第5章 二次函数的综合

二次函数的综合及其应用1． 有一块矩形地块ABCD ，AB ＝20米，BC ＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x 米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE 和CDHG 中种植乙种花卉；在矩形EFGH 中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y 元． (1)当x ＝5时，求种植总成本y ；(2)求种植总成本y 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．2． 某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x 的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20），－15x ＋12（20<x≤30），销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)3． 在平面直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋5 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)过点A.(1)求线段AB 的长；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx 经过线段AB 上另一点C ，且BC ＝5，求这条抛物线表达式； (3)如果抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点D 在△AOB 内部，求a 的取值范围4． 如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A(－2，0)，B ，C 三点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋83(a ＜0)与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E.(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)已知R 是抛物线上的点，使得△A DR 的面积是▱OABC 的面积的34，求点R 的坐标；(3)已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得∠PQE＝45°，求点P 的坐标．5． 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线x ＝12，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式；(2)当线段DF 的长度最大时，求D 点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：(1)当x ＝5时，EF ＝20－2x ＝10，EH ＝30－2x ＝20，y ＝2×12×(EH ＋AD)×x×20＋2×12×(GH ＋CD)×x×60＋EF·EH×40＝(20＋30)×5×20＋(10＋20)×5×60＋20×10×40＝22 000. (2)EF ＝20－2x ，EH ＝30－2x ，参考(1)，由题意，得y ＝(30＋30－2x)×x×20＋(20＋20－2x)×x×60＋(30－2x)(20－2x)×40＝－400x ＋24 000(0＜x ＜10)．(3)S 甲＝2×12(EH ＋AD)×x＝(30－2x ＋30)x ＝－2x 2＋60x ，同理S 乙＝－2x 2＋40x.∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2， ∴－2x 2＋60x －(－2x 2＋40x)≤120， 解得x≤6，故0＜x≤6，而y ＝－400x ＋24 000随x 的增大而减小，故当x ＝6时，y 的最小值为21 600， 故三种花卉的最低种植总成本为21 600元．2．解：(1)当0<x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝80.20a ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝80，即当0<x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80；当20<x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝40，30m ＋n ＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－40， 即当20<x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40.由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20），4x －40（20<x≤30）. (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0<x≤20时， w ＝(25x ＋4)×(－2x ＋80)＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500；当20<x≤30时，w ＝(－15x ＋12)×(4x－40)＝－45(x －35)2＋500，∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元． 3．解：(1)直线y ＝－12x ＋5与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则A(10，0)，B(0，5)，∴AB＝102＋52＝5 5.(2)设点C 坐标为(t ，－12t ＋5)，则BC 2＝t 2＋(－12t)2＝5，解得t ＝2，∴C(2，4)．将A ，C 坐标代入y ＝ax 2＋bx 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝100a ＋10b ，4＝4a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝52，∴这条抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋52x.(3)∵抛物线y ＝ax 2＋bx 过点A ，∴100a＋10b ＝0，解得b ＝－10a ，∴抛物线顶点D 为(5，－25a)． 抛物线顶点D 在△AOB 内部，∴0＜－25a ＜52，解得－110＜a ＜0.4．解：(1)OA ＝2＝BC ，故函数的对称轴为x ＝1，则x ＝－b2a ＝1.①将点A 的坐标代入抛物线表达式得0＝4a －2b ＋83，②联立①②并解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，故抛物线的表达式为y ＝－13x 2＋23x ＋83.③(2)由抛物线的表达式，得点M(1，3)，点D(4，0)．∵△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，∴12AD·|y R |＝34OA·OB，即12×6×|y R |＝34×2×83， 解得y R ＝±43，④联立④③并解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1±13，y ＝－43或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1±5，y ＝43. 故点R 的坐标为(1＋13，－43)或(1－13，－43)或(1＋5，43)或(1－5，43)．(3)(Ⅰ)如图，作△PEQ 的外接圆R ，∵∠PQE＝45°，∴∠PRE＝90°， 则△PRE 为等腰直角三角形． 当直线MD 上存在唯一的点Q ， 则RQ⊥MD.点M ，D 的坐标分别为(1，3)，(4，0)，则ME ＝3，ED ＝4－1＝3， 则MD ＝32，过点R 作RH⊥ME 于点H ，设点P(1，2m)，则PH ＝HE ＝HR ＝m ， 则圆R 的半径为2m ，则点R(1＋m ，m)， S △MED ＝S △MRD ＋S △MRE ＋S △DRE ，∴12EM·ED＝12MD·RQ＋12ED·y R ＋12ME·RH， 即12×3×3＝12×32×2m ＋12×3m＋12×3m，解得m ＝34，故点P(1，32)．(Ⅱ)当点Q 与点D 重合时，由点M ，E ，D 的坐标知，ME ＝ED ，即∠MDE＝45°；①当点P 在x 轴上方时，当点P 与点M 重合时，此时∠PQE＝45°，此时点P(1，3)， ②当点P 在x 轴下方时，同理可得点P(1，－3)， 综上所述，点P 的坐标为(1，32)或(1，3)或(1，－3)．5．解：(1)设OB ＝t ，则OA ＝2t ，则点A ，B 的坐标分别为(2t ，0)，(－t ，0)，则x ＝12(2t －t)＝12，解得t ＝1，故点A ，B 的坐标分别为(2，0)，(－1，0)，则抛物线的表达式为y ＝a(x －2)(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋2， 解得a ＝－1，b ＝1，故抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)对于y ＝－x 2＋x ＋2，令x ＝0，则y ＝2，故点C(0，2)， 由点A ，C 的坐标，得直线AC 的表达式为y ＝－x ＋2， 设点D 的横坐标为m ，则点D(m ，－m 2＋m ＋2)， 则点F(m ，－m ＋2)，则DF ＝－m 2＋m ＋2－(－m ＋2)＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1. ∵－1＜0，∴DF 有最大值，此时m ＝1，点D(1，2)． (3)存在，理由：点D(m ，－m 2＋m ＋2)(m ＞0)，则OE ＝m ， DE ＝－m 2＋m ＋2，以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似， 则DE OE ＝OB OC 或DE OE ＝OC OB ，即DE OE ＝2或DE OE ＝12，即－m 2＋m ＋2m ＝2或－m 2＋m ＋2m ＝12，解得m ＝1或－2(舍去)或1＋334或1－334(舍去)，故m ＝1或1＋334.。

