大学高等数学公式汇总大全(珍藏版)

1− x 21− x 2∫ 大学高等数学公式汇总大全（珍藏版）高等数学（上册）常用导数公式：(tgx )′ = sec 2x (ctgx )′ = −csc 2x (sec x )′ = sec x ⋅tgx (arcsin x )′ =1(arccos x )′ = − 1(csc x )′ = −csc x ⋅ctgx (a x )′ = a x ln a (arctgx )′ =11+ x 2(log a x )′ =1 x ln a(arcctgx )′ = −11+ x 2常用基本积分表：∫tgxdx = −ln cos x + C ∫ctgxdx = ln sin x + Cdx=cos 2 x dx∫sec 2 x dx = t g x + C ∫sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ sin 2 = csc2xdx = −ctgx + Cx ∫ csc xdx = ln csc x − c tg x + C dx = 1 arctg x +C∫sec x ⋅tgxdx = sec x + C∫csc x ⋅ctgxdx = −csc x + C∫ a 2+ x2a dx =1a ln x − a+ C∫a xdx =a xCln a ∫ x 2 − a 2 dx a 2 − x 2 2a x + a= 1 ln a + x + C 2a a − x ∫shxdx = chx + C∫chxdx = shx + C ∫ d x = arcsin x + C ∫d x = ln(x + x 2 ± a 2 ) + Ca 2 − x2a x 2 ± a 2π2I n = ∫ sin 0 π 2xdx =∫ cos nxdx =n −1 nI n −22 2x 2 2 a 2 ∫ x ∫ x 22+ a dx = 2 − a 2 dx = 2 x + a + 2 − a 2 2 a 2ln(x + ln x + x ) + C+ C ∫ a − x dx = + arcsin + C2 a三角函数的有理式积分：x 2 + a 2x 2 x 2 − a 2 x 2 − a 2 x 2 a 2 − x 2 ∫ ∫ + nsin x = 2u 1+ u 2 ， cos x =1− u 2 ， 1+ u 2 u = tg x 2dx = 2du 1+ u 2一些初等函数：两个重要极限：e x − e −x双曲正弦: shx =lim sin x = 1 2 x →0 x双曲余弦:chx = e x + e−xlim(1+ 1)x = e = 2.718281828459045...双曲正切:thx =2 shx = chx e x − e −xe x + e −xx →∞ xarshx = ln(x +archx = ± ln(x + x 2 +1）x 2 −1)arthx = 1 ln 1+ x2 1− x三角函数公式：· 诱导公式：· 和差角公式： ·和差化积公式：sin(α± β) = sin αcos β± cos αsin βsin α+ sin β = 2 s inα+ β cos α− βcos(α± β) = cos αcos β∓ s in αsin β2 2tg α± tg βsin α− sin β = 2 cos α+ βsin α− βtg (α± β) = 1∓ t g α⋅t g βctg α⋅ctg β∓1cos α+ cos β = 2 cos 2 α+ β 2 cos 2α− β2ctg (α± β) =ctg β± ctg αcos α− cos β = 2sinα+ βsin α− β22，(uv )= ∑C u v· 倍角公式：sin 2α = 2 sin αcos αcos 2α = 2 cos 2 α−1 = 1− 2 sin 2 α= cos 2 α− sin 2 αc t g 2α−1sin 3α = 3sin α− 4sin 3 α cos3α = 4 cos 3 α− 3cos α ctg 2α =tg 2α=2ctg α2tg αtg 3α=3t g α−t g 3α1− 3tg 2α1− tg 2α· 半角公式：sin α = ± 2α 1− cos α2 1− cos α 1− cos αsin α cos α = ± 2α 1+ cos α2 1+ cos α 1+ cos αsin α tg = ± 21+ cos α = sin α =1+ cos α c t g = ± 21− cos α = sin α =1− cos α· 正弦定理：a = sin Ab = sin B csin C= 2R · 余弦定理： c2= a 2 + b 2 − 2ab cos C· 反三角函数性质： arcsin x = π 2− arccos xarctgx = π 2− arcctgx高阶导数公式——莱布尼兹（L e i b n i z ）公式：n(n )k (n −k ) (k )nk =0= u (n )v + nu (n −1)v ′ +n (n −1) u (n −2)v ′′ + ⋯+ n (n −1)⋯(n − k +1) u (n −k )v (k )+ ⋯+ uv (n ) 2! k !中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b ) − f (a ) = f ′(ξ)(b − a ) f (b ) − f (a ) f ′(ξ)柯西中值定理： F (b ) − F (a ) =F ′(ξ)当F(x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：y ′′ (1+ y ′2 )3k 2 弧微分公式：ds = 1+ y ′2 dx ,其中y ′ = tg α 平均曲率：K = ∆α.∆α: 从M 点到M ′点，切线斜率的倾角变化量；∆s ：MM ′弧长。

∆sM 点的曲率：K == = . ∆s → 直线：K = 0; 半径为a 的圆：K = 1.a定积分的近似计算：b矩形法：∫ f (x ) ≈ ab − an (y 0 + y1 + ⋯+ y n −1 ) b梯形法：∫ f (x ) ≈b − a 1[ (y 0 + y n ) + y 1 +⋯+ y n −1 ] an 2 b 抛物线法：∫ f (x ) ≈ a b − a3n [(y 0 + y n ) + 2(y 2 + y 4 + ⋯+ y n −2 ) + 4(y 1 + y 3 + ⋯+ y n −1 )] 定积分应用相关公式：功：W = F ⋅ s水压力：F = p ⋅ A引力：F = m 1m2 ,k 为引力系数r1 b 函数的平均值：y = b − a ∫ f (x )dx均方根： 1 b ∫ f 2(t )dtb − a aa高等数学（下册）空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d = M M =12向量在轴上的投影：Pr j u A B = ϕ,ϕ是A B 与u 轴的夹角。

