2016年中考数学模拟试题汇编专题31：点直线与圆的位置关系(含答案)

九年级数学人教版《直线与圆的位置关系》同步综合测试一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分)1.已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定2．已知⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离为6，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(B)A B C D3．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是( ) A．2.5 B．3 C．5 D．104．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB ＝12，OA＝5，则BC的长为( )A．5 B．6 C．7 D．85．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，3为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是( )A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定6．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB 的长为( )A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm7．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( ) A．AB＝4，AT＝3，BT＝5 B．∠B＝45°，AB＝ATC ．∠B ＝55°，∠TAC ＝55°D ．∠ATC ＝∠B8．正方形ABCD 的边长为1，对角线AC ，BD 相交于O.若以O 为圆心作圆，要使点A 在⊙O 外，则所选取的半径可能是( )A.12B.22C.32D ．2 9．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C ，D.若⊙O 的半径为1，△PCD 的周长等于23，则线段AB 的长是( )A. 3 B ．3 C ．2 3 D ．3 310．如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P 的坐标为(0，2)，将⊙P 沿y 轴负方向平移1.5个单位长度，则x 轴与⊙P 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝70°，O 是△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为( )A ．140°B ．125°C ．120°D ．135°12．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 相切于点A ，C ，则劣弧AC ︵的长度为( )A.35πB.45πC.34πD.23π13．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心14．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在的直线垂直于点M.若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( )A．20° B．35° C．40° D．55°15．如图，⊙O的半径为3 cm，点B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，且AB＝OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上逆时针运动一周回到点A立即停止．当直线BP与⊙O 相切时，点P运动的时间为( )A．1 s B．5 s C．0.5 s或5.5 s D．1 s或5 s16．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形(阴影部分)，拼成一个四边形．若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为( ) A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分)17．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CM 是中线，以C 为圆心，3 cm 为半径画圆，则A ，B ，M 三点在圆内的有 .18. 如图，AC 是⊙O 的切线，切点为C ，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 于点D ，连接OD.若∠A ＝50°，则∠COD 的度数为 ．19．如图1，Rt △ABC 的两条直角边长分别为6 cm 和8 cm ，作Rt △ABC 的内切圆，则内切圆的半径为2 cm ；作Rt △ABC 斜边上的高，则Rt △ABC 被分成两个小直角三角形，分别作其内切圆，得到图2，这两个内切圆的半径的和为145 cm ；在图2中继续作小直角三角形斜边上的高，再分别作被分成的小直角三角形的内切圆，得到图3，…，依此类推．若在Rt △ABC 中作出了16个这样的小直角三角形，它们的内切圆面积分别记为S 1，S 2，…，S 16，则S 1＋S 2＋…＋S 16＝ cm 2.三、解答题(本大题有7个小题，共66分)20．(本小题满分8分)在△ABC 中，∠A ＝45°，AC ＝4，以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？为什么？(1)r ＝2；(2)r ＝22；(3)r ＝3.21．(本小题满分8分)如图，B 是⊙O 外一点，连接OB ，过点B 作⊙O 的切线BD ，切点为D ，延长BO 交⊙O 于点A ，过点A 作切线BD 的垂线，垂足为C.求证：AD 平分∠BAC.22．(本小题满分9分)如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连接OC并延长至点P，使PC ＝BC，∠BOC＝60°.求证：PB是⊙O的切线．23．(本小题满分9分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线相交于点E，∠ADC＝60°.(1)求证：△ADE是等腰三角形．(2)若AD＝23，求BE的长．24．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，圆心A的坐标为(－3，4)，以半径r 在坐标平面内作圆，请探索：(1)当时，⊙A与坐标轴有1个交点；(2)当时，⊙A与坐标轴有2个交点；(3)当时，⊙A与坐标轴有3个交点；(4)当时，⊙A与坐标轴有4个交点．25．(本小题满分11分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以BC 为直径作⊙O交AB于点D.(1)求线段AD的长度．(2)点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．26．(本小题满分11分)如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，以点A为端点作∠DAM＝30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，将Rt△ADM绕点A逆时针旋转(如图2)，设旋转角为α(0°＜α＜150°)，旋转过程中AD与⊙O交于点F.(1)当α＝60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)当α＝90°时，DM与⊙O相切．图1 图2 备用图答案一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分)二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分)17．M.18. 80°．19．4π cm2.三、解答题(本大题有7个小题，共66分)20．解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，∠A＝45°，AC＝4，∴CD＝2 2.(1)当r＝2时，22＞2，直线和圆相离．(2)当r＝22时，直线和圆相切．(3)当r＝3时，22＜3，直线和圆相交．21．证明：连接OD.∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD.∵AC⊥BD，∴OD∥AC.∴∠DAC＝∠ODA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.22．证明：∵PC＝BC，∴∠P＝∠CBP.∵OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形．∴∠OCB＝∠BOC＝∠OBC＝60°.又∵∠OCB＝∠P＋∠CBP，∴∠P＝∠CBP＝30°.∴∠OBP＝∠OBC＋∠CBP＝90°.又∵OB是⊙O的半径，∴BP是⊙O的切线．23．解：(1)证明：连接OD.∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，即∠ODC＝90°.∵∠ADC＝60°，∴∠ODA＝30°.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°.∴∠E＝∠ADC－∠EAD＝60°－30°＝30°＝∠EAD. ∴DA＝DE.∴△ADE是等腰三角形．(2)由(1)知，DE＝DA＝23，在Rt △ODE 中，OD ＝DE ·tan30°＝23×33＝2，OE ＝4， ∴BE ＝OE －OB ＝OE －OD ＝4－2＝2. 24．(1)当r ＝3时，⊙A 与坐标轴有1个交点； (2)当3<r<4时，⊙A 与坐标轴有2个交点； (3)当r ＝4或5时，⊙A 与坐标轴有3个交点； (4)当r>4且r ≠5时，⊙A 与坐标轴有4个交点． 25．解：(1)连接CD.在Rt △ACB 中， ∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5 cm. ∵BC 为直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴△ADC ∽△ACB.∴AC AB ＝ADAC .∴AD ＝AC 2AB ＝95.(2)当点E 是AC 的中点时，ED 与⊙O 相切． 理由：连接OD ，ED. ∵DE 是Rt △ADC 的中线， ∴ED ＝EC. ∴∠EDC ＝∠ECD.∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD.∴∠EDO ＝∠EDC ＋∠ODC ＝∠ECD ＋∠OCD ＝∠ACB ＝90°. 又∵OD 是⊙O 的半径，∴直线ED 与⊙O 相切． ∴当点E 是AC 的中点时，ED 与⊙O 相切．26．解：设旋转前AD 所在直线为AN ，∵α＝60°，∠DAM ＝30°， ∴∠NAM ＝90°，即AM ⊥AN. ∴AM 过点O.如图，设AM 交⊙O 于点B ′，连接FB ′，过O 点作OH ⊥DM 于点H ， ∴∠AFB ′＝90°，∠OHM ＝90°. ∵AB ′＝4，∴AF ＝AB ′·cos ∠DAM ＝4×32＝2 3. 在Rt △ADM 中，AM ＝AD cos30°＝432＝833，∴OM ＝AM －AO ＝833－2.在Rt △OHM 中，OH ＝OM ·sin ∠OMH ＝(833－2)×sin60°＝4－ 3.∵OH －AO ＝4－3－2＝2－3＞0， ∴OH ＞AO.∴DM 与⊙O 相离.。

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。

中考数学总复习《直线与圆的位置关系》专题测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A组·考点过关1．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD=80∘则∠C的度数为（）A．30∘B．40∘C．45∘D．50∘2．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上.若∠BAE+∠BCD=236∘则∠E=（）A．56∘B．60∘C．68∘D．70∘3．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠B=28∘，则∠P=________.4．如图，在Rt△ABC中∠C=90∘，AC=3cm，BC=4cm，点O为内切圆的圆心，点D，E，F 分别为⊙O与BC，AC，AB的切点，则△ABC内切圆的半径为____cm.5．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A.求证：CD是⊙O的切线.6．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC.（1）求证：AC平分∠BAE；，求⊙O的半径.（2）若AC=5，tan∠ACE=34B组·素养提升7．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上∠DCA=∠CBA.（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD=4，DA=FG=2求CE的长.58．如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC=DE.（1）写出图中一个与∠DEC相等的角：__________________________；（2）求证：OD⊥AB；（3）若OA=2OE，DF=2，求PB的长.C组·创新考法9．[2024广东]如图，在△ABC中∠C=90∘.（1）【实践与操作】用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）【应用与证明】在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切.参考答案A组·考点过关1．D 2．C3．34∘4．15．证明:如答图，连接OC.第5题答图∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90∘∴∠A+∠ABC=90∘.又∵OB=OC∴∠ABC=∠OCB.又∵∠DCB=∠A∴∠A+∠ABC=∠DCB+∠OCB=∠OCD=90∘.∴OC⊥DC.又∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线.6．（1）证明：如答图，连接OC.第6题答图∵直线DC是⊙O的切线，切点为C∴OC⊥DC.又∵AE⊥DC∴OC//AE∴∠EAC=∠ACO.∵OC=OA∴∠ACO=∠OAC∴∠EAC=∠OAC ∴AC平分∠BAE.（2）解：如答图，连接BC.∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90∘∴∠CAB+∠CBA=90∘.又∵AE⊥DC∠AEC=90∘.由（1）得∠EAC=∠OAC.又∵∠EAC+∠ACE=90∘∴∠ABC=∠ACE∴tan∠ABC=tan∠ACE=3 4∴ 在Rt △ABC 中 AC BC =5BC =34 ∴BC =203.在Rt △ABC 中 AB =√AC 2+BC 2=√52+(203)2=253.∴⊙O 的半径为256.B 组·素养提升7．（1） 证明：连接OC ，如答图.第7题答图 ∵OB =OC∴∠OBC =∠OCB .∵∠DCA =∠OBC∴∠DCA =∠OCB . ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB =90∘∴∠DCA +∠OCA =∠OCB +∠OCA =90∘ ∴∠OCD =90∘ . ∵OC 是⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线. （2） 解：设OC =OA =r .∵sinD =OC OD =45∴r r +2=45∴r =8 ∴OC =OA =8.在 Rt △OCD 中 CD =√OD 2−OC 2=√(8+2)2−82=6.∵∠DCA+∠ECF=∠BFG+∠CBA=90∘∴∠ECF=∠BFG.又∵∠BFG=∠EFC∴∠ECF=∠EFC ∴EC=EF设EC=EF=x.∵∠D=∠D∠DCO=∠DGE∴△DOC∼△DEG∴DODE =OCEG，则10x+6=8x+2，解得x=14经检验x=14是所列方程的解.∴CE的长为14.8．（1）∠DCE（答案不唯一）（2）证明：连接OC，如答图.第8题答图∵PC与半圆O相切于点C∴∠OCD=90∘即∠DCE+∠ACO=90∘.∵OA=OC∴∠OAC=∠ACO.∵∠DCE=∠DEC∠AEO=∠DEC∴∠AEO+∠CAO=90∘∴∠AOE=90∘∴OD⊥AB.（3）解：设OE=x则AO=OF=BO=2x∴EF=OF−OE=x OD=OF+DF=2x+2∴DC=DE=DF+EF=2+x.在Rt△ODC中OD2=CD2+OC2∴(2x+2)2=(x+2)2+(2x)2解得x1=4x2=0（舍去）∴OD=10CD=6OC=8.∵tanD=OPOD=OCCD∴OP10=86解得OP=403∴BP=OP−OB=403−8=163.C组·创新考法9．（1）解：如答图①，AD即为所求作.第9题答图①（2）证明：如答图②，作DE⊥AB于点E第9题答图②∵AD是∠CAD的平分线DC⊥AC DE⊥AB∴DE=DC.∵DE是⊙D的半径DE⊥AB∴AB与⊙D相切.。

点、直线与圆的有关位置关系【命题趋势】在中考中.与圆有关的位置关系.主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系。

该内容主要是以选择题、填空题、综合解答题的形式来考查.分值为3～10分．主要考点为点与圆、直线与圆的位置关系.圆切线的性质和判定等。

【中考考查重点】一、点、直线与圆的有关位置关系 二、切线性质的有关证明与计算 三、切线判定的有关证明与计算考点：点与圆的有关位置关系（设⊙O 的半径为r.点P 到圆心O 的距离为d ）位置关系图形定义 性质及判定点在圆外点在圆的外部d >r ⇔点P 在圆外点在圆上点在圆周上 d =r ⇔点P 在圆上点在圆内点在圆的内部 d <r ⇔点P 在圆内三点定圆的画法： 1）连接线段AB,BC 。

2）分别作线段AB,BC 的垂直平分线。

两条垂直平分线交点为O.此时OA=OB=OC 。

于是以点O 为圆心.以OA 为半径.便可作出经过A 、B 、C 的圆.这样的圆只能是 一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。

