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核心素养提升——科学思维系列(九)分析带电粒子在匀强磁场中运动的三种特殊方法方法1动态放缩法当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入矩形边界磁场的情景．(多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)，若从O点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是()A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是2 3t0C ．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t 0D ．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是43t 0【解析】 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，粒子同向不同速．由题，带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T ＝2t 0.A ．作出粒子恰好从各边射出的轨迹，发现粒子不可能经过正方形的某顶点，故A 正确．B ．作出粒子恰好从ab 边射出的轨迹，由几何关系知圆心角不大于150°，在磁场中经历的时间不大于512个周期，即5t 06.圆心角不小于60°，在磁场中经历的时间不小于16个周期，即t 03.故B 正确． C ．作出粒子恰好从bc 边射出的轨迹，由几何关系知圆心角不大于240°，在磁场中经历的时间不大于23个周期，即4t 03.圆心角不小于150°，在磁场中经历的时间不小于512个周期，即5t 06.故C 正确． D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是56个周期，即5t 03.粒子轨迹的圆心角为θ＝5π3，速度的偏向角也为5π3，根据几何知识得知，粒子射出磁场时与磁场边界的夹角为30°，必定从cd 边射出磁场．故D 错误．【答案】 ABC 方法2 定圆旋转法当带电粒子射入磁场时的速率v 大小一定，但射入的方向变化时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边有界磁场时的情景．(2019·江西上饶六校一联)如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝2qBd3m，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为()A．1 1 B．2 3C.3 2D.3 3【解析】粒子在磁场中运动时，Bq v＝m v2R，粒子运动轨迹半径R＝m vBq＝23d；由左手定则可得：粒子沿逆时针方向偏转，做圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端距A点的竖直距离L1＝R2－(d－R)2＝33d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L2＝R2－(d－R)2＝33d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为：L＝L1＋L2＝233d；因为R<d，所以粒子在MN边界射出区域的长度为L′＝2R＝43d.故两区域长度之比为L L′＝233d43d＝32，故C项正确，A、B、D错误．【答案】 C方法3平移圆法粒子发射速度大小、方向不变，但入射点沿一直线移动时，轨迹圆在平移，但圆心在同一直线上．(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为qBdm，不计粒子重力，则()A ．粒子在磁场中的运动半径为d2B ．粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域C ．粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区内运动的时间为πmqB D ．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为πm 3qB【解析】 带电粒子在磁场中的运动半径r ＝m vqB ＝d ，选项A 错误；设从某处E 进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC 相切(如图所示)，则E 点距A 点的距离为2d －d ＝d ，粒子在距A 点0.5d 处射入，会进入Ⅱ区域，选项B 错误；粒子在距A 点1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t ＝T 2＝πmqB ，选项C 正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d ，对应圆心角为60°，最短时间为t min ＝T 6＝πm3qB，选项D 正确．【答案】 CD。
高考数学秘笈：四步解题法9——明确目标之改造目标冯跃峰解题中，有时候题目给出的原始目标比较难以实现，这就需要对目标进行改造。
目标的改造有3种主要表现形式。
（1）等价改造所谓“等价改造”，就是通过等价变形，将目标换一种表现形式。
当然，这种形式得到的结果，本质上和原来的目标是完全一致的（可相互推出）。
如何对目标进行等价变形？它应遵循以下三个原则：简单化原则（将复杂的式子简化）、熟悉化原则（将陌生的形式转化为我们熟悉的形式）、标准化原则（将杂乱的形式转化为标准形式或者一般式）。
我们看下面的例子。
例1、证明不等式：a+b+c-3≥a+b-2。
【分析与解】如果我们直接分割目标，选取原式右边的“a+b-2”为终点，则解题会陷入死胡同。
我们先将目标“a+b+c-3≥a+b-2”进行改造，根据“简单化”原则，原始不等式两边可以抵消a+b，得到目标变异：c-3≥-2。
至此，如果我们目标变异右边的“-2”为目标，解题同样陷入死胡同。
再根据“熟悉化”原则，通过移项，将负项转化为正项，得到新的目标变异：c+2≥3。
至此，可选取该不等式右边的“3”为终点，建立解题主线：c+2———→（放缩变形） 3现在发现差异，对于“3”这样的目标，通常是通过3项的平均值不等式得到。
但此时初始状态只有两项。
自然可通过“裂项”来消除差异。
