江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次(2月)模拟数学试题(精品解析)

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三数学第一次（2月)模拟试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人 得分一、填空题（共14题)1. 已知集合 ，，则集合= ．2. 已知复数（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .次数2 3 4 5 人数 20 15 10 5则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ．5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ．答案第2页，总26页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 已知正四棱柱的底面边长为 ，侧面的对角线长是 ，则这个正四棱柱的体积是．7. 若实数满足，则的最小值为 ．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则 的值为 ．9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线与曲线相切于点，则 的值为 ．10. 已知数列是等比数列，有下列四个命题：①数列 是等比数列； ②数列 是等比数列；③数列 是等比数列； ④数列 是等比数列．其中正确的命题有 个． 11. 已知函数是定义在 上的奇函数，且．当时，，则实数a 的值为 ． 12. 在平面四边形 中，，则的最小值为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆，圆．若存在过点的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ． 14. 已知函数．若 … ，则满足的 的值为 ．评卷人 得分二、解答题（共11题)中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA=DP ．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求证： MN⊥平面PBC ；（2）求证： MD⊥平面PAB ．16. 在⊥ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长， ， ．（1）求角 的值； （2）若，求⊥ABC 的面积．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的左焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 ．（1）已知椭圆的离心率为 ，线段 中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程；（2）已知⊥外接圆的圆心在直线 上，求椭圆的离心率 的值．18. 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ，的长分别为和，上部是圆心为 的劣弧，．答案第4页，总26页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设 与地面水平线 所成的角为 ．记拱门上的点到地面的最大距离为 ，试用 的函数表示 ，并求出 的最大值． 19. 已知函数 ．（1）讨论 的单调性；（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．① 求实数 的取值范围； ② 证明：．20. 已知等差数列 满足 ，前8项和 ．（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ．① 证明： 为等比数列；○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………② 求集合 ．21. [选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵 ， ，且 ，求矩阵 ．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是 （ 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是 ．（1）直线l 的直角坐标方程；（2）直线 被曲线C 截得的线段长． 23. [选修4-5：不等式选讲] 已知实数满足，求证：．24. “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ．（1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量 表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求 的概率分布和数学期望 ．25. 设集合 是集合…，的子集．记 中所有元素的和为 （规定： 为空集时， =0）．若 为3的整数倍，则称 为 的“和谐子集”．求：（1）集合 的“和谐子集”的个数；（2）集合的“和谐子集”的个数．答案第6页，总26页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………参数答案【答案】： {0 ， 1 ， 3} 【解释】：【解答】根据题意，并集是属于A 或属于B 的元素，所以，＝，故答案为：【分析】利用并集的运算即可得结果. 【答案】： 5 【解释】： 【解答】，则复数z 的模为 ．故答案为： ．【分析】先利用复数的乘除运算得到z=-1-2i ，再求出复数的模即可. 【答案】：3【解释】：【解答】根据题意，计算这组数据的平均数为：＝＝3，故答案为：3.【分析】利用平均数的计算方法列式，即可求出平均每人参加活动的次数 . 【答案】：7【解释】：【解答】第1步：a ＝1，b ＝3；满足a<15；○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第2步：a ＝5，b ＝5；满足a<15；第3步：a ＝21，b ＝7，不满足a<15；退出循环， 所以，b ＝7. 故答案为：7．【分析】由已知程序框图进行模拟运算，得到a ＝21不满足a<15，即可求出b 的值. 【答案】：23【解释】：【解答】有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个， 基本事件总数n ＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m ＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p ．故答案为： ．【分析】由已知得到基本事件总数，再求出这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数，即可得概率. 【答案】： 54 【解释】：【解答】Aa 设正四棱柱的高为h 得到 故得到正四棱柱的体积为故答案为：54.【分析】先求出正四棱柱的高，再利用棱柱的体积公式即可得结果. 【答案】：− 6【解释】：【解答】画出实数x ，y 满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：答案第8页，总26页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………由 ，解得A （﹣3，﹣3），由z ＝x+y 得：y ＝﹣x+z ， 显然直线过A 时z 最小， z 的最小值是﹣6， 故答案为：﹣6．【分析】由已知画出实数x ，y 满足的平面区域，再利用图象得到直线过A 时z 最小，代入点A 的坐标，即可求出z 的最小值. 【答案】： 26【解释】：【解答】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ：x，双曲线 的两条渐近线方程为y ＝± x ，可得A （ ， ），B （ ， ），|AB| ，可得p ＝2 ．故答案为：2 ．【分析】由已知得到A （ ， ），B （ ， ），利用 列式，即可求出p 的值.【答案】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4 【解释】： 【解答】 ，切线的斜率为k ＝3，即=3，又切点同时在直线和曲线上，有：，所以 ＝4.故答案为4．【分析】先求导，得到=3，又由切点 同时在直线和曲线列式，即可求出结果.【答案】： 3【解释】： 【解答】数列是等比数列，所以， ，对于①， ，所以，数列 是等比数列，正确；对于②， ，所以，数列 是等比数列；对于③， ，所以，数列 是等比数列；对于④， ，不是常数，所以，错误．共有3个命题正确. 故答案为:3.【分析】利用等比数列的定义 ， 分别判断各命题中的数列，即可得结果.【答案】： 2【解释】：答案第10页，总26页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解答】函数是定义在 上的奇函数，所以，，又因为 ，所以， ，即 ，即 ，所以， ，解得： .故答案为：2.【分析】由已知函数 是定义在 上的奇函数，得到 ， 即可求出a 的值.【答案】：25【解释】：【解答】如图，以A 为原点，建立平面直角坐标系，则A （0,0），B （1,0），因为DA ＝DB ，可设D （ ，m ），因为 ，AB ＝1，由数量积的几何意义知 在 方向的投影为3，⊥可设C （3，n ），又 所以， ，即，＝ ＝，第11页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………当且仅当 ，即n ＝1，m ＝ 时，取等号，故答案为 .【分析】先建立平面直角坐标系，设D （ ，m ），得到 ， 又由表示模，利用基本不等式即可求出 的最小值.【答案】：(− 4 ， 43) 【解释】：【解答】直线l 的斜率k 不存在或0时均不成立， 设直线l 的方程为：， 圆O （0，0）到直线l 的距离 ，圆C （4，0）到直线l 的距离 ，l 被两圆截得的弦长相等，所以， ，即 ，所以， ＝3，化为：＞0，得：又 ＝ ＝ ＝ ＜1即 ，解得： ,故答案为: .【分析】由已知设出直线l 的方程，得到两个圆心到直线l 的距离d 1与d 2的表达式，利用l 被两圆截得的弦长相等列式，即可求出m 的范围. 【答案】： 337答案第12页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： 【解答】则，又因为：， ，因此， ＝0所以，函数 关于点 对称，所以， ，解得： ，＝2019，显然有： ，即所以，＝2019，＝1，解得：x ＝337，故答案为：337.【分析】由已知得到函数 关于点 对称，可得 ， 解得 ， 又由列式，即可求出x 的值.（1）【答案】：（2）【答案】：第13页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： 【分析】（1）由已知可证 MN⊥BC ，利用线面平行的判断定理，即可证明 MN⊥平面PBC ；\n （2）由已知可证 AB⊥侧面PAD ，得到 AB⊥MD ， 又MD⊥，即可证明 MD⊥平面PAB .（1）【答案】：（2）【答案】：答案第14页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【分析】（1）由已知利用正弦定理得到，可得，即可求出角 的值； \n （2） 由（1）及正弦定理得到，再由求出， 即可求出 ⊥ABC 的面积 .（1）【答案】：（2）【答案】：第15页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： 【分析】（1）由已知得到，又由线段中点的横坐标为列式，解得a ，b ，c ，即可求出椭圆的标准方程； \n （2）由已知得到线段 的中垂线方程，再由C 在线段的中垂线上列式，得到，即可求出 椭圆的离心率 的值 . （1）【答案】：答案第16页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：第17页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………答案第18页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【分析】（1）先作辅助线，得到 的长即为拱门最高点到地面的距离，利用列式，即可求出结果.