -+=，解得2x =，y=1，故点A （2,1）．18．（本题满分12分）已知命题:p 关于x 的一元二次不等式0422>++mx x对R x ∈∀恒成立；命题:q 函数2)1()(+-=x m x f 是增函数．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 18．解：命题:p 0422>++mx x 对R x ∈∀恒成立，则01642<-=∆m ，即22<<-m命题:q 函数2)1()(+-=x m x f 是增函数，则有01>-m ，即1>mp 或q 为真命题，p 且q 为假命题， q p ,∴一真一假即p 真q 假或者p 假q 真，所以⎩⎨⎧>≥-≤⎩⎨⎧≤<<-122122m m m m m 或或， 解得212≥≤<-m m 或．19．（本题满分12分）已知函数32()3f x ax bx x =+-在1x =±处的导数值都为0．求函数()f x 的解析式，并求其在区间[1,1]-上的最大、最小值．19．解：∵2()323f x ax bx '=+-，依题意，(1)(1)0f f ''=-=，即3230,3230a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得a =1,b=0，∴32()3,()33f x x x f x x '=-=-， 当[1,1]x ∈-时，()0f x '≤，∴f(x)在[-1,1]上单调减，max min (1)2,(1)2y f y f =-===-．20．（本题满分12分）已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的弦AB ，若1ABF ∆的周长为16，离心率e =(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)若A 1,A 2是椭圆长轴上的两个顶点，P 是椭圆上不同于A 1,A 2的任意一点．求证：直线A 1P 与直线A 2P 的斜率之积是定值．20．解：(Ⅰ)∵11644ABF C a a ∆==⇒=，又2e =，∴c =2b == 故该椭圆的标准方程为：221164x y +=； (Ⅱ)设(,)P x y ，则12(4,0),(4,0)A A -，12,(4)44A P A P y yk k x x x ==≠±+- 故12222241416164A P A Px y k k x x -⋅===---．21．（本题满分12分）已知双曲线22:14x C y -=．(Ⅰ)求曲线C 的焦点；(Ⅱ)求与曲线C 有共同渐近线且过点的双曲线方程；21．解：(Ⅰ)∵224,1a b ==，∴2225c a b =+=，得c =，∴焦点12(F F ；(Ⅱ)双曲线与2214x y -=有共同双曲线，可设为224x y λ-=，又过点，得22244λ=-=-，故双曲线方程为2244x y -=-，即221416y x -=． 22．（本题满分12分）已知函数21()()ln 2f x a x x =-+（R a ∈）．(Ⅰ)当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值； (Ⅱ)求()f x 的极值．22．解：（Ⅰ）当1=a 时，x x x f ln 21)(2+=，xx x x x f 11)(2+=+='对于∈x [1，e ]，有0)(>'x f ，∴)(x f 在区间[1，e ]上为增函数，∴21)()(2max e e f x f +==，21)1()(min ==f x f . -----4分（Ⅱ）21(21)1()(21)a x f x a x x x -+'=-+=（x>0）① 当210a -≥,即12a ≥时,'()f x ＞0,所以，()f x 在（０，＋∞）是单调递增函数．故()f x 无极值点.②当210a -<，即12a <时．令'()f x ＝０，得1x =2x =（舍去） 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x()f x ' +-()f x↗极大值↘由上表可知，x ,()f x 极大值=－12－12ln(12)a -．--------12分。

海南省海南中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1.已知命题：0x ∀≥，sin x x ≥的否定是( )A. 0x ∀<，sin x x <B. 0x ∀≥，sin x x <C. 00x ∃<，00sin x x <D. 00x ∃≥，00sin x x <2.已知向量()()0,1,1,1,1,0a b =-=,若()a b a λ+⊥,则实数λ的值是( )A.-1B.0C.1D.-23.已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ． 221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=5.到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的动点的轨迹方( ) A.22x y 11612+= B.22x y 11216+= C. 2228560x y x ++-= D. 22328680x y x +--=6.一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为( )A ． 31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，7.已知向量()()1,1,,1,,1a t t b t t =+=-,则a b -的最小值为( )B. C.2 D.48.已知P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于点(),0A a -，(),0B a 的一点，EAP 与BP 的斜率之积为( ) A. 34-B. 34C. 14-D. 149.已知OABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++（,,x y z R ∈），则(x,y,z)为( )A.(111,,444)B.(333,,444)C.(111,,333)D.(222,,333)10.点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线1x =-的距离和的最小值是( )B. C. 2D.11.棱长为2的正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，M 是1AA 的中点，N 是1CC 的中点，则1B 到平面MNB 的距离为( )A.3B.3D. 12.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M .直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. 1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.若AB CD CE =λ+μ（λ，μ∈R ），则直线AB 与平面CDE 的位置关系为___ 14.抛物线()220y px p =>上有一点M ，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则此抛物线的方程为15.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则二面角A -BC -D 的余弦值是______________.16.