1.（2021春•九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中.以点（3.﹣4）为圆心.2为半径的圆.与直线x ＝1的位置关系为（ ）Pr OPr OPr OA ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】B【解答】解：∵点（3.﹣4）到直线x ＝1的距离为2.半径为2. 则有2＝2.∴这个圆与直线x ＝1相切． 故选：B ．2.（2020秋•钦州期末）在平面直角坐标系中.以点（﹣2.3）为圆心.半径为3的圆一定（ ） A ．与x 轴相切.与y 轴相切 B ．与x 轴相切.与y 轴相交 C ．与x 轴相交.与y 轴相切 D ．与x 轴相交.与y 轴相交【答案】B【解答】解：∵点（﹣2.3）到x 轴的距离是3.等于半径. 到y 轴的距离是2.小于半径. ∴圆与y 轴相交.与x 轴相切． 故选：B ．考点：直线与圆的位置关系设⊙O 的半径为r .圆心O 到直线l 的距离为d .则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点 d >r ⇔直线l 与⊙O 相离相切直线与圆有唯一公共点.直线叫做圆的切线.公共点叫做切点d =r ⇔直线l 与⊙O 相切 相交直线与圆有两个公共点.直线叫做圆的割线d <r ⇔直线l 与⊙O 相交切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

点直线与圆地位置关系一、选择题1．(年天津市，第7题3分)如图，AB是⊙O地弦，AC是⊙O地切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C地大小等于（）A． 20°B．25°C．40°D．50°考点：切线地性质．分析：连接OA，根据切线地性质，即可求得∠C地度数．解答：解：如图，连接OA，∵AC是⊙O地切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．点评：本题考查了圆地切线性质，以及等腰三角形地性质，已知切线时常用地辅助线是连接圆心与切点．2.（•邵阳，第8题3分）如图，△ABC地边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C地大小是（）A．30°B．45°C．60°D．40°考点：切线地性质专题：计算题．分析：根据切线地性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°．解答：解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=AOB=30°．故选A．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．3. （•益阳，第8题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2地⊙P地圆心P地坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移地距离为（）（第1题图）A．1 B．1或5 C．3 D．5考点：直线与圆地位置关系；坐标与图形性质．分析：平移分在y轴地左侧和y轴地右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴地左侧且与y轴相切时，平移地距离为1；当⊙P位于y轴地右侧且与y轴相切时，平移地距离为5．故选B．点评：本题考查了直线与圆地位置关系，解题地关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心地距离等于圆地半径．4．（年山东泰安，第18题3分）如图，P为⊙O地直径BA延长线上地一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接P D．已知PC=PD=B C．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确地个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：（1）利用切线地性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形地判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故此选项正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；故选：A．点评：此题主要考查了切线地判定与性质和全等三角形地判定与性质以及菱形地判定与性质等知识，熟练利用全等三角形地判定与性质是解题关键．二.填空题1. （•广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．考点：切线地性质；等边三角形地判定与性质；特殊角地三角函数值．专题：计算题．分析：连结OM，OM地反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线地性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线地性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形地判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角地三角函数值求解．解答：解：连结OM，OM地反向延长线交EF与C，如图，∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MF，∵EF∥MN，∴MC⊥EF，∴CE=CF，∴ME=MF，而ME=EF，∴ME=EF=MF，∴△MEF为等边三角形，∴∠E=60°，∴cos∠E=cos60°=．故答案为．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了垂径定理、等边三角形地判定与性质和特殊角地三角函数值．2．（•温州，第16题5分）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=A B．⊙O 经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在地直线与⊙O相切时，AB地长是．考点：切线地性质；矩形地性质．分析：[来源:Z，xx，]过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF =：2，得：EG：EN =：1，依据勾股定理即可求得AB地长度．解答：解：如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN=NF，又∵EG：EF =：2，∴EG：EN =：1，又∵GN=AD=8，∴设EN=x ，则，根据勾股定理得：，解得：x=4，GE =，设⊙O地半径为r，由OE2=EN2+ON2得：r2=16+（8﹣r）2，∴r=5．∴OK=NB=5，∴EB=9，又AE =AB，∴AB=12．故答案为12．点评：本题考查了切线地性质以及勾股定理和垂径定理地综合应用，解答本题地关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆地半径．3．（•四川自贡，第14题4分）一个边长为4cm地等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE地长为 3 cm．考点：切线地性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形地性质，等边三角形地高等于底边高地倍．题目中一个边长为4cm地等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O地半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC地长，利用垂径定理即可得出CE地长．解答：解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，且△ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=，即CE=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了切线地性质和等边三角形地性质和解直角三角形地有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．4．（•浙江湖州，第9题3分）如图，已知正方形ABCD，点E是边AB地中点，点O是线段AE上地一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径地圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O地切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN地面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立地是（）A．S1＞S2+S3B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45°D．MN=AM+CN 分析：（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，（2）利用MN是⊙O地切线，四边形ABCD为正方形，求得△AMO∽△DMN．（3）作BP⊥MN于点P，利用RT△MAB≌RT△MPB和RT△BPN≌RT△BCN来证明C，D成立．解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，∵点O是线段AE上地一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）•ADS=MP•AD，∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，∴S1=S2+S3，△MNO∴不一定有S1＞S2+S3，（2）∵MN是⊙O地切线，∴OM⊥MN，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN，在△AMO和△DMN中，，∴△AMO∽△DMN．故B成立，（3）如图，作BP⊥MN于点P，∵MN，BC是⊙O地切线，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB，在Rt△MAB和Rt△MPB中，∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，在Rt△BPN和Rt△BCN中，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立，综上所述，A不一定成立，故选：A．点评：本题主要考查了圆地切线及全等三角形地判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．5．（·浙江金华，第16题4分）如图2是装有三个小轮地手拉车在“爬”楼梯时地侧面示意图，定长地轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG—GH—HE—EF 表示楼梯，CH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等地小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边相切，且AO∥GH.（1）如图2①，若点H在线段OB上，则BHOH地值是▲．（2）如果一级楼梯地高度()HE832cm=+，点H到线段OB地距离d满足条件d3cm≤，那么小轮子半径r地取值范围是▲．【答案】（1）3；（2）1133r8-≤≤.【解析】∴23r dd2323MI3 IJ d MI r d,HM3r2d cos33t3030an33=︒-==⇒=-==-︒.考点：1. 直角三角形地构造；2.锐角三角函数定义；3.特殊角地三角函数值；4. 矩形地判定和性质；5.切线地性质；6.二次根式化简.6. （•湘潭，第14题，3分）如图，⊙O地半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= 4 ．（第1题图）考点：切线地性质；勾股定理．分析：先根据切线地性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA地长．解答：解：∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA，在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，∴PA==4．故答案为4．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了勾股定理．三.解答题1. （•广东，第24题9分）如图，⊙O是△ABC地外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB 于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC地延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC地长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O地切线．考点：切线地判定；弧长地计算．分析：（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF地中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角地关系求解．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（1）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF地中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O地切线．点评：本题主要考查了切线地判定，解题地关键是适当地作出辅助线，准确地找出角地关系．2. （•珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O地直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE地长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分地面积．考点：切线地性质；扇形面积地计算；平移地性质专题：计算题．分析：（1）连结OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移地性质得AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线地性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE=，所以BE=OE﹣OB=；（2）求出BD地长度，然后利用相似比例式求出DH地长度，从而求出△BDH，即阴影部分地面积．解答：解：（1）连结OG，如图，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∴BC==5，∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，∵EF与半圆O相切于点G，∴OG⊥EF，∵AB=4，线段AB为半圆O地直径，∴OB=OG=2，∵∠GEO=∠DEF，∴Rt△EOG∽Rt△EFD，∴=，即=，解得OE=，∴BE=OE﹣OB=﹣2=；（2）BD=DE﹣BE=4﹣=．∵DF∥AC，∴，即，解得：DH=2．∴S阴影=S△BDH=BD•DH=××2=，即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分地面积为．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了平移地性质、勾股定理和相似三角形地判定与性质．3. （•广西贺州，第25题10分）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥C D．BO=6cm，CO=8cm．（1）求证：BO⊥CO；（2）求BE和CG地长．考点： 切线地性质；相似三角形地判定与性质．分析： （1）由AB ∥CD 得出∠ABC +∠BCD =180°，根据切线长定理得出OB 、OC 平分∠EBF和∠BCG ，也就得出了∠OBC +∠OCB =（∠ABC +∠DCB ）=×180°=90°．从而证得∠BOC 是个直角，从而得出BO ⊥CO ；（2）根据勾股定理求得AB =10cm ，根据RT △BOF ∽RT △BCO 得出BF =3.6cm ，根据切线长定理得出BE =BF =3.6cm ，CG =CF ，从而求得BE 和CG 地长．解答：[来源:学.科.网Z.X.X.K] （1）证明：∵AB ∥CD ∴∠ABC +∠BCD =180°∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G ，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB ，∴∠OBC =，∠OCB =，∴∠OBC +∠OCB =（∠ABC +∠DCB ）=×180°=90°， ∴∠BOC =90°， ∴BO ⊥CO ．（2）解：连接OF ，则OF ⊥BC ， ∴RT △BOF ∽RT △BCO ， ∴=，∵在RT △BOF 中，BO =6cm ，CO =8cm ，∴BC==10cm，∴=，∴BF=3.6cm，∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm．∴CG=CF=6.4cm．点评：本题主要考查了直角梯形地性质和切线长定理地综合运用．属于基础题．4. （•广西玉林市、防城港市，第23题9分）如图地⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD 与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O地切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O地半径为3，求AG地长．考点：切线地性质；相似三角形地判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连结OD，根据切线地性质得OD⊥DE，则∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；（2）由OF：OB=1：3，⊙O地半径为3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得32+t2=（t+1）2，解得t=4，则DE=4，OE=5，根据切线地性质由AG为⊙O地切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可计算出AG．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵DE为⊙O地切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O地半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+t2=（t+1）2，解得t=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O地切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了勾股定理和相似三角形地判定与性质．5．(年四川资阳，第21题9分)如图，AB是⊙O地直径，过点A作⊙O地切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD地延长线交AC于E，连接A D．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE地长．[来源:学科网ZXXK]考点：切线地性质；相似三角形地判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O地直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线地性质得AC为⊙O地切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似地判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE．解答：（1）证明：∵AB是⊙O地直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O地切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形地判定与性质．6．（•新疆，第21题10分）如图，AB是⊙O地直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O地切线；（2）若CD=2，求⊙O地半径．考点：切线地判定．证明题．专题：[来源:]分析：（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线地判定定理得到CD是⊙O地切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度地直角三角形三边地关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度地直角三角形三边地关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O地半径为4．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵=，[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O地切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，[来源:学|科|网]∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=4，∴⊙O地半径为4．点评：本题考查了切线地判定定理：经过半径地外端且垂直于这条半径地直线是圆地切线．也考查了圆周角定理和含30度地直角三角形三边地关系．7.（•毕节地区，第26题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接C D．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．考点：切线地判定分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形地性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．解答：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC地中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切．点评：此题主要考查了切线地判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线地判定定理：经过半径地外端且垂直于这条半径地直线是圆地切线．8．（·云南昆明，第22题8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上地一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上地一点，以BE为直径地⊙O经过点D.（1）求证：AC是⊙O地切线；（2）若∠A=60°，⊙O地半径为2，求阴影部分地面积.（结果保留根号和π）考点：切线地判定；阴影部分面积.第22题图EOCBA1D分析：（1）连接OD，求出∠A=∠DOC，推出∠ODC=90°，根据切线地判定推出即可；（2）先求出ODCRt∆地面积，再求出扇形ODC地面积，即可求出阴影部分面积．解答：（1）证明：如图，连接OD∵ODOB=，∴21∠=∠，∴∠12∠=DOC，∵12∠=∠A，∴DOCA∠=∠，Θ∠ABC=90°，ο90=∠+∠∴CA∴ο90=∠+∠CODC，ο90=∠∴ODC∵OD为半径，∴AC是⊙O地切线；（2）解：οΘ60=∠=∠DOCA，2=OD∴在ODCRt∆中，ODDC=ο60tan323260tan=⨯==οODDC∴323222121=⨯⨯=⋅=∆DCODSODCRtπππ3236026036022=⨯⨯==rnSODE扇形π3232-=-=∴∆ODE ODC Rt S S S 扇形阴影点评： 本题考查了等量代换、切线地判定、三角形面积、扇形面积等知识点地应用，主要考查学生地推理能力.．9. （•株洲，第23题，8分）如图，PQ 为圆O 地直径，点B 在线段PQ 地延长线上，OQ =QB =1，动点A 在圆O 地上半圆运动（含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形AB C ． （1）当线段AB 所在地直线与圆O 相切时，求△ABC 地面积（图1）；（2）设∠AOB =α，当线段AB 、与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α地范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 地长度（图3）．（第1题图）考点： 圆地综合题；等边三角形地性质；勾股定理；切线地性质；相似三角形地判定与性质；特殊角地三角函数值．分析： （1）连接OA ，如下图1，根据条件可求出AB ，然后AC 地高BH ，求出BH 就可以求出△ABC 地面积．（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A 与点Q 重合时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB 所在地直线与圆O 相切时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α地范围．（3）设AO与PM地交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM地值．解答：解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥A B．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB•sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC•BH=××=．∴△ABC地面积为．（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；②当线段A1B所在地直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α地范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ，如图3所示．∵PQ是⊙O地直径，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=A B．∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥A B．∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM地长度为．点评：本题考查了等边三角形地性质、相似三角形地性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角地取值范围，综合性较强．10. （•泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）地图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4地⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（第2题图）（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE地度数；②用含b地代数式表示FG2，并直接写出b地取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆地综合题分析：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对地圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M地坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b地范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P地坐标，解答：解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线地函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在地直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在地直线为：y=x，又∵AB所在地直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．点评：本题主要考查了圆与一次函数地知识，解题地关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K地关系．11 （•扬州，第25题，10分）如图，⊙O与Rt△ABC地斜边AB相切于点D，与直角边AC 相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O地半径为12，弧DE地长度为4π．（1）求证：DE ∥BC ；（2）若AF =CE ，求线段BC 地长度．（第3题图）考点： 切线地性质；弧长地计算．分析：[来源:学.科.网Z.X.X.K] （1）要证明DE ∥BC ，可证明∠EDA =∠B ，由弧DE 地长度为4π，可以求得∠DOE 地度数，再根据切线地性质可求得∠EDA 地度数，即可证明结论． （2）根据90°地圆周角对地弦是直径，可以求得EF ，地长度，借用勾股定理求得AE 与CF 地长度，即可得到答案．解答： 解：（1）证明：连接OD 、OE ，∵OD 是⊙O 地切线，∴OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，又∵弧DE 地长度为4π， ∴，∴n =60，∴△ODE 是等边三角形，∴∠ODE =60°，∴∠EDA =30°，∴∠B=∠EDA，∴DE∥B C．（2）连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF=90°，∴FD是⊙0地直径，由（1）得：∠EFD=30°，FD=24，[来源:学+科+网]∴EF=，又因为∠EDA=30°，DE=12，∴AE=，又∵AF=CE，∴AE=CF，∴CA=AE+EF+CF=20，又∵，∴BC=60．点评：本题考查了勾股定理以及圆地性质地综合应用，解答本题地关键在于900地圆周角对地弦是直径这一性质地灵活运用．12.（•滨州，第21题8分）如图，点D在⊙O地直径AB地延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O地切线；（2）若⊙O地半径为2，求图中阴影部分地面积．考点：扇形面积地计算；等腰三角形地性质；切线地判定；特殊角地三角函数值．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）连接O C．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形地性质即可证明；（2）阴影部分地面积即为直角三角形OCD地面积减去扇形COB地面积．解答：（1）证明：连接O C．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=90°．∴CD是⊙O地切线．（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形BOC=．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分地面积为．点评：此题综合考查了等腰三角形地性质、切线地判定方法、扇形地面积计算方法．13．（•德州，第22题10分）如图，⊙O地直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB 地平分线与⊙O，AB地交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD地长；（2）试判断直线PC与⊙O地位置关系，并说明理由．考点：切线地判定；勾股定理；圆周角定理．分析：（1）①连接BD，先求出AC，在RT△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以RT△ABD是直角等腰三角形，求出AD，②连接OC，（2）由角地关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．解答：解：（1）①如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RT△ABC中，AC===8，②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，∴AD=AB=×10=5cm；（2）直线PC与⊙O相切，理由：连接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．点评：本题主要考查了切线地判定，勾股定理和圆周角，解题地关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等地角．14.（•菏泽，第18题10分）如图，AB是⊙O地直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC 与过点A地切线交于点D，连接DC并延长交AB地延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O地切线；（2）若=，求cos∠ABC地值．考点：切线地判定；勾股定理．分析：（1）如图，连接O C．欲证DE是⊙O地切线，只需证得OC⊥DE；（2）由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．则tanE==．所以在Rt△OCE中，tanE==．在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．解答：（1）证明：如图，连接O C．∵AD是过点A地切线，AB是⊙O地直径，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵OC=OB，∴∠2=∠4．∴∠1=∠3．在△COD和△AOD中，，∴△COD≌△AOD（SAS）∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．∵OC是⊙O地半径，∴DE是⊙O地切线；（2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，∴AD=DC=k．∴在Rt△DAE中，AE==2k．∴tanE==．∵在Rt△OCE中，tanE==．∴=，∴OC=OA=．∴在Rt△AOD中，OD==k，∴cos∠ABC=cos∠AOD==．点评：本题考查了切线地判定与性质．要证某线是圆地切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．。