\n （2） 由（1） 求出OB ，以 为坐标原点，直线 为 轴建立坐标系，分两种情况， 当点 在劣弧 上时 ，由三角函数定义得到，求出最大值； 当点 在线段上时，得到， 求出最大值，综上即可求出结果.（1）【答案】：（2）【答案】：第19页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………答案第20页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，利用导数研究函数的单调性，即可得结论；\n （2） ①由（1）知，当 时， 至多一个零点，不合题意； 当 时 ，利用函数的单调性得到在有唯一的一个零点， 综上即可求出实数 的取值范围； ② 由已知得到，利用分析法证明 ，即可证明原不等式成立.（1）【答案】：（2）【答案】：第21页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………答案第22页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【分析】（1）由已知等差数列 满足，前8项和列式，解得a 1与d ，即可求出数列的通项公式；\n （2） ①设数列 前 项的和为 ，由（1）得到 ，利用等比数列的定义， 即可证明数列为等比数列； ②由已知得到， 由①可证 ， 设，分别进行验证，再证明当 时，不合题意，即可求出集合.【答案】：由题意， ，则 ．因为 ，则 ．所以矩阵 ．【解释】：【分析】由已知利用逆变换与逆矩阵，得到 与 ，即可求出矩阵 .（1）【答案】：（2）【答案】：第23页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： 【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可求出直线l 的直角坐标方程 ；\n （2）先把曲线C 的参数方程化为普通方程，再与直线方程联立得到交点坐标，即可求出直线 被曲线C 截得的线段长 . 【答案】： 由柯西不等式，得，所以 ．【解释】：【分析】由已知利用柯西不等式，得到 ， 即可证明原不等式成立. （1）【答案】：（2）【答案】：答案第24页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： 【分析】（1）由已知得到 9个不同2位“回文数”乘以4的种数，得到 其中的“回文数”，即可求出概率；\n （2） 由（1）得 ，分别求出 的所有可能取值的概率，即可求出 的概率分布和数学期望 .（1）【答案】：（2）【答案】：第25页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【分析】（1）由已知得到 集合的子集 ，即可求出的“和谐子集”的个数 ；\n （2） 由（1）知，，分四种情况讨论“和谐子集”的个数，得到 集合的“和谐子集”共有， 同理得，，可得数列答案第26页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………是等比数列，利用求和公式即可求出集合的“和谐子集”的个数 .。

2019届泰州、南通、扬州、苏北四市高三数学第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合AB = ▲ ．【答案】{}013，，【解析】注意集合中元素的互异姓2． 已知复数2i 3i 1iz --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ .【答案【解析】23(1)2i 33i =1i 11i i i i z i i -----+==--，31i z i -+===-3． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为 ▲ . 【答案】3 【解析】22031541055350x ⨯+⨯+⨯+⨯==4． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．【答案】7【解析】当0,1a b ==时，1,3a b == 当1,3a b == 时，5,5a b ==（第4题）当5,5a b ==时，21,7a b ==5． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ． 【答案】23【解析】62333p ==⨯6． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是， 则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3． 【答案】54【解析】6h == ，9654V =⨯=【应该改成体对角线比较好的哦，难道考查考生审题能力】 7． 若实数x y ，满足2+3x y x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲ ．【答案】6-【解析】2333x y x x x +≤++≤+，23,3x x x ≤+≥- ，min ()3x y +≤8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -=的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB =p 的值为 ▲ ．【答案】【解析】双曲线渐近线方程，2x y =± ，根据双曲线对称性可知，24PAB =⨯=解之得p =9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ．。

【理科附加】专题01 矩阵【母题来源一】【2019年高考江苏】已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【答案】（1）2=A 115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==. 【解析】本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【母题来源二】【2018年高考江苏】已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． 【答案】（1）1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）(3，–1)． 【解析】本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ， 所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)．【母题来源三】【2017年高考江苏】 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B （1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）228x y +=． 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．【命题意图】高考主要考查矩阵的逆，矩阵变换，矩阵运算以及矩阵的特征值与特征向量，考查推理运算能力以及对知识的理解掌握水平. 【命题规律】江苏高考中，主要考查的是如何求二阶矩阵的逆矩阵以及二阶矩阵的特征值和特征向量，矩阵变换下的曲线方程和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查. 【方法总结】（一）线性变换、二阶矩阵及其乘法（1）二阶矩阵与列向量的乘法规则：若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b x ax by c d y cx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB .（2）二阶矩阵乘法规则： 若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，m p n q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB . 矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. （3）线性变换的基本性质： ①设向量x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，则x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦λλλα. ②设向量1212,x x y y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αβ，则1212x x y y +⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦αβ.③矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''.④A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λAα，A （α＋β）＝Aα＋Aβ.⑤二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. （4）几种常见的平面变换 ①当M ＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换是恒等变换. ②由矩阵M ＝001k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k >0，且k ≠1）确定的变换称为（垂直）伸压变换. ③反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称. ④当M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.⑤将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.⑥由矩阵M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k ∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.（二）逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（1）逆变换与逆矩阵①对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.②若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1.③逆矩阵求法：1||||(||0)||||其中d b a b ad bc c d c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A A A A A A . （2）特征值与特征向量①设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.②从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.③计算矩阵M ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征向量的步骤如下： i.由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝λa b c λd----；ii.求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根； iii.