已知点P 是椭圆22x y 1259+=上任意一点，则当点P 到直线45400x y -+=的距离达到最小值时，此时P 点的坐标为____________．三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）求与椭圆22x y 1144169+=有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=，12AA =，M 为11A B 的中点．N 为1BB 上一点．(1)求异面直线1BA 与1CB 所成角的余弦值； (2)若CN BM ⊥，求三棱锥C ABN -的体积.B1A1AB19. (本小题满分12分)已知抛物线2y x =-与直线()1y k x =+相交于,A B 两点，点O 是坐标原点．(1)求证：OA OB ⊥；(2)当OAB ∆时，求k 的值．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为PA ，BD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC ；（2） 若PD=AD ，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，22=AB ，2=AD ，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AMD BMD ⊥平面平面； （2）若点E 是线段DB 上的一动点，问DEDB为何值时，二面角D AM E --的余弦值为55．ADMCBEA DMCBC22.已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点M 、N ，且MON ∠为锐角，求k 的取值范围.参考答案一、选择题1-12、DDAB CBCC ADAB二、填空题13. AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE 14. 28y x =15. 16. 94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭三.解答题17.（本小题满分10分）求与椭圆22x y 1144169+=有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.解析：椭圆22x y 1144169+=的焦点是(0,-5),(0,5)，焦点在y 轴上， 于是设双曲线方程是2222y x 1a b-= (a>0,b>0)，又双曲线过点(0,2)，∴c=5,a=2，∴b 2=c 2-a 2=25-4=21，∴双曲线的标准方程是22y x 1421-=，实轴长为4， 焦距为10，离心率c 5e a 2==， 渐近线方程是y=±21x 18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，点M 为A 1B 1的中点．点N 为BB 1的点．(1)求异面直线1BA 与1CB 所成角的余弦值； (2)若CN ⊥BM ，求三棱锥C -ABN 的体积.解析：（1）以C 为原点建系，1,,CA CB CC 为,,x y z 轴，A1B则()()()()110,0,0,0,1,0,1,0,2,0,1,2C B A B . ()()111,1,2,0,1,2BA CB =-=111111cos ,6BA CB BACB BA CB ⋅<>===⋅ 故异面直线1BA 与1CB . （2）设BN a =，则()0,1,N a ，11,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()110,1,,,,222CN a BM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为CN BM ⊥，所以0CN BM ⋅=，即1202a -+=，解得14a =. 故14BN =. 1111111332424C ABN N ABC ABC V V S BN --∆==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.19.(本小题满分12分)已知抛物线2y x =-与直线()1y k x=+相交于,A B 两点，点O 是坐标原点．(1)求证：OA OB ⊥；(2)当OAB ∆时，求k 的值．解析：(1)证明：当k ＝0时直线与抛物线仅一个交点，不合题意， ∴k ≠0由y ＝k (x ＋1)得x ＝yk －1代入y 2＝－x 整理得：y 2＋1ky －1＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.∵A ，B 在y 2＝－x 上，∴A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)，∴k OA ·k OB ＝y 1－y 21·y 2－y 22＝1y 1y 2＝－1， ∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于E ，则E (－1,0)，∴|OE |＝1， S △OAB ＝12|OE |(|y 1|＋|y 2|)＝12|y 1－y 2|＝121k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为PA ，BD 的中点. （1）证明：//EF 平面PBC ；；（2）若PD=AD ，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 解析：（1）由//EF PC 可证（2）先证AD BD ⊥，再以D 为原点建系D ABP -. 令1PD AD ==，则()()()()0,0,1,1,0,0,3,0,3,0P A B C -. ()()()0,3,1,1,0,0,1,0,1PB CB PA =-==-设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则300n PB y z n CB x ⋅=-=⋅==.令1y =，得(0,1,3n =.设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则36sin cos ,22PA n PA n PA nθ⋅=<>===⨯⋅. 故直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值是64. 21.（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，22=AB ，2=AD ，M 为DC的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AMD BMD ⊥平面平面； （2）若点E 是线段DB 上的一动点，问DEDB为何值时，二面角D AM E --的余弦值FECBDA P为55．解析：（1）证明：∵长方形ABCD中，AB =AD =M 为DC 的中点，∴2AM BM ==.故2228AM BM AB +==，所以AM BM ⊥.∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM =AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM ⊥平面ADM∵BM ⊂平面BDM ，∴AMD BMD ⊥平面平面.（2）建立如图所示的直角坐标系，则平面ADM 的一个法向量(0,1,0)n =，设()01DEDBλλ=<<，则DE DB λ=. 