而恰好，初始状态有一项的系数是2，将其平均分为两项，解题便水到渠成。
c+≥3=3，不等式得证。
本例难度虽然不大，但它充分显示了改造目标的重要性。
（2）逆推改造所谓逆推改造，就是设想目标实现的前一步是一种怎样的状态，以这种状态作为新的解题目标。
我们看下面的例子。
例2、设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任何x、y>0，有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1。
试求集合P={x|f（x）+f（x-3）≤2}。
【分析与解】先明确目标，确立解题主线。
从题目的要求看，目标是要求出集合P。
但这样并没真正明确目标，怎样才叫做求出了集合P呢?也就是说P的最后的表现形式（最简形式）是什么呢?这才是明确目标所要了解的真正内容。
【高考专题】微元法【定义】“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。
部分情况说明：变力做功（如：弹簧弹力做功）、变速导线切割磁感线的安培力做功、非规则运动求解位移…（利用图像分析过程与积分）【作用】（1）变力做功——>恒力做功：—>0t ∆，这个极短时间内，变力F 可以看作恒力 2211()22k F s E m v v mv mv v ∆=∆=+∆-=∆（忽略高阶无穷小） 电磁感应中：v RL B BIL F 22==，变力做功，用微元法 （2）变力冲量——>恒力冲量()F t I m v v mv m v ∆=∆=+∆-=∆0vv v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v （3）变加速运动——>匀加速运动 —>v=F v F a t m t m∆==∆∆∆；x t v ∆=∆ （4）“化曲为直”（5）“化整为零”【解题步骤】整体→微元→整体例：以一定初速度在光滑水平平行导轨上运动的金属棒，组成闭合回路电阻R ，导轨间距L ，磁感应强度竖直向上，垂直导轨平面，大小B ，最终运动距离S ，金属棒质量m ，求初速度。
一、从整体出发，分析整个过程取一个整体过程作为对象：运动2m 这个过程，二、微元（取整体中非常小的一部分处理）（1）确定研究对象（金属棒）（2）取“微元”（Δs ）①几何体微元；②物理微元：线速度微元、角速度微元、面积微元、质量微元，时间微元，位移微元，做功微元，电流微元等运动学：一般取时间微元（△t ）、位移微元（△S ）（3）对“微元进行处理”（动能定理/动量定理）1）列关系式①数学方法：微分、积分、数列等②物理方法：牛顿运动定律、动能定理、动量定理…2）化简①消元，化简1）中的关系式222222111111()222222F s m v v mv mv mv v m v mv mv v m v ∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆ ②省掉高阶无穷小量：即两阶以上无穷小，如2v ∆，t v ∆∆等F s mv v ∆=∆（其中的高阶无穷小212m v ∆省掉）三、回归到整体选取整个过程作为对象，对上一步微元中的等式两边求和。
高三学生必须掌握的高考数学解题思想和套路五大解题思想在高考时很多同学往往因为时间不够导致数学试卷不能写完，试卷得分不高，掌握解题思想可以帮助同学们快速找到解题思路，节约思考时间。
以下总结高考数学五大解题思想，帮助同学们更好地提分。
一、函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。
同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。
二、数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
三、特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用四、极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;三、构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果五、分类讨论思想同学们在解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
建议同学们在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。
割平面法的基本思想割平面法主要用于求解整数规划问题的方法。
1958年由美国格莫理提出。
基本思路是：先不考虑整数性约束，求解相应的线性规划问题。
若线性规划问题的最优解恰好是整数解，则此解即为整数规划问题的最优解。
否则，就增加一个新的约束条件,称为割平面。
割平面必须具有两条性质：（1)从线性规划问题的可行域中至少割掉目前的非整数最优解；（2)不割掉任何整数可行域，然后在缩小的可行域上继续解线性规划问题。
重复以上做法，经有限次切割后，必可在缩小的可行域的一个整数极点上达到整数规划问题的最优解。
混合整数线性规划（MILP）的割平面法通过将整数问题线性松弛为非整数线性问题，并对其进行求解，来求解MILP 问题。
线性规划理论说明，在温和的假定下（如果线性规划存在最优解，并且可行域不包含一条线），总存在一个极值点或顶点是最优的。
检验所获的最优解是否为整数解。
如否，则必然存在一线性不等式将最优点和真可行集的凸包分离。
找到这样的不等式是分离问题，而这样的不等式就是切割。
切割可以被加入到被松弛的线性规划中，使得当前的非整数解对松弛不再可行。
该过程不断重复，直到找到最优整数解。
用于普遍的凸连续优化和变体的割平面法有不同的名称：Kelley 法，Kelley-Cheney-Goldstein 法和捆绑法。
它们常用于不可微的凸最小化问题。
对于这类问题，通常的可微优化的梯度法无法使用，而使用这些方法可以高效地得到凸目标函数及其次梯度。
这种情况最常出现在双拉格朗日函数的凹优化中。
另一种常见情形是Dantzig-Wolfe分解应用于结构优化问题中，这类问题通常有含有指数级变量的表达式。
通过延迟列生成法按需生成这些变量等同于在对应的对偶问题上切割平面。
图1.割平面法例，如上图1，单位立方体与切割平面。
在三节点的旅行推销员问题中，该（弱）不等式表明每次旅行必须连接至少两个点。
2Gomory 切割切割平面法由Ralph Gomory 在19 世纪50 年代提出，用于解决整数规划和混合整数规划问题。