将特征多项式的根(特征值)代入特征方程()0()0λa x by cx λd y --=⎧⎨-+-=⎩，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量．1．【江苏省徐州市2018−2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知,a b ∈R ，向量1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵130b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵1-A .2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知矩阵 1 2 0x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 5 72 3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，B 的逆矩阵1-B 满足17 17 7y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦AB． （1）求实数,x y 的值；（2）求矩阵A 的特征值．3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知1是矩阵102a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标.4．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题】变换1T 是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ，变换2T 对应的变换矩阵是21101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换作用下所得曲线的方程.5．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知矩阵1a ⎡=⎢⎣A 11⎤⎥⎦，在平面直角坐标系xOy 中，直线:30l x y ++=在矩阵1-A 对应的变换下得到直线:10l x by '++=，求实数,a b 的值.6．【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l'：x ﹣y ＝1，求矩阵A ．7．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】已知，，，a b c d ∈R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．8．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知矩阵A ＝210a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1-A ＝01b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．9．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知矩阵123a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值是1-，求矩阵A 的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量.10．【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试试题】已知直线1C ：1x y +=，对它先作矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换，再作矩阵010m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 对应的变换（其中0m ≠），得到直线2C ：112x y +=，求实数m 的值．11．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知矩阵23b a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，2141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB .（1）求a ，b 的值； （2）求A 的逆矩阵1-A .12．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．13．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ．14．【江苏省扬州市2018−2019学年度第一学期期末检测试题高三数学】已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值．15．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知矩阵0123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，1820⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，求1-A B．。

-2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝．2．（5分）已知复数（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的体积是cm 3．7．（5分）若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x+3，则x+y 的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+2）＝f （x ）．当0＜x ≤1时，f （x ）＝x 3﹣ax+1，则实数a 的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面PAB ．16．（14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，，．（1）求角B 的值；（2）若，求△ABC 的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ：x ＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，可得A （﹣，﹣），B （（﹣，），|AB|＝＝，可得p ＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为4．【解答】解：根据题意得，t ＝1y ′＝acosx ﹣bsinx ∴k ＝acos0﹣bsin0＝a ∴a ＝3，bcos0＝1∴a ＝3，b ＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x 3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为?＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又?＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l 有斜率，设直线l ：y ＝k （x ﹣m ），即kx ﹣y ﹣km ＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m ＞0且3m 2+8m ﹣16＜0解得﹣4＜m ＜，故答案为：﹣4＜m ．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f （x ）关于点对称，所以，解得：a ＝﹣673，f （x ）＝（2x ﹣673）（|x+673|+|x ﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x ﹣673＜2019，即，所以，f （x ）＝（2x ﹣673）（x+673+2×673﹣x ）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD?侧面PAD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面PAB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cosB＝sinB．…………………………………………………………………4分若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cosB≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n ﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3?2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为ξ012P所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：?，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。

2019届高三第一次调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合A B = ▲ ．2． 已知复数2i 3i 1iz --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ . 3． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为 ▲ .4． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ． 5． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ． 6． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是cm ，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3．7． 若实数x y ，满足2+3x y x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -=的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB p 的值为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ．10．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列； ③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．其中正确的命题有 ▲ 个．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实数a 的值为 ▲ ．（第4题）12．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=，，则2AC AD +的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA =DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ； （2）MD ⊥平面P AB ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A =． （1）求角B 的值；（2）若a =ABC 的面积．（第15题）BCDPMN如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为和 4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．