点直线与圆的位置关系一.选择题1．(2015•江苏南京,第6题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，，∴，∴NM=，∴DM==，故选A．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．2.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A．①②B．①②③C．①④D．①②④考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．.分析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．解答：解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴与不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故选D．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（）A ．20°B．25°C．40°D．50°考点：切线的性质．分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．解答：解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=20°，∴∠AOC=40°，∴∠C=50°．故选：D．点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．3．（2015•广东广州,第3题3分）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（）A ．2.5 B．3 C．5 D．10考点：切线的性质．分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．解答：解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，∴点O到直线l的距离等于圆的半径，即点O到直线l的距离为5．故选C．点评：本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O 相离⇔d＞r．4. （2015•浙江衢州,第10题3分）如图，已知等腰，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点，若，则的半径是【】A. B. C. D.【答案】D．【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用．【分析】如答图，连接，过点作于点，∵，∴.∵，∴.∴.∴.∵是的切线，∴.∴.∴，且四边形是矩形.∵，∴由勾股定理，得.设的半径是，则.∴由勾股定理，得，即，解得.∴的半径是.故选D．5. （2015•浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是( )A. 4B. 2C. 8D. 4【答案】C.考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理6. （2015•浙江湖州，第9题3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G 分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )A. CD+DF=4B. CD−DF=2−3C. BC+AB=2+4D. BC−AB=2【答案】A.【解析】试题分析：如图，设⊙O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证△OMG≌△GCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BC－BM－GC=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC−AB=2.设AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b －c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab －4a－4b+4=0，又因BC−AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再设DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD−DF=，CD+DF=.综上只有选项A错误，故答案选A.考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；7. （2015•浙江嘉兴，第7题4分）如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则☉C的半径为（▲）（A）2.3 （B）2.4（C）2.5 （D）2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理．.分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC•BC=AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．解答：解：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴AC•BC=AB•CD，即CD===，∴⊙C的半径为，故选B．点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．8. （2015•四川省内江市，第10题，3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°考点：切线的性质．.分析：连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．解答：解：连接BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠ABD=30°，故选：C．点评：本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．9. （2015•四川乐山,第10题3分）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B 两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、P B．则△P AB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．D．【答案】C．10．（2015•广东梅州,第6题，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心.若∠B =20°，则∠C 的大小等于（ ）A ．20°B ．25°C ． 40°D ．50° 考点：切线的性质．.分析：连接OA ，根据切线的性质，即可求得∠C 的度数． 解答：解：如图，连接OA ，∵AC 是⊙O 的切线， ∴∠OAC =90°， ∵OA =OB ， ∴∠B =∠OAB =20°， ∴∠AOC =40°， ∴∠C =50°． 故选：D ．点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．11. （2015•山东潍坊第7 题3分）如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO =20°，则∠C 的度数是（ ）ACBOA．70° B．50° C．45° D．20°考点：切线的性质．.分析：由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．解答：解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴∠OBC=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠ABO=20°，∴∠BOC=40°，∴∠C=50°．故选B．点评：本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键．二.填空题1. （2015•浙江宁波，第17题4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D 两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为▲【答案】254. 【考点】矩形的性质；垂径定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接EO 并延长交AD 于点H ，连接AO ，∵四边形ABCD 是矩形，⊙O 与BC 边相切于点E ，∴EH ⊥BC ，即EH ⊥AD . ∴根据垂径定理，AH =DH .∵AB =8，AD =12，∴AH =6，HE =8.设⊙O 的半径为r ，则AO =r ，8OH r =-.在Rt OAH ∆中，由勾股定理得()22286r r -+=，解得254r =. ∴⊙O 的半径为254.2.（2015•江苏徐州,第14题3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C =20°，则∠CDA = 125 °．考点： 切线的性质．.分析： 连接OD ，构造直角三角形，利用OA =OD ，可求得∠ODA =36°，从而根据∠CDA =∠CDO +∠ODA 计算求解．解答： 解：连接OD ，则∠ODC =90°，∠COD =70°；∵OA =OD ，∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，故答案为：125．点评：本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．3.（2015湖北荆州第18题3分）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C 在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=﹣．考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．解答：解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，∵⊙P与边AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴=，即=，解得CH=，∴AH===，∴BH=10﹣=，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴=，即=，解得r=，∴OD=OC﹣CD=6﹣=，∴P（，﹣），∴k=×（﹣）=﹣．故答案为﹣．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．4.（2015•福建泉州第14题4分）如图，AB 和⊙O 切于点B ，AB =5，OB =3，则tanA =．解：∵直线AB 与⊙O 相切于点B ，则∠OBA =90°．∵AB =5，OB =3，∴tanA ==．故答案为：5. （2015•四川成都,第24题4分）如图，在半径为5的O e 中，弦8AB =，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当PAB ∆是等腰三角形时，线段BC 的长为 . K H G O O C OB A B A BA图（1） 图（2） 图（3）【答案】：8BC =或5615或53【解析】：（1）当AB AP =时，如图（1），作OH AB ⊥于点H ，延长AO 交PB 于点G ；易知3540cos cos 533AP OH APC AOH PC AP PC AO =∠=∠==⇒==，射影知26424404856240535153AP PG BC PC PG PC ===⇒=-=-=.（2）当PA PB =时，如图（2），延长PO 交AB 于点K ，易知3OK =，8PK =，45PB PA ==易知3520585cos cos 5333AP OK APC AOK PC AP BC PC PB PC AO =∠=∠==⇒==⇒=-=. （3）当BA BP =时，如图（3），由0090908C P PAB CAB BC AB ∠=-∠=-∠=∠⇒==.综上：8BC =或5615或85 6. （2015•浙江省绍兴市，第14题，5分） 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，点P 在以C 为圆心，5为半径的圆上，连结P A ，PB 。

