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圆的字义解释
圆（circle）：
1. 概念：圆是二维平面上的一条形状，又称圆形，是它的周围的点形
成的曲线，使得它们之间的距离恒定且尽可能接近于相同的最短距离，即称为“半径”。
2. 特征：圆是一种具有几何意义的闭合图形，其两点之间的距离都相等，并且是无限接近相同距离的最短距离，这个距离称为“半径”。
另外，其中心和半径定义了一个圆，半径是从中心指向边界最长的距离，中心是该图形的几何中心，它们可以用以下公式确定：半径=中心的到
边界的距离；中心=图形的平均位置。
3. 用途：由于圆是对称的形状，除了有极大的装饰价值外，还可以用
于制造各种轮子、服装装饰等，也常常用于印刷图像、建造运输车辆、计算复杂几何结构、设计表格等。
4. 结构：圆形具有不变的几何结构，它在平面图中表现为一条收尾相
接的曲线，它的几何集合有一个几何中心和一个从中心指向边界的最
长距离，因此可以算出它的圆周长、圆面积等。
5. 科学含义：在几何上，圆是一种椭圆的特例，它属于椭圆类的元素。
在微积分领域，圆的相关数学函数有微积分及其相关的几何函数，如
定义圆的面积、圆锥及其他几何形状的面积等，在望远镜及光学领域，也经常使用圆、椭圆等几何形状来进行研究。
圆的笔画和组词
圆的笔画：竖、横折、竖、横折、横、竖、横折、撇、点、横。
一、圆组词二个字：
圆圈、半圆、圆周、圆心、汤圆、圆满
桂圆、椭圆、圆通、圆梦、圆房、圆桌
圆滑、圆规、圆融、银圆、圆子、圆谎
圆场、重圆、圆熟、长圆、圆成、扁圆
溜圆、圆笼、复圆、圆全、圆弧、圆变
圆常、幅圆、圆折、圆方、圆月、圆盘
圆雕、肉圆、圆领、大圆、圆木、圆机
圆坟、鱼圆、高圆、圆眼、圆锯、圆的
二、圆组词三个字：
圆舞曲、圆珠笔、圆周率、圆白菜
金圆券、大团圆、打圆场、团圆节
包圆儿、鸭蛋圆、圆明园、圆柱体
外接圆、地圆说、人月圆、圆溜溜
圆括号、圆桌面、走圆场、圆乎乎
圆滚滚、圆鼓鼓、圆足布、一裹圆圆光蔚、的的圆、圆彪彪、圆锥体做圆活、大圆智、外切圆、虎睛圆不二圆、圆丘草、比金圆、神功圆三、圆组词四个字：
阴晴圆缺、自圆其说、花好月圆破镜重圆、字正腔圆、功德圆满圆颅方趾、圆桌会议、膀大腰圆滚瓜溜圆、方枘圆凿、珠圆玉润外圆内方、圆木警枕、事缓则圆智圆行方、戴圆履方、规圆矩方文圆质方、随方就圆、圆孔方木好梦难圆、玉润珠圆、圆首方足八面圆通、镜圆璧合、空心汤圆言方行圆、破觚为圆、斫方为圆。
圆的表示符号
圆的表示符号一般有以下几种常见的方式：
1. 数学符号：圆可以用大写字母 O 或小写字母 o 来表示。
在
数学中，使用大写字母 O 表示一个一般的圆，小写字母 o 则
表示一个特殊的圆，例如单位圆（也称为标准圆）。
2. 图形符号：圆可以用一个实心的圆形图形来表示。
这种表示符号通常在图示、图表或地图等方面使用，用于表示圆形的位置、大小或相关的统计数据。
3. 轮子符号：圆也可以用一个带有轮子的图形表示。
这种表示符号常常用于交通标志、车辆标识、仪表面板等地方，用于表示车轮或机械装置的形状或存在。
4. 反括号符号：圆还可以用两个相互嵌套的反括号符号来表示，即“⦵”或“( )”。
这种表示符号在数学中常用于表示圆上的点或
圆弧的起点和终点。
5. 圆点符号：圆还可以用一个小圆点来表示。
这种表示符号通常在文本编辑、电脑编程、键盘输入等方面使用，用于表示光标位置、列表项的符号或其他需要强调的事项。
除了以上几种常见的表示符号之外，圆还可以通过几何公式、数学方程或二维图形等方式来表示。
例如，通过圆心坐标和半径长度，可以使用坐标表达式(x-a)²+(y-b)²=r²来表示一个圆；
在极坐标系中，可以使用方程 r=a 来表示一个圆心在原点、半
径为 a 的圆。
此外，在计算机图形学中，也可以使用渲染算法、向量运算等方式来进行圆的表示和绘制。
综上所述，圆的表示符号有多种方式，包括数学符号、图形符号、轮子符号、反括号符号和圆点符号等。
这些表示符号可以根据具体需求和使用场景选择使用，用于表达圆的位置、形状、大小或相关的数学和物理信息。
关于圆的知识点
1. 定义：圆是一个平面上距离某一点（圆心）的距离都相等的点的集合。
2. 元素和特点：
- 圆心：圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的那个点。
- 直径：通过圆心的任意两个点所确定的线段叫做圆的直径，直径的长度是圆的最长距离。
- 半径：圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的半
径长度都相等。
- 弧：圆上的一段连续的弧叫做圆弧。
- 弦：圆上的一段弧所对应的线段叫做弦。
- 弧度：弧度是角度的一种度量方式，定义为半径长的圆弧
所对应的夹角。
3. 公式和关系：
- 圆的周长：L = 2πr，其中L代表周长，r代表半径。
- 圆的面积：A = πr²，其中A代表面积，r代表半径。
- 圆的直径与半径的关系：直径等于半径的两倍，即d = 2r。
- 圆的弧长与圆心角的关系：圆的弧长等于圆心角所对应的
圆弧长度的百分比乘以圆的周长。
4. 圆与其他几何图形的关系：
- 圆与直线的关系：一条直线与一个圆有三种可能的关系，
即不相交、相切或者相交于两个点。
- 圆与其他圆的关系：两个或多个圆之间可能相离、相切或
相交。
这些是关于圆的基本知识点，可以帮助我们理解和解决与圆相关的问题。
圆的意义和特点
一、圆的意义
1、理想：圆是一个完美的图形，它代表着完美无缺、统一完整，也象征着未来永恒的社会价值，代表着理想的力量。