二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。

二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。

本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。

一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。

为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。

1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。

对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。

而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。

根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。

2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。

对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。

令 y' = 0，解得 x = -1。

将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。

同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。

二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。

下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。

1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。

对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。

根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

二次函数的综合复习一、基础知识点：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a −），对称轴x=－2b a；（3）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a −；当a ＜0时，当x x=－2ba时，函数有最大值244ac b a −3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ） 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线 y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．4.小知识点总结： （1）、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；物线开口向下，则a ＜0． （2）b 的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标－2ba＜0即2b a ＞0，则a 、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标－2b a ＞0，即2ba＜0．则a 、b 异号．简称“左同有异”．（3）c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，抛物线交y轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．（4）△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．（5）a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵坐标，a －b+c是抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 典型例题：例1、（ 贵阳）已知抛物线21(4)33y x =−− 的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x 轴相交时的坐标是（ ） （A ）（5，0） （B ）（6，0） （C ）（7，0） （D ）（8，0） 例2、（ 宁安）函数y= x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4）D.（0，－4）例3、（ 潍坊）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤0 例5、（重庆）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，c a）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 针对性练习1．已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、3 D 、 4 2．已知反比例函数y= kx 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则二次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象大致为图1－2－3中的（ ）3．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－1－4 所示，下列结论中①abc ＞0；②b=2a ；③a ＋b ＋c<0；④a+b+c ＞0正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．l4．抛物线y=x 2－ax ＋5的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，l ） D ．（2，－1） 5．抛物线y=（x —5）+4的对称轴是（ ）A ．直线x=4B ．直线x =－4C ．直线x=5D ．直线x =－56．二次函数c bx ax y ++=2图象如图l －1－5所示，则下列结论正确的（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 7．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x =－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,－5）8．二次函数c bx ax y ++=2图象如图l －2－6所示，则点（b c ，a ）在（ ）A ．第一象限B 第二象限C ．第三象限D 第四象限9．已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）与一次函数y=kx+m(k ≠0）的图象相交于点 A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______10若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－8，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）12抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13已知M 、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y=12x上，点 N 在直线上，设点M 的坐标为(a ，b)，则抛物线y=－abx 2+(a ＋b ）x 的顶点坐标为_ __.14当b ＜0时，一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ）15．已知函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、c 的不等式：①a ＜0，②b ＜0，③c ＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________-16．已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标 为－1，则a ＋c=_________.17．抛物线c bx ax y ++=2中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛胸的解析式为____________18．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： _______________.19．抛物线c bx ax y ++=2如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是___________.20．抛物线c bx ax y ++=2（a ＞0）的顶点在x 轴上方的条件是（ ）2－4ac ＜0 B ．b 2－4ac ＞ 0 C ．b 2－4ac ≥0 D ． c ＜0 5．二次函数表达式的求法：c bx ax y ++=2；⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()y a x h k =−+其中顶点为(h ，k)对称轴为直线x=h ；⑶若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：12()()y a x x x x =−−,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）（1）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解三元方程组求解； 例．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a/0)的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。

情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。

2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式"为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。

