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§4 场论初步1. 若,222z y x r ++=计算)3(),(,1,,2≥∇∇∇∇∇n r r f r r r n . 解 由r z z r r y y r r x xr=∂∂=∂∂=∂∂,,知 ),,,(1),,(z y x rr z r y r xr ==∇ ),,(),,(1),,(1)()()(),,,(111),,,(2),,(12221//322z y x nr z y x r nr r z y x r r f r r f r f z y x r r r r z y x z y x r r r r rn n n --=⋅=∇=∇=∇-=∇-=∇=⋅=∇=∇ 2. 求z y x xy z y x u 424232222-+-+++=在点)1,1,1()1,1,1(),0,0,0(---B A O 初的梯度,并求梯度为零之点.解 因为,46,224,422-=∂∂++=∂∂-+=∂∂z z ux y y uy x x u所以)10,4,8(|)2,8,0(|)4,2,4(|---==--=B A O gradu gradu gradu因为0=gradu ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=-+04602420422z y x y x 解之得32,3,5=-==z y x .因此使梯度为零之点为)32,3,5(-. 3.证明本节第二段关于梯度的一些基本性质5~1. 证明略.4.计算下列向量场A 的散度与旋度:(1)),,(222222y x x z z y A +++=;(2) ),,(222xyz xyz yz x A = (3) ),,(xy z zx y yz xA = 解 (1) 0)()()(222222=+∂∂++∂∂++∂∂=y x z x z y z y x divA ).22,22,22())()(),()(),()((222222222222y x x z z y y z y x z x y x x z y z x z z x y yrotA ---=+∂∂-+∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂-+∂∂= (2)同样可证xyz divA 6=)](),(),([222222x y z z x y y z x rotA ---= (3),111xyzx yz divA ++= ),,(1222222x y y x z x x z y z z y xyz rotA ---=5.证明本节第三段关于散度的一些基本性质3~1. 证明略.6.证明本节第四段关于旋度的一些基本性质3~1(可应用算符∇推演). 证明略.7.证明:场)2(),2(),2((z y x xy z y x xz z y x yz A ++++++=是有势场并求其势函数. 证 对空间任一点(x,y,z)都有)]}2([)]2([{)]}2([)]2([{)]}2([)]2([{=++∂∂-++∂∂+++∂∂-++∂∂+++∂∂-++∂∂=kz y x yz z y x xz x j z y x xy x z y x yz z i z y x xz zz y x xy rotA 故A 是有势场，由于dz z y x xy dy z y x xz dx z y x xyz d )2()2()2([++++++++ 故其势函数为：.)(),,(C z y x xyz z y x u +++=8．若流体流速),,(222z y x A =，求单位时间内穿过81球面1222=++z y x ，0,0,0>>>z y x 的流量。