又()()()()1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,2,0A M D B --，故(2,0,0)AM =-()()1,0,1,1,2,1MD DB ==--(1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=--设平面AME 的一个法向量为(,,),m x y z =则00m AM m ME ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即202(1)0x y z λλ=⎧⎨+-=⎩，取()0,1,2m λλ=-.由题意知5cos ,5m n m n m n⋅<>==⋅5=， ADMCBEA DMCB即()221λλ-=，解得12λ=． 故当DE DB 的值为12时，二面角D AM E --的余弦值为5522.已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点M 、N ，且MON ∠为锐角，求k 的取值范围.解析：（1）2214x y +=； （2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <k > 由MON ∠为锐角知12120OM ON x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+ ∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<由①、②得2k -<<2k << 故k的取值范围为32,,222⎛⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎝⎭.。

海南中学2020学年第一学期期中考试高二数学试卷（选修2-1）（考试时间：2020年11月；总分：100分；总时量：120分钟） （2—15班适用）第一卷（选择题，共36分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则11x x ≥≤-或B ．若11x -<<，则21x <C ．若11x x ><-或，则21x >D ．若11x x ≥≤-或，则21x ≥2．已知1F 、2F 是椭圆221169xy+=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点A 、B ，若||5AB =，则11||||AF BF +=（ ）A ．11B ．10C ．9D ．163．若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．3D ．-3 4．命题“00,20xx R ∃∈≤”的否定是（ ）A ．不00,20x x R ∃∈>B ．00,20xx R ∃∈≥C ．,20x x R ∀∈>D ．,20xx R ∀∈≤5．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．若直线0ax by c ++=经过二、三、四象限，则有（ ） A ．0,0ac bc << B ．0,0ac bc >> C ．0,0ac bc <> D ．0,0ac bc ><7．方程(0x y +-所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．8．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．49．直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切10．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）A ．3B ． 4C ．5D ．611．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若4||=AB ，则这样的直线l 有（ ） A ．1条B ． 2条C ．3条D ．4条12．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ ） A ．a 4 B ．a 2 C ．a 21 D ．a4 海南中学2020学年第一学期期中考试 高二数学试卷（选修2-1）（考试时间：2020年11月；总分：100分；总时量：120分钟） （2——15班适用）第二卷（非选择题，共64分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．抛物线214y x =的焦点坐标是 ． 14．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于 。

海南中学2016-2017学年第一学期期中考试高二理科数学试题卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1. 已知命题2:,2np n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ） A.2,2nn N n ∀∈>B.2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤D ．2,2nn N n ∃∈=2. 空间直角坐标系O xyz -中，点()3,2,1A -关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是（ ） A.(3,2,1)--B.(3,2,1)C ．(3,2,1)--D ．(3,2,1)-3. 已知,,A B C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到P ∈平面ABC 的是（ ）A ．121333OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r B ．2433OP OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u rC ．OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rD ．OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u r u u u r4. 已知0a b >>，则方程22221a x b y +=与20ax by +=的曲线在同一坐标系中大致是（ ）5. 下列命题中为真命题的是（ ）A ．命题“若//a c r r 且//b c r r ,则//a b r r”B ．命题“若2015x >，则0x >”的逆命题C ．命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题D ．命题“若21x ≥，则1x ≥”的逆否命题6. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率是3，则此双曲线的离心率等于（ ）A ．223 B ．72C ．2D ．22 7. 已知{},,a b c r r r 是空间的一个基底，{},,a b a b c +-r r r r r 是空间的另一个基底.若向量p u r在基底{},,a b c r r r 下的坐标为()3,5,7，则p u r在基底{},,a b a b c +-r r r r r 下的坐标是( )A ．(4,2,7)-B ．(4,1,7)-C ．(3,1,7)-D ．(3,2,7)-8. 直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A ．01m <<B ．42m -<<C ．