OOODDDCCAAACDO（第17题）已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，．① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．① 证明：{}n b 为等比数列；② 求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=求：（1）直线l 的直角坐标方程； （2）直线被曲线C 截得的线段长．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥．l【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的 和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．2019届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合A B = ▲ ．【答案】{}013，，2． 已知复数2i 3i 1iz --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ . 【答案】3． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为 ▲ . 【答案】34． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．【答案】75． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ． 【答案】236． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3． 【答案】547． 若实数x y ，满足2+3xy x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲ ．【答案】6-8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线221x y -= 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB p 的值为 ▲ ． 【答案】9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于（第4题）点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ． 【答案】410．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列； ③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．其中正确的命题有 ▲ 个．【答案】311．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】212．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=，，则2AC AD +的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()44-，14．已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．【答案】337二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA =DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ； （2）MD ⊥平面P AB ．【证明】（1）在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为（第15题）ABCDPMN棱P A ，PD 的中点，所以MN ∥AD ．……………………2分 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ．所以MN ∥BC ． …………………………………………………………………4分 又⊂⊄BC PBC MN PBC 平面，平面，所以MN ∥平面PBC ． …………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD ．又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD =AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面P AD ．……………………………………………………………8分 又MD ⊂侧面P AD ，所以AB ⊥MD ． ………………………………………………………………10分 因为DA =DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA ． ………………………………………………………………12分 又PA ，AB 在平面P AB 内，=PAAB A ，所以MD ⊥平面P AB ．…………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos cos a B A =，cos A =．（1）求角B 的值；（2）若a =ABC 的面积．【解】（1）在△ABC 中，因为cos A ，0π<<A ，所以sin =A ．………………………………………………………2分因为cos cos a B A =，由正弦定理=a b ，得sin cos cos A B B A ．所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠．于是sin tan 1cos ==B B B ．又因为0π<<B ，所以π4B =． …………………………………………………………………………7分（2）因为a =sin A ，由（1）及正弦定理sin sin =a b A B，所以=b ． ………………………………………………………………………9分又()()sin sin πsin C A B A B =--=+sin cos cos sin =+A B A B．……………………………………………12分 所以△ABC的面积为11sin ==S ab C .……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．【解】（1）因为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，所以12c a =，则2a c =．因为线段AF，所以2a c -．所以c 28a =，2226b a c -==．所以椭圆的标准方程为22186x y +=． …………………………………………………4分（2）因为(0)(0)A a F c -，，，， 所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx -=．（第17题）又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -=上， 所以()22a c a cC ---，．…………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a B b ，，，， 所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a ay x b --=． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a cb a ac ab -----=，整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率c e a ===． …………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为和 4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交A B，于点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，23O OC π∠=，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分OOODDDCCAAACDO（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离． 由（1）知，在1Rt OO B △中，OB =以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62θ<≤． 由π6OBx θ∠=+，OB =由三角函数定义，得O ππ))66()θθ++，则π2)6h θ=++． …………………………………………………………8分所以当ππ62θ+=即π3θ=时， h取得最大值2+ ……………………………………………………10分（2.2）当点P 在线段AD 上时，06θπ≤≤．设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，DBsin cos ϕϕ===． 由DBx θϕ∠=+，得))()D θϕθϕ++，．所以)h θϕ=+4sin θθ=+．……………………………………14分 又当06θπ<<时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-．所以4sin h θθ=+在[0]6π，上递增．所以当6θπ=时，h 取得最大值5．因为25+，所以h的最大值为2+θODCB Axy答：4sin 06π2)662h θθθθθπ⎧+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩，≤≤，，≤；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+m ． ……………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，．① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．【解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，且2()x a f x x-'=． （1.1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以()f x 在()0+∞，为增函数； ………2分 （1.2）当0a >时，（i ）当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()+a ∞，上为增函数； （ii ）当0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0a ，上为减函数．………4分 （2）①由（1）知，当0a ≤时，()f x 至多一个零点，不合题意；当0a >时，()f x 的最小值为()f a ，依题意知()=f a 1ln 0a +<，解得10a <<．……………………………………6分一方面，由于1a >，()10f a =>，()f x 在()+∞a ，为增函数，且函数()f x 的图 象在()1a ，上不间断． 所以()f x 在()a +∞，上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为10e a <<，所以210e <<<a a ．2211()ln 2ln f a a a =+=+，令()12ln =+g a a ，当10e a <<时，()2212210-'=-+=<a g a a a，所以()()211()2ln 20f a g a a g e a e==+>=->又()0f a <，()f x 在()0a ，为减函数，且函数()f x 的图象在()2a a ，上不间断．所以()f x 在()0a ，有唯一的一个零点． 综上，实数a 的取值范围是()10e ，．