2020文科数学模拟试卷一

2020年高考第一次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＞1}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |x ＞0或x ＜﹣1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |x ≥0或x ＜﹣1}2．复数z 满足z =2i1−i ，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程是（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±√5x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x4．已知数列{a n }满足2a n ＝a n ﹣1+a n +1（n ≥2），a 2+a 4+a 6＝12，a 1+a 3+a 5＝9，则a 3+a 4＝（ ） A ．6B ．7C ．8D ．95．已知向量a →=(x ，−1)，b →=(1，√3)，若a →⊥b →，则|a →|=（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．46．“cos2α=12”是“α=kπ+π6(k ∈Z)”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间（单位：小时）如下：则完成这三件原料的描金工作最少需要（ ）A ．43小时B ．46小时C ．47小时D ．49小时8．设直线x ﹣y ﹣a ＝0与圆x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为（ ） A ．±√3 B ．±√6 C ．±3 D ．±99．函数f （x ）＝a1−x 2（a ＞1）的部分图象大致是（ ）10．已知定义域为I 的偶函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且∃x 0∈I ，f （x 0）＜0，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A ．f （x ）＝x 2+|x | B ．f （x ）＝2x ﹣2﹣xC ．f （x ）＝log 2|x |D ．f(x)=x−4311．已知三棱锥A ﹣BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD =√13，则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积是（ ） A ．38πB ．9πC ．76πD ．19π12．已知函数f （x ）＝lnx +a ，g （x ）＝ax +b +1，若∀x ＞0，f （x ）≤g （x ），则b a的最小值是（ ） A ．1+eB ．1﹣eC ．e ﹣1D ．2e ﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若关于x 的不等式（2a ﹣b ）x +（a +b ）＞0的解集为{x |x ＞﹣3}，则ba = ．14．若平面向量a →=（cosθ，sinθ），b →=（1，﹣1），且a →⊥b →，则sin2θ的值是 ． 15．若整数x 、y 满足不等式组{0≤x ≤2x +y −2＞0x −y +2＞0，则z =yx的最小值为 ．16．三角形ABC 中，AB ＝2且AC ＝2BC ，则三角形ABC 面积的最大值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 （一）必考题：共60分．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝c ，2sin B =√3sin A ．。

2020 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（1）文科数学本试题卷共 6 页， 23 题（含选考题）。

