高考数学大一轮复习 综合模拟卷一

2016届高考综合模拟卷(1)数学一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1. 设全集U=R,集合A={x|x2-2x<0},B={x|x>1},则集合A∩∁U B= .2. 复数(1+2i)2的共轭复数是.3. 某林场有树苗30 000棵,其中松树苗4 000棵,为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为.4. 已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a1=12,S2=a3,则a2= .5. 从3名男生1名女生中任选两人,恰好是一男一女的概率是.6. 设变量x,y满足约束条件3-60,--20,-30,x yx yy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则目标函数z=y-2x的最小值为.7. 已知向量a=(cos x,sin x),b且a·b=85,那么cos-4xπ⎛⎫⎪⎝⎭= .8. 如图所示是一个算法的流程图,最后输出的S= .(第8题)9. 设l 是一条直线,α,β,γ是三个不重合的平面,则在下列命题中,假命题是 .(填序号)①如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于β; ②如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于β; ③如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l ⊥γ;④如果α⊥β,l 与α,β都相交,那么l 与α,β所成的角互余.10. 设函数f(x)的定义域为R ,f(-1)=2,且对任意的x ∈R ,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 .11. 过双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线,分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M,N(均在第一象限内).若FM=4MN,则双曲线的离心率为 .12. 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a=8,b=10,△ABC 的面积为3则△ABC 的最大角的正切值是 .13. 如图所示,两个半径分别为r 1,r 2的圆M 与圆N 的公共弦AB=3,则AM u u u u r·AB u u u r +AN u u u r ·AB u u u r = .(第13题)14. 已知函数f(x)=kx k,x0,lnx,x0+≤⎧⎨>⎩(其中k≥0),若函数y=f(f(x))+1有4个零点,则实数k的取值范围是.答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 答案题号8 9 10 11 12 13 14 答案二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)已知函数f(x)=3sin xcos x-cos2x-12,x∈R.(1) 求函数f(x)的解析式、最小值和最小正周期;(2) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(1,sin A)与n=(2,sinB)共线,求a,b的值.16. (本小题满分14分)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=3,AB=2BC=2,AC⊥FB.(1) 求证:AC⊥平面FBC.(2) 线段AC上是否存在点M,使得EA∥平面FDM?证明你的结论.(第16题)17. (本小题满分14分)图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,¼CMD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积,设AB=2x,BC=y.(1) 写出y关于x函数表达式,并指出x的取值范围;(2) 当x取何值时,凹槽的强度T最大?图(1) 图2(第17题)18. (本小题满分16分)若两个椭圆的离心率相等,则称它们为“相似椭圆”.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:2x6+2y3=1,A1,A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.(1) 求椭圆C2的方程;(2) 设P为椭圆C2上异于A1,A2的任意一点,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,线段PQ交椭圆C1于点H,求证:H 为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=ax2-2ln x,x∈(0,e],其中e是自然对数的底.(1) 若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2) 求f(x)的单调区间;(3) 设a>21e ,g(x)=-5+ln x a ,存在x 1,x 2∈(0,e],使得|f(x 1)-g(x 2)|<9,求实数a 的取值范围.20. (本小题满分16分)设数列{b n }满足b n+2=-b n+1-b n (n ∈N *),b 2=2b 1. (1) 若b 3=3,求b 1的值;(2) 求证:数列{b n b n+1b n+2+n}是等差数列;(3) 设数列{T n }满足:T n+1=T n b n+1(n ∈N *),且T 1=b 1=-12,若存在实数p,q,对任意的n ∈N *,都有p ≤T 1+T 2+T 3+…+T n <q,试求q-p 的最小值.2016高考综合模拟卷(1)1. {x|0<x≤1} 【解析】∁U B={x|x≤1},A={x|0<x<2},故A∩∁U B={x|0<x≤1}.2. -3-4i 【解析】因为(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i,所以其共轭复数为-3-4i.3. 