第3章直线与圆、圆与圆的位置关系【课标点击】1. 探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系.2. 了解三角形的内心的概念.3. 了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.3.1直线与圆的位置关系(1)【要点预习】1. 当直线和圆有唯一公共点时, 叫做直线与圆, 直线叫做圆的, 公共点叫做.2. 直线与圆有公共点时, 叫做直线与圆相交；直线与圆公共点时, 叫做直线与圆相离.3. 如果⊙O的半径为r, 圆心O到直线l的距离为d, 那么, d<r⇔；⇔直线l与⊙O相切；⇔直线l与⊙O相离.【课前热身】1. 圆的直径所在的直线与圆的位置关系是.答案：相交2. 如果一条直线与圆有公共点, 那么该直线与圆的位置关系是.答案：相切或相交3. 如果⊙O的直径为8, 圆心O到直线l的距离为5, 则直线与圆的位置关系是.答案：相离4. 已知圆的半径为4cm，圆心到直线l的距离为3cm，那么l和这个圆有个公共点.答案：2【讲练互动】【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB 有何位置关系？(1) r=2cm；(2) r=2.4cm；(3) r=3cm．【解】∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴AB=5cm.作CD⊥AB于D, 则12AC·BC=12AB·CD, CD=125A CB CA B⋅=cm.(1) ∵CD=2.4cm>r=2cm, ∴直线AB与⊙C相离.(2) ∵CD =2.4cm=r =2.4cm, ∴直线AB 与⊙C 相切. (3) ∵CD =2.4cm<r =3cm, ∴直线AB 与⊙C 相交.【绿色通道】 如果⊙O 的半径为r , 圆心O 到直线l 的距离为d , 那么, d <r ⇔直线l 与⊙O 相交；d=r ⇔直线l 与⊙O 相切；d >r ⇔直线l 与⊙O 相离.【变式训练】1. 设⊙O 的半径为r , 圆心到直线l 的距离为d . 根据下列条件判断直线l 与⊙O 的位置关系：(1)5,4d r ==；(2) 7,3d r ==；(3) 4sin 45d r ==.【解】(1) ∵d >r , ∴直线l 与⊙O 相离； (2) ∵d <r , ∴直线l 与⊙O 相交； (3) ∵d=r=, ∴直线l 与⊙O 相切.【例3】东海某小岛上有一灯塔A ，已知A 塔附近方圆25海里范围内有暗礁，我110舰在O 点处测得A 塔在其北偏西60°方向，向正西方向航行20海里到达B 处，测得A 在其西北方向．如果该舰继续航行，是否有触礁的危险？请说明理由．【解】如图, OB =20海里, ∠AOB =30°, ∠ABO =45°. 作AD ⊥BO 于D , 设AD =x 海里, 则BD =x 海里, DO= 海里.∵DO-DB=BO ,=20, 解得x∴不会有触樵危险. 【变式训练】2. 如图，已知∠AOB =30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2 cm 为半径作⊙M ．若点M 在OB 边上运动，则当OM = cm 时，⊙M 与OA 相切．【解析】作MC ⊥OA 于C . 要使⊙M 与OA 相切, 必有MC =R = 2, 而∠AOB =30°，∴OM =2MC =4cm.【答案】4【同步测控】基础自测1. (2007青岛)⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系C为………………………………………………………………………………………………（）A．相离B．相切C．相交D．内含答案：C2.(2007青海)已知圆的直径为10cm，圆心到直线l的距离为5cm，那么l和这个圆的公共点的公共点的个数为………………………………………………………………………（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个答案：B3. ⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是…………………………………………………………………………………（）A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R答案：D4. (2007钦州)已知O，圆心O到直线l的距离为1.4cm，则直线l与O的公共点的个数为．答案：25. 在平面直角坐标内，⊙P的圆心P的坐标为（8，0），半径是6，那么直线y=x与⊙P的位置关系是.答案：相交6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若以C为圆心，R为半径作的圆与直线AB 相切,则R= .答案：2.47. 在边长为6的正△ABC中，若以A为圆心, 以8为半径作⊙A, 则⊙A与边BC的交点的个数为.答案：08. 正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点），以P为圆心的圆与AB相切，求AD与⊙P的位置关系.解：如图, 作PE⊥AB于E, PF⊥AD于F. 设⊙P的半径为R..∵⊙P与AB相切, ∴PE=R.又∵ABCD是正方形, ∴AC平分∠DAB, ∴PE=PF, ∴PF=R.∴AD与⊙P相切.C A能力提升9. (2007黑龙江)已知O 的半径为5，点P 在直线l 上，且5OP =，直线l 与O 的位置关系是……………………………………………………………………………………（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交答案：D10. 若⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，且d 与R 是方程x ²-4x +m =0的两根，且直线l 与⊙O 相切，则m 的值为…………………………………………………………（ ）A.1B.2C.3D.4 答案：D11.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4.若以A 为圆心、R 为半径所作的圆与线段BC 只有一个公共点，则R 的取值范围是 .答案：3≤R ≤412. (2007深圳) 如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．解：作CD ⊥AB 于D , 设CD=x .在Rt △ACD 中, ∠CAD =30°, ∴AD. 在Rt △BCD 中,∠BCD =30°, ∴BD=3x.∵AD-BD=AB =24×0.5=12海里,3=12, 解得x=>9.∴货船不会有触礁危险.13. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，若以C 为圆心，R 为半径作的圆与斜边AB 没有公共点，求R 的取值范围.解：如图, 作CD ⊥AB 于D .∵∠C =90°，AC =5，BC =12，∴AB =13. ∵AC ·CD=AB ·CD , ∴CD =6013AC BC AB⋅=.BDCA∴当R<6013时, 直线AB与⊙C相离, 没有公共点.又斜边AB是线段, ∴R>BC=12时, ⊙C与斜边AB也没有公共点.综上, R的范围是R<6013或R>12.创新应用14. 如图, 直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上的一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？解：作EF⊥CD于F.∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠A=∠B=90°，∴EA=EF=EB=12AB,∴以AB为直径的圆, 即⊙E到直线CD的距离等于半径. ∴以AB为直径的圆与边CD相切. BFEDC A3.1直线与圆的位置关系(2)【要点预习】经过半径的外端并且的直线是圆的切线.【课前热身】1.下列直线是圆的切线的是……………………………………………………………（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线答案：B2.⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是…………………………………………………………………………………（）A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R答案：D3.当点P在⊙O上时, 经过点P能作条直线与⊙O相切.答案：一4.若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O(填”上”或”外”或”内”)答案：外【讲练互动】【例1】如图,点B在⊙O上,分别根据下列条件, 判断直线AB与⊙O是否相切：(1) OB=5, AB=12, OA=13；(2)∠O=60°, tanA=.3【解】(1) ∵52+122=132, ∴OB2+AB2=OA2,∴∠ABO=90°, ∴直线AB与⊙O相切.(2) ∵tanA=∴∠A=30°. 又∵∠O=60°, ∴∴∠ABO=90°, ∴直线AB与⊙O相切.3【绿色通道】要证明或判断一条直线是圆的切线有两种方法：当直线经过圆上一点时, 可连结过该点的半径, 证明所成的角为直角；当直线与圆有无交点不能判定时, 可过圆心作该直线的垂线段, 证明垂线段等于半径即可.【变式训练】1. 若⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d40d-=, 则直线l与⊙O 有 个公共点.【解析】本题不能明确直线l 与⊙O 是否有交点, 故证d 与r 是否相等即可判定. 【答案】1【例2】 (2007北京) 已知：如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC ，12AC O B =．(1) 求证：AB 是⊙O 的切线；(2) 若∠ACD =45°，OC =2，求弦CD 的长． 【证明】(1)连结OA. ∵12AC O B ==OC=BC ，∴∠OAB =90°，即AB 是⊙O 的切线 (2)作AE ⊥CD 于E . ∵OA=OC=AC ，∴△OAC 为正三角形, ∴∠AOC =60°，∴∠D =30°. 又∠ACD =45°，OC =2，∴∴AD =2AEDE, ∴CD =DE+CE. 【变式训练】2. (2007包头)如图，已知A B 是O 的直径，AC 为弦，且平分B A D ∠，AD CD ⊥，垂足为D ．(1) 求证：CD 是O 的切线；(2) 若O 的直径为4，3AD =，试求BAC ∠的度数． 【解】(1) 连结OC .∵AC 平分B A D ∠，∴∠BAC =∠DAC .又OA=OC , ∴∠BAC =∠OCA , ∴∠OCA =∠DAC , ∴OC ∥AD . ∵AD ⊥CD , ∴OC ⊥CD , ∴CD 是⊙O 的切线.(2) 连结BC . ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB =90°, ∴∠ACB =∠ADC =90°. 又∠BAC =∠DAC , ∴△ACB ∽△ADC . ∴AC AB ADAC=, 即43A C A C=, ∴AC=.在Rt △ACB 中, cos ∠BAC=2AC AB=, ∴∠BAC =30°.【同步测控】基础自测1.经过⊙O 的直径的一端能作⊙O 的切线……………………………………………（ ） A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 答案：BOABCD2.已知⊙O 的直径为4cm,圆心到直线1234,,,l l l l 的距离分别为2cm,,2tan 45,1.9cm cm,则与⊙O 相切的直线有……………………………………（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 答案：B3.下列说法正确的是……………………………………………………………………（ ） A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过半径的外端的直线是圆的切线 C.经过半径的一端且垂直这条半径的直线是圆的切线 D.经过半径的外端且垂直这条半径的直线是圆的切线 答案：D4.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案：B5. 已知直线l ，在l 上取一点A ，过A 点与l 相切的圆有 个. 答案：无数6.△ABC 中,以AB 边上的高为直径作一个圆,则与这个圆相切的直线是 . 答案：AB7. (2007毕节)如图,已知30MAN ∠=°，O 为边AN 上一点， 以O 为圆心，2为半径作O ，交AN 于D E ，两点，设AD x =．当x = 时，O 与A M 相切.答案：28. 在平面直角坐标系中，以点(2 , l)为圆心, 1为半径的圆必 与 轴相切. 答案：x9.如图,已知⊙O 及⊙O 外一条直线l ,作直线m ∥l ,且与⊙O 相切.(保留作图痕迹) 解：如图直线DE和FG 与⊙O 相切..10.如图, AB 是⊙O 的弦,点C 是 AB 的中点, 直线CD ∥AB . 求证：CD 是⊙O 的切线.证明：连结OC . ∵C 是 AB 的中点, ∴OC ⊥AB . ∵CD ∥AB , ∴OC ⊥CD , ∴CD 是⊙O 的切线. 能力提升11. (2007嘉兴)正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点（不包括端点），以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是………………………………………（ ）A. 相离B. 相切C.相交D.不确定答案：B12.如图，已知等边△ABC 的边长为cm 32 ，下列以A 为圆心的各圆中，半径是3cm 的圆是…………………………………………………………………………………………（ ）A ． B. C. D. 答案：C13. 已知：如图：AB 是⊙O 的直径，BD ＝OB ，∠CAB ＝30°．请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO ＝OB ＝BD 外）；① ；② ；③ ．答案：如AB =2BD ∠ACD =120° △BCD ∽△CAD 等.14.如图,点M 在⊙O 上. (1)过点M 作⊙O 的切线MN ；(2)是否存在一条与MN 垂直的⊙O 的切线?若存在,请作出这条切线.解：如图. (1)MN 中所求的切线. (2) CD 和EF 是所示的切线.15.（2007白银）如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．解：连结OB , 则OB=OC , ∴∠B =∠ABO . ∵CE=BE , ∴∠EBC =∠ECB =∠ACO . ∵OC ⊥OA , ∴∠A +∠ACO =90°.∴∠OBC +∠EBC =90°, 即BE 与⊙O 相切.16. (2007南京)如图，A 是半径为12cm 的O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．如果点B 是O A 延长线上的一点，AB OA =，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线B P 与O 的位置关系，并说明理由． 解：(1)当90PO A =∠时，点P 运动的路程为O 周长的14或34．设点P 运动的时间为s t ． 当点P 运动的路程为O 周长的14时，122124t π=π ．解得3t =； 当点P 运动的路程为O 周长的34时，322124t π=π ．解得9t =．∴当90PO A =∠时，点P 运动的时间为3s 或9s ．(2) 如图，当点P 运动的时间为2s 时，直线B P 与O 相切． 理由如下：当点P 运动的时间为2s 时，点P 运动的路程为4cm π． 连结OP PA ，．O 的周长为24cm π，∴ AP 的长为O 周长的16，∴60PO A =∠．OP OA = ，∴OAP △是等边三角形．∴OP OA AP ==，60O A P =∠， AB OA = ，∴AP AB =．OAP APB B =+ ∠∠∠，∴30A P B B ==∠∠．∴90O PB O PA APB =+=∠∠∠．∴OP BP ⊥．∴直线B P 与O 相切． 创新应用17. (2007武汉)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12. 以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E .BAPO(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值. 解：(1) 连结OD , CD .∵BC 是直径, ∴CD ⊥AB . ∵AC=BC , ∴D 是AB 的中点. 又O 为BC 中点, ∴OD ∥AC . ∵DF ⊥AC , ∴OD ⊥EF . ∴直线EF 是⊙O 的切线.(2)连结BG . ∵BC 是直径, ∴∠BGC =90°. 