……………………………………………10分 ② 设()()1122121211=2+a a a a p x f x x f x x x x x ⎛⎫''=+=-+-- ⎪⎝⎭．又1122ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 则()122ln p x x =+．………………………………………12分 下面证明212x x a >．不妨设12x x <，由①知120x a x <<<． 要证212x x a >，即证212a x >．因为()2120a x a x ∈，，，()f x 在()0a ，上为减函数， 所以只要证()212a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又()()12==0f x f x ，即证()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………………………14分 设函数()()()()22ln 2ln a x a F x f f x x a x a x a x=-=--+>． 所以()()220x a F x ax -'=>，所以()F x 在()+a ∞，为增函数.所以()()20F x F a >=，所以()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭成立． 从而212x x a >成立.所以()122ln 2ln 2p x x a =+>+，即()()11222ln 2''+>+x f x x f x a 成立. …16分20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．① 证明：{}n b 为等比数列；② 求集合*3()=p m m pa a m p m pb b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，．【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =， 所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，，解得111a d =⎧⎨=⎩，． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………………………………3分（2）①设数列{}n b 前n 项的和为n B ．由（1）及()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，得，()()()()()()21211121213212321212nnk n k k n n k n k k b a n b an n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑，③≥， ④ 由③-④得()()()1121223131321321+2n n n n n n b a b a b a b a n -------=++++ ()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-[]123225111(2)(2)+(2)2n n n n b a b a b a b a n ---=+++++++()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-()()1212+222n n n n n b b b b B b b -=++++=-++．所以13222n n n B b -⋅=-+()2n n *∈N ≥，， 又()1113212b a -=+，所以11b =，满足上式． 所以()12232n n n B b n -*-+=⋅∈N ⑤…………………………………………6分 当2n ≥时，2112232n n n B b ----+=⋅⑥由⑤-⑥得，2132n n n b b --+=⋅．………………………………………………………8分()12122n n n n b b ----=--=()()11120n b -=--=，所以12n n b -=，12n nb b +=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．………………………………10分②由3=p m m p a a b b ，得11322m p p m --=，即32p mp m -=． 记n n n a c b =，由①得，12n n n n an c b -==， 所以1112n n c n c n++=≤，所以1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）． 由3=p m m pa ab b ，得3m p pc c c =>， 所以m p <．…………………………………………………………………………12分 设t p m =-()*m p t ∈N ，，，由32p m pm -=，得323t t m =-． 当1t =时，3m =-，不合题意；当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不合题意；当4t =时，121m =<，不合题意．下面证明当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-． 不妨设()233x f x x =--()4x ≥，()2ln 230x f x '=->，所以()f x 在4+[)∞，上单调增函数， 所以()(4)10f x f =>≥，所以当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-，不合题意． 综上，所求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，(){}=68，．………………16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ． 【解】由题意，()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ． ……………………………………4分因为10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ．……………………………………………………6分 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．………………………………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=求：（1）直线l 的直角坐标方程； （2）直线被曲线C 截得的线段长．【解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin cos cos sin )44ρθθππ-sin cos 2ρθρθ-=．又cos sin x y ρθρθ==，， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． …………………………4分（2）曲线C : 2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）的普通方程为2x y =． 由220x y x y ⎧=⎨-+=⎩，，得220x x --=，所以直线l 与曲线C 的交点()11A -，，()24B ，． ……………………………8分 所以直线被曲线C 截得的线段长为AB ．………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥． 【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29=≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)l l“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ． 【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A 的概率2()9P A =．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得2()9P A =．…………………………………………………………………5分设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．根据已知条件得，()29205=9P B C =． ()()()()()2528=0=119981P P A P B ξ=--=；()()()()()()()252543=1=11999981P P A P B P A P B ξ+=-+-=；()()()2510=2=P P A P B ξ=⋅= ……………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．……………10分23．(本小题满分10分)设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的 和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．【解】（1）集合{}1=123A ，，的子集有：φ，{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，，{}123，，．其中所有元素和为3的整数倍的集合有：φ，{}3，{}12，，{}123，，． 所以1A 的“和谐子集”的个数等于4．……………………………………………3分 （2）记n A 的“和谐子集”的个数等于n a ，即n A 有n a 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记n A 有n b 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有n c 个所有元素和为3的整数 倍余2的子集．由（1）知，111=4=2=2a b c ，，．集合()+1{12332313313231}n A n n n n n n =--+++，，，，，，，，，的“和谐子集” 有以下四类（考察新增元素()313231n n n +++，，）：第一类 集合{123n A =，，，…，32313}n n n --，，的“和谐子集”，共n a 个； 第二类 仅含一个元素()31n +的“和谐子集”，共n a 个；同时含两个元素3132n n ++，的“和谐子集”，共n a 个；同时含三个元素()313231n n n +++，，的“和谐子集”，共n a 个；第三类 仅含一个元素31n +的“和谐子集”，共n c 个；同时含两个元素()313+1n n +，的“和谐子集”，共n c 个；第四类 仅含一个元素32n +的“和谐子集”，共n b 个；同时含有两个元素()3231n n ++，的“和谐子集”，共n b 个，所以集合+1n A 的“和谐子集”共有1422n n n n a a b c +=++个．同理得1422n n n n b b c a +=++，1422n n n n c c a b +=++．………………………………7分 所以+112()n n n n a b a b +-=-，112a b -=，所以数列{}n n a b -是以2为首项，公比为2 的等比数列． 所以=2n n n a b -．同理得=2n n n a c -．又3=2n n n n a b c ++，所以()321=2233n n n a n *⨯+⨯∈N ，． ………………………10分。