紧盯目标不放松解题变得更轻松
作者：王言忠王志进
来源：《中学数学杂志(初中版)》2015年第06期
很多学生在证解数学问题时常常感觉无从下手、中途辍解、思维受阻，在阅用教辅时往往感慨于作者的巧思妙解而不得要领，归因之一就是在解题过程中缺乏目标意识所致.
所谓解题目标，是指证解数学问题的方向，具体地说就是待证的结论、待求的答案.我们发现，数学学习优秀的学生往往具有强烈的目标意识，解题目标的定向作用在解题中的重要性不啻于航海的指南针、夜行的北斗星、行车的导航仪，解题过程中确定并紧盯解题目标，注重目标的定向作用，不仅可以避免思维的盲目性，使解题活动有的放矢，而且能及时精准地调控思维方向，促使解题活动迅速、合理地推进，达到提高解题效果的目的！
下面，我们就举例说明良好的目标意识在解题中的应用.
1 良好的目标意识能提高学习效率
例1 如图1，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路
会不会穿越保护区.为什么？。
5 解析几何综合问题中优化运算的提能策略提分策略一 利用图形性质、直观运算充分利用图形的结构、性质，直观地运算可有效降低运算量，从而提高运算效率．(2018·江西名校联考)如图，抛物线C ：x 2＝2px (p＞0)的焦点为F (0,1)，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1，P 2，过P 1，P 2作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P 1Q⊥P 2Q .(1)求抛物线C 和圆Q 的方程；(2)过点F 作直线l ，与抛物线C 和圆Q 依次交于点M ，A ，B ，N ，求MN ·AB 的最小值．解析：(1)因为抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F (0,1)， 所以p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . 由抛物线和圆的对称性，可设圆Q ：x 2＋(y －b )2＝r 2，由题意知抛物线C 与圆Q 相切，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 2＋(y －b )2＝r 2，得y 2－(2b －4)y ＋b 2－r 2＝0，所以Δ＝[－(2b －4)]2－4(b 2－r 2)＝0，有4b ＝4＋r 2. ① 又由P 1Q ⊥P 2Q ，得△P 1QP 2是等腰直角三角形，所以P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22r ，b －22r ，代入抛物线方程有r 22＝4b －22r ， ②联立①②解得r ＝22，b ＝3， 所以圆Q 的方程为x 2＋(y －3)2＝8.(2)由题知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝21＋k2，所以AB ＝2r 2－d 2＝42－11＋k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k 2＋2， 由抛物线定义知MN ＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2)．所以MN ·AB ＝16(1＋k 2)2－11＋k2，设t ＝1＋k 2(t ≥1)， 则MN ·AB ＝16t2－1t＝162t 2－t ＝162⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－18(t ≥1)， 所以当t ＝1，即k ＝0时，MN ·AB 有最小值16.点评 本题四处运用了降低运算量、提高运算效率的方法，巧妙地避开了烦琐的运算，最终顺利地解决了问题．其中前三个都是基于图形结构，直观地运算．在解析几何问题中，善于运用如下平面几何图形的性质，常可大幅度降低运算量：(1)线段的垂直平分线：已知线段AB ，动点P 满足PA ＝PB ⇔点P 在线段AB 的垂直平分线上． (2)三角形：①三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②等腰三角形的两底角相等，且两底角必为锐角； ③三角形的中位线平行且等于底边的一半．(3)四边形：①对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线之积的一半； ②平行四边形的对角线互相平分(反之也行)； ③菱形的对角线互相平分且互相垂直(反之也行)； ④矩形的对角线互相平分且相等(反之也行)．[对点训练]已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2， |AB |＝1＋k212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12＞0，63＋k 2≤12|AB |.解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.提分策略二 借用已算、同理推算解析几何中存在不少类似的问题，这些问题只需算好一部分，然后作类似的推算与替换即可得到另一部分的结果．(2018·衡水中学模拟)在平面直角坐标系中，定点F 1(1,0)，F 2(－1,0)，动点P 与两定点F 1，F 2距离的比是一个正数m .(1)求点P 的轨迹方程C ，并说明轨迹是什么图形； (2)若m ＝22，过点A (1,2)作倾斜角互补的两条直线，分别交曲线C 于P ，Q 两点，求直线PQ 的斜率．解析：(1)设P (x ，y )，由题意知|PF 1||PF 2|＝m (m ＞0)，即|PF 1|＝m |PF 2|，故(x －1)2＋y 2＝m (x ＋1)2＋y 2.即(m 2－1)(x 2＋y 2)＋2(m 2＋1)x ＋m 2－1＝0.当m ＝1时，点P 的轨迹方程为x ＝0，表示直线x ＝0(或线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴)；当m ≠1时，点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1x ＋1＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2(m 2－1)2，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＋1m 2－1，0，半径是2m |m 2－1|的圆．