2、和谐：圆的状态更具多元和谐的特性，象征着乐观有希望的未来，鼓舞着我们努力追求完美的社会。
3、虚无：圆形也代表世间万物的恒久，它体现出空无的真谛，象征着宇宙之无限，提醒我们要懂得把握生活的虚无本质以及学会珍惜身边的每一份礼物。
4、自由：圆形更象征着一种自由的生活方式，它传递着宽容他人的精神，鼓励每个人要平等自由的生活。
二、圆的特点
1、统一：圆形的边缘没有明显的起伏，所有的点都处于某种统一的状态，从而构成一个完整的圆形。
2、完美：每一个圆的状态，都处于完美程度的状态，这表明了一种高贵无比的气质和心态，更展示出完美的审美情趣。
3、动态：圆的状态是一种极具变化的状态，不断改变的空间和时间，它演化出不同的美丽，象征着一种优秀的平衡和活力。
4、平等：圆形的每一个点都处于同等的距离，这体现了一种平等的意义，鼓励我们要以一种平等的心态去看待世界。
圆组词
圆组词：
圆满、圆润、圆滑、圆通、圆钢、
圆圈、圆房、圆梦、圆柱、圆寂、
圆台、圆号、圆规、圆方、圆融、
圆舞、圆盘、圆雕、圆机、圆锥、
圆镜、圆月、圆丘、圆丽、圆乎、
圆亲、圆合、圆作、圆到、圆便、
圆功、圆劲、圆匀、圆光、圆周、
圆全、圆和、圆善、圆变、圆土、
圆坐、圆场、圆实、圆坛、圆宰、
圆坟、圆城、圆密、圆备、圆就、
圆天、圆峤、圆妙、圆工、圆媚、
圆子、圆常、圆应、圆扇、圆弧、
圆扉、圆折、圆影、圆明、圆晕、
圆排、圆心、圆景、圆教、圆情、
圆整、圆成、圆旋、圆木、圆日、
圆枕、圆泛、圆柏、圆活、圆浑、
圆混、团圆、桂圆、椭圆、汤圆、
方圆、银圆、日圆、周圆、美圆、
一圆、上圆、不圆、乌圆、偏圆、
光圆、八圆、匀圆、包圆、匾圆、半圆、回圆、围圆、复圆、大圆、圆周率、圆光术、圆白菜、
圆柱体、圆珠笔、圆舞曲、圆周角、圆明园、圆丘草、圆乎乎、圆仔汤、圆周流、圆光蔚、圆常无、圆彪彪、圆括号、圆心角、圆曲线、圆柱木、大团圆、九点圆、同心圆、一裹圆、万病圆、不二圆、乌荆圆、人月圆、八面圆、内切圆、剔团圆、和胃圆、外切圆、外接圆、大惊圆、如神圆、寸金圆、开胃圆、戊已圆、月边圆、梅月圆、比金圆、泡汤圆、消暑圆、消食圆、润体圆、渫白圆、煨姜圆、玉芝圆、白薇圆、百部圆、的的圆、的皪圆、的溜圆、破饮圆、神功圆、神应圆、缚虎圆、缩砂圆、胜金圆、蓬煎圆、虎睛圆、诜诜圆、贰拾圆。
圆的特点和性质1 概念：圆是一种有向的平面图案，它是由焦点轴组成的，它主要由半径组成，半径决定了圆的大小，而圆上所有点到圆心的距离是相等的。
2 性质：1. 圆周角定理：任何一个三角形的内部角加起来等于180度；2. 圆心角定理：围绕一个圆心的圆上任意两点之间的圆心角一定相等；3. 同切圆定理：两个圆之间及任意一点到另一圆上任意一点的距离相等；4. 内切圆定理：以一个圆的外接正多边形的逆时针方向的内角的一条边所经过的点，这条边的经过的所有点的距离都是和圆心的距离一致的；5. 外共线圆定理：两个外共线圆的外接正多边形一定是相等的；6. 四等腰圆定理：四等腰圆的四个角夹角的个数就是其他圆的个数；7. 最大圆定理：在一个给定的空间中，其半径最大的圆必定和该空间的边界有关。
3 特点：1. 圆是任何多边形中节点数最少的图形，圆的不变性将被多边形结构的几何形式约束；2. 圆是所有空间与表面形状中最平滑、最美的图形，它的精美的外观让它常用于装饰元素；3. 圆有两个明显的性质：选定一个圆心点后，圆上任意一点到圆心的距离都一致；每个夹角都是相等的，而且角度都是180度；4. 这两个特点使得圆具有平等性与和谐性，它代表着统一、完善、无缝连接；5. 圆形几乎没有任何空隙，几乎是自身位置确定，虽然它没有多余的条纹和特殊的物体，但却具有恒久不变的美；6. 圆也极大的实用性，它是最鼓舞人心的形状，几乎所有的设计布局都采用了圆形，无论是圆柱、圆锥等，圆都深受 ' 音乐、舞蹈、行事历等各类图形的喜爱。
4 应用：圆的特点使它可以用于各种尺寸的雕塑、绘画、金属雕刻、建筑、设计布局等，极大的丰富了设计空间。
由于圆周率等数学知识的发现，可以使得圆更精确，因而在机械精密制造方面它也有很强的实际功能。
它在既实用又美观的设计方面发挥着重要作用，具有重要意义。
圆 �专题一 拓展题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ， BE ⊥AC ，AD ，BE 相交于点M ，若AC ＝8，BM ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. B. C. D. 62．如图，一个量角器的底端A 、B 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上滑动，点D 位于该量角器上128︒ 刻度处．当点D 与原点O 的距离最大时， OAB ∠=（ ）．A. 64︒B. 52︒C. 38︒D. 26︒3．如图所示，MN 是⊙O 的直径，作AB⊥MN，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为AN 上一点，且AC AM = ，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①AD＝BD ；②∠MAN＝90°；③AM BM = ；④∠ACM＋∠ANM＝∠MOB；⑤AE＝12MF.其中正确结论的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 54．如图，△ABC 内接于⊙O，CD 是⊙O 的直径，∠BCD＝54°，则∠A 的度数是( )A. 36°B. 33°C. 30°D. 27°5．