高三数学总复习优秀ppt课件(第23讲)平面向量的坐标运算及数量积(56页)

三角函数的联系,利用向量可以解决有关三角问题.
1
2
3
【做一做3-1】 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析:由=(1,1),=(-4,2),=(3,-3),
于是 ·=1×3-1×3=0,
即 ⊥ ,
(3)向量的夹角的余弦公式:已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量
a,b 的夹角的余弦为 cos<a,b>=
1 1 +2 2
2
2
21 +22 1 +2
.
归纳总结 1.由向量的长度公式可以发现,引入向量的直角坐标,
建立了向量与解析几何的联系.
2.由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与
2.向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上
鉴别,垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实
设 与的夹角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
16
4
= 20 = 5,
4
∴矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.
反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量,然后
把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运
算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明.
解析:由|a|2=9+x2=25,解得x=±4.

2023
平面向量数量积的坐标表 示课件
目 录
• 引言 • 平面向量数量积的坐标表示的定义及理解 • 坐标表示的优势及注意事项 • 经典例题解析 • 实战训练与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程简介
平面向量数量积是数学中的重要概念，用于 描述两个向量之间的夹角和大小关系。
本次课件主要介绍平面向量数量积的坐标表 示，通过实例和练习题来帮助学生深入理解
组内讨论与总结
组内分工合作
将学生分成小组，每组负责一个 方向的讨论与总结，如“数量积 的基本概念”、“数量积的应用 ”等。
分享交流成果
每组派代表分享讨论成果，其他 组可提问或发表不同意见。
教师点评与指导
教师对各组的讨论成果进行点评 ，针对存在的问题给予指导，帮 助学生完善知识体系。
06
总结与回顾
计算公式使用不熟练
不注意向量的几何意义
有些学生对于计算公式使用不熟练，导致计 算过程出现错误。
有些学生只关注向量的坐标表示，而不注意 向量的几何意义，导致理解上出现偏差。
04
经典例题解析
单一平面向量数量积的求解
总结：平面向量数量积的坐标表示是指利用向量的坐标形式来计算向量的数量积 。
设$\mathbf{a} = (x_1, y_1)$，$\mathbf{b} = (x_2, y_2)$，则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$。
该概念。
课程目标
理解平面向量数量积的坐标表示的原 理和意义。
会用坐标表示平面向量数量积，并能解决 相关问题。
掌握平面向量数量积在几何中的应 用，提高解题能力和思维水平。
教学内容

所以△ABC是直角三角形．
探索新知
例10 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
所以△ABC是直角三角形．
探索新知
解：
例11 设 a＝(5，－7)，b＝(－6，－ 4) ，求a·b及a，b的夹角θ(精确到1°).
利用计算器可得θ≈92°.
探索新知
则＝
探索新知
于是cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
另一方面，如图（1）可知， θ
如图（2）可知，θ
于是± θ ，∈Z
所以cos(α－ β)＝
（1）
（2）
02
题型突破
题型突破
题型一 平面向量数量积的坐标运算
题型突破
题型突破
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
(2)求模.利用计算两向量的模
(4)求角.由向量夹角的范围及求的值.
03
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
课
堂
小
结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
证明：角 α， β的终边与单位圆的交点分别为A，B.
则(cos α ， sin α)， (cos β ， sin β)
设与 的夹角为θ，

【答案】 m＝－1 【误区警示】 解答本题过程中，易将方程列成 (－1)×1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出错， 导致此种错误的原因是：没有准确记忆两个向量 平行的充要条件，将其与向量垂直的条件混淆．
变式训练 2 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及 O→P ＝ O→A ＋t·A→B ，试问：
2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘的运算
向量 a
b
a＋b
a－b
λa
坐标 (x1，y1)
(x2，y2)
(x1＋x2， (x1－x2， y1＋y2) y1－y2)
(λx1， λy1)
(2)向量坐标的求法
已知
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
_(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_________，即一个向量的坐标等于
3．两个向量共线的充要条件在解题中具有重要 的应用，一般地，如果已知两向量共线，求某些
参数的值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), 则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0”比较简 捷．(如例3) 4．对于向量坐标的综合应用，关键是利用已知 条件转化为方程或函数关系式解决．(如例4)
例3 (2019年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－ 1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c， 则m＝________. 【思路点拨】 由向量平行的充要条件列出关于 m的方程，然后求解． 【解析】 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)， ∴a＋b＝(1，m－1)． ∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)， ∴1×2－(－1)·(m－1)＝0， ∴m＝－1.