(2)当m ＝22时，由(1)得曲线C ：(x －3)2＋y 2＝8.易知直线AP ，AQ 的斜率存在， 所以设直线AP ：y －2＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，则直线AQ ：y －2＝－k (x －1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，(x －3)2＋y 2＝8，得(1＋k 2)x 2＋(－2k 2＋4k －6)x ＋k 2－4k ＋5＝0，故1·x 1＝k 2－4k ＋51＋k 2，即x 1＝k 2－4k ＋51＋k 2，此时y 1＝kx 1＋2－k . 同理可得x 2＝k 2＋4k ＋51＋k2，此时y 2＝－kx 2＋2＋k . 故k PQ ＝y 2－y 1x 2－x 1＝(－kx 2＋2＋k )－(kx 1＋2－k )x 2－x 1＝－k (x 1＋x 2)＋2kx 2－x 1. 将x 1，x 2代入得k PQ ＝－k [(x 1＋x 2)－2]x 2－x 1＝－k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k ＋51＋k 2＋k 2＋4k ＋51＋k 2－2k 2＋4k ＋51＋k 2－k 2－4k ＋51＋k2＝－1.点评 由于求点P 与Q 坐标的方法是相同的，差别只是将k 换为－k ，于是只需将x 1＝k 2－4k ＋51＋k 2中的k 替换为－k 即可得到x 2＝k 2＋4k ＋51＋k2.这样就很好地避免了不必要的重复运算，提高了运算的效率．[对点训练](2018·石家庄调研)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2到抛物线C 1的准线的距离为2.(1)求抛物线C 1的方程；(2)过点A 作圆C 2：x 2＋(y －a )2＝1的两条切线，分别交抛物线于M ，N 两点，若直线MN 的斜率为－1，求实数a 的值．解析：(1)由抛物线定义可得p 2＋p2＝2，所以p ＝2，故抛物线C 1的方程为x 2＝4y .(2)设直线AM ，AN 的斜率分别 为k 1，k 2，将l AM ：y －1＝k 1(x －2)代入x 2＝4y 可得x 2－4k 1x ＋8k 1－4＝0，Δ＝16(k 1－1)2＞0，则k 1∈R 且k 1≠1.由根与系数的关系可得x M ＝4k 1－2，同理可得x N ＝4k 2－2. 所以k MN ＝y M －y N x M －x N ＝14(x M ＋x N )＝k 1＋k 2－1. 又因为直线l AM ：y －1＝k 1(x －2)与圆相切，所以|a ＋2k 1－1|1＋k 21＝1， 整理可得3k 21＋4k 1(a －1)＋a 2－2a ＝0，同理3k 22＋4k 2(a －1)＋a 2－2a ＝0. 所以k 1，k 2是方程3k 2＋4k (a －1)＋a 2－2a ＝0的两个根， 所以k 1＋k 2＝－4(a －1)3，代入k MN ＝k 1＋k 2－1＝－1可得a ＝1.提分策略三 设(参)而不求、整体运算在解题时，可设一些辅助元(参数)，然后在解题过程中，巧妙地消去辅助元(参数)，而不必求出这些辅助元(参数)的值(有时也求不出)，便于降低运算量，优化解题过程，使解题方法更快捷．(2018·汕头模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且与定直线l ：y ＝－14相切． (1)求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；(2)若点A (x 0，y 0)是直线x －y －1＝0上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求△AMN 面积S 的最小值．解析：(1)根据抛物线的定义，由题意可得，动圆圆心的轨迹C 是以点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14为焦点，以定直线l ：y ＝－14为准线的抛物线．设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，因为点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14到准线l ：y ＝－14的距离为12，所以p ＝12，所以圆心的轨迹曲线C 的方程为x 2＝y . (2)证明：因为x 2＝y ，所以y ′＝2x .设切点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 21＝y 1，x 22＝y 2，则过点M (x 1，y 1)的切线方程为y －y 1＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21，即y ＝2x 1x －y 1. 同理得过点N (x 2，y 2)的切线方程为y ＝2x 2x －y 2.因为过点M ，N 的切线都过点A (x 0，y 0)，所以y 0＝2x 1x 0－y 1，y 0＝2x 2x 0－y 2，所以点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在直线y 0＝2xx 0－y 上， 所以直线MN 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即2x 0x －y －y 0＝0.又因为点A (x 0，y 0)是直线x －y －1＝0上的动点，所以x 0－y 0－1＝0， 所以直线MN 的方程为2x 0x －y －(x 0－1)＝0，即x 0(2x －1)＋(1－y )＝0，所以直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0x －y －y 0＝0，y ＝x 2，得x 2－2x 0x ＋y 0＝0，又x 0－y 0－1＝0，所以x 2－2x 0x ＋x 0－1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4x 20－4(x 0－1)＞0，x 1＋x 2＝2x 0，x 1·x 2＝x 0－1，所以MN ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2]＝(1＋4x 20)[(2x 0)2－4(x 0－1)] ＝(1＋4x 20)(4x 20－4x 0＋4).