2020届开卷教育联盟高三数学(文)模拟试题一

A ． 1a a(x + c )2 的图象如图所示，则下列结论成立的是2020 届高三年级第二学期第一次模拟考试数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答卷前,考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若 a, b ∈ R ， i 为虚数单位，且 (a + i)i = b + i ，则A ． a = 1,b = 1B ． a = -1,b = 1C ． a = -1,b = -1D ． a = 1,b = -12．设集合 S = {x | x 2 + 2 x = 0, x ∈ R } ， T = {x | x 2 - 2 x = 0, x ∈ R } ，则 S I T =A ． {0}B ． {0,2}C ． {-2,0}D ． {-2,0,2}⎧ 2x + 1, x < 13．已知函数 f ( x ) = ⎨⎩ x 2 + ax, x ≥ 1，若 f ( f (0)) = 4a ，则实数 a =4 B ．C ．2D ．9254．命题 p ：数列 { }既是等差数列又是等比数列，命题 q ：数列 { }是常数列，则 p 是 q 的 n nA ．充分不必要条件C ．充分必要条件 B ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．函数 f (x )= - x + bA ． b < 0 ， c > 0B ． b > 0 ， c > 0C ． b > 0 ， c < 0D ． b < 0 ， c < 06．在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．高三级数学（文科）答卷 第1页（共 6 页）7．若 sin α + cos α = ，则 tan α =8．设实数 x ,⎧-1≤x +y- - y ≤ 1 ．．．2若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩小于 139 分钟的运动员人数为A ．4B ．2C ．5D ．31sin α - cos α 2A ． -3B ． -2C ． 2D ． 3⎩ ，则 x + 2 y 的最大值和最小值分别为A ．1， -1B ． 2 ， -2C ．1， -2D ． 2 ， -19．在平行四边形 ABCD 中， AB ＝(1,2), AD = (-4,2) ，则该四边形的面积为A ． 5B ． 2 5C ．5D ．1010．如图，四棱锥 S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥ 底面 ABCD ，则下列结论中不正确的是A ． AC ⊥ SBB ． AD ⊥ SCC ．平面 SAC ⊥ 平面 SBDD ． BD ⊥ SASDA BC11．已知双曲线 x 2 y 2 -a b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左顶点与抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2, -1) ，则双曲线的焦距为A ． 2 3B ． 2 5C ． 4 3D ． 4 512．已知∆ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a, b , c ，且b = 2 ，b 2 + c 2－a 2＝bc ，若BC 边上的中线 AD = 7 ，则 ∆ABC 的外接圆面积为A ． 4πB ． 7πC ．12πD ．16π二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．曲线 y = x(3ln x + 1) 在点 (1,1) 处的切线方程为_________________．高三级数学（文科）答卷 第2页（共 6 页）14．已知函数 y = sin(2x + ϕ ) ( ϕ < π )的一条对称轴为 x = ，则 ϕ 的值是．， a = 2 ，则 a =_________．（2）从 2011 年开始到 2019 年该地区清明节当天降雨量（单位： m m ）如下表：（其中降雨． ．0 ．．．．．．经研究表明：从 2011 年开始至 2020 年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量 y 与年份 t 成π2315．数列{a }满足 ann +1 = 1 1 - a n8 116．已知抛物线 y 2 = 4 x 上有三点 A ，B ，C ，直线 AB ，BC ，AC 的斜率分别为 3 ，6 ，-2 ，则 ∆ABC 的重心坐标为_________.三、解答题：共 70 分。

2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U AC B =（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}23x x -<<C ．{}23x x -≤<D ．{}21x x x ≤->-或2．已知11abi i=-+-，其中,a b 是实数，则复数a bi -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设15log 6a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，165c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ）A ．94-B ．94C ．274D ．274- 5．函数()()sin x xf x e ex -=+⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．83D ．47．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为（ ）（参）A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.6188．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．35B ．20C ．18D ．99．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（）A ．16(,)e eB ．746[,)e eC ．741[,)e eD ．7416(0,][,)e e e11．设函数π()sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A ．π6 B ．π2C ．7π6D ．π12．如图，过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点（A 在B 的上方），若,A B 到C 的一条渐近线的距离分别为12,d d ，且214d d =，则C的离心率为（ ）AB ．54C D ．43二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为___________．14．若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最小值为____________.15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．16．已知12,F F 是椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且121260,PF F F PF S ︒∆∠==,则b =______.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，()112n n n a a a +=+（*n N ∈）．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1223122311633n n a a a a a a a a a a +++++++>，求正整数n 的最小值． 18．（本小题满分12分）如图所示，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==，60BAF ∠=︒. （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求三棱锥M DAF -的体积1V 与多面体CD AFEB -的体积2V 之比的值.19．（本小题满分12分）基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率%y 进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y 与月份代码x 之间的关系.如果能，请计算出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A 型车和800元/辆的B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：车型 报废年限经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：61()()35iii x x y y =--=∑，621()17.5ii x x =-=∑，621()76i i y y =-=∑36.5≈.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑，121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.20．（本小题满分12分）已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C 。