如图，已知点C ，D 是半圆AB 上的三等分点，连接AC ，BC ，CD ，OD ，BC 和OD 相交于点E ．则下列结论：①∠CBA=30°，②OD ⊥BC ，③，④四边形AODC 是菱形． 正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46．如图，⊙O 是以原点为圆心， 为半径的圆，点P 是直线6y x =-+上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（ ）A. 3B. 4C.D. 7．如图，直线l 与以线段AB 为直径的圆相切于点C ， 6AB =， 3AC =，点P 是直线l 上一个动点．当APB ∠的度数最大时，线段BP 的长度为（ ）A. 6B.C. 9D. 8．如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在上，且不与M ，N 重合，当P 点在上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度( )A. 变大B. 变小C. 不变D. 不能确定9．如图，△ABC 内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB 于D 交AC 于E 点，已知⊙O 的半径为1，则22AE CE 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 410．如图,在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且DE =3， 若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为（ ）A. 910B. 65C. 85D. 12511．如图，扇形OAB 的圆心角的度数为120°，半径长为4，P 为弧AB 上的动点，PM ⊥O A ，PN ⊥OB ，垂足分别为M 、N ，D 是△PMN 的外心．当点P 运动的过程中，点M 、N 分别在半径上作相应运动，从点N 离开点O 时起，到点M 到达点O 时止，点D 运动的路径长 （ ）A. πB. 23πC. 2D. 2 312．如图，AD 是△ABC 的角平分线，以AD 为弦的⊙O 交AB 、AC 于E 、F ，已知EF ∥BC ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若已知AE=9，CF=4，求DE 长；（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan ∠AFE 的值及GD 长．13．如图，已知AD 是ABC 的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC 的外接圆于点F ，连接FB ， FC ．（1）求证： FBC FCB ∠=∠．（2）已知12FA FD ⋅=，若AB 是ABC 外接圆的直径， 2FA =，求CD 的长．14．已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点， CD BD = ，AC 是四边形ABCD 的对角线（1）如图1，连结BD ，若∠CDB=60°，求证：AC 是∠DAB 的平分线；（2）如图2，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，若AC=7，AB=5，求线段AE 的长度．15．如图①，小聪在学习圆的性质时发现一个结论，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，则∠BAD=∠OAC ．（1）请你帮小聪证明这个结论；（2）运用以上结论解决问题：如图②，H 为△ABC 的垂心，若∠ABC 的平分线BE ⊥HO ，⊙O 的半径为10，求弦AC 的长．16．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°．半径为1的⊙A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连接DE 并延长，与边BC 的延长线交于点P ．（1）当∠B = 30°时，求证：△ABC ∽△EPC ；（2）当∠B = 30°时，连接AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长；（3）若CE = 2，BD = BC ，求∠BPD 的正切值．17．如图，在ABC ∆中， 90C ∠=︒， BE 平分ABC ∠，DE BE ⊥交AB 于点D ，⊙O 是BDE ∆的外接圆．（1）求证： AC 是⊙O 的切线；（2）若5AD =， O 的面积．18．如图，圆E 是三角形ABC 的外接圆， ∠BAC=45°，AO ⊥BC 于O ，且BO=2，CO=3，分别以BC 、AO 所在直线建立x 轴.（1）求三角形ABC 的外接圆直径；（2）求过ABC 三点的抛物线的解析式；（3）设P 是（2）中抛物线上的一个动点，且三角形AOP 为直角三角形，则这样的点P 有几个？（只需写出个数，无需解答过程）．19．在⊙O 中，点C 在劣弧AB 上，D 是弦AB 上的点，∠ACD =40°．（1）如图1，若⊙O 的半径为3，∠CDB =70°，求BC 的长；（2）如图2，若DC 的延长线上存在点P ，使得PD =PB ，试探究∠ABC 与∠OBP 的数量关系，并加以证明．