在Rt △BCD 中,8. ∵12AB ·CD =12AC ·BG , ∴BG =485A B C D A C ⋅=.在Rt △BGC 中, CG145=.∵BG ∥EF , ∴∠E =∠CBG . ∴sin ∠E =sin ∠CBG =725C G B C=.第17题图3.1直线与圆的位置关系(3)【要点预习】经过切点的 垂直于圆的切线；经过切点垂直于切线的直线必经过 .【课前热身】1.正方形ABCD 中, 以AB 为直径的圆, 与正方形的其余三条边相切的有 条. 答案：22. 已知P A 切⊙O 于点A ，若∠APO =30°, OP =2， 则⊙O 的半径是 . 答案：13.已知半径为4的⊙O 外一点P , PO =5, PM 切⊙O 于点M , 则PM = . 答案：3【讲练互动】【例1】(2007自贡)如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，过E 作⊙O 的切线ME 交AC 于点D ．试判断△AED 的形状，并说明理由．【证明】AED △为直角三角形.理由：连结BE . ∵AB 是直径, ∴∠BEA ＝90°,∴∠B ＋∠BAE ＝90°. 又∵AE 平分∠BAC , ∴∠BAE ＝∠EAD .∵M E 切O 于点E , ∴∠AED ＝∠B , ∴∠AED ＋∠EAD ＝90°, ∴AED △是直角三角形. 【绿色通道】由于圆的切线垂直于经过切点的半径, 因此, 连结过切点的半径是常用的辅助线.【变式训练】1.如图，两同心圆圆心为O ，AB 、AC 是大圆的弦，AB 切小圆于D ，且 AB AC =.证明：AC 与小圆相切.【证明】连结OD , 作OF ⊥AC 于F .∵AB 切小圆于D , ∴OD ⊥AB . ∵ AB AC =, ∴OD=OF . ∴AC 与小圆相切.【例2】为了测量一个圆形铁环的半径, 某同学采取了如下办法：将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,AB按如图所示的方法得到相关数据,进而求得铁环的半径.若测得P A =8cm, 求铁环的半径. 【解】如图, 连结OA , OB , OP . 则∠OBA =∠OP A =90°,∠P AB =120°.又OA=OA , OB=OP , ∴Rt △OAP ≌Rt △OAB . ∴∠OAP =∠OAB =60°, ∴OP=P A ·tan60°=【变式训练】2. (2007年金华) 如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH ⊥AC 于点H ．若OH =2，AB =12，BO =13．求：(1)⊙O 的半径；(2)sin ∠OAC 的值；(3)弦AC 的长（结果保留两个有效数字）.【解】(1) AB 是⊙O 的切线，∴∠OAB =90°， ∴AO 2=OB 2-AB 2，∴OA =5.(2) ∵OH ⊥AC ，∴∠OHA=90°，∴sin ∠OAC =25O H O A=．(3) ∵OH ⊥AC ，∴AH 2=AO 2-OH 2，AH=CH ，∴AH=，∴AC =2AH=9.2．【同步测控】基础自测1.下列命题中是假命题的是……………………………………………………………（ ） A.圆的切线垂直于过切点的半径 B.垂直于切线的直线必经过切点 C.若圆的两条切线平行,那么经过两切点的直线必经过圆心 D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆切线 答案：B2. (2007大连)如图，AB 、A C 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，若∠A = 70°，则∠BOC 的度数为………………………………………………………………………………………（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100° 答案：C第2题第3题第4题A第5题3.(2007宁夏)如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，43PA O A ==，，则sin AOP ∠的值为…………………………………………………………………………（ ）A ．34B ．35C ．45D ．43答案：C4.(2007海南)如图，⊙B 的半径为4cm ， 60=∠MBN ，点A 、C 分别是射线BM 、BN 上的动点，且直线BN AC ⊥.当AC 平移到与⊙B 相切时，AB 的长度是………………（ ）A.cm 8B.cm 6C.cm 4D.cm 2 答案：A5. (2007邵阳)如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是点O ，大圆的弦A B 所在直线是小圆的切线，切点为C ．已知大圆的半径为5cm ，小圆的半径为1cm ，则弦A B 的长度为 cm ．答案：6. (2007临汾)如图，P 的半径为2，圆心P 在函数6(0)y x x =>的图象上运动，当P与x 轴相切时，点P 的坐标为 ．答案：(3, 2)7. (2007鄂尔多斯)如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A B 切小圆于P ，如果4cm AB =，则图中阴影部分的面积为 2cm （结果用π表示）．答案：4π8. (2007十堰) 如图，P A 是⊙O 的切线，切点是A ，过点A 作AH ⊥OP 于点H ，交⊙O 于点B . 求证：PB 是⊙O 的切线.证明：连结OA , OB .∵AH ⊥OP , ∴AH=BH , 即OP 是AB 的中垂线, ∴P A=PB .x第7题第8题图第8题图又OA=OB , OP=OP , ∴△AOP ≌△BOP , ∴∠OAP =∠OBP . ∵P A 是⊙O 的切线, ∴∠OAP =90°, ∴∠OBP =90°, ∴PB 是⊙O 的切线.9.(2007德阳)如图，已知A B 是O 的直径，AC 是弦，CD切O 于点C ，交A B 的延长线于点D ，120A C D =∠，10BD =．(1) 求证：CA CD =；(2) 求O 的半径．证明：(1) 连结OC , 则OC=OA , 即∠A =∠OCA . ∵CD 是⊙O 的切线, ∴∠OCD =90°,∴∠A =∠OCA =120°=90°=30°, ∴∠D =30°, 即∠A=∠D , ∴CA=CD . (2) 在Rt △OCD 中, ∠D =30°, ∴OD=2OC , 即R+10=2R , ∴R =10. 10. (2007新疆) 如图，O 的直径6AB =，D 为O 上一点，30BAD ∠=，过D 点的切线交A B 的延长线于点C ．求：(1)C ∠的度数；(2) 阴影部分的面积. (精确到0.01). 解：(1) ∵∠BAD =30°, ∴∠DOC=60°.∵CD 是⊙O 的切线, ∴∠ODC =90°, ∴∠C =30°. (2) ∵OD=12AB =3, ∴OC =6, CD∴S 阴影=12OD ·DC 26033602O D ππ-⨯=≈3.08.能力提升11. (2007南京)如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是……………………………………（ ）A.(53)，B.(35)，C.(54)，D.(45)，答案：DA第12题图BCDA第14题（第16题图）12. (2007临汾)如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为………………………………………………………………（ ）A ．552 B ．554 C ．352 D ．354答案：A13. (2007衢州)如图，已知直线l 的解析式是434-=x y ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点. 一个半径为1.5的⊙C , 圆心C 从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动, 当⊙C 与直线l 相切时,则该圆运动的时间为……………………………（ ）A. 3秒或6秒B. 6秒C. 3秒D. 6秒或16秒 答案：D14. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，PC ＝3，PB ＝1，则⊙O 的半径等于 .答案：415. (2007泰州)已知：如图，ABC △中，CA CB =，点D 为AC 的中点，以A D 为直径的O 切BC 于点E ，2A D =．(1) 求B E 的长；(2) 过点D 作DF BC ∥交O 于点F ，求D F 的长． 解：(1) 连结OE 交F D 于点G . BC 切O 于E ，∴BE BC ⊥．∴CE ===，∴4BE =-(2) DF BC ∥，∴OGD OEC △∽△， ∴G D O D E CO C=13=，∴3G D =．∵OE BC ⊥，∴OE FG ⊥，∴23FD G D ==．创新应用16.（2007广东）如图(1)(2)，图(1)是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图(2)．已知铁环的半径为5个单位(每个单位为5cm)，设铁环中心为D ，铁环钩与铁环相切点第15题图ABCEDFO为M ，铁环与地面接触点为A ，∠MOA =α，且sinα =53．(1)求点M 离地面AC 的高度BM (单位：厘米)；(2)设人站立点C 与点A 的水平距离AC 等于11个单位，求铁环钩MF 的长度(单位：厘米)．解：过M 作与AC 平行的直线，与OA 、FC 分别相交于H 、N . (1)在Rt △OHM 中，HM=OM ·sin α=15cm ∴OH =20，MB=AH =5cm(2)∵∠MOH+∠OMH =∠OMH+ ∠FMN=90°, ∴∠FMN =∠MOH =α. ∴FN =FM ·sin α=35FM , ∴MN =BC=AC-AB=40cm.∵FM 2=FN 2+MN 2，即FM 2=(35FM )2+402, ∴FM =50cm.AMFOα 图②图①。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯沪科版九年级数学直线和圆的位置关系经典题型汇编一、选择题1.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )A. 0≤b<2 2B. －22≤b≤2 2C. －23<b<2 3D. －22<b<2 22.如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )A. 5B. 6C. 7D. 8第2题第3题3.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝40°，则∠B的度数为( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的度数为( )A. 29°B. 32°C. 42°D. 58°第4题第5题5. 如图，直线AD是⊙O的切线，A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( )A. 54°B. 36°C. 30°D. 27°6. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线垂直于边AD所在的直线于点M.若∠ABC ＝55°，则∠ACD的度数为( )A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°第6题第7题7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则O是△ABC的( )A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点8.如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的度数为( )A. 114°B. 122°C. 123°D. 132°第8题 第11题9.已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( ) A.32 B. 32C. 3D. 2 3 10. 若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆的半径为( ) A. 2 B. 2 2 C.22D. 1 11.如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( ) A. 65 B. 85 C. 75 D. 23512.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P＝30°，则AC 的长度是( )A. 5 3B. 5 2C. 5D. 52第12题第13题13.如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD<90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO ＝10，则⊙O 的半径为( )A. 5B. 6C. 2 5D. 3 2 二、 填空题14.如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝________°.第14题第15题15. (2017·齐齐哈尔)如图，AC 是⊙O 的切线，切点为C ，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 于点D ，连接OD.若∠A ＝50°，则∠COD 的度数为________．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，切点为A ，CO 交⊙O 于点D.若∠CAD ＝30°，则∠BOD ＝________°.第16题第17题17. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为D ，AB ＝BC ＝2，则∠AOB ＝________°. 18. 如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12，AC ＝8，则⊙O 的半径为________．第18题第19题19.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，点O 在AB 上，OB ＝2，以OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，交BC 于点E ，则弦BE 的长为________ .20.如图，∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以点O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以点O 2为圆心、O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以点O 3为圆心、O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以点O 10为圆心、O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径是________．第20题 第21题21.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 的切线分别交AB ，AC 的延长线于点E ，F ，连接BD.(1) AF ，EF 所在直线的位置关系是________； (2) 若AC ＝6，CF ＝2，则⊙O 的半径为________．22. 如图，⊙C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC ＝5，P 为⊙C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A ，B ，且OA ＝OB ，∠APB ＝90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．第22题第23题第24题23. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是________．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是(3，0)，(0，2)．动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心、PB 长为半径的⊙P 随点P 运动．当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，点P 的坐标为____________________．三、 解答题25.已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∠ABT ＝50°，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D.(1) 如图①，求∠T 和∠CDB 的大小；(2) 如图②，当BE ＝BC 时，求∠CDO 的大小．