1m <D ．31m -<<9. 设直线l 经过椭圆2214x y +=的右焦点且倾斜角为45o ，若直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则AB =（ ）A ．52 B.54 C ．56 D.58 10. 已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点,,E F H 分别是,,BC AD AE 的中点，则AH AF ⋅u u u r u u u r的值为( )A ．212a B.214aC. 218aD.238a 11. 已知ABC ∆的三顶点分别为(1,4,1)A ，(1,2,3)B ，(2,3,1)C .则AB 边上的高等于（ ）A ．62B ．6C ．2D 2 12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，A 、B 分别为椭圆C的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF x ⊥轴.过顶点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B.14C ．23D.34第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量()1,2,2a =--r 与向量()4,0,3b =r分别是直线l 与直线m 的方向向量，则直线l 与直线m 所成角的余弦值为_______．14. 已知平面α的一个法向量为()1,1,0n =-r，点(2,6,3)A 在平面α内，则点()1,6,2D -到平面α的距离等于_________．15. 已知过点()1,1P -且斜率为k 的直线l 与抛物线2y x =有且只有一个交点，则k 的值等于____________．16. 已知点O 和()2,0F -分别为双曲线()22210x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r的取值范围是___________．三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别在面对角线1,AC A C 上且12,2CM MA A N ND ==.记向量1,,AB a AD b AA c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r 表示MN u u u u r .18. （本小题满分12分）设条件:p 01322≤+-x x ；条件:q ()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、P 分别是BC 、11A D 的中点.M 、N 分别是AE 、1CD 的中点，1122AD AA AB ===. （1）求证://MN 平面11ADD A ；（2）求直线MN 与平面PAE 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,,222AD DC AD BC CD ⊥===，侧面APD 为等腰直角三角形，90APD ∠=o ，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上的一点．（1）求证：PA DE ⊥；（2）在棱PC 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的余弦值为3-，若存在，请求出EC PC的值；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,2M，且离心率为3，直线l 过点()3,0P ，且与椭圆C 交于不同的,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．22. （本小题满分12分）已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4. （1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 点分别作斜率为1k 、2k 的两条直线1l 、2l ，直线1l 交轨迹Q 于A 、B 两点，直线2l 交轨迹Q 于C 、D 两点，线段AB 、CD 的中点分别是M 、N .若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.海南中学2016-2017学年第一学期期中考试高二理科数学参考答案考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBBDCCBADCAA第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13.2314.32215. 0或122-+或122-- 16. )323,⎡++∞⎣三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 23. （本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别在面对角线1,AC A C 上且12,2CM MA A N ND ==.记向量1,,AB a AD b AA c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r 表示MN u u u u r .解析：∵11MN MA AA A N =++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r()()1111112AC AA A D3312AB AD AA A A AD331112AB AD AA AD3333111a b c333111MN a b c.333=-++=-++++=--++=-++∴=-++u u ur u u u u r u u u u r u u ur u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u ur u u u r u u u u r u u u r r r r u u u u r r r r24. （本小题满分12分）设条件:p 01322≤+-x x ；条件:q ()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．解析1：设A={x|01322≤+-x x }，B={x|()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦}， 2分 化简得A={x|112x ≤≤}，B={x|1a x a ≤≤+}． 6分由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，故p 是q 的充分不必要条件，即A B Ø， 8分∴1211a a ⎧≤,⎪⎨⎪+≥.⎩ 10分 解得102a ≤≤，故所求实数a 的取值范围是1[0]2,． 12分解析2：2:2310p x x ⌝-+>，()():10q x a x a ⌝--+>⎡⎤⎣⎦ 2分记{}0132|2>+-=x x x A ，()(){}|10B x x a x a =--+>⎡⎤⎣⎦ 4分化简得⎭⎬⎫⎩⎨⎧><=121|x x x A 或，{}1|+><=a x a x x B 或 6分 由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，故q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即B A Ø， 8分⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤∴1121aa10分解得12a≤≤．