20．如图，圆中的弦AB 与弦CD 垂直于点E ，点F 在 BC 上， AC BF=，直线MN 过点D ，且∠MDC =∠DFC ，求证：直线MN 是该圆的切线．21．如图，⊙O 半径为1， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O 上一点，连接AC ，⊙O 外的一点D 在直线AB 上．（1）若 OB BD =．①求证： CD 是⊙O 的切线． ②阴影部分的面积是__________．（结果保留π）（2）当点C 在⊙O 上运动时，若CD 是⊙O 的切线，探究CDO ∠与OAC ∠的数量关系．22．如图，在ABC 中， D 为边BC 的中点． O 是AD 上一点，⊙O 与BC 相切于点D ，且与AB 、AC 分别相交于点E 、F ．连接EF 交AD 于点G ．（1）求证： EF BC ． （2）已知5AB =， 8BC =．当EF 是⊙O 的直径时，求EF 的长．23．已知AB 是⊙O 的直径，点C 是OA 的中点，CD ⊥OA 交⊙O 于点D ，连接OD. （Ⅰ）如图①，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图②，PD 切⊙O 于点D ，交BA 的延长线于点P ，过点A 作AE ∥PD 交⊙O 于点E ，交OD 于点F ，若⊙O 的半径为2，求AE 的长.图①图②24．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线．∠的度数．CE=，求ACB125．已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）设OP，求∠CPO的正弦值；（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．26．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O在AC上，OA=2，以OA为半径的⊙O交AB于点D，AC于G，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求线段DE 的长；（3）求线段AD 的长.27．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F ．（1）若∠BCD =36°，BC =10，求BD 的长；（2）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）求证： 22CE AB EF =⋅.28．如图,⊙O 的半径为１,直线CD 经过圆心O,交⊙O 于C 、D 两点,直径AB ⊥CD,点 M 是直线CD 上异于点C 、O 、D 的一个动点,AM 所在的直线交⊙O 于点N,点 P 是直线CD 上另一点,且PM ＝PN ．(1)当点 M 在⊙O 内部,如图①,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;(2)当点 M 在⊙O 外部,如图②,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立? 请说明理由;(3)当点 M 在⊙O 外部,如图③,∠AMO ＝15°,求图中阴影部分的面积．29．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直,垂足为 D ，直线 DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ．求证：(1)AC 平分∠DAB ；(2)△PCF 是等腰三角形．30．如图，AB 为⊙O 直径，AC 为⊙O 的弦，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，交AC 于点F ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点P ，且∠D =2∠A ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若HB =2，cos D AC 的长．31．如图1，Rt △ACB 中，∠C =90°，点D 在AC 上，∠CBD =∠A ，过A 、D 两点的圆的圆心O 在AB 上．（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；（2）判断BD 所在直线与（1）中所作的⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（3）设⊙O 交AB 于点E ，连接DE ，过点E 作EF ⊥BC ，F 为垂足，若点D 是线段AC 的，如图2，试说明四边形DEFC 是正方形．32．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD =90°，AC 为直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F （靠近点C ）作CE 的平行线交AB 于点G ，连结CG ．（1）求证：AB =CD ；（2）求证：CD 2=BE •BC ；（3）当CG = 3，BE =92时，求CD 的长．33．