2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是cm3．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，，则p的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x+t与曲线y＝a sin x+b cos x（a，b，t∈R）相切于点（0，1），则（a+b）t的值为．10．（5分）已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1，则实数a的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4．若存在过点P（m，0）的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围．14．（5分）已知函数f（x）＝（2x+a）（|x﹣a|+|x+2a|）（a＜0）．若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（672）＝0，则满足f（x）＝2019的x的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面P AB．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，可得A（﹣，﹣），B（（﹣，），|AB|＝＝，可得p＝2．故答案为：2．9．【解答】解：根据题意得，t＝1y′＝a cos x﹣b sin x∴k＝a cos0﹣b sin0＝a∴a＝3，b cos0＝1∴a＝3，b＝1故答案为4．10．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为•＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又•＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．【解答】解：显然直线l有斜率，设直线l：y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m＞0且3m2+8m﹣16＜0解得﹣4＜m＜，故答案为：﹣4＜m．14．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f（x）关于点对称，所以，解得：a＝﹣673，f（x）＝（2x﹣673）（|x+673|+|x﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x﹣673＜2019，即，所以，f（x）＝（2x﹣673）（x+673+2×673﹣x）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD⊂侧面P AD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面P AB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cos B＝sin B．…………………………………………………………………4分若cos B＝0，则sin B＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cos B≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O 2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣3﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3•2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：∅，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。

江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三数学第一次（2月)模拟试卷一、填空题 (共14题；共14分)1．（1分）已知集合A={1 ， 3}，B={0 ， 1}，则集合A∪B=．2．（1分）已知复数 z =2i−3i（i为虚数单位），则复数z的模为.1−i3．（1分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为.4．（1分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．5．（1分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（1分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3√5cm，则这个正四棱柱的体积是cm3．7．（1分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为．8．（1分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线x22=1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB=√6，则p的值为．4−y9．（1分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=3x+ t与曲线y=asinx+bcosx(a ， b ， t∈R)相切于点(0 ， 1)，则(a+b)t的值为．10．（1分）已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列{1an}是等比数列；④数列{lga n2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（1分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)．当0<x≤1时，f(x)=x3−ax+1，则实数a的值为．12．（1分）在平面四边形ABCD中，AB=1 ， DA=DB，AB⇀⋅AC⇀=3 ， AC⇀⋅AD⇀=2 ， 则|AC⇀+2AD⇀|的最小值为．13．（1分）在平面直角坐标系xOy中，圆O ： x2+y2=1，圆C ： (x−4)2+y2=4．若存在过点P(m ， 0)的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是．14．（1分）已知函数f(x)=(2x+a)(|x−a|+|x+2a|)(a<0)．若f(1)+f(2)+f(3)+… +f(672)=0，则满足f(x)=2019的x的值为．二、解答题 (共11题；共100分)15．（10分）如图，在四棱锥P−ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA=DP．（1）（5分）求证：MN∥平面PBC；（2）（5分）求证：MD⊥平面PAB．16．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB=√2bcosA，cosA=√33．（1）（5分）求角B的值；（2）（5分）若a=√6，求△ABC的面积．17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）（5分）已知椭圆的离心率为 12 ，线段 AF 中点的横坐标为 √22，求椭圆的标准方程；（2）（5分）已知△ ABF 外接圆的圆心在直线 y =−x 上，求椭圆的离心率 e 的值．18．（10分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ABCD ， AB ， AD 的长分别为 2√3 m 和 4 m ，上部是圆心为 O 的劣弧 CD ， ∠COD = 2π3 ．（1）（5分）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）（5分）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设 BC 与地面水平线 l 所成的角为 θ ．记拱门上的点到地面的最大距离为 ℎ ，试用 θ 的函数表示 ℎ ，并求出 ℎ 的最大值．19．（10分）已知函数 f(x)=ax+lnx (a ∈R) ． （1）（5分）讨论 f(x) 的单调性；（2）（5分）设 f(x) 的导函数为 f ′(x) ，若 f(x) 有两个不相同的零点 x 1 ， x 2 ． ① 求实数 a 的取值范围；② 证明： x 1f ′(x 1)+x 2f ′(x 2)>2lna +2 ．20．（10分）已知等差数列 {a n } 满足 a 4=4 ，前8项和 S 8=36 ．（1）（5分）求数列 {a n } 的通项公式；（2）（5分）若数列 {b n } 满足 ∑(b k a 2n+1−2k )nk=1+2a n =3(2n −1) ， (n ∈N ∗) ． ① 证明： {b n } 为等比数列；② 求集合 {(m ，p)| am b m =3a p b p，m ，p ∈N ∗} ．21．（5分）[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵 M =[a b cd ] ，N =[10012] ，且 (MN)−1=[14002]，求矩阵M．22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=ty=t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin(θ−π4)=√2．（1）（5分）直线l的直角坐标方程；（2）（5分）直线l被曲线C截得的线段长．23．（5分）[选修4-5：不等式选讲] 已知实数a ， b ， c满足a2+b2+c2≤1，求证：1a2+1+1 b2+1+1c2+1≥94．24．（10分）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）（5分）求X为“回文数”的概率；（2）（5分）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．25．（10分）设集合B是集合A n={ 1 ， 2 ， 3 ， …，3n−2 ， 3n−1 ， 3n } ， n∈N∗的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S=0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）（5分）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）（5分）集合A n的“和谐子集”的个数．答案解析部分1．【答案】{0 ， 1 ， 3}【解析】【解答】根据题意，并集是属于A或属于B的元素，所以，A∪B＝{0,1,3}，故答案为：{0 ， 1 ， 3}【分析】利用并集的运算即可得结果.2．【答案】√5【解析】【解答】 z =2i1−i−3i=2i1+i(1−i)1+i−3i=−2+2i2−3i=−1+i−3i=－1－2i，则复数z的模为√(−1)2+(−2)2=√5．故答案为：√5．【分析】先利用复数的乘除运算得到z=-1-2i，再求出复数的模即可. 3．【答案】3【解析】【解答】根据题意，计算这组数据的平均数为：2×20+3×15+4×10+5×5 20+15+10+5＝15050＝3，故答案为：3.【分析】利用平均数的计算方法列式，即可求出平均每人参加活动的次数 .4．【答案】7【解析】【解答】第1步：a＝1，b＝3；满足a<15；第2步：a＝5，b＝5；满足a<15；第3步：a＝21，b＝7，不满足a<15；退出循环，所以，b＝7.故答案为：7．【分析】由已知程序框图进行模拟运算，得到a＝21不满足a<15，即可求出b的值.5．【答案】23【解析】【解答】有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p =mn =69=23．故答案为：23．【分析】由已知得到基本事件总数，再求出这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数，即可得概率.6．【答案】54【解析】【解答】Aa设正四棱柱的高为h得到√9+ℎ2=3√5⇒ℎ=6,故得到正四棱柱的体积为V=9×6=54.故答案为：54.【分析】先求出正四棱柱的高，再利用棱柱的体积公式即可得结果.7．【答案】− 6【解析】【解答】画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由{x=yy=2x+3，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．