故所求实数a的取值范围是1[0]2,． 12分25.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，E、P分别是BC、11A D的中点.M、N分别是AE、1CD的中点，1122AD AA AB===.（1）求证://MN平面11ADD A；（2）求直线MN与平面PAE所成角的正弦值.解析：以D为原点，1,,DA DC DDu u u r u u u r u u u u r的方向分别作为,,x y z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则故()()()()()111,0,0,1,2,0,0,2,0,1,0,1,0,0,1A B C A D.因为E、P分别是BC、11A D的中点，所以11,2,0,,0,122E P⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为M、N分别是AE、1CD的中点，所以31,1,0,0,1,42M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）31,0,42MN⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u u r.因为y轴⊥平面11ADD A，所以()0,1,0m=u r是平面11ADD A的一个法向量.由于310010042MN m⎛⎫⋅=-⨯+⨯+⨯=⎪⎝⎭u u u u r u r，故MN m⊥u u u u r u r.又MN ⊄平面11ADD A ，故//MN 平面11ADD A .（2）11,2,0,,0,122AE AP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .设平面PAE 的一个法向量为(),,u x y z =r，则1202102u AE x y u AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即42x y z ==. 取1y =，得()4,1,2u =r.设直线MN与平面PAE所成的角为θ，则8273sin cos ,27313214MN u MN u MN uθ⋅=<>===⋅⨯u u u u r r u u u u r ru u u u r r 因此直线MN 与平面PAE 所成角的正弦值为8273.26. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,,222AD DC AD BC CD ⊥===，侧面APD 为等腰直角三角形，90APD ∠=o ，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上的一点．（1）求证：PA DE ⊥；（2）在棱PC 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的余弦值为3-，若存在，请求出EC PC的值；若不存在，请说明理由．解法1：（1）∵平面PAD ⊥底面ABCD ， 平面PAD I 底面ABCD AD =，CD AD ⊥∴CD ⊥平面PAD （面面垂直的性质定理） 2分 ∴PA CD ⊥（线面垂直的定义） 3分 又∵PA PD ⊥，CD PD D =I ，∴PA ⊥平面PCD （线面垂直的判定定理）∴PA DE ⊥（线面垂直的定义） 6分 （2）如图，取AD 的中点O ，连接PO ，CO ，设CO 与BD 交于点F . 等腰直角三角形PAD 中，PO AD ⊥，∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 底面ABCD AD =， ∴CD ⊥平面ABCD （面面垂直的性质定理）. ∴PO CO ⊥，PO BD ⊥（线面垂直的定义）易知四边形BCDO 是正方形，CO BD ⊥，∴BD ⊥平面POC （线面垂直的判定定理）， ∴BD EF ⊥（线面垂直的定义），∴EFO ∠是二面角E BD A --的平面角， 8分 ∴3cos EFO ∠=-，∴3cos EFC ∠=，易知1PO =，2CO =，∴223PC PO CO =+=注意到直角△POC 中，3sin cos PO PCO EFC PC ∠===∠， ∴90EFC ECF ∠+∠=o ，即EF CE ⊥ 10分 ∴6cos EC CO ECF CF PC ∠===，∴3EC =，即13λ=. 12分 故棱PC 上存在一点E ，使得二面角E BD A --的余弦值为3-，并且13EC PC =.解法2：（1）取AD 的中点O ，连接PO ，OB∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 底面ABCD AD =， ∴CD ⊥平面ABCD （面面垂直的性质定理）， 由题意易知四边形BCDO 是正方形，OA OB ⊥∴可如图建立空间直角坐标系 2分 (0,0,1)P ，(1,1,0)C -，(1,0,0)A ，(1,0,0)D =- (1,1,1)PC =--u u u r ，(1,0,1)PA =-u u u r ，(1,0,1)DP =u u u r∵E 为棱PC 上的一点，∴可设()01EC PC λλ=<<u u u r u u u r.∴(1)(1,1,1)PE PC λλλλ=-=---u u u r u u u r∴(,1,)DE DP PE λλλ=+=-u u u r u u u r u u u r， 4分∴0DE PA λλ⋅=-=u u u r u u u r，即PA DE ⊥. 6分 （2）易知平面BDA 的一个法向量为(0,0,1)n =r， 7分设平面BDE 的法向量为000(,,)m x y z =u r ，由（1）(,1,)DE λλλ=-u u u r ，(1,1,0)DB =u u u r∴m DE m DB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u r u r u u u r ⇒00m DE m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r ur u u u r ⇒00000(1)00x y z x y λλλ+-+=⎧⎨+=⎩， 令01x =，则01y =-，012(0)z λλλ-=≠，即面BDE 的一个法向量12(1,1,)m λλ-=-u r 9分∴222123|cos ,|||||1211(1)()n mn m n m λλλλ-⋅<>===-⨯+-+r u rr u r r u r ， 10分 整理得23410λλ-+=，解得13λ=或1λ=.∵(0,1)λ∈，∴13λ=. 12分故棱PC 上存在一点E ，使得二面角E BD A --的余弦值为3-，并且13EC PC =.27. （本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3,2M，且离心率为33，直线l 过点()3,0P ，且与椭圆C 交于不同的,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．解析：（1）由题意得：2222222232113a b c a b e a a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪===⎪⎩，解得2264a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. ∴椭圆C 的方程为22164x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3与椭圆C 无交点.