如图，已知BF 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上（异于B 、F ）一点，⊙O 的切线MA 与FB 的延长线交于点M ；P 为AM 上一点，PB 的延长线交⊙O 于点C ，D 为BC 上一点且PA =PD ，AD 的延长线交⊙O 于点E ．（1）求证： BE CE = ；（2）若ED 、EA 的长是一元二次方程2550x x -+=的两根，求BE 的长；（3）若MA sin ∠AMF AB 的长．34．如图，已知AB 为⊙O 直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线交AD 的延长线于F ．（1）求证：直线DE 与⊙O 相切；（2）已知DG ⊥AB 且DE =4，⊙O 的半径为5，求tan ∠F 的值．35．如图所示，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，点C 在⊙O 上，BD 是⊙O 的弦，∠A =∠CBD ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，交BD 于点G ，过C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）求证：CG =BG ；（3）若∠DBA =30°，CG =4，求BE 的长．36．如图，AB 是⊙O A 、B 重合），AD 、BD 的长分别是关于x 0的两个实数根． （1）求m 的值； （2）连接CD ，试探索：AC 、BC 、CD 三者之间的等量关系，并说明理由；（3）若CD AC 、BC 的长．37．如图，在扇形AOB 中，OA 、OB 是半径，且OA ＝4，∠AOB ＝120°．点P 是弧AB上的一个动点，连接AP 、BP ，分别作OC ⊥PA ，OD ⊥PB ，垂足分别为C 、D ，连接CD ．（1）如图①，在点P 的移动过程中，线段CD 的长是否会发生变化？若不发生变化，请求出线段CD 的长；若会发生变化，请说明理由；（2）如图②，若点M 、N 为AB 的三等分点，点I 为△DOC 的外心．当点P 从点M 运动到N 点时，点I 所经过的路径长为__________．（直接写出结果）38．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点F 是CD 延长线上的一点，且AD 平分∠BDF，AE⊥CD 于点E.⑴ 求证：AB ＝AC.⑵ 若BD ＝11，DE ＝2，求CD 的长.39．如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是在过点B 的切线上,且OC ⊥OA ,OC 交AB 于点P .(1)判断△CBP 的形状，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为6，AP =2 10,求BC 的长.40．如图，点P 在y 轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于点C ，过点C 的直线y ＝2x ＋b 交x 轴于点D ，且⊙P 的半径为，AB ＝4.(1)求点B ，P ，C 的坐标；(2)求证：CD 是⊙P 的切线．41．如图，点C 为△ABD 外接圆上的一动点（点C 不在BAD 上，且不与点B ，D 重合），∠ACB =∠ABD =45°．（1）求证：BD 是该外接圆的直径；（2）连结CD ，求证： =BC +CD ．42．已知扇形OAB 的半径为r ，C 为AB 上的任一点（不与A 、B 重合），CM⊥OA，垂足为M ，CN⊥OB，垂足为N ，连接MN ．（1）如图①，∠AOB＝90°，求证MN ＝r ；（2）如图②，∠AOB＝45°，探索MN 与r 的数量关系．43．如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是在过点B 的切线上,且OC ⊥OA ,OC 交AB 于点P .(1)判断△CBP 的形状，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为6，AP 求BC 的长.44．如图10，点O 为Rt△ABC 斜边AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC 相交于点E ，与AB 相交于点F ，连接AD ．（1）求证：AD 平分∠BAC；（2）若点E 为AD 的中点，探究线段BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点E 为AD 的中点，CD 求DF与线段BD ，BF 所围成的阴影部分的面积．45．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是上半圆的弦，过点C 作⊙O 的切线DE 交AB 的延长线于点E ，过点A 作切线DE 的垂线，垂足为D ，且与⊙O 交于点F ，设∠DAC，∠CEA 的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF 与AC 交于点O′，当点O′是AC 的中点时，求α，β的值．46．如图①，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，C 是⊙O 上的动点，AC 是弦，直线EF 和⊙O 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D.