全卷满分150 分。

考试用时120 分钟。

第Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M x, y x y 2 ， N x, y x y2，则集合M N（）A．0,2 B ．2,0C．0, 2D．2,0【答案】 D【解析】解方程组x y2x2N2,0 ．选D．x y2，得．故 My02．设复数z12i（ i 是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（）A． 3,4B． 5,4C．3,2D． 3,4【答案】 A【解析】 z12i z2121 44i 3 4i ，所以复数z2对应的点为3,4 ，2i故选 A．3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x 0，则一开始输入的x 的值为（）371531A ．B ．C． D ．481632【答案】 C【解析】 i1，（ 1）x2x1,i2，（ 2）x22x114x3,i3，（ 3）x24x318x7,i4，（ 4）x28x7116x15,i 5 ，所以输出16x150，得 x15，故选 C．164．已知cos22cos，则 tan4（A ．4B．41C．D3【答案】 C【解析】因为 cos22cos，所以sin2co所以 tan41tan1，故选 C．1tan35．已知双曲线x2y21a0,b0的一个焦点为 F2,0a2b2则该双曲线的方程为（）A． x2y21 B ．x2y21C． y2x21D333【答案】 B【解析】令x2y20 ，解得ybx ，故双曲线的渐近线方程a2b2ab3a2a1由题意得c2，解得，∴该双曲线的方程为b23c22b2a6．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y（单位：万元）之间有y x8?的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为y?bxx245y253560A ．5B． 15C．12D【答案】 C【解析】由题意可得：x245685 ， y25355第1页，共6页回归方程过样本中心点，则：5285??．本题选择 C 选项．b ， b 127．已知f x2018x20172017x20162x1，下列程序框图设计的是求 f x0的值，在“ ”中应填的执行语句是（）开始输入 x0i=1,n=2018S=2018i=i+1i≤ 2017？否S=S+n是输出 SS=Sx0结束A ．n2018iB ．n2017 i C．n2018i D ．n2017i 【答案】 A【解析】不妨设x0 1 ，要计算 f12018 2017 20162 1 ，首先S201812018，下一个应该加，再接着是加，故应填n2018 i．201720168．设π2）0x，则“x”是“cosx＜ x ”的（cosx2A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】作图 y cos x ，y x2，y x ，x0,，2可得 cosx x2解集为m,， cosx x 解集为 n,，因为22m,n,，因此选 A ．229．如图为正方体ABCD A1B1C1 D1，动点M从 B1点出发，在正方体表面上沿逆时针方向1M11x与运动一周后，再回到 B 的运动过程中，点与平面 ADC 的距离保持不变，运动的路程l MA1MC1 MD 之间满足函数关系l f x ，则此函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】取线段B1 A 中点为N，计算得：l N NA1NC1ND623l B l A．同221AC 或CB1的中点时，计算得l N NA1 NC1 ND622 3 l B，符合C项的图象特征．故选C．2110．已知双曲线E：x2y21( a 0, b 0)的右顶点为A，右焦点为Fa2b2第二象限上的一点， B 关于坐标原点O 的对称点为 C ，直线 CA 与直线 BF 的交点BF 的中点，则双曲线的离心率为（）11C． 2 D ． 3A ．B ．25【答案】 D【解析】不妨设B c, b2，由此可得 A a,0， C c,b2， F c,0，a ab2b2于 A，C， M 三点共线，故2aaac，化简得 c3a ，故离心率 e 3 ．a11．已知点A 4,3和点B 1,2，点 O 为坐标原点，则OA tOB t R的最A．5 2 B ． 5C． 3 D ．5【答案】 D【解析】由题意可得：OA4,3， OB1,2，则：OA tOB4,3t 1,24t,32t232t25t24 t结合二次函数的性质可得，当t2时， OA tOB54202min本题选择 D 选项．第2页，共6页x2y2x2y212．已知椭圆C1 :a12b121 a1＞b1＞0与双曲线C2:a22b22 1 a2＞0,b2＞0有相同的焦点 F1, F2，若点P是 C1与 C2在第一象限内的交点，且F1F2 2 PF2，设 C1与 C2的离心率分别为 e1， e2，则 e2e1的取值范围是（）A ．1,1C．1D ．1 3B ．,,,322【答案】 D【解析】设F1F22c，令 PF1t ，由题意可得：t c2a2， t c 2a1，据此可得： a1 a2c11e2，，则： 1 ，e11e1e2e2则： e2e1e2e2e221，由 e21可得： 01e21e2 12 1 ，11e2e2e2211结合二次函数的性质可得：e20,1 ，e2则：e2e11，即 e e 的取值范围是1,．本题选择 D 选项．2212第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年文科数学全国卷高考模拟1文科数学本试卷共23小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． (){},|0,,A x y x y x y R =+=∈,(){},|20,,B x y x y x y R =--=∈，则集合A B I =( )A ．(1,1)-B ．{}{}11x y ==-UC ．{}1,1-D ．(){}1,1- 2.等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 3．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( ) A .1)(2++-=x x x f B ． xx f 1)(=C ． 13()log f x x = D . ()ln f x x =4．已知函数(1),0()(1),0x x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．已知0a >,4()4,f x x a x =-+则()f x 为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与a 有关6．已知向量(12)a =r ，，(4)b x =r ，，若向量a b //v v，则x =( ) A ．2 B ． 2- C ． 8D ．8-7.设数列{}n a 是等差数列,且5,8152=-=a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A.109S S < B.109S S = C.1011S S < D.1011S S =8．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则l β⊥10题③．若α//l ，α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m . 其中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知离心率为e 的曲线22217-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为（ ）A ．34B 423C ．43D 2310．给出计算201614121++++Λ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i 11．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k =（ ）A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2020届高考数学模拟考试试卷及答案（一）（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣22．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A．B．C．D．4．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．535．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm36．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．167．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α8．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．169．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]10．已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x ﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f （x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差101311127感染数2332242917（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．22．已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．【解答】解：∵且∥，∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4由此可得，∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4故选：B4．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式．【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．7．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D 错误．故选：C．8．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．16【考点】HW：三角函数的最值．【分析】y==（）（cos2θ+sin2θ），由此利用基本不等式能求出y=的最小值．【解答】解：∵θ∈（0，），∴sin2θ，cos2θ∈（0，1），∴y==（）（cos2θ+sin2θ）=1+9+≥10+2=16．当且仅当=时，取等号，∴y=的最小值为16．故选：D．9．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示△ABC，设Q（3，0）平面区域内动点P（x，y），则=kPQ，当P为点A时斜率最大，A（0，0），C（0，2）．当P为点C时斜率最小，所以∈[﹣，0]．故选：D．10．已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．【解答】解：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2﹣c2，即有c2＞a2，可得＜e＜1．故选：C．11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x ﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【考点】3O：函数的图象；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知条件判断出f′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出f（x）的单调性，利用单调性判断出f（a）与f（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），令F（x）=，则F′（x）=，∵xf′（x）﹣f（x）≤0∴F′（x）≤0，∴F（x）=在（0，+∞）上单调递减或常函数∵对任意的正数a、b，a＜b∴≥，∵任意的正数a、b，a＜b，∴af（b）≤bf（a）故选：C．二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心（﹣2，2），圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离d==．故答案为：．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2∴y=sin（2x+φ）代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f=f（1）=﹣f（1），代入函数的表达式求出函数值即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为4是周期函数，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣1﹣=﹣1，故答案为：﹣1．16．已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，则cosA===，化简得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），则sinC==，∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．18．已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，即可求周期和对称中心．（2）x∈[﹣，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1，化简可得：f（x）=cos2x﹣1+sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T=，由2x+=kπ（k∈Z）可得对称中心的横坐标为x=kπ∴对称中心（kπ，0），（k∈Z）．（2）当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]当2x+=时，函数f（x）取得最小值为．当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2×1=2．19．某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差101311127感染数2332242917（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由已知利用平均数公式能求出这5天的平均感染数．（2）利用列举法求出基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，利用列举法能求出|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【解答】解：（1）由题意这5天的平均感染数为：．（2）（x，y）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个，∴P（A）=，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，由事件B包含的基本事件为（23，24），（32，29），共有m′=2个，∴P（B）=，∴|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率P=P（A）+P（B）=．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD=V B﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）如图，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面APC，…解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD=V B﹣MDC．∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，∴．又，∴．在△PBC中，，又∵MD⊥DC，∴，∴∴即点B到平面DCM的距离为．…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞4=综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．22．已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可证明结论．【解答】解：（1）求导数得f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．又e x＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．证明：（2）因为g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．又当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，所以当x∈（0，+∞）时，h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2。