又因为点A (x 0，y 0)到直线2x 0x －y －y 0＝0的距离为 d ＝|2x 0·x 0－y 0－y 0|1＋4x 20＝|2x 20－2(x 0－1)|1＋4x 20＝2|x 20－x 0＋1|1＋4x 20， 所以S ＝12MN ·d＝12(1＋4x 20)(4x 20－4x 0＋4)·2|x 20－x 0＋1|1＋4x 20 ＝2x 20－x 0＋1·|x 20－x 0＋1|. 令t ＝x 20－x 0＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋34≥32，即S ＝2t 3≥334，所以当点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12时，△AMN 的面积S 取得最小值为334.点评 若设切线AM ：y －y 0＝k (x －x 0)，再与x 2＝y 联立求切点M 的坐标(用x 0，y 0，k 表示)，运算量非常大，即使同理得点N 的坐标，求直线MN 的方程，运算量也极度繁重，再要从中求恒过定点的坐标，已经很难求出，还要求△AMN 的面积S 的最小值就更难做到了．而以上的解法巧妙地避开了这些运算，大大地提高了解决问题的可行性与效率．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23，短轴长为12，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝125相切，求证：OM →·ON →为定值．解析：(1)由题意得，2a ＝23，2b ＝12，所以a ＝13，b ＝14.所以椭圆C 的方程为9x 2＋16y 2＝1.(2)证明：①当直线l ⊥x 轴时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x ＝±15.当直线l ：x ＝15时，得M ，N 两点的坐标分别为(15，15)，(15，－15)，所以OM →·ON →＝0；当直线l ：x ＝－15时，同理可得OM →·ON →＝0.②当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 所以圆心O (0,0)到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝15， 所以25m 2＝1＋k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋16y 2＝1，得(9＋16k 2)x 2＋32kmx ＋16m 2－1＝0，则Δ＝(32km )2－4(9＋16k 2)(16m 2－1)＞0，x 1＋x 2＝－32km 9＋16k 2，x 1x 2＝16m 2－19＋16k 2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝25m 2－k 2－19＋16k 2＝0. 综上，OM →·ON →＝0(定值)．提分策略四 结论归纳、跳步计算当直线与圆锥曲线相交时，归纳一套关于直线方程与圆锥曲线方程联立整理后的方程、判别式Δ、x 1＋x 2与x 1x 2的值、弦长值等结论，为实施跳步计算提供坚实的基础．(2018·泉州质检)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(1，32)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过椭圆C 的左焦点F 1交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交长轴于点D .试探索DF 1AB是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解析：(1)椭圆C 的离心率为12，则c a ＝12，即a 2＝4c 2，b 2＝a 2－c 2＝3c 2.又因为椭圆C ：x 24c 2＋y 23c 2＝1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①证明：当直线l 与x 轴重合时，点D 与点O 重合，A ，B 为长轴顶点，则DF 1AB ＝14. ②当直线l 与x 轴不重合时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y23＝1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，则y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，Δ＝122(m 2＋1)＞0， 所以AB ＝m 2＋13m 2＋4·Δ＝12(m 2＋1)3m 2＋4. 设AB 的中点为C (x 3，y 3)，则y 3＝12(y 1＋y 2)＝12×6m 3m 2＋4＝3m3m 2＋4，x 3＝12(x 1＋x 2)＝12[m (y 1＋y 2)－2]＝－43m 2＋4， 所以直线CD ：y －3m 3m 2＋4＝－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43m 2＋4，令y ＝0，得x D ＝－13m 2＋4，则DF 1＝－13m 2＋4－(－1)＝3(m 2＋1)3m 2＋4，所以DF 1AB ＝3(m 2＋1)3m 2＋4÷12(m 2＋1)3m 2＋4＝14为定值． 点评 对于直线与圆锥曲线的相交问题，熟悉下面的结论对降低运算量，提高解题效率很有帮助：(1)直线l ：y ＝kx ＋m (简称“y 类结论”)：(2)直线l ：x ＝my ＋t(简称“x 类结论”)：(2018·张掖模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点为F ，右顶点为E ，P为直线x ＝54a 上的任意一点，且(PF →＋PE →)·EF →＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且垂直于x 轴的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，动直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且M ，N 位于直线AB 的两侧，若始终保持∠MAB ＝∠NAB ，求证：直线MN 的斜率为定值．