(1)求证：∠DAC ＝∠BAC ；(2)若AD 和⊙O 相切于点A ，求AD 的长；(3)若把直线EF 向上平行移动，如图②，EF 交⊙O 于G ，C 两点，题中的其他条件不变，试问这时与∠DAC 相等的角是否存在，并说明理由．47．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点O ，点A （0，6），经过点A 、O 、B 三点的⊙P 与直线l 相交于点C （7，7），且CA ＝CB.⑴ 求点B 的坐标；⑵ 如图2，将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到△A ′O′B.判断直线''A O 与⊙P 的位置关系，并说明理由.48．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．（1）试说明：点C也一定在⊙O上．（2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由．（3）求线段EF的取值范围，并说明理由．49．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．①连结OE,求△OBE的面积．②求弧AE的长．50．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥A B，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d 与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．51．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，点O是AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点E，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：BE平分∠ABD；（2）当BD=2，sin C O的半径．52．已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（Ⅰ）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长；（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．53．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；（2）如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线（要求：保留作图痕迹）；（3）在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．54．如图，在Rt ABC ∆中， 90ABC ∠=︒， AC 的垂直平分线分别与AC ， BC 及AB 的延长线相交于点D ， E ， F ，且B F B C =. ⊙O 是BEF ∆的外接圆， EBF∠的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ， FH .（1）求证： ABC EBF ∆≅∆；（2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）若1AB =， 求HG HB ⋅的值.55．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的 O 过点E ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.56．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE ∥BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E .(1)求证：∠E ＝∠C ；(2)若⊙O 的半径为3，AD ＝2，试求AE 的长；(3)求△ABC 的面积.57．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．（1）求证：△ABD ≌△AFE（2）若BE O 的面积S 的取值范围．58．（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．59．（8分）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．60．（10分）如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．61．（本题10分）如图，已知等边ΔABC，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作⊙O的切线 DF交AC于点F，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，连结GD．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AB=8，求tan∠FGD的值．62．选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