20 【解析】设样本中松树苗的数量为x,则由分层抽样的特点,有x150=400030000,解得x=20,即样本中松树苗的数量为20.4. 1 【解析】因为S2=a3,所以a1+a1+d=a1+2d d=12a2=a1+d=1.5. 12【解析】设“选中的两人恰好是一男一女”为事件A,则P(A)=36=12.6. -7 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,联立y3,x-y-20,=⎧⎨=⎩解得A(5,3),当目标函数线过可行域内的点A时,目标函数有最小值z=3-2×5=-7.(第6题)7. 45【解析】因为a·b22sin x=2cos（x-π4）=85,所以cosπx-4⎛⎫⎪⎝⎭=45.8. 25 【解析】当a=5,P=25>24,S=25;a=6,P=24<25,输出的S=25.9. ④ 【解析】 如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于β,即命题①正确;如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于β,即命题②正确;如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l ⊥γ,即命题③正确;如果α⊥β,l 与α,β都相交,那么l 与α,β所成的角不一定互余,即命题④不正确.10. (-1,+∞) 【解析】 令g(x)=f(x)-2x-4,g'(x)=f'(x)-2,因为x ∈R ,f'(x)>2,所以g(x)在R 上单调递增,因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,所以f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).11. 53 【解析】 易求得点M 2b c,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,N bc c,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由FM=4MN,得2b a =42bc b -a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,得b 2=4bc-4b 2,所以5b=4c,即25(c 2-a 2)=16c 2,故25a 2=9c 2,所以22c a =259,所以e=53.12. 或【解析】 由S △ABC =12absin C,可得sin C=,又角C 为三角形的内角,所以C=60°或120°.若C=60°,则在△ABC 中,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcos C=84,此时,最大边是b,故最大角为B,cos B=222a c -b 2ac +则tan B=;若C=120°,C 为最大角,其正切值为tan 120°13. 9 【解析】 连接MN 与公共弦AB 交于点C,则点C 为公共弦AB 的中点,且MN ⊥AB,故AM u u u u r ·AB u u u r =|AB u u u r ||AM u u u u r|cos ∠MAC=|AB u u u r ||AC u u u r |=12|AB u u u r |2=92,同理AN u u u r ·AB u u u r =|AB u u u r ||AN u u u r |·cos ∠NAC=|AB u u u r ||AC u u u r |=12|AB u u u r |2=92,故AM u u u u r ·AB u u ur +AN u u u r ·AB u u u r =9.14. 1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ 【解析】 令f(x)=u,结合图象,当k=0时,不合题意;当k>0时,f(u)=-1有两个零点u 1,u 2,u 1<-1,u 2=1e ,则f(x)=u 1有两个零点x 1,x 2,依题意f(x)=u 2应有两个不同于x 1,x 2的零点,则k ≥1e.(第14题)15. (1) 因为32x-12=3sin 2x-12cos 2x-1=sinπ2x-6⎛⎫⎪⎝⎭-1, 3分所以f(x)的最小值为-2,最小正周期为π.6分(2) 因为f(C)=sinπ2C-6⎛⎫⎪⎝⎭-1=0,所以sin（2C-π6）=1.因为0<C<π,所以-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,所以C=π3. 8分因为m与n共线,所以sin B-2sin A=0,由正弦定理asinA=bsinB,得b=2a, ① 10分因为c=3,由余弦定理,得9=a2+b2-2abcosπ3, ② 12分由①②解得a3,b2 3.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 14分16. (1) 在△ABC中,因为3所以AC⊥BC.3分又因为AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.7分(2) 线段AC上存在点M,且M为AC的中点时,有EA∥平面FDM.9分证明如下:连接CE与DF交于点N,连接MN.因为四边形CDEF为正方形,所以N为CE的中点,11分所以EA∥MN.12分因为MN平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM.14分17. (1) 易知半圆CMD的半径为x,故半圆CMD的弧长为πx.所以4=2x+2y+πx,得y=4-(2π)x2+. 4分依题意知0<x<y,得0<x<44π+.所以y=4-(2π)x40x24π+⎛⎫<<⎪+⎝⎭. 