解析：(1)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫54a ，m ，又F (c,0)，E (a,0)， 则PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －54a ，－m ，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，－m ，EF →＝()c －a ，0，所以(2c －3a )(c －a )＝4.又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，从而椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，又M ，N 是椭圆上位于直线AB 两侧的动点，若始终保持∠MAB ＝∠NAB ，则k AM ＋k AN ＝0， 即y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋m －32(x 2－1)＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋m －32(x 1－1)＝0，整理得(2k －1)(2m ＋2k－3)＝0，得k ＝12.故直线MN 的斜率为定值12.授课提示：对应学生用书第147页1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC →＝2CB →，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．解析：(1)由题意知，c ＋b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2， 所以b ＝c ，a 2＝2b 2，所以e ＝c a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝22. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)，因为AC →＝2CB →，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)，即y 1＝－2y 2， ①由(1)知，椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky －1，x 2＋2y 2＝2b 2消去x ， 得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2k k 2＋2， ② 由①②知，y 2＝－2k k 2＋2，y 1＝4k k 2＋2， 因为S △AOB ＝12|y 1|＋12|y 2|， 所以S △AOB ＝3·|k |k 2＋2＝3·12|k |＋|k | ≤3·122|k |·|k |＝324， 当且仅当|k |2＝2，即k ＝±2时取等号，此时直线l 的方程为x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0.2．(2018·石家庄摸底)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 、B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线T A ，T B 的斜率之积为－34. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围．解析：(1)设T(x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线T A 的斜率为k 1，直线T B 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝yx －4. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34， 整理得x 216＋y 212＝1. 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0. 所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3. 从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 所以－20＜OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523. 当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20.综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523. 3．(2018·浦东五校联考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，已知P (2,3)，Q (2，－3)是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由．解析：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝2 3. 由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4， ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①设直线AB 的方程为y ＝12x ＋t ， 代入x 216＋y 212＝1，得x 2＋t x ＋t 2－12＝0， 由Δ＞0，解得－4＜t ＜4，由一元二次方程根与系数的关系得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝t 2－4(t 2－12)＝48－3t 2.∴四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝348－3t 2. ∴当t ＝0时，S 取得最大值，且S max ＝12 3.