【分析】由已知画出实数x，y满足的平面区域，再利用图象得到直线过A时z最小，代入点A的坐标，即可求出z的最小值.8．【答案】2√6【解析】【解答】抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l：x =−p2，双曲线 x 24−y 2=1 的两条渐近线方程为y ＝± 12 x ，可得A （ −p 2 ， −p 4 ），B （ −p 2 ， p4 ），|AB| =P 2=√6 ，可得p ＝2 √6 ．故答案为：2 √6 ．【分析】由已知得到A （ −p 2 ， −p 4 ），B （ −p 2 ， p4 ），利用 AB =√6 列式，即可求出p 的值.9．【答案】4【解析】【解答】 y′=acosx −bsinx ，切线的斜率为k ＝3，即 acos0−bsin0 =3，又切点 (0 ， 1) 同时在直线和曲线上，有： {1=tb =1a =3 ，所以 (a +b)t ＝4. 故答案为4．【分析】先求导，得到acos0−bsin0=3，又由切点 (0 ， 1) 同时在直线和曲线列式，即可求出结果.10．【答案】3【解析】【解答】数列 {a n } 是等比数列，所以， a n+1a n =q ，对于①，|a n+1||a n |=|a n+1a n |=|q| ，所以，数列 {|a n |} 是等比数列，正确； 对于②， a n+1a n+2a n a n+1=q 2 ，所以，数列 {a n a n+1} 是等比数列； 对于③，1a n+11a n=a n a n+1=1q ，所以，数列 {1a n } 是等比数列；对于④， lga n+12lga n 2=2lga n+12lga n，不是常数，所以，错误．共有3个命题正确. 故答案为:3.【分析】利用等比数列的定义an+1a n =q ，分别判断各命题中的数列，即可得结果. 11．【答案】2【解析】【解答】函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以， f(−1)=−f(1) ，又因为 f(x +2)=f(x) ，所以， f(−1)=f(1) ， 即 −f(1)=f(1) ，即 f(1)=0 ，所以， f(1)=13−a +1=0 ，解得： a =2 . 故答案为：2.【分析】由已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，得到f(1)=0，即可求出a 的值.12．【答案】2√5【解析】【解答】如图，以A 为原点，建立平面直角坐标系，则A （0,0），B （1,0），因为DA ＝DB ，可设D （ 12，m ），因为 AB⇀⋅AC ⇀=3 ，AB ＝1，由数量积的几何意义知 AC ⇀ 在 AB ⇀ 方向的投影为3， ∴可设C （3，n ），又 AC⇀⋅AD ⇀=2 ， 所以， 32+mn =2 ，即 mn =12 AC⇀+2AD ⇀=(4,n +2m) ， |AC⇀+2AD ⇀| ＝ √16+4m 2+4mn +n 2 ＝ √18+4m 2+n 2≥√18+4mn =2√5 ， 当且仅当 n =2m ，即n ＝1，m ＝ 12时，取等号，故答案为 ：2√5 .【分析】先建立平面直角坐标系，设D （ 12 ，m ），得到mn =12，又由AC →+2AD →=(4,n +2m) 表示模，利用基本不等式即可求出 |AC⇀+2AD ⇀| 的最小值. 13．【答案】(− 4 ， 43)【解析】【解答】直线l 的斜率k 不存在或0时均不成立，设直线l 的方程为： kx −y −km =0 ， 圆O （0，0）到直线l 的距离 d 1=|km|√k +1，圆C （4，0）到直线l 的距离 d 2=|4k−km|√k +1，l 被两圆截得的弦长相等，所以， 2√1−d 12=2√4−d 22，即 d 22−d 12=3 ，所以， 16k 2+k 2m 2−8k 2m−k 2m 2k 2+1＝3，化为： 16k 2−8k 2m =3k 2+3 k 2=313−8m ＞0，得： m <138又 d 12=k 2m 2k 2+1 ＝ m 21+1k2 ＝ m 21+13−8m3 ＝ 3m 216−8m ＜1 即 3m 2+8m −16<0 ，解得： −4<m <43 ,故答案为: (− 4 ， 43) .【分析】由已知设出直线l 的方程，得到两个圆心到直线l 的距离d 1与d 2的表达式，利用l 被两圆截得的弦长相等列式，即可求出m 的范围.14．【答案】337【解析】【解答】 令x =−a 2, 则 f(−a 2)=0 ，又因为：f(−a 2+x)=2x(|x −32a|+|x +32a|)(a <0) ， f(−a 2−x)=−2x(|x +32a|+|x −32a|)(a <0) ， 因此， f(−a 2+x)+ f(−a2−x) ＝0所以，函数 f(x) 关于点 (−a 2,0) 对称，所以， 1+6722=−a 2，解得： a =−673 ， f(x)=(2x −673)(|x +673|+|x −2×673|) ＝2019， 显然有： 0<2x −673<2019 ，即 6732<x <1346所以， f(x)=(2x −673)(x +673+2×673−x) ＝2019， 2x −673 ＝1，解得：x ＝337， 故答案为：337.【分析】由已知得到函数 f(x) 关于点 (−a2,0) 对称，可得 1+6722=−a 2，解得 a =−673，又由f(x)=2019 列式，即可求出x 的值.15．【答案】（1）证明：在四棱锥 P −ABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点，所以MN ∥AD ． 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ．所以MN∥BC．又BC⊂平面PBC ，MN⊄平面PBC ，所以MN∥平面PBC．（2）证明：因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB ⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD．又MD ⊂侧面PAD，所以AB⊥MD．因为DA=DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA．又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB=A，所以MD⊥平面PAB．【解析】【分析】（1）由已知可证MN∥BC，利用线面平行的判断定理，即可证明MN∥平面PBC；（2）由已知可证AB⊥侧面PAD ，得到AB⊥MD ，又MD⊥PA，即可证明MD⊥平面PAB . 16．【答案】（1）在△ABC中，因为cosA=√33，0<A<π，所以sinA=√1−cos2A=√63．因为acosB=√2bcosA，由正弦定理asinA=bsinB，得sinAcosB=√2sinBcosA．所以cosB=sinB．若cosB=0，则sinB=0，与sin2B+cos2B=1矛盾，故cosB≠0．于是tanB=sinBcosB=1．又因为0<B<π，所以B=π4．（2）因为a=√6，sinA=√63，由（1）及正弦定理asinA=bsinB，得√6√63=b√22，所以 b =3√22．又 sinC =sin(π−A −B)=sin(A +B)= sinAcosB +cosAsinB =√63⋅√22+√33⋅√22=2√3+√66．所以△ ABC 的面积为 S =12absinC =12×√6×3√22×2√3+√66=6+3√24.【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理得到 cosB =sinB ，可得 tanB =sinBcosB=1 ，即可求出角 B 的值；（2） 由（1）及正弦定理得到 b =3√22 ，再由 sinC =sin(A +B) 求出sinC ，即可求出 △ABC的面积 .17．【答案】（1）因为椭圆 x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0) 的离心率为 12 ，所以 c a =12，则 a =2c ．因为线段 AF 中点的横坐标为 √22 ，所以 a−c 2=√22．所以 c =√2 ，则 a 2=8 ， b 2=a 2−c 2=6 ．所以椭圆的标准方程为 x 28+y 26=1 ．（2）因为 A(a ， 0) ， F(−c ， 0) ，所以线段 AF 的中垂线方程为： x =a−c2 ．又因为△ ABF 外接圆的圆心C 在直线 y =−x 上，所以 C(a−c 2 ， −a−c2) ．因为 A(a ， 0) ， B(0 ， b) ，所以线段 AB 的中垂线方程为： y −b 2=a b (x −a2) ． 由C 在线段 AB 的中垂线上，得 −a−c 2−b 2=a b (a−c 2−a2) ， 整理得， b(a −c)+b 2=ac ， 即 (b −c)(a +b)=0 ． 因为 a +b >0 ，所以 b =c ．所以椭圆的离心率 e =c a=c√b +c 2=√22 ．【解析】【分析】（1）由已知得到a=2c，又由线段AF中点的横坐标为√22列式，解得a，b，c，即可求出椭圆的标准方程；（2）由已知得到线段AF的中垂线方程，再由C在线段AB的中垂线上列式，得到b=c，即可求出椭圆的离心率e的值.18．【答案】（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB ， CD于点O1，O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，∠O2OC=π3，CO2=√3，所以OO2=1，圆的半径R=OC=2．所以O1P=R+OO1=R+O1O2−OO2=5．答：拱门最高点到地面的距离为5 m．（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离ℎ等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离ℎ等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，OB=√OO12+O1B2=2√3．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．当点P在劣弧CD上时，π6<θ≤π2．由∠OBx=θ+π6，OB=2√3，由三角函数定义，得O(2√3cos(θ+π6) ， 2√3sin(θ+π6))，则ℎ=2+2√3sin(θ+π6 )．所以当θ+π6=π2即θ=π3时，ℎ取得最大值2+2√3．当点P在线段AD上时，0≤θ≤π6．设∠CBD = φ，在Rt△BCD中，DB=√BC2+CD2=2√7，sin φ=2327=√217 ， cosφ=427=2√77．由∠DBx=θ+φ，得D(2√7cos(θ+φ) ， 2√7sin(θ+φ))．所以ℎ=2√7sin(θ+φ)=4sinθ+2√3cosθ．又当0<θ<π6时，ℎ′=4cosθ−2√3sinθ>4cosπ6−2√3sinπ6=√3>0．所以ℎ=4sinθ+2√3cosθ在[0 ， π6]上递增．所以当θ=π6时，ℎ取得最大值5．因为2+2√3>5，所以ℎ的最大值为2+2√3．综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+2√3）m．【解析】【分析】（1）先作辅助线，得到O1P的长即为拱门最高点到地面的距离，利用O1P=R+ OO1列式，即可求出结果.（2）由（1）求出OB，以B为坐标原点，直线l为x轴建立坐标系，分两种情况，当点P在劣弧CD上时，由三角函数定义得到ℎ=2+2√3sin(θ+π6)，求出最大值；当点P在线段AD上时，得到ℎ=4sinθ+2√3cosθ，求出最大值，综上即可求出结果.19．【答案】（1）f(x) 的定义域为 (0， +∞) ，且 f ′(x)=x−ax 2． 当 a ≤0 时， f ′(x)>0 成立，所以 f(x) 在 (0 ， +∞) 为增函数； 当 a >0 时，（i ）当 x >a 时， f ′(x)>0 ，所以 f(x) 在 (a ， +∞) 上为增函数； （ii ）当 0<x <a 时， f ′(x)<0 ，所以 f(x) 在 (0 ， a) 上为减函数． （2）①由（1）知，当 a ≤0 时， f(x) 至多一个零点，不合题意； 当 a >0 时， f(x) 的最小值为 f(a) ，依题意知 f(a)= 1+lna <0 ，解得 0<a <1e．