[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)

课顶点作等腰直角 △OAB，使B=90，求点B和向量 的坐标.
2. 在△ABC中， 且△ABC的一个内角为直角，求k值.
2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
规定:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定:
3.向量垂直的判定:
4.两向量夹角的余弦:
4.两向量夹角的余弦:
讲解范例:
例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)， 试判断△ABC的形状，并给出证明.
讲解范例:
例2.
讲解范例:
例3.
讲解范例:
例3.
评述：已知三角形函数值求角时， 应注重角的范围的确定.
练习：
1．教材P.107练习第1、2、3题.
练习：
1．教材P.107练习第1、2、3题. 2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
1
在线段AB的中垂线上，则
2
x＝
.
课堂小结
2. 平面内两点间的距离公式: 3. 向量垂直的判定:
课后作业
1. 阅读教材P.106到P.107; 2. 《习案》作业二十四.
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即

－2 5×2
＝－ 2
10 10 .
【答案】
－
10 10
题型二 平面向量数量积的应用 角度一 求向量的模
π 【例 2】(1)(2018·西安模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为 6 ， 且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|＝________．
＝2(x2＋y2－ 3y)
＝2x2＋y－
232－34≥2×－34＝－32.
当且仅当 x＝0，y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小
值为－23.
故选 B.
方法二 (几何法) 如图②所示，P→B＋P→C＝2 P→D(D 为 BC 的中点)，则P→A·(P→B＋ P→C)＝2 P→A·P→D.
以 a·b＝1，设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ，由 cos
θ＝|aa|··|bb|＝
1 2
＝
22，可得
π θ＝ 4 ，即向量
a
与
b
π 的夹角为 4 .
(2)由已知得，a·(a－2b)＝0，∴cos〈a，b〉＝2||aa|||2b|＝12， π
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ 3 . ππ
π 【解析】 因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ 2cos 3
＝
22.故填
2 2.
【答案】
2 2
题型一 平面向量数量积的运算
【例 1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角
形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
即 2a－3b 与 c 反向．

解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
精选整理
8
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
精选整理
15
作业： 课本P101 A组：1，2，3，4，5, 6, 7
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16
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
Oi
x
3.a b x1 x2且y1 y2
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4
概念应用
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标．
解：由图可知
A2
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理， b 2i 3 j (2,3)
且
MP
1 2
MN
,
求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= 1 (-8, 1)=(-4, 2
1
2)
xy32124
∴
x y
1 3
2
∴P点坐标为(-1, - 3 ) 2
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB 2 BC = (-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习:已知O是坐标原点,点A在

2 ������2 1 +������1 2 ������2 2 +������2
即可.
解: a· b=(-6,2)· (-2,4)=12+8=20. |a|= 36 + 4=2 10, |b|= (-2)2 + 42 =2 5.
������· ������ ∵cos<a,b>=|������||������| π ∴<a,b>=4.
即 2λ-15=0,∴λ= 2 .
答案: 2
15
15
1
2
3
3.向量的长度、距离和夹角公式
2 2 (1)向量的长度:已知 a=(a1,a2),则|a|= ������1 + ������2 ,即向量的长度等 于它的坐标平方和的算术平方根. (2)两点之间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则
1
2
3
【做一做 1-1】 若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 a· b=3,则 x 等于( A.3
1
4
)
B.

1 3
C.4 3
1 3
D.-3
解析: 由题意,得 2x-6x= , 解得 x=-3.
答案:C
【做一做 1-2】 若 A(1,1),B(2,3),C(-1,4),则������������ · ������������= .
∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3,
x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3. ∴y1y2x3=x1y2y3,x1x2y3=x2x3y1. ∴y2(y1x3-x1y3)=0,x2(x1y3-x3y1)=0. ∵b是任意向量, ∴x2和y2是任意实数. ∴y1x3-x1y3=0.∴a∥c. 这与a,c是任意向量,即a,c不一定共线,相矛盾. ∴假设不成立. ∴(a· b)c=a(b· c)不恒成立.

则 cos θ＝|mm|·|nn|＝
－3×7＋－4×1 －32＋－42 72＋12
＝ －25 ＝－ 25 2
2 2.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝34π，
即 m，n 的夹角为34π.
求解平面向量的数量积
[典例] 已知点 A，B，C 满足| AB|＝3，|BC |＝4，|CA|＝5， 求 AB·BC ＋ BC ·CA＋CA·AB的值．
[解析] (1)由ab⊥∥cc， ⇒22xy＋－44＝＝00， ⇒xy＝＝－2，2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)． ∴|a＋b|＝ 10. (2)由题意可设 AB＝λa(λ＞0)， ∴ AB＝(2λ，3λ)．又| AB|＝2 13， ∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2 13)2，解得 λ＝2 或－2(舍去)． ∴ AB＝(4,6)．又 A(1，－2)，∴B(5.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
预习课本 P112～114，思考并完成以下问题 (1)平面向量数量积的坐标表示是什么？
(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？
[新知初探]
1．向量数量积及向量垂直的坐标表示 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2) (1)数量积 a·b＝ a1b1＋a2b2 . (2)若 a，b 为非零向量，a⊥b ⇔ a1b1＋a2b2＝0 . [点睛] 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应 相乘计算和”．
(2)c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)，
由 cos π4＝ 22得 22－－kk2×＋11＋－1k－2·k1×2＋0 02＝ 22，
∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝32.
[答案]
(1)－15
3 (2)2
解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数 量积 a·b 以及|a||b|，再由 cos θ＝|aa|·|bb|求出 cos θ，也可由 坐标表示 cos θ＝ a21a＋1ba1＋22 ab2b12＋2 b22直接求出 cos θ.由三角 函数值 cos θ 求角 θ 时，应注意角 θ 的取值范围是 0≤θ≤π. (2)由于 0≤θ≤π，利用 cos θ＝|aa|·|bb|来判断角 θ 时， 要注意 cos θ<0 有两种情况：一是 θ 是钝角，二是 θ＝π； cos θ>0 也有两种情况：一是 θ 为锐角，二是 θ＝0.