故直线l 的斜率存在，设其方程为：y ＝k(x －3). 由22(3)164y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(3k 2＋2)x 2－18k 2x ＋27k 2－12＝0， 因为直线l 与椭圆C 交于不同的,A B 两点，所以△＝(18k 2)2－4(3k 2＋2)(27k 2－12)＞0，即2403k ≤<. 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则x 1＋x 2＝221832k k +，x 1x 2＝22271232k k -+, ∵PA u u u r ＝(x 1－3, y 1), PB u u u r ＝(x 2－3, y 2)，∴PA u u u r ·PB u u u r ＝(x 1―3)(x 2―3)＋y 1y 2＝(x 1―3)(x 2―3)＋k 2(x 1―3)(x 2―3) ＝(k 2＋1)[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9] ＝(k 2＋1)( 22271232k k -+－225432k k +＋9) ＝226632k k ++ ＝2＋2232k + ∵2403k ≤<， ∴16＜2132k +≤12， ∴73＜2＋2432k +≤3， ∴PA u u u r ·PB u u u r 的取值范围是7(,3]328. （本小题满分12分）已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4.（1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 点分别作斜率为1k 、2k 的两条直线1l 、2l ，直线1l 交轨迹Q 于A 、B 两点，直线2l 交轨迹Q 于C 、D 两点，线段AB 、CD 的中点分别是M 、N .若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.解析：（1）设动圆圆心为O 1（x ，y ），动圆与y 轴交于R ，S 两点.由题意，得|O 1P|＝|O 1S|.当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥RS 交RS 于H ，则H 是RS 的中点.∴|O 1S|＝222x +.又|O 1P|y 2＝4x （x≠0）． 又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为（0,0）也满足方程y 2＝4x. ∴动圆圆心的轨迹Q 的方程为y 2＝4x ． （2）由12()4y k x m y x=-⎧⎨=⎩，得211440k y y k m --=.设()()1122,,,A x y B x y因为AB∴直线MN ：，即12()2y k k x m =-+ ∴直线MN 恒过定点(,2)m ．。

海南中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二 数学（本试卷总分150分，总时量120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）CA ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±2. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）DA ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==3. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )CA ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴4. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( )B A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．15. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）DA ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<6. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）AA B ． C ．12 D ．7. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=8. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）BA ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ）ABD A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=10. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）CDA ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过点2)且与直线l 40y --=11. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ）BC A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=12. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）ACDA ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF【解析】设椭圆的左焦点为F '，则||||AF BF '=，所以||||||||AF BF AF AF '+=+为定值6，A 正确；ABF ∆的周长为||||||AB AF BF ++，因为||||AF BF +为定值6，易知||AB 的范围是(0,6)，所以ABF ∆的周长的范围是(6,12)，B 错误；将y 与椭圆方程联立，可解得(A ，B ，又易知F ，所以2(60AF BF =+=，所以ABF ∆为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得(A ，B ，所以112ABF S ∆=⨯=D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．314. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．21515. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．34(,0,)55--16. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则的取值范围是 ．【解析】直线()()21340m x m y m +-+--=化为 (3)240m x y x y --+--=，令30{ 240x y x y --=--=，解得1{2x y -＝．