� � � � Pr j u (a 1 + a 2 ) = Pr j a 1 + Pr j a 2� �� � a ⋅b = a ⋅ b cos θ = a x b x + a y b y + a z b z ,是一个数量,两向量之间的夹角：cos θ =a xb x + a y b y + a z b z� �� ij k� �� � � c = a ×b = a xa y a z , c = ab xb yb z速度：v = w × r .� �� � � � � �向量的混合积：[a b c ] = (a ×b ) ⋅ = a ×b ⋅ c cos α,α为锐角时， 代表平行六面体的体积。

(x − x )2+ (y − y )2 + (z − z )2 2 1 2 1 21a 2 + a 2 + a 2 ⋅b 2 + b 2 + b 2x y z x y z⋅ � b s in θ .例：线� c a x = b x c x a yb yc ya zb zc zx x x 2 + = y y 平面的方程： 1、点法式：A (x − x ) + B (y − y ) + C (z − z ) = 0，其中�= {A ,B ,C },M (x , y , z )0 0 0 n0 0 02、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 3 x y z、截距世方程： + a + = 1b c平面外任意一点到该平面的距离：d =⎧x = x 0 + mtx − x 0 y − y 0z − z 0 � ⎪ 空间直线的方程： = m = = t ,其中s = {m ,n , p };参数方程：⎨ y = y 0 + nt n p ⎪z = z + pt二次曲面： 2 1、椭球面： + a 2x 2 ⎩ 0y z 2 b 2 c 21 y 22、抛物面： + 2 p3、双曲面：= z （, 2qp ,q 同号）2 2单叶双曲面： + a 2 b 2 2 2 双叶双曲面： − a 2 b2 − z 2 c 2 + z 2 c 2 = 1=（1 马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz = ∂z dx + ∂zdydu =∂u+ ∂u+ ∂u∂x ∂y∂x dx ∂y dy ∂zdz 全微分的近似计算：∆z ≈ dz = f x (x , y )∆x + f y (x , y )∆y多元复合函数的求导法：z = f [u (t ),v (t )] dz = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v dt ∂u ∂t ∂v ∂tz = f [u (x , y ),v (x , y )] ∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v ∂x 当u = u (x , y )，v = v (x , y )时，∂u ∂x ∂v ∂xdu = ∂u ∂u∂v ∂v∂x dx + ∂y dy dv = ∂ dx + ∂ dy隐函数的求导公式：隐函数F (x , y ) = 0， x dy = − F x ， dx F y yd 2 y = dx 2∂ (− F x )＋ ∂x F y∂ (− F x ) ⋅ dy ∂y F y dx隐函数F (x , y , z ) = 0， ∂z = − F x ， ∂z = − F y∂x F z ∂y F zA x 0 +B y 0 +C z 0 +D A 2+ B 2+ C 2⎩⎨G ⎩ 0 0 ⎪ ⎨G ⎪⎧F (x , y ,u ,v ) = 0∂F ∂(F ,G ) ∂uF u F v 隐函数方程组： ⎩G (x , y ,u ,v ) = 0 J = ∂(u ,v ) = ∂G∂u =G uG v∂u = − 1 ⋅ ∂(F ,G ) ∂v = − 1 ⋅ ∂(F ,G ) ∂x J ∂(x ,v ) ∂x J ∂(u , x ) ∂u = − 1 ⋅ ∂(F ,G ) ∂v = − 1 ⋅ ∂(F ,G ) ∂y J ∂(y ,v )∂y J ∂(u , y )微分法在几何上的应用：⎧ x = ϕ(t )⎪x − x 0y − y 0z − z 0空间曲线⎨y =ψ(t )在点M (x 0 , y 0 , z 0 )处的切线方程： ′ = ψ′ = ω′(t ) ⎪z = ω(t )ϕ(t 0 ) (t 0 ) 0 在点M 处的法平面方程：ϕ′(t 0 )(x − x 0 ) +ψ′(t 0 )(y − y 0 ) +ω′(t 0 )(z − z 0 ) = 0⎧⎪F (x , y , z ) = 0� F y F z F z F x F x F y 若空间曲线方程为： ⎪⎩G (x , y , z ) = 0,则切向量T ={ y , G z G z , } G x x y 曲面F (x , y , z ) = 0上一点M (x 0 , y 0 , z 0 )，则： 1、过此点的法向量： � = {F (x , y , z ),F (x , y , z ),F (x , y , z )}n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 2、过此点的切平面方程：F x (x 0 , y 0 , z 0 )(x − x 0 ) + F y (x 0 , y 0 , z 0 )(y − y 0 ) + F z (x 0 , y 0 , z 0 )(z − z 0 ) = 0 3、过此点的法线方程： x − x 0 = y − y 0=z − z 0 方向导数与梯度：F x (x 0 , y 0 , z 0 ) F y (x 0 , y 0 ,z 0 ) F z (x 0 , y 0 , z 0 )函数z = f (x , y )在一点p (x , y )沿任一方向l∂f = ∂f cos ϕ+ ∂fsin ϕ其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。