7分(2) 依题意,T=AB·S=2x212xy-πx2⎛⎫⎪⎝⎭=8x2-(4+3π)x3, 9分令T'=16x-3(4+3π)x2=0,得x=169π12+∈40,4π⎛⎫⎪+⎝⎭,另一解舍去.11分当x变化时,T'(x),T(x)的变化情况如下表:x160,9π12⎛⎫⎪+⎝⎭169π12+164,9π124π⎛⎫⎪++⎝⎭T'(x)+ 0 -T(x)↗极大值↘所以当x=169π12+时,凹槽的强度最大. 14分注:x 的范围写为0<x ≤44π+,不扣分.18. (1) 由题意可知A 1,0),A 2,0),椭圆C 1的离心率e=. 3分设椭圆C 2的方程为22y a +22x b =1(a>b>0),则, 因为b a,所以所以椭圆C 2的方程为2y 12+2x 6=1. 8分(2) 设P(x 0,y 0),y 0≠0,则20y 12+20x 6=1,从而20y =12-220x .将x=x 0代入2x 6+2y 3=1得20x 6+2y 3=1, 从而y 2=3-20x 2=20y 4,即y=±0y 2.因为P,H 在x 轴的同侧,所以取y=0y 2,即H （x 0,0y 2）.所以1A P k ·2A H k01y =2020y 2(x -6)=202012-2x 2(x -6)=-1,从而A 1P ⊥A 2H. 又因为PH ⊥A 1A 2,所以H 为△PA 1A 2的垂心. 16分19. (1) f'(x)=2ax-2x =22ax -2x ,由已知得f'(1)=2a-2=0,解得a=1, 经检验,a=1符合题意.4分(2) f'(x)=2ax-2x =22ax -2x ,当a ≤0时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e]上是减函数;当a>0时,f'(x)=2a x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭,<e,即a>21e ,则f(x)在⎛ ⎝⎭上是减函数,在⎤⎥⎝⎦上是增函数;②若≥e,即0<a ≤21e ,则f(x)在(0,e]上是减函数. 综上所述,当a ≤21e 时,f(x)的单调减区间是(0,e];当a>21e 时,f(x)的单调减区间是⎛ ⎝⎭,单调增区间是⎤⎥⎝⎦. 10分 (3) 当a>21e 时,由(2)知f(x)的最小值是f⎝⎭=1+ln a, 易知g(x)在(0,e]上的最大值是g(e)=-4-ln a,12分注意到(1+ln a)-(-4-ln a)=5+2ln a>0, 故由题设知2(1lna)-(-4-lna)9,1a ,e +<⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得21e <a<e 2,故a 的取值范围是221,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭. 16分20. (1) 因为b n+2=-b n+1-b n ,所以b 3=-b 2-b 1=-3b 1=3,所以b 1=-1.3分(2) 因为b n+2=-b n+1-b n , ①所以b n+3=-b n+2-b n+1, ②②-①得b n+3=b n,所以(b n+1b n+2b n+3+n+1)-(b n b n+1b n+2+n)=b n+1b n+2(b n+3-b n)+1=1为常数, 所以数列{b n b n+1b n+2+n}是等差数列.7分(3) 因为T n+1=T n b n+1=T n-1b n b n+1=T n-2b n-1b n b n+1=…=b1b2b3…b n+1,当n≥2时,T n=b1b2b2…b n,(*)当n=1时,T1=b1,符合(*)式,所以T n=b1b2b3…b n(n∈N*).因为b1=-12,b2=2b1=-1,b3=-3b1=32,bn+3=b n,所以T1=b1=-12,T2=T1b2=12,T3=T2b3=34,T4=T3b4=T3b1=34T1,T5=T4b5=T2b3b4b5=T2b1b2b3=34T2,T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3=34T3,…T3n+1+T3n+2+T3n+3=T3n-2b3n-1b3n b3n+1+T3n-1b3n b3n+1b3n+2+T3n b3n+1b3n+2b3n+3 =T3n-2b1b2b3+T3n-1b1b2b3+T3n b1b2b3=34(T3n-2+T3n-1+T3n),所以数列{T3n-2+T3n-1+T3n)(n∈N*)是等比数列,且首项为T1+T2+T3=34,公比q=34.记S n=T1+T2+T3+…+T n,①当n=3k(k∈N*)时,S n=(T1+T2+T3)+(T4+T5+T6)+…+(T3k-2+T3k-1+ T3k)=k331-4431-4⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=3k31-4⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以34≤Sn<3; 13分②当n=3k-1(k∈N*)时S n=(T1+T2+T3)+(T4+T5+T6)+…+(T3k-2+T3k-1+T3k) -T3k=3k31-4⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-(b1b2b3)k=3-4·k34⎛⎫⎪⎝⎭,所以0≤S n<3;14分③当n=3k-2(k∈N*)时S n=(T1+T2+T3)+(T4+T5+T6)+…+(T3k-2+T3k-1+T3k) -T3k-1-T3k=3k31-4⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-(b1b2b3)k-1b1b2-(b1b2b3)k=3k31-4⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-k-11324⎛⎫⎪⎝⎭-k34⎛⎫⎪⎝⎭=3-143·k34⎛⎫⎪⎝⎭,所以-12≤Sn<3, 15分综上,-12≤Sn<3,则p≤-12且q≥3,所以q-p的最小值为72. 16分。