从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．代入得：，坐标代入得：k=y=，．2．（2011•石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．（1）求抛物线顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？，x）y=，得﹣﹣，∴向下最多可平移个单位，向下最多可平移3．（2013•丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．n=，或﹣4．（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．y=x+b．，方程y=；y=﹣）的取值范围为．y=x+b．x+b．而在此中间即为两个交点，此时﹣＜．x+b y=x+b y=综上，﹣＜5．（2012•东城区二模）已知关于x的方程（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足8﹣2m＞2，设二次函数y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．6．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+mx+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．（1）求B点的坐标；（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．时，﹣==0x×）∵抛物线的图象向上平移个单位，；）联立得，﹣x=x+b，，则﹣x=0y=）时，×，y=x+b或．7．关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象与x轴有交点，k为正整数．（1）求k的值；（2）当关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1与x轴的交点的横坐标均是负整数时，将关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象向下平移4个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=（b＜3）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．y=x+by=；y=﹣）的取值范围为：﹣．8．（2014•东城区一模）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．x=，=3=1+＜＜=1+，1+，（﹣﹣，﹣）﹣﹣＜﹣9．（2013•门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当m＜3时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．××时，则x y=y=x﹣＜﹣．。

二次函数的综合1.如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （12-，）。

（1）求此函数的关系式；（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D 。

若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出嗲你P 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由。

x yO AB C P2.已知：二次函数y=错误!未找到引用源。

x 2+bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣错误!未找到引用源。

）．（1）求此二次函数的解析式．（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．3.如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 ,3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点。

(1）求 m 的值；( 2 ）求过 A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；( 3 ）若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S 1 ，是四边形OACD 面积S 的32?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由。

九年级数学上册专题：二次函数的综合应用【知识概述】二次函数的综合运用是为考察学生综合运用知识的能力而设计的题目,常以中考压轴题出现,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活,因此成为拉开分值而具有选拔功能。

有的学生对二次函数的综合题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高函数的综合题（压轴题）的得分率,解好函数的综合题（压轴题）,本讲将以具体实例介绍几种常用的解题策略,从心理上打消望而生畏的忧虑,获得数学高分的制胜法宝。

【解题策略】1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想；2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想；3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想；4、综合多个知识点,运用等价转换思想；5、分题分段得分：对题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平,做到得一分算一分。

【典例精析】专题一 知识回顾【例1】1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线 2=x ,且有最大值2,其图象在x 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。

2、已知二次函数y=ax 2+bx +c 满足a -b +c =0,其图像过点A(2, -3),并且以x =1为对称轴,求此二次函数的解析式。

3、已知二次函数24y ax x c =-+的图象与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点,与y 轴负半轴交于点C ,tan ∠ACO =15,CO =BO , △ABC 的面积为15。

求该二次函数的解析式。

专题二 能力提升题型1：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式【例2】已知二次函数b ax x y ++-=2与x 轴从左到右交于A 、B 两点,与y 轴正半轴交于C 点,∠ACB =90°,且tan ∠BAC -tan ∠ABC =2,求此二次函数的解析式。

-变式：在直角坐标平面内,点O 为坐标原点,二次函数)4()5(2+--+=k x k x y 的图象交x 轴于点yxO CBAA )0,(1x 、B )0,(2x ,且8)1)(1(21-=++x x 。

课题：二次函数的综合（2）主备：田静 课型：复习 审核：陈志英 班级 姓名 学号【学习目标】利用二次函数的性质与图像解决相关问题；二次函数与其他数学模型的内在联系。

【重点难点】二次函数性质的有关运用；数形结合、分类讨论等数学思想方法的运用。

【基础练习】1、如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ）2、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过)0,2(-A 、)0,0(O 、),3(1y B -、),3(2y C 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-，c b a ++这3个式子中，值为正数的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 4、已知双曲线xk y =与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积.一批日期 3、 二批日期 3、教师评价 优 良 合格 不合格 家长签字C A E FBDDO42 4 O4 24O 42 4O42 4yxB【例题教学】例1、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.例2、已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.例3、抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），请说明116x <，2112x <<．【课堂检测】1、在同一直角坐标系中，二次函数22y x =+与一次函数2y x =的图象大致是（ ）2、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =2 B ．m >2 C ．m ≥2 D ．m ≤23、如图，曲线C 是函数x y 6=在第一象限内的图象，抛物线是函数422+--=x x y 的图象．点),(y x P n （12n =，，）在曲线C 上，且x y ，都是整数． （1）求出所有的点()n P x y ，；（2）在n P 中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．【课后巩固】1、在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )A ．y ＝2(x + 2)2－2B ．y ＝2(x －2)2 + 2C ．y ＝2(x －2)2－2D ．y ＝2(x + 2)2+ 2 2、给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线。