②若∠APQ ＝∠BPQ ，则直线PA ，PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为y －3＝k (x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －3＝k (x －2)，x 216＋y 212＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0，∴x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2， 将k 换成－k 可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k 3＋4k 2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12， ∴直线AB 的斜率为定值12. 4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为方程2x 2－3x ＋1＝0的解，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 把△DMN 分为面积相等的两部分．解析：(1)方程2x 2－3x ＋1＝0的解为x 1＝12，x 2＝1， ∵椭圆离心率e ∈(0,1)，∴e ＝12， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )，线段MN 的中点为P (x 0，y 0)，故2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，由(1)可得F (－1,0)， 则直线DF 的斜率为k D F ＝n －0－4－(－1)＝－n 3， 当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN .当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2， ∵点M ，N 在椭圆E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，整理得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0，又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，∴x02＋2y03·3n＝0，即y0x0＝－n4，即直线OP的斜率为k OP＝－n 4，又直线OD的斜率为k O D＝－n4，∴OD平分线段MN.综上，直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．。
指对互化及其应用在学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式，大家想必是不陌生的：再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中0x >）：再结合常用的切线不等式ln 1x x ≤-，ln ex x ≤，e 1x x ≥+，e e x x ≥等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：注意到上述等号都是可以取到的，于是可以根据以上结论得到一些函数的最值，并衍生出一些看起来很复杂的题目：函数最值题01：函数()e ln x f x x x x =--的最小值为____.题02：函数()ln 1e x x f x x+=-的最小值为_____. 题03：函数()()1ln e x f x x x x -=++-的最大值为_____.题04：函数()e ln 1x x x f x x -=+的最小值为______. 恒成立问题题05：已知e ln 10x x ax x ---≥对任意的正数x 恒成立，则实数a 的最大值为________.题06：已知()2e ln 1x x a x -≥+对任意的正数x 恒成立，则实数a 的最大值为________.题07：已知()e 1ln x x a x x -+≥对任意的正数x 恒成立，则实数a 的最大值为________.题08：已知()()e 1ln 1x x a x -≥+对任意的正数x 恒成立，则实数a 的最大值为________.零点问题题09：已知()()e ln x f x x a x x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是_______.题10：已知()()e ln x f x x a x x =-+恰有一个零点，则实数a 的取值集合为_______.不等式证明题11：证明：当0x >时，2ln e x x x x x --≤+.题12：证明：当1x >时，()e e ln x x x x >-.题13：证明：当0x >时，12eln x x x x -+≥.题14：证明：当0x >时，e 222eln e x x x x -+≥.此外，根据ln e x x =，我们可以认为e x 与x 之间的关系，和x （即ln e x ）与ln x 之间的关系是“等同的”，因此e x x 与ln x x （即ln ln e x x ⋅）可以认为是“同构式”.根据这个同构的特点，又可以衍生出如下题目：题13：已知ln ex x λλ≥对任意的正数x 恒成立，则正实数λ的最小值为________.题14：函数()2e ln x f x x x =+的所有零点的倒数之和的整数部分为_______.题15：已知()ln e xx f x x x =+的零点为1x ，()g x =ln x x +的零点为2x ，则12,x x 的大小关系为_______.题16：已知,a b 分别满足2e e a a =，()3ln 1e b b -=，则ab =________.下面是答案和提示：函数最值题01：函数()e ln x f x x x x =--的最小值为____.解析：注意到()ln e ln e ln 1x x x x x x x x +--=-+≥，其中等号当且仅当ln 0x x +=时成立.令()ln x x x ϕ=+，显然它是增函数，且()110ϕ=>，1110e eϕ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以存在01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00x ϕ=. 故方程ln 0x x +=有实数解0x ，()f x 在0x x =处取得最小值1. 说明：第1题为求严谨，通过找点对取等条件进行了说明，后面不再赘述.题02：函数()ln 1e xx f x x +=-的最小值为_____. 解析：()()ln e ln 1ln 1e x x x x x f x xx +-++=-=()ln 1ln 11x x x x++-+≥=， 取等条件为ln 0x x +=.