第25题26. 如图，⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A 作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，∠P＝30°.(1) 求弦AC的长；(2) 求证：BC∥PA.第26题27.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F.(1) 求证：DE⊥AC；(2) 若DE＋EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度．第27题28.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1) 求证：PO平分∠APC；(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第28题29. 如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1) 求证：AP＝AB；(2) 若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．第29题30. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1) 求证：∠A＝∠ADE；(2) 若AD＝16，DE＝10，求BC的长．第30题31.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.(1) 判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2) 若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．第31题32.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C.(1) 求证：BC是⊙O的切线；(2) 若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．第32题33. 如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C.(1) 若点A 的坐标为(0，6)，点N 的坐标为(0，2)，∠ABN ＝30°，求点B 的坐标； (2) 若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．第33题34如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AB 交CB 的延长线于点E ，垂足为F.(1) 判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若⊙O 的半径R ＝5，tan C ＝12，求EF 的长．第34题35. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的⊙O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N.(1) 求证：CA ＝CN ；(2) 连接DF ，若cos ∠DFA ＝45，AN ＝210，求⊙O 的直径．第35题36.如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA ＝PD ，⊙O 是△PAD 的外接圆． (1) 求证：AB 是⊙O 的切线；(2) 若AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，求⊙O 的半径． 第36题参考答案一、 1. D 2. D 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. C 9. C 10. A 11. B 12. A 13. C二、 14. 50 15. 80° 16. 120 17. 60 18. 5 19. 2 20. 2921. (1) AF ⊥EF (2) 5 22. 4 23. 2 2 24. (0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5，9－352三、 25. (1) 如图①，连接AC.∵ AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴ AT ⊥AB.∴ ∠TAB ＝90°.∵ ∠ABT ＝50°，∴ ∠T ＝90°－∠ABT ＝40°.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∴ ∠CAB ＝90°－∠ABC ＝40°.∴ ∠CDB ＝∠CAB ＝40° (2) 如图②，连接AD.∵ 在△BCE 中，BE ＝BC ，∠EBC ＝50°，∴ ∠BCE ＝∠BEC ＝65°.∴ ∠BAD ＝∠BCD ＝65°.∵ OA ＝OD ，∴ ∠ODA ＝∠OAD ＝65°.∵ ∠ADC ＝∠ABC ＝50°，∴ ∠CDO ＝∠ODA －∠ADC ＝65°－50°＝15°第25题26. (1) 连接OA.∵ PA 是⊙O 的切线，OA 为⊙O 的半径，∴ ∠PAO ＝90°.∵ 在Rt △PAO 中，∠P ＝30°，OA ＝5，∴ OP ＝2OA ＝10，PA ＝OP 2－OA 2＝5 3.∵ AC ⊥PB ，∴ 12OP ×AD ＝12PA ×OA ，即12×10×AD＝12×53×5，解得AD ＝532.∵ AC ⊥PB ，PB 过圆心O ，∴ AD ＝DC.∴ AC ＝2AD ＝5 3 (2) ∵ AC ⊥PB ，∠P ＝30°，∴ ∠PAC ＝60°.∵ 在Rt △PAO 中，∠P ＝30°，∴ ∠AOP ＝60°.∴ ∠BOA ＝180°－∠AOP ＝120°.∴ ∠BCA ＝12∠BOA ＝60°.∴ ∠PAC ＝∠BCA.∴ BC ∥PA27. (1) ∵ OB ＝OD ，∴ ∠ABC ＝∠ODB.∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB.∴ ∠ODB ＝∠ACB.∴ OD ∥AC.∵ DE 是⊙O 的切线，OD 是半径，∴ DE ⊥OD.∴ DE ⊥AC (2) 过点O 作OH ⊥AF 于点H ，则∠ODE ＝∠DEH ＝∠OHE ＝90°，∴ 四边形ODEH 是矩形．∴ OD ＝EH ，OH ＝DE.设AH ＝x.∵ DE ＋AE ＝8，OD ＝10，∴ AE＝10－x ，OH ＝DE ＝8－(10－x)＝x －2.在Rt △AOH 中，由勾股定理，知AH 2＋OH 2＝OA 2，即x 2＋(x －2)2＝102，解得x 1＝8，x 2＝－6(不合题意，舍去)．∴ AH ＝8.∵ OH ⊥AF ，∴ AH ＝FH ＝12AF.∴ AF ＝2AH ＝2×8＝1628. (1) 连接OB.∵ PA ，PB 是⊙O 的切线，∴ OA ⊥AP ，OB ⊥BP.又∵ OA ＝OB ，∴ PO 平分∠APC (2) ∵ OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴ ∠CAP ＝∠OBP ＝90°.∵ ∠C ＝30°，∴ ∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°.∵ PO 平分∠APC ，∴ ∠OPC ＝12∠APC ＝12×60°＝30°.∴ ∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°.又∵OD ＝OB ，∴ △ODB 是等边三角形．∴ ∠OBD ＝60°.∴ ∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°.∴ ∠DBP ＝∠C.∴ DB ∥AC29. (1) ∵ OC ＝OB ，∴ ∠OCB ＝∠OBC.∵ AB 是⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB.∴ ∠OBA ＝90°.∴ ∠ABP＋∠OBC ＝90°.∵ OC ⊥AO ，∴ ∠AOC ＝90°.∴ ∠OCB ＋∠CPO ＝90°.又∵ ∠APB ＝∠CPO ，∴ ∠APB ＝∠ABP.∴ AP ＝AB (2) 过点O 作OH ⊥BC 于点H.∵ 在Rt △OAB 中，OB ＝4，AB ＝3，∴ OA ＝32＋42＝5.∵ AP ＝AB ＝3，∴ OP ＝2.∴ 在Rt △POC 中，PC ＝OC 2＋OP 2＝2 5.∵ OC ⊥OA ，OH ⊥BC ，∴ S △COP ＝12PC ·OH＝12OC ·OP.∴ OH ＝OC ·OP PC ＝455.∴ 在Rt △CHO 中，CH ＝OC 2－OH 2＝855.∵ OH ⊥BC ，OH 过圆心O ，∴ CH ＝BH.∴ BC ＝2CH ＝1655.∴ BP ＝BC －PC ＝1655－25＝65530. (1) 如图，连接OD.∵ DE 是切线，∴ ∠ODE ＝90°.∴ ∠ADE ＋∠BDO ＝90°.∵ ∠ACB ＝90°，∴ ∠A ＋∠B ＝90°.∵ OD ＝OB ，∴ ∠B ＝∠BDO.∴ ∠A ＝∠ADE (2) 如图，连接CD.∵ ∠ADE ＝∠A ，∴ AE ＝DE.∵ BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴ EC 是⊙O 的切线．∴ ED ＝EC.∴ AE ＝EC.∵ DE ＝10，∴ AC ＝2DE ＝20.∵ AE ＝DE ＝CE ，∴ ∠A ＝∠EDA ，∠EDC ＝∠ECD.∵ ∠A ＋∠EDA ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°，∴ ∠ADE ＋∠EDC ＝12×180°＝90°.∴ 在Rt △ADC 中，DC ＝202－162＝12.∵ BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BDC ＝90°.设BD ＝x ，在 Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋122；在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋16)2－202.∴ x 2＋122＝(x ＋16)2－202，解得x ＝9，即BD ＝9.∴ 在Rt △BDC 中，BC ＝122＋92＝15第30题31. (1) 直线DE 与⊙O 相切 理由：如图，连接OD.∵ OD ＝OA ，∴ ∠A ＝∠ODA.∵ EF 是BD 的垂直平分线，∴ EB ＝ED.∴ ∠B ＝∠EDB.∵ ∠C ＝90°，∴ ∠A ＋∠B ＝90°.∴ ∠ODA ＋∠EDB ＝90°.∴ ∠ODE ＝180°－90°＝90°，即OD ⊥DE.∵ OD 是⊙O 的半径，∴ 直线DE 与⊙O 相切．(2) 如图，连接OE.设DE ＝x ，则EB ＝ED ＝x ，CE ＝8－x.∵ ∠C ＝∠ODE ＝90°，∴ OC 2＋CE 2＝OE 2＝OD 2＋DE 2.∵ AC ＝6，AO ＝2，∴ OC ＝4.∴ 42＋(8－x)2＝22＋x 2，解得x ＝4.75.∴ DE ＝4.75第31题32. (1) 如图，连接OB ，OD.∵ E 是弦BD 的中点，∴ BE ＝DE ，BD ＝2BE.∵ OB ＝OD ，∴ OE ⊥BD ，∠BOF ＝∠DOF ，即∠BOD ＝2∠BOF.∵ ∠BOD ＝2∠A ，∴ ∠BOF ＝∠A.∵ ∠DBC ＝∠A ，∴ ∠BOF ＝∠DBC.∵ 在Rt △BEO 中，∠DBO ＋∠BOF ＝90°，∴ ∠DBO ＋∠DBC ＝90°，即∠CBO ＝90°.∴ CB ⊥OB.∵ OB 是⊙O 的半径，∴ BC 是⊙O 的切线 (2) ∵ ∠CBO ＝90°，OB ＝6，BC ＝8，∴ OC ＝62＋82＝10.∵ BE ⊥OC ，∴ S△OBC ＝12OC ·BE ＝12OB ·BC.∴ BE ＝OB ·BC OC ＝6×810＝4.8.∴ BD ＝2BE ＝9.6 第32题33. (1) ∵ 点A 的坐标为(0，6)，点N 的坐标为(0，2)，∴ ON ＝2，AN ＝4.∵ NB ∥x 轴，x 轴⊥y 轴，∴ NB ⊥y 轴．∴ ∠ANB ＝90°.∵ 在Rt △ANB 中，∠ABN ＝30°，∴ AB ＝2AN ＝8.∴ 由勾股定理，可知NB ＝AB 2－AN 2＝4 3.∴ 点B 的坐标为(43，2) (2) 如图，连接MC ，NC.∵ AN 是⊙M 的直径，∴ ∠ACN ＝90°.∴ ∠NCB ＝90°.在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，∴ CD ＝12NB ＝ND.∴ ∠CND ＝∠NCD.∵ MC ＝MN ，∴ ∠MCN ＝∠MNC.∵ ∠ANB ＝∠MNC ＋∠CND ＝90°，∴ ∠MCN ＋∠NCD ＝90°，即∠MCD ＝90°.∴ MC ⊥CD.∵ MC 是⊙M 的半径，∴ 直线CD 是⊙M 的切线第33题34. (1) DE 与⊙O 相切 理由：如图，连接OD.∵ OC ＝OD ，∴ ∠C ＝∠ODC.∵ AB ＝BC ，∴ ∠C ＝∠A.∴ ∠ODC ＝∠A.∴ OD ∥AB.∵ DE ⊥AB ，∴ DE ⊥OD.∵ OD 是⊙O 的半径，∴ DE 与⊙O 相切． (2) 如图，连接BD ，过点D 作DH ⊥BC 于点H.∵ BC 为⊙O 的直径，∴ ∠CDB ＝90°.∴ tan C ＝BD CD ＝12.不妨设BD ＝k ，则CD ＝2k ，BC ＝BD 2＋CD 2＝5k.∵ BC ＝2R ＝10，∴ k ＝25，即BD ＝25，CD ＝4 5.∵ 在Rt△CDB 中，S △CDB ＝12BC ·DH ＝12CD ·BD ，∴ DH ＝CD ·BD BC ＝4.∴ 在Rt △OHD 中，OH ＝OD 2－DH 2＝3.∵ DE ⊥OD ，DH ⊥BC ，∴ ∠ODE ＝∠OHD ＝90°.∵ ∠DOH ＝∠EOD ，∴ △DOH ∽△EOD.∴ OD OE ＝OH OD ，即5OE ＝35.∴ OE ＝253.∴ EB ＝OE －OB ＝253－5＝103.∵ OD ∥AB ，即BF ∥OD ，∴ △BFE ∽△ODE.∴ BF OD ＝BE OE ，即BF 5＝103253.∴ BF ＝2.∴ 在Rt △BFE 中，EF ＝EB 2－BF 2＝83第34题35. (1) 如图，连接OF.∵ OF ＝OA ，∴ ∠OAN ＝∠OFN.∵ ME 与⊙O 相切与点F ，∴ OF ⊥ME ，即∠OFN ＋∠MFN ＝90°.∵ CD ⊥AB ，∴ ∠OAN ＋∠ANH ＝90°.∴ ∠MFN ＝∠ANH.又∵ ME ∥AC ，∴ ∠MFN ＝∠NAC.∴ ∠ANH ＝∠NAC.∴ CA ＝CN (2) ∵ ∠DFA ＝∠ACH ，cos ∠DFA ＝45，∴ cos ∠ACH ＝45.∵ CD ⊥AB ，∴ 在Rt △AHC 中，设AC ＝5a ，则HC ＝4a ，AH ＝AC 2－HC 2＝3a.由(1)知，CA ＝CN ，∴ NH ＝a.在 Rt △AHN 中，利用勾股定理，得AH 2＋NH 2＝AN 2，即(3a)2＋a 2＝(210)2，解得a ＝2.∴ AH ＝6，HC ＝8.如图，连接OC ，在Rt △OHC 中，利用勾股定理，得OH 2＋HC 2＝OC 2.设⊙O 的半径为R ，则(R －6)2＋82＝R 2，解得R ＝253.∴ 2R＝503，即⊙O 的直径为503第35题36. (1) 如图，连接OP ，OA ，OD ，设OP 交AD 于点E.∵ PA ＝PD ，∴ AP ︵＝DP ︵，∠AOP ＝∠DOP.∵ OA ＝OD ，∴ OP ⊥AD ，AE ＝DE.∴ ∠1＋∠OPA ＝90°.∵ OP ＝OA ，∴ ∠OAP ＝∠OPA.∴ ∠1＋∠OAP ＝90°.∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ 易证∠1＝∠2.∴ ∠2＋∠OAP ＝90°，即∠OAB ＝90°.∴ OA ⊥AB.∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AB 是⊙O 的切线 (2) 如图，连接BD ，交AC 于点F.∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ DB 与AC 互相垂直平分．∵ AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，∴ AF ＝4，tan ∠DAC ＝DF AF ＝22.∴ DF ＝2 2.∴ 在Rt △AFD 中，AD ＝AF 2＋DF 2＝2 6.∴ AE ＝ 6.∵ ∠1＝∠2，∴ 在Rt △PAE 中，tan ∠1＝PE AE ＝22.∴ PE ＝ 3.设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R －3，OA ＝R.在Rt △OAE 中，由OA 2＝OE 2＋AE 2，得R 2＝(R －3)2＋(6)2，解得R ＝332.∴ ⊙O 的半径为332第36题一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