一方面，由于 1>a ， f(1)=a >0 ， f(x) 在 (a ， +∞) 为增函数，且函数 f(x) 的图 象在 (a ， 1) 上不间断．所以 f(x) 在 (a ， +∞) 上有唯一的一个零点．另一方面， 因为 0<a <1e ，所以 0<a 2<a <1e ．f(a 2)=1a +lna 2=1a +2lna ，令 g(a)=1a +2lna ， 当 0<a <1e 时， g ′(a)=−1a 2+2a =2a−1a2<0 ，所以 f(a 2)=g(a)=1a +2lna >g(1e)=e −2>0 又 f(a)<0 ， f(x) 在 (0 ， a) 为减函数，且函数 f(x) 的图象在 (a 2 ， a) 上不间断． 所以 f(x) 在 (0 ， a) 有唯一的一个零点．综上，实数 a 的取值范围是 (0 ， 1e) ．②设 p =x 1f ′(x 1)+x 2f ′(x 2)=1−a x 1+1−a x 2=2−(a x 1+a x 2) ．又 {lnx 1+ax 1=0 ，lnx 2+ax 2=0 ，则 p =2+ln(x 1x 2) ． 下面证明 x 1x 2>a 2 ．不妨设 x 1<x 2 ，由①知 0<x 1<a <x 2 ． 要证 x 1x 2>a 2，即证 x 1>a 2x 2．因为 x 1 ， a 2x 2∈(0 ， a) ， f(x) 在 (0 ， a) 上为减函数，所以只要证 f(a 2x 2)>f(x 1) ．又 f(x 1)=f(x 2)=0 ，即证 f(a 2x 2)>f(x 2) ．设函数 F(x)=f(a 2x )−f(x)=x a −a x−2lnx +2lna (x >a) ．所以 F ′(x)=(x−a)2ax 2>0 ，所以 F(x) 在 (a ， +∞) 为增函数. 所以 F(x 2)>F(a)=0 ，所以 f(a 2x 2)>f(x 2) 成立．从而 x 1x 2>a 2 成立.所以 p =2+ln(x 1x 2)>2lna +2 ，即 x 1f ′(x 1)+x 2f ′(x 2)>2lna +2 成立.【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，利用导数研究函数的单调性，即可得结论；（2） ①由（1）知，当 a ≤0 时， f(x) 至多一个零点，不合题意； 当 a >0 时 ，利用函数的单调性得到 f(x) 在 (0 ， a) 有唯一的一个零点， 综上即可求出实数 a 的取值范围； ② 由已知得到 p =2+ln(x 1x 2) ，利用分析法证明 x 1x 2>a 2 ，即可证明原不等式成立.20．【答案】（1）设等差数列 {a n } 的公差为d ．因为等差数列 {a n } 满足 a 4=4 ，前8项和 S 8=36 ， 所以 {a 1+3d =4 ，8a 1+8×72d =36 ，解得 {a 1=1 ， d =1 ． 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =n ． （2）①设数列 {b n } 前 n 项的和为 b n ．由（1）及 ∑(b k a 2n+1−2k )nk=1+2a n =3(2n −1) ， (n ∈N ∗)得 {3(2n −1)=∑(b k a 2n+1−2k )nk=1+2n ， ③3(2n−1−1)=∑(b k a 2n−1−2k )n−1k=1+2(n −1)(n ≥2)，④由③-④得3 (2n −1)−3(2n−1−1)=(b 1a 2n−1+b 2a 2n−3+⋯+b n−1a 3+b n a 1+2n) - (b 1a 2n−3+b 2a 2n−5+⋯+b n−1a 1+2n −2)= [b 1(a 2n−3+2)+b 2(a 2n−5+2)+⋯+b n−1(a 1+2)+b n a 1+2n] - (b 1a 2n−3+b 2a 2n−5+⋯+b n−1a 1+2n −2)=2(b 1+b 2+⋯+b n−1)+b n +2=2(B n −b n )+b n +2 ．所以 3⋅2n−1=2B n −b n +2 (n ≥2 ， n ∈N ∗) ， 又 3(21−1)=b 1a 1+2 ，所以 b 1=1 ，满足上式． 所以 2B n −b n +2=3⋅2n−1(n ∈N ∗) ⑤ 当 n ≥2 时， 2B n−1−b n−1+2=3⋅2n−2 ⑥ 由⑤-⑥得， b n +b n−1=3⋅2n−2 ．b n −2n−1=−(b n−1−2n−2)=⋯ =(−1)n−1(b 1−20)=0 ，所以 b n =2n−1 ， bn+1b n=2 ，所以数列 {b n } 是首项为1，公比为2的等比数列．②由 am b m =3a p b p ，得 m 2m−1=3p 2p−1 ，即 2p−m =3p m ．记 c n =a nb n ，由①得，c n =a n b n =n 2n−1 ，所以 c n+1c n =n+12n ≤1 ，所以 c n ≥c n+1 （当且仅当 n =1 时等号成立）． 由 am b m =3a p b p，得 c m =3c p >c p ，所以 m <p ．设 t =p −m (m ，p ，t ∈N ∗) ，由 2p−m =3p m ，得 m =3t2t −3．当 t =1 时， m =−3 ，不合题意；当 t =2 时， m =6 ，此时 p =8 符合题意；当 t =3 时， m =95，不合题意；当 t =4 时， m =1213<1 ，不合题意． 下面证明当 t ≥4 ， t ∈N ∗ 时， m =3t2t −3<1 ． 不妨设 f(x)=2x −3x −3 (x ≥4) ， f ′(x)=2x ln2−3>0 ，所以 f(x) 在 [4 ， +∞) 上单调增函数， 所以 f(x)≥f(4)=1>0 ，所以当 t ≥4 ， t ∈N ∗ 时， m =3t2t −3<1 ，不合题意． 综上，所求集合 {(m ，p)| am b m =3a p b p，m ，p ∈N ∗} ={(6，8)} ．【解析】【分析】（1）由已知等差数列 {a n } 满足 a 4=4 ，前8项和 S 8=36列式，解得a 1与d ，即可求出数列 {a n } 的通项公式；（2） ①设数列 {b n } 前 n 项的和为 B n ，由（1）得到 b n +b n−1=3⋅2n−2 ，利用等比数列的定义bn+1b n =2，即可证明数列 {b n } 为等比数列； ②由已知得到 2p−m =3p m ， 由①可证 m <p ，设 t =p −m ，分别进行验证，再证明当 t ≥4 ， t ∈N ∗ 时， m =3t2t −3<1不合题意，即可求出集合.21．【答案】由题意， (MN)−1=[14002] ，则 MN =[4012] ． 因为 N =[10012] ，则 N −1=[1002] ．所以矩阵 M =[40012][1002]=[4001] ． 【解析】【分析】由已知利用逆变换与逆矩阵，得到 MN =[40012] 与 N −1=[1002]，即可求出矩阵 M .22．【答案】（1）直线l 的极坐标方程可化为 ρ(sinθcos π4−cosθsin π4)=√2 ，即 ρsinθ−ρcosθ=2 ． 又 x =ρcosθ,y =ρsinθ ，所以直线l 的直角坐标方程为 x −y +2=0 ．（2）曲线C: {x =ty =t 2 （ t 为参数）的普通方程为 x 2=y ． 由 {x 2=yx −y +2=0 ，得 x 2−x −2=0 ， 所以直线l 与曲线C 的交点 A(−1,1),B(2,4) .所以直线 l 被曲线C 截得的线段长为 AB =√(−1−2)2+(1−4)2=3√2 ．【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可求出直线l 的直角坐标方程 ；（2）先把曲线C 的参数方程化为普通方程，再与直线方程联立得到交点坐标，即可求出直线 l 被曲线C 截得的线段长 .23．【答案】由柯西不等式，得 [(a 2+1)+(b 2+1)+(c 2+1)](1a 2+1+1b 2+1+1c 2+1)≥(√a2+11√a+1+√b2+11√b+1+√c2+11√c+1)2=9，所以1a2+1+1b2+1+1c2+1≥9a2+b2+c2+3≥91+3=94．【解析】【分析】由已知利用柯西不等式，得到[(a2+1)+(b2+1)+(c2+1)](1a2+1+1b2+1+1c2+1)≥9，即可证明原不等式成立.24．【答案】（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率P(A)=29．（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得P(A)=29．设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，P(B)=20C92=59．P(ξ=0)=P(A)P(B̅)=(1−29)(1−59)=2881；P(ξ=1)=P(A)P(B)+P(A)P(B̅)=(1−29)59+29(1−59)=4381；P(ξ=2)=P(A)P(B)=29⋅59=1081.所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为E(ξ)=0×2881+1×4381+2×1081=79．【解析】【分析】（1）由已知得到9个不同2位“回文数”乘以4的种数，得到其中的“回文数”，即可求出概率；（2）由（1）得P(A)=29，分别求出ξ的所有可能取值的概率，即可求出ξ的概率分布和数学期望.25．【答案】（1）集合A1={ 1 ， 2 ， 3 }的子集有：ϕ，{1}，{2}，{3}，{ 1 ， 2}，{ 1 ， 3}，{ 2 ， 3}，{ 1 ， 2 ，3}．其中所有元素和为3的整数倍的集合有：ϕ，{3}，{ 1 ， 2}，{ 1 ， 2 ， 3 }．所以A1的“和谐子集”的个数等于4．（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素和为3的整数倍的子集；另记A n有b n个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素和为3的整数倍余2的子集．由（1）知，a1=4 ， b1=2 ， c1=2．集合A n+1={ 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 3n−2 ， 3n−1 ， 3n ， 3n+1 ， 3n+2 ， 3(n+1) } 的“和谐子集”有以下四类（考查新增元素3n+1 ， 3n+2 ， 3(n+1)）：第一类集合A n={ 1 ， 2 ， 3 ， …，3n−2 ， 3n−1 ， 3n } 的“和谐子集”，共a n个；第二类仅含一个元素3(n+1)的“和谐子集”，共a n个；同时含两个元素3n+1 ， 3n+2的“和谐子集”，共a n个；同时含三个元素3n+1 ， 3n+2 ， 3(n+1)的“和谐子集”，共a n个；第三类仅含一个元素3n+1的“和谐子集”，共c n个；同时含两个元素3n+1 ， 3(n+1)的“和谐子集”，共c n个；第四类仅含一个元素3n+2的“和谐子集”，共b n个；同时含有两个元素3n+2 ， 3(n+1)的“和谐子集”，共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1=4a n+2b n+2c n个．同理得b n+1=4b n+2c n+2a n，c n+1=4c n+2a n+2b n．所以a n+1−b n+1=2(a n−b n)，a1−b1=2，所以数列{a n−b n}是以2为首项，公比为2 的等比数列．所以a n−b n=2n．同理得a n−c n=2n．又a n+b n+c n=23n，所以a n=23×2n+13×23n， (n∈N∗)．【解析】【分析】（1）由已知得到集合A1={ 1 ， 2 ， 3 }的子集，即可求出A1的“和谐子集”的个数；（2）由（1）知，a1=4 ， b1=2 ， c1=2，分四种情况讨论“和谐子集”的个数，得到集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1=4a n+2b n+2c n，同理得b n+1=4b n+2c n+2a n，c n+1=4c n+2a n+2b n，可得数列{a n−b n}是等比数列，利用求和公式即可求出集合A n的“和谐子集”的个数.。