＝∴直线()()21340m x m y m +-+--=过定点12Q -（，）． ∴点M 在以PQ 为直径的圆上，圆心为线段PQ 的中点11C --（，），半径线段MN线段MN四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程． 解：(1)设线段BC 的中点为D ． 因为B(6,−7)，C(0,−3)，所以BC 的中点D(3,−5)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y−0−5−0=x−43−4， 即5x −y −20=0． (2)因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 边所在直线的斜率k BC =−3−(−7)0−6=−23，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32，所以BC 边上的高所在直线的方程为y =32(x −4)， 即3x −2y −12=0．18. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）求2yx -的最小值． 解：(1)设动点M(x,y)， 根据题意得，√(x+1)2+y 2√(x−2)2+y 2=12，化简得，(x +2)2+y 2=4，所以动点M 的轨迹方程为(x +2)2+y 2=4． (2)设过点(2,0)的直线方程为y =k(x −2)， 圆心到直线的距离d =√k 2+1≤2，解得−√33≤k ≤√33， 所以yx−2的最小值为−√33．19. （12分）如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小． （1）证明：∵F,G 分别为PB,EB 中点，∴FG PE ∥，,FG PED PE PED ⊄⊂平面平面，FG PED ∴平面∥. （2）解：EA ABCD EA PD ⊥平面，∥，PD ABCD ∴⊥平面.又ABCD 四边形为矩形，,,DA DC DP ∴两两垂直.故以D 为坐标原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，、则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，所以可取(0,1,1)n =，同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =，设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ， 则||2cos ||||m n m n θ⋅==⋅，又[0,]2πθ∈，∴平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.20. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =，求m 的值． 解：(1)把圆x 2+y 2−8x −12y +36=0， 化为标准方程得(x −4)2+(y −6)2=16， 所以圆心坐标为(4,6)，半径为R =4，则两圆心间的距离d =√(42+(6−2)2=5， 因为两圆的位置关系是外切，所以d =R +r ，即4+√5−m =5，解得m =4， 故m 的值为4；(2)因为圆心C 的坐标为(1,2)， 所以圆心C 到直线l 的距离d =√5=√55， 所以(√5−m)2=(12|MN|)2+d 2=(2√55)2+(√55)2，即5−m =1，解得m =4， 故m 的值为4．21. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题 处，若问题中的四棱锥存在，求AB 的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF 与平面PCD 所成角的正弦值等于15； ②DA 与平面PDF 所成角的正弦值等于34； ③P A 与平面PDF 所成角的正弦值等于3． 问题：若点F 是AB 的中点，是否存在这样的四棱锥，满足 ？ （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）证明：=90PAB ∠，AB PA ∴⊥， ∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥， 又,PA AD PAD ⊂平面，且PAAD A =，AB PAD ∴⊥平面，又AB ABCD ⊂平面，故平面PAD ⊥平面ABCD.（2）解：取AD 中点为O ，∵4PA PD AD ===，∴OA ⊥OP ，以O 为原点，OA,OP 所在直线分别为x,z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>， 则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,,0)A D P B a C a F a --， 选①：(2,,0),(0,2,0),(1,0,3)CF a DC a DP =-==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030ay x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,0,1)n =-，设CF 与平面PCD 所成角为θ，则2||315sin 5||||4CF n CF n aθ⋅===⋅+，解得1a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时22AB a ==. 选②：(2,0,0),(1,0,3)(2,,0)DA DP DF a ===，，设平面PDF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x x ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,)n a a =--，设DA 与平面PDF 所成角为θ， 则||3sin 4||||2DA n DA n θ⋅===⋅，解得3a =，∴符合题意的四棱锥存在，此时26AB a ==. 选③：易知P A 与平面PDF 所成角小于APD ∠，设P A 与平面PDF 所成角为θ， 则sin sin sin32APD πθ<∠==，故不存在符合题意的四棱锥.22. （12分）已知椭圆2222:1(0)xy M a b a b+=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的 右顶点C ，求m 的值．解：(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2， 所以2a +2c =6+4√2， 又椭圆的离心率为2√23， 即ca =2√23， 所以c =2√23a ， 所以a =3，c =2√2． 所以b =1，椭圆M 的方程为x 29+y 2=1; (Ⅱ)由{x =ky +m x 29+y 2=1消去x 得(k 2+9)y 2+2kmy +m 2−9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则有y 1+y 2=−2kmk +9，y 1y 2=m 2−9k +9.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)， 得(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0．将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0． 将①代入上式，解得m =125或m =3．。