点直线与圆的位置关系1.（2016·某某某某·二模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为( )A．πB．2πC．3πD．5π答案：B2. （2016·某某某某·一模）如图，⊙O的半径为１，正方形ABCD的对角线长为6，OA=4．若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )A. 3次B. 4次C. 5次D.6次答案：B3. （2016·某某省某某市十二校联考·一模）如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．下面四个结论：①ED是⊙O的切线；②BC=2OE；③△BOD为等边三角形；④△EOD∽△CAD正确的是（）A．①② B．②④ C．①②④D．①②③④【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】如图，通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得ED是⊙O的切线；证得OE是△ABC的中位线，证得BC=2OE，由OE∥BC，证得∠AEO=∠C，通过三角形全等证得∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，从而∠ODE=∠ADC=90°，从而证得△EOD∽△CAD．【解答】证明：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；∵AB是直径，∴AD⊥BC，∴∠DAE+∠C=90°，∵AE=DE，∴∠DAE=∠ADE，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，∴AE=EC，∵OA=OB，∴OE∥BC，BC=2OE，∴∠AEO=∠C，∵△AOE≌△DOE，∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，∴∠ODE=ADC=90°，∴△EOD∽△CAD．∴正确的①②④，故选C．【点评】本题考查了切线的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质以及三角形相似的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．4. （2016·某某某某·一模）下列命题：①等腰三角形的角平分线平分对边；②对角线垂直且相等的四边形是正方形；③正六边形的边心距等于它的边长；④过圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等．其中真命题有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A5. （2016·某某某某·一模）如图，⊙O的直径AB=2，点D在AB的延长线上，DC与⊙O 相切于点C，连接AC. 若∠A=30°，则CD长为( )A.13332333 BOA答案：D6. (2016·某某某某萧山区·模拟)在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上三者都有可能【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；特殊角的三角函数值．【分析】设直线经过的点为A，若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择．【解答】解：设直线经过的点为A，∵点A的坐标为（sin45°，cos30°），∴OA==，∵圆的半径为2，∴OA＜2，∴点A在圆内，∴直线和圆一定相交，故选A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A和圆的位置关系是解题关键．7. （2016某某一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点C为圆心，4为半径的⊙C与AB相切于点D，交CA于E，交CB于F，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．16﹣4πD．16﹣2π【考点】扇形面积的计算；切线的性质．【分析】利用切线的性质以及直角三角形的性质得出DC、BC的长，再利用勾股定理得出AC 的长，进而得出答案．【解答】解：连接CD，∵⊙C与AB相切于点D，∴∠CDB=90°，由题意可得：DC=4，则BC=2×4=8，设AC=x，则AB=2x，故x2+82=（2x）2，解得：x=，∴S△ABC=××8=，故图中阴影部分的面积为：﹣S扇形CEF=﹣=﹣4π．故选：A．8.（2016某某一模）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）A．B．C．πD．【考点】弧长的计算；切线的性质；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】连OB，OC，由AB切⊙O于点B，根据切线的性质得到OB⊥AB，在Rt△OBA中，OA=2，AB=3，利用三角函数求出∠BOA=60°，同时得到OB=OA=，又根据平行线的性质得到∠BOA=∠CBO=60°，于是有∠BOC=60°，最后根据弧长公式计算出劣弧BC 的长．【解答】解：连OB，OC，如图，∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB，在Rt△OBA中，OA=2，AB=3，sin∠BOA===，∴∠BOA=60°，∴OB=OA=，又∵弦BC∥OA，∴∠BOA=∠CBO=60°，∴△OBC为等边三角形，即∠BOC=60°，∴劣弧BC的弧长==．故选：A．9. (2016·某某铜梁巴川·一模）如图，已知AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B=38°，点D是⊙O上一点，连接CD，AD．则∠D等于（）A．76° B．38° C．30° D．26°【分析】先根据切线的性质得到∠OAB=90°，再利用互余计算出∠AOB=52°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=38°，∴∠AOB=90°﹣38°=52°，∴∠D=∠AOB=26°．故选D．10. (2016·某某枣庄·模拟) 如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A．2.3 B．2.4【考点】切线的性质；勾股定理的逆定理．【分析】首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC•BC=AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴AC•BC=AB•CD，即CD===，∴⊙C的半径为，故选B．【点评】此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．11. （2016·某某常熟·一模）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心O到直线l的距离d=3，而⊙O的半径R=4．又因为d＜R，则直线和圆相交．【解答】解：∵圆心O到直线l的距离d=3，⊙O的半径R=4，则d＜R，∴直线和圆相交．故选A．【点评】考查直线与圆位置关系的判定．要掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系． 12. （2016·某某省某某市钟爱中学·九年级下学期期初考试）已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的圆，点M 的坐标为（﹣3，4），则点M 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．M 在⊙O 上 B ．M 在⊙O 内C ．M 在⊙O 外D ．M 在⊙O 右上方答案：A13. （2016·某某市闸北区·中考数学质量检测4月卷）若1O 与2O 相交于两点，且圆心距125O O cm ，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？…………………（ ▲ ） （A ）1cm 、2cm ； （B ）2cm 、3cm ； （C ）10cm 、 15cm ； （D ）2cm 、 5cm ． 答案：D14. （2016·某某某某·联考）如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l ，与⊙O 过A 点的切线交于点B ，且∠APB=60°，设OP=x ，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2时，S取到最小值为： =0，即可得出图象．【解答】解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，∴tan60°==，解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，∴S△ABP=×PA×AB=（2﹣x）••（﹣x+2）=x2﹣2x+2，故此函数为二次函数，∵a=＞0，∴当x=﹣=2时，S取到最小值为： =0，根据图象得出只有D符合要求．故选：D．【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S与x之间的函数解析式是解题关键．1. （2016·某某某某某某区·一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，连结OC，过点C 的切线交BA的延长线于点D，若OC=CD=2，则的长是．（结果保留π）【考点】切线的性质；弧长的计算．【分析】根据切线的性质和OC=CD证得△OCD是等腰直角三角形，证得∠COB=135°，然后根据弧长公式求得即可．【解答】解：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵OC=CD=2，∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠COD=45°，∴∠COB=135°，∴的长==．故答案为．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，切线的性质的应用是解题的关键．2. （2016·某某某某·一模）如图，P是双曲线y=（x＞0）的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=3相切时，点P的坐标为（1，4）或（2，2）．【考点】反比例函数综合题．【分析】利用切线的性质以及反比例函数的性质即可得出，P点的坐标应该有两个求出即可；【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），∵P是双曲线y=（x＞0）的一个分支上的一点，∴xy=k=4，∵⊙P与直线y=3相切，∴p点纵坐标为：2，∴p点横坐标为：2，∵⊙P′与直线y=3相切，∴p点纵坐标为：4，∴p点横坐标为：1，∴x=1或2，P的坐标（1，4）或（2，2）；故答案为：（1，4）或（2，2）；【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及切线的性质和直线与圆的位置关系，利用数形结合解决问题是解题关键．3. （2016·某某某某·一模）若圆锥的主视图为等腰直角三角形，底面半径为1，则圆锥侧面积为____________．答案：24. (2016·某某枣庄·模拟)小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是．【考点】切线的性质；轨迹．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据切线的性质得到OH=PH，根据锐角三角函数求出PH的长，得到答案．【解答】解：如图，当圆心O移动到点P的位置时，光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切，切点为Q，∵ON⊥AB，PQ⊥AB，∴ON∥PQ，∵ON=PQ，∴OH=PH，在Rt△PHQ中，∠P=∠A=30°，PQ=1，∴PH=，则OP=，故答案为：．5. (2016·某某浦东·模拟)已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为 1 或5【点评】本题考查的是直线与圆相切的知识，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.6. （2016·某某丹阳市丹北片·一模）如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．答案：()1,2±,（0，-1）7. （2016·某某丹阳市丹北片·一模）如图是一块学生用直角三角板，其中∠A ′=30°，三角板的边框为透明塑料制成(内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等)．将直径为4cm 的⊙O 移向三角板，三角板的内ABC 的斜边AB 恰好等于⊙O 的直径，它的外△A ′B ′C ′的直角边A ′C ′ 恰好与⊙O 相切(如图2)，则边B′C ′的长为cm ．答案：3+38. （2016·某某省某某市钟爱中学·九年级下学期期初考试）如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（填度数）．答案：130°9. （2016·某某市闸北区·中考数学质量检测4月卷）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，点P 是与圆C 不重合的点，给出如下定义：若点'P 为射线．．CP 上一点，满足2r 'CP CP =⋅，则称点'P 为点P 关于⊙C 的反演点．如图为点P 及其关于⊙C 的反演点'P 的示意图．写出点M (12，0)关于以原点O 为圆心，1为半径的⊙O 的反演点'M 的坐标AB CA'B'OO宽宽宽C'B'A'C B A图1图2▲ ． 答案：（2，0）；1. （2016·某某某某·一模）（9分）如图8，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以点A 为圆心，AC 为半径，作☉A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作A.B 的平行线EF 交OA 于点F ，连接AF ，BF ，DF. (l)求证：△ABC≌△ABF; (2)填空：①当∠CAB=°时，四边形ADFE 为菱形；②在①的条件下，BC=cm 时，四边形ADFE 的面积是63cm 2.（1）证明：∵EF ∥AB ， ∴∠E=∠CAB ，∠EFA=∠FAB ， ∵∠E=∠EFA ，∴∠FAB=∠CAB ，…………………………………………………………………………..3 在△ABC 和△ABF 中，AF AC FAB CAB AB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ABF(SAS)；.........................................5 （2）①60°，②6. (9)2. （2016·某某某某七中·一模）（10分）如图，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，过点O 作BC 的平行线交AC 于点E ，交过点A 的直线于点D ，且BAC D ∠=∠.（1）求证：AD 是半圆O 的切线； （2）若2=BC ，2=CE ，求AD 的长（1）证明：∵AB 为半圆O 的直径， ∴ 90=∠BCA又∵BC ∥OD ， ∴AC OE ⊥， ∴090=∠+∠DAE D .∵BAC D ∠=∠，∴90BAC DAE ∠+∠=︒. ∴半径OA⊥AD 于点A ，∴AD 是半圆O 的切线.（2）解：∵在⊙O 中，AC OE ⊥于E ， ∴222==CE AC . 在ABC Rt ∆中，322)22(2222=+=+=BC AC AB ，3OA = ∵D BAC ∠=∠，OAD C ∠=∠ ∴DOA ∆∽ABC ∆： ∴BC OA AC AD =, ∴2322=AD ∴6=AD3. （2016·某某某某·一模）（本小题10分）如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线OBACEDO B AC E与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，2COB PCB ∠=∠． （1）求证：PC 是O ⊙的切线； （2）求证：12BC AB =； （3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若4AB =，求MN ·MC 的值．解：（1）∵ACO A OC OA ∠=∠=,， 又∵PCB COB A COB ∠=∠∠=∠2,2A ACO PCB ∴∠=∠=∠．又∵AB 是O ⊙的直径，90ACO OCB ∴∠+∠=°，90PCB OCB ∴∠+∠=°，即OC CP ⊥，而OC 是O ⊙的半径，∴PC 是O ⊙的切线．（2）∵P A PC AC ∠=∠∴=,，A ACO PCB P ∴∠=∠=∠=∠， 又∵,ACO A COB ∠+∠=∠PCB P CBO ∠+∠=∠，12COB CBO BC OC BC AB ∴∠=∠∴=∴=，，． （3）连接MA MB ，，∵点M 是弧AB 的中点，BCM ABM ∴∠=∠，而BMN BMC ∠=∠，MBN MCB ∴△∽△，BM MN MC BM∴=，∴MN ·MC =BM 2， 又∵AB 是O ⊙的直径，AM=BM ，90AMB AM BM ∴∠==°，．∵22,4=∴=BM AB ，∴MN ·MC =BM 2=84. （2016·河大附中·一模）(本题满分9分)O N B PCAMO N B PCAM如图(1)，线段AB=4，以线段AB 为直径画☉O ，C 为☉O 上的动点，连接OC ，过点A 作☉O 的切线与BC 的延长线交于点D ，E 为AD 的中点，连接CE ． (1)求证：CE 是☉O 的切线；第1题(2)①当CE=时，四边形AOCE 为正方形？ ②当CE=时，△CDE 为等边三角形时？解：（1）连结AC 、OE ∵AB 为直径∴∠ACB=∠ACD=90°∵E 为AD 中点 ∴EA=EC ∵OC=OA,OE=OC ∴△OCE ≌△OAE ∴∠OCE=∠OAE=90°∴CE 是☉O 的切线（2）① 2 ②3325. （2016·某某某某·一模）（本题9分） 如图，直径为10的半圆O ，tan∠DBC =43，∠BCD 的平分线交⊙O 于F ，E 为CF 延长线上一点，且∠EBF =∠GBF ． （1）求证：BE 为⊙O 切线； （2）求证：CE FG BG ⋅=2； （3）求OG 的值．GFDB答案：证明：（1）由同弧所对的圆周角相等得∠FBD=∠DCF， 又∵CF 平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF， 已知∠EBF=∠GBF，∴∠EBF=∠∠BCF，∵BC 为⊙O 直径，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC+∠EBF=90°，∴BE⊥BC，∴BE 为⊙O 切线；3分（2）证明：由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，∴△BEF∽△CEB，∴CE EF BE ⋅=2，又∠EBF=∠GBF，BF⊥EG，∴△BEF≌△BGF，∴BE=BG，EF=FG ，∴CE FG BG ⋅=2；6分（3）如图，过G 作GH ⊥BC 于H ，由已知CF 平分∠BCD 得GH=GD ，又由tan∠DBC=43得sin ∠DBC=53，∵BC=10，∴BD=8，BG=BD-GD=8- GD ，∴538=-=GD GD BG GH ，∴GD=GH=3，BG=5，BH=4，∵BC=10，∴OH=OB-BH=1，在Rt △OGH 中，由勾股定理得OG=10．9分GFDB6. （2016·某某襄阳·一模）（本题满分7分） 如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上， 弦CD ⊥AB ，垂足为E ，且PC 2=PE ·PO. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若OE ︰EA=1︰2，PA=6，求⊙O 的半径；答案：（1）连结OC. ∵PC 2=PE ·PO ，∴PC POPE PC =.∠P=∠P.∴△PCE ∽△POC ，…………………………2分 ∴∠PEC=∠∵CD ⊥AB ，∴∠PEC=90°， ∴∠PCO=90°.…………………………3分 ∴PC 是⊙O 的切线.…………………………4分 （2）设OE=x .∵OE ︰EA=1︰2，EA=x 2，OA=OC=x 3，∴OP=x 3∵CE 是高，∴Rt △OCE ∽Rt △OPC,OC OPOE OC =. ………………5分 ∴OC 2=OE ·OP. 即).63()3(2+=x x x ………………………6分 ∴11=x ，02=x （不合题意，舍去）.故OA=3.…………………………7分7. (2016·某某某某·模拟)（本题8分）已知：如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若BC=10，AB=16，求OF 的长． 解：（1）∵OC ⊥AB ， AB ∥CD ∴OC ⊥DC . ∴∠DCF=Rt ∠. ∴CD 是⊙O 的切线. （2）连结B0.设OB=x ∵直径 AB =16 OC ⊥AB ∴HA =B H=8 .DFBAO CHDFBAO CH∵BC=10 ∴CH=6. ∴OH=x-6.由勾股定理得222OB BH OH =+2228)6(x x =+-解得325=x ∵CB ∥AE ∴∠CBA=∠BAE ，∠HCB=∠HFA 又∵AH=BH △CHB ≌△FHA ∴CF=2CH=12 ∴OF=CF-OC=12-311325=.8. (2016·某某某某东区·4月诊断检测（本题满分10分）如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，OF =CF ，连结OD 、OE ． （1）求证：△ODE ≌△OBE ；（2）求证：四边形ODCE 为平行四边形； （3）求tan ∠ACO 的值．x ( h)918360答案：（1）略（4分）；（2）略（4分）；（3）31（2分） 9. （2016某某一模）如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，取CD 的中点E ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P ． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）若OC=CP ，AB=3，求CD 的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）先由圆周角定理得出∠BAC=90°，再由斜边上的中线性质得出AE=CD=CE=DE ，由CD 是切线得出CD ⊥OC ，即可得出OA ⊥AP ，周长结论；（2）先证明△AOC 是等边三角形，得出∠ACO=60°，再在Rt △BAC 和Rt △ACD 中，运用锐角三角函数即可得出结果．【解答】（1）证明：连结AO ，AC ；如图所示： ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=90°， ∵E 是CD 的中点， ∴AE=CD=CE=DE ，∴∠ECA=∠EAC ， ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴CD ⊥OC ，∴∠ECA+∠OCA=90°，∴∠EAC+∠OAC=90°，∴OA⊥AP，∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；（2）解：由（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==；∴∠P=30°，∴∠AOP=60°，∵OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO=60°，在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=3，∠ACO=60°，∴AC===3，又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，∴CD===2．10. （2016枣庄41中一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心P为（﹣3，a），⊙P与y轴相切于点C．直线y=﹣x被⊙P截得的线段AB长为4，则过点P的双曲线的解析式为y=﹣．【考点】切线的性质；待定系数法求反比例函数解析式；垂径定理．【专题】计算题．【分析】作PH⊥x轴于H，交直线y=﹣x于E，作PD⊥AB于D，连结PC、PA，如图，根据切线的性质得PC⊥y轴，则PC=PA=OH=3，再根据垂径定理，由PD⊥AB得AD=BD=AB=2，则可根据勾股定理计算出PD=1，接着利用直线y=﹣x为第二、四象限的角平分线可判断△HOB 和△PDE都为等腰直角三角形，所以EH=OH=3，PE=PD=，则P（﹣3， +3），然后利用待定系数法求过点P的双曲线的解析式．【解答】解：作PH⊥x轴于H，交直线y=﹣x于E，作PD⊥AB于D，连结PC、PA，如图，∵⊙P与y轴相切于点C，∴PC⊥y轴，而P（﹣3，a），∴PC=3，即⊙P的半径为3，∴PA=OH=3，∵PD⊥AB，∴AD=BD=AB=×4=2，在Rt△PAD中，PD===1，∵直线y=﹣x为第二、四象限的角平分线，∴∠HOB=45°，易得△HOB和△PDE都为等腰直角三角形，∴EH=OH=3，PE=PD=，∴PH=PE+EH=+3，∴P （﹣3， +3），设过点P 的双曲线的解析式为y=， 把P （﹣3，+3）代入得k=﹣3（+3）=﹣3﹣9，∴过点P 的双曲线的解析式为y=﹣．故答案为y=﹣．11. （2016·某某北辰区·一摸）（本小题10分）已知四边形ABCD 是平行四边形，且以AB 为直径的⊙O 经过点D . （Ⅰ）如图（1），若45BAD ∠=︒，求证：CD 与⊙O 相切；（Ⅱ）如图（2），若6AD =，10AB =，⊙O 交CD 边于点F ，交CB 边延长线于点E ， 求BE ，DF 的长；（Ⅰ）证明：连接OD .∵∠A =45°， ∴∠BOD =90°.∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD . ∴∠CDO +∠BOD =180°. ∴∠CDO =∠BOD =90°.图（2）DBFAEO图（1）DBAO第1题图（1）DBCAO∴ CD 与⊙O 相切. …5分 （Ⅱ）连接DE ，EF ，BD . ∵ AB 是⊙O 直径， ∴ ∠ADB =90°. ∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADB =∠EBD =90°.∴ DE 是⊙O 直径. ∴ DE=AB=CD=10.∴ BE=BC=AD =6. …7分 在Rt△DEF 和Rt△CEF 中，222EF DE DF =-，222EF CE CF =-∴ 2222DE DF CE CF -=-. 设 DF x =，则10CF x =-. ∴ 22221012(10)x x -=--. 解得145x =.即145DF =. 12.（2016·某某南开区·二模）如图，已知AB 为⊙O 的直径，过⊙O 上的点C 的切线交AB 的延长线于点E ，AD ⊥EC 于点D 且交⊙O 于点F ，连接BC ，CF ，AC ． （1）求证:BC=CF;（2）若AD=6，DE=8，求BE的长;（3）求证:AF+2DF=AB ．考点：切线的性质与判定 答案：见解析试题解析：（1）证明：如图，连接OC ，∵ED 切⊙O 于点C ，∴CO ⊥ED ，D BCFAEO图（2）∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠C AD，∵∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠CAD，∴=，∴BC=CF；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，根据勾股定理得AE=10，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴=，设⊙O的半径为r，∴OE=10﹣r，∴=，∴r=，∴BE=10﹣2r=；（3）证明：过C作CG⊥AB于G，∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD，在Rt△AGC和Rt△ADC中，∵，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF，∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，AF+DF+DF=AB，∴AF+2DF=AB．13.（2016·某某市和平区·一模）已知，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，过点D 的直线EF与⊙O相切，分别交BA，BC的延长线于点E，F，BF⊥EF（I）如图①，若∠ABC=50°，求∠DBC的大小；（Ⅱ）如图②，若BC=2，AB=4，求DE的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）如图1，连接OD，BD，由EF与⊙O相切，得到OD⊥EF，由于BF⊥EF，得到OD∥BF，得到∠AOD=∠B=50°，由外角的性质得到结果；（2）如图2，连接AC，OD，根据AB为⊙O的直径，得出∠ACB=90°，由直角三角形的性质得到∠CAB=30°，于是AC=AB•cos30°=4×=2，AH=AO•cos30°=2×=，根据三角形的中位线的性质解得结果．【解答】解（1）如图1，连接OD，BD，∵EF与⊙O相切，∴OD⊥EF，∵BF⊥EF，∴OD∥BF，∴∠AOD=∠B=50°，∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB=∠AOD=25°；（2）如图2，连接AC，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=2，AB=4，∴∠CAB=30°，∴AC=AB•cos30°=4×=2，∵∠ODF=∠F=∠HCO=90°，∴∠DHC=90°，∴AH=AO•cos30°=2×=，∵∠HAO=30°，∴OH=OA=OD，∵AC∥EF，∴DE=2AH=2．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数，平行线的性质和判定，辅助线的作法是解题的关键．14. （2016·某某五区县·一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC ∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直线CD与⊙O相切于点C；（2）解：连接BC，则∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD•AB，∵⊙O的半径为3，AD=4，∴AB=6，∴AC=2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．15. (2016·某某乌鲁木齐九十八中·一模)如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）首先连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线；（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．【解答】（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC•tan30°=3×=，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．16. (2016·某某省某某市罗平县·二模)如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．【考点】切线的判定．【专题】证明题．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，继而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，则可证得BC是⊙O的切线；（2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD∥OE，则∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．【点评】本题考查的是切线的判定，熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键．17. (2016·某某省·二模)如图，将圆形纸片沿弦AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，⊙O 的切线BC与AO延长线交于点C．（1）若⊙O半径为6cm，用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径．（2）求证：AB=BC．【考点】切线的性质；圆锥的计算；翻折变换（折叠问题）．（1）过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，根据题意OE=O A，得出∠OAE=30°，∠AOE=60°，【分析】从而求得∠AOB=2∠AOE=120°，根据弧长公式求得弧AB的长，然后根据圆锥的底面周长等于弧长得出2πr=4π，即可求得这个圆锥的底面圆半径；（2）连接OB，根据切线的性质得出∠OBC=90°，根据三角形外角的性质得出∠C=30°，从而得出∠BAC=∠C，根据等角对等边即可证得结论．【解答】解：（1）设圆锥的底面圆半径为r，过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，连接OB，有折叠可得 OE=OD，∵OD=OA，∴OE=OA，∴在Rt△AOE中∠OAE=30°，则∠AOE=60°，∵OD⊥AB，∴∠AOB=2∠AOE=120°，∴弧AB的长为：=4π，∴2πr=4π，∴r=2；（2）∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°∴∠C=30°，∴∠OAE=∠C，∴AB=BC．【点评】本题考查了折叠的性质，垂径定理，弧长的计算，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，找出辅助线构建直角三角形是解题的关键．18. (2016·某某枣庄·模拟)如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求cos∠E的值．【考点】切线的判定；勾股定理．【专题】证明题．【分析】（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；（2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG 中，两边的比的问题．【解答】（1）证明：如图，方法1：连接OD、CD．∵BC是直径，∴CD⊥AB．∵AC=BC．∴D是AB的中点．∵O为CB的中点，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴OD⊥EF．∴EF是O的切线．方法2：∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∵∠A+∠ADF=90°∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°，∴OD⊥ED∴EF是O的切线．（2）解：连BG．∵BC 是直径，∴∠BDC=90°．∴CD==8．∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，∴BG==．∴CG==．∵BG ⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．∴∠E=∠CBG，∴cos∠E=cos∠CBG==．【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．19. (2016·某某师大附中·模拟) (8分)如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O 的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交○O 于点H，连接BH。