题03：函数()()1ln e x f x x x x -=++-的最大值为_____.解析：()ln 1ln e ex xx x x f x +++-= ()1ln ln 10ex x x x x ++-++≤=， 取等条件为ln 0x x +=.题04：函数()e ln 1x x x f x x -=+的最小值为______. 解析：()ln e ln ln 1ln 111x x x x x x f x x x +-++-=≥=++， 取等条件为ln 0x x +=.恒成立问题题05：已知e ln 10xx ax x ---≥对任意的正数x 恒成立，则实数a 的最大值为________. 解析：min ln 1e 1x x a x +⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭.（见第2题） 取等条件为ln 0x x +=.题06：已知()2e ln 1x x a x -≥+对任意的正数x 恒成立，则实数a 的最大值为________.解析：因为2ln 2ln 1e ln 1e x x x x x x x ++---= 2ln 1ln 12x x x x++--≥=， 取等条件为2ln 0x x +=. 所以2minln 1e 2x x a x +⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭.题07：已知()e 1ln x x a x x -+≥对任意的正数x 恒成立，则实数a 的最大值为________. 解析：min ln 1e 1x x a x +⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭.（见第2题） 取等条件为ln 0x x +=.题08：已知()()e 1ln 1x x a x -≥+对任意的正数x 恒成立，则实数a 的最大值为________. 解析：当1ex =时，该不等式显然成立. 当1e x >时，()mine 1ln 1x x a x ⎡⎤-⎢⎥≤+⎢⎥⎣⎦， 其中()ln e 1e ln 11ln 1ln 1ln 1x x x x x x x x x x x +--++-=≥=+++， 取等条件为ln 0x x +=（前面证过其实数解在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，符合要求），所以1a ≤. 当10e x <<时，()e 10x x ->，1ln 0x +<，所以1a =符合要求.故实数a 的最大值为1.零点问题题09：已知()()e ln x f x x a x x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是_______.解析：()()ln e ln x x f x a x x +=-+.构造函数()ln g x x x =+，显然该函数单调递增.对于任意的实数t ，当1x >且x t >时，有()g x t >；当01x <<且10e t x -<<时，有()g x t <.故对任意的实数t ，方程()g x t =都有唯一实数解.（解答题务必说明ln x x +的值与x 的值一一对应）从而()()ln e ln x x f x a x x +=-+有两个零点等价于()e t h t at =-有两个零点，易知实数a 的取值范围是()e,+∞（后面是简单的零点问题，过程略去了.）题10：已知()()e ln x f x x a x x =-+恰有一个零点，则实数a 的值为_______.解析：同上可知()e t h t at =-恰有一个零点，所以0a <或e a =.不等式证明题11：证明：当0x >时，2ln e xx x x x --≤+.提示：两边同除以x ，故 2ln ln e e ln 1x x x x x x x x x ----≤+⇔≥--+题12：证明：当1x >时，()e e ln x x x x >-.提示：两边同除以e x ，故()ln 1e e ln e ln x x x x x x x x -->-⇔>-.顺便提一下，因为ln 1x x ->，所以()e e ln x x x x >-比切线放缩e e x x >要紧.题13：证明：当0x >时，12eln x x x x -+≥.提示：两边同除以x ，故 12ln 1e ln e ln x x x x x x x x ---+≥⇔≥-.题14：证明：当0x >时，e 222eln e x x x x -+≥.提示：两边同除以x ，故 e 22e ln 2e ln 22e ln e e 12x x x x x x x x -----+≥⇔≥+. 化同构题13：已知ln ex x λλ≥对任意的正数x 恒成立，则正实数λ的最小值为________. 提示：ln ln e e ln ln e x x x xx x x x λλλλ≥⇔≥=⋅max ln 1ln ex x x x λλ⎛⎫⇔≥⇔≥= ⎪⎝⎭ 题14：函数()2e ln x f x x x =+的所有零点的倒数之和的整数部分为_______. 提示：2ln 11e ln 0e ln x xx x x x x x x+=⇔=-= 1ln ln 0x x x x ⇔=⇔+=， 故()2e ln x f x x x =+有唯一零点0x ， 且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以01x 的整数部分是1. 题15：已知()ln e x x f x x x=+的零点为1x ，()g x =ln x x +的零点为2x ，则12,x x 的大小关系为_______.提示：由第14题可知12x x =.题16：已知,a b 分别满足2e e a a =，()3ln 1e b b -=，则ab =________.提示：同构化处理，并利用函数单调性，又易知,0αβ>，所以()222ln 3222ln 223ln 1ln ln ln e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e αααβαβαααβββββαβαααββα⎧⋅=⎧⋅=⎧⋅=⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨⋅-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎧⋅=⎪⇔⇒⋅=⇒=⇒=⎨=⎪⎩。