点直线与圆的位置关系一.选择题1．（xx·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O 为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2 B．C．D．【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD.AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【解答】解：连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB，∴即∴CD=．故选：B．【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．2. （xx•广安•3分）下列命题中：①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案．【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．3.（xx·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）A．76° B．56° C．54° D．52°【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．【解答】解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二.填空题1.（xx·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=26 度．【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠COD=26°，故答案为：26．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．三.解答题1. （xx·广西贺州·10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，∴∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠DBE=90°，∴∠OBD=90°，∵OB是圆的半径，∴BD是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，∵点E是AB的中点，AB=12，∴AE=EB=6，OE⊥AB，又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，∴EF=BF=3，∴DF==4，∵∠AEC=∠DEF，∴∠A=∠EDF，∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO=∠DFE=90°，∴△AEO∽△DFE，∴，即，得EO=4.5，∴△AOB的面积是：=27．2. （xx·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC 上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线∴∠ABC=90°∵DC⊥BC∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD∵AB是⊙M的直径∴∠AGB=90°即：BG⊥AE∴∠CBD=∠A∴△ABE∽△BCD（2）解：过点G作GH⊥BC于H∵MB=BE=1∴AB=2∴AE=由（1）根据面积法AB•BE=BG•AE∴BG=由勾股定理：AG=，GE=∵GH∥A B∴∴∴GH=又∵GH∥AB①同理：②①+②，得∴∴CD=【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．3. （xx·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．4. （xx·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD.OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5.（xx·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°．∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA==，AM=OM=．∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=﹣=3π﹣；（2）证明：连接OD，∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC．∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC．∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC．∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．6.（xx·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH=CD=4，∠CHF=90°，∴OH⊥BF，∴BH=FH=4，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB===2，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．7.（xx·云南省曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）PM与⊙O相切．理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC=DC，BO=BD，∴OC=DC=BO=BD，∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠COP=∠EOP=60°，∵∠MPB=∠ADC，而∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠MPB，∴PM∥BC，∴OE⊥PM，∴OE=OP，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OC=OP，∴OE=OC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切线；（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．8.（xx·云南省·9分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出影响部分面积【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC==∴阴影部分面积为﹣【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．9．（xx·辽宁省沈阳市）（10.00分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．10．（xx·辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC．∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2\1∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，∴AE===2，连接DE\1AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°．在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，∴AD===4，∴⊙O的半径r=AD=2；（3）以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF．∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF．∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形．11.（xx·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是⊙O的直径， =，E是OB的中点，连接CE 并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径， =，∴∠BOC=90°．∵E是OB的中点，∴OE=BE．在△OCE和△BFE中．∵，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF===2，∴S△ABF=，4×2=2•BD，∴BD=．12．（xx·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB.连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E==，推出=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，∵tan∠E==，∴=，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC===6．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13. （xx•呼和浩特•10分）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．（1）证明：连接OD.OP、CD．∵=，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，∴MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，∵OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP=∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP=90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，∵AM=MC，∴AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴R2+122=9R2，∴R=3，∴OD=3，MC=6，∵==，∴DP=6，∵O是MC的中点，∴==，∴点P是BC的中点，∴BP=CP=DP=6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，∴BM=6，∵△BCM∽△CDM，∴=，即=，∴MD=2，∴==．14. （xx•乐山•10分）如图，P是⊙O外的一点，PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，PO 交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．（1）证明：∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．∵BC是直径，∴∠C AB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；（2）解：连结OA.DF，如图，∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6．∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ ==，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ ==．15. （xx•广安•9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA=∠ABC．（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE 的长【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos ∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长；方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，（2分）∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA=∠OCB，（3分）∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠PCA=∠ABC；（4分）（2）方法一：∵AE∥PC，∴∠CAF=∠PCA，∵AB⊥CG，∴，∴∠ACF=∠ABC，（5分）∵∠ABC=∠PCA，∴∠CAF=∠ACF，∴AF=CF=10，（6分）∵AE∥PC，∴∠P=∠FAD，∴cos∠P=cos∠FAD=，在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，∴AD=8，（7分）∴FD==6，∴CD=CF+FD=16，在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，r2=（r﹣8）2+162，r=20，∴AB=2r=40，（8分）∵AB是直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分），∴∠EAO+∠COA=90°，∵AB⊥CG，∴∠OCD+∠COA=90°，∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分）在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，∴CH=8，（7分）在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，∴OH=3x，OC=3x+8，由OC=OA得：3x+8=5x，x=4，∴AO=20，∴AB=40，（8分）在Rt△ABE中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．16. （xx•莱芜•10分）如图，已知A.B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下来设⊙O 的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于r的方程即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==设EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．19. （xx•陕西•10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC相交于点M、N．(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD ＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O 的切线，ON//AB，继而可得到结论；（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．【详解】（1）如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝CB，∴MD＝NB．【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.20. （xx·湖北咸宁·10分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=25，BC=，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．【详解】（1）如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，∴∠ODE=∠AOD=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，∴AC==5，∴OD=，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD=，∵DE∥AC，∴∠CEG=∠ACB，∴tan∠CEG=tan∠ACB，∴，即，解得：GE=，∴DE=DG+GE=．【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.21.（xx·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC．∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠C BD=90°，∴∠CDE=∠CBD．∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．22.（xx·吉林长春·7分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．23.（xx·江苏镇江·8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围＜AP＜或AP=5 ．【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD==10PG，PG=，①当⊙P与边AD.CD 分别有两个公共点时，＜AP ＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A.C.D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP 的值的取值范围是：＜AP ＜或AP=5．故答案为：＜AP ＜或AP=5．31 / 31文档可自由编辑打印。