2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试题一、单选题1．若复数122i z =-，21z i =+，则12z z =（ ） A ．2i B ．2i -C ．22i -D ．22i +【答案】B【解析】直接利用复数的除法计算得解. 【详解】 由题得12(22)(1)42(1)(1)2z i i i i z i i ---===-+-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（ ）A ．1336B ．1736C ．1936D ．118【答案】D【解析】直接利用几何概型的概率公式求解. 【详解】由几何概型的概率公式得抽奖一次中一等奖的概率20136018P ︒==︒. 故选：D 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3．已知实数,x y 满足2,2,0,y x y x ⎧⎪+⎨⎪⎩„……则x y -的最小值为（ ） A ．0 B ．2C ．2-D ．1【答案】C【解析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求x y -的最小值. 【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，设,z x y y x z =-∴=-，它表示斜率为1，纵截距为-z 的直线系， 当直线经过点A(0,2)时，直线的纵截距-z 最大，z 最小. 所以min 022=-=-z . 故选：C 【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，1222F F =B 为短轴的一个端点，三角形1BF O （O 7，则椭圆的长轴长为（ ） A ．4 B ．8C ．1332D ．133【答案】B【解析】先根据已知求出b ，c, 再求出a 得解. 【详解】由题得c =12bc =222c a b =-，解得b =4a =， 所以长轴长为8. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．函数()212()log 68f x x x =--+的单调递增区间为（ ） A ．(4,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(3,)+∞ D ．(3,4)【答案】A【解析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解. 【详解】由题得函数()f x 定义域为(,2)(4,)-∞⋃+∞，函数268(4u x x x =-+>或2x <）的增区间为(4,)+∞， 函数12log v u =在定义域内是减函数，k v =-在定义域内是减函数，由复合函数的单调性得()f x 的单调递增区间为(4,)+∞. 故选：A 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知集合{|31}A x x =-<„，集合(){}2|lg 2B x y x==-，则A B =U （ ）A ．[B ．(C ．[-D ．(-【答案】D【解析】先化简集合B,再求A B U 得解. 【详解】由题得(B =， 因为{|31}A x x =-<„，所以(A B =-U .【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则BE =u u u r（ ）A ．1124a b+r rB ．1536a b +r rC ．2233a b +r rD ．1324a b +r r【答案】D【解析】取BC 中点F ，再利用向量的线性运算求解即可. 【详解】取BC 中点F ，则1113122242BE BC CE BC FA BC BA BC BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1324a b =+r r.故选：D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为、、A B C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，下列推断正确的为（ ） A ．A 来自1班 B ．B 来自1班C ．C 来自3班D ．A 来自2班【答案】B【解析】由题分析得B 不是来自2班，A 不是来自2班，C 来自2班，再进一步分析得解.由题得，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班. 故选：B 【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．2020C ．3030D ．1010【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =⋯可知12343a a a a +=+=⋯=，当2020i =时，101033030S =⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．10．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．32升 C ．23升 D ．43升 【答案】B【解析】由题意得12676a a a a +++=，由等差数列的性质即可直接得解. 【详解】设竹子自下而上的各节容米量分别为1a ，2a …7a ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =． 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.11．已知函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增.若()ln34a f =，13eb f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1ln c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】由题得函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，再求出ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，12ln 1π-<<-，即得解.【详解】因为函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，所以函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，又ln31>，所以ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为2e e π<<， 所以12ln1π-<<-，因为1013e⎛⎫<<⎪⎝⎭，所以ln3114ln3eπ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a c b>>.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为（）A．48πB．12πC．36πD．9π【答案】D【解析】如图，将其补成长方体.设PA x=，连接1B C，利用余弦定理求出x=1,再求出几何体外接球的半径，即得解.【详解】如图，将其补成长方体.设PA x=，连接1B C，则异面直线AC与PD所成的角就是1ACB∠或其补角.则2212210cos2222ACBx∠==⨯⨯+，所以1x=，所以外接球的半径为2221312222++=，所以棱锥外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<的否定为______.【答案】00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…【解析】直接利用全称命题的否定得解. 【详解】因为命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<是全称命题，所以它的否定为00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 故答案为：00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 14．已知()sin (0,10)3f x A x A πωω⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭在12x π=时取得最大值，则ω=_____.【答案】2【解析】由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈，解之得解.【详解】 由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈.解得122k ω=+，k Z ∈，10ω<，所以2ω=. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．已知数列{}n a ，其前n 项和2n S n n =+，设nan b =，则数列{}n b 的前10项和等于______. 【答案】10231024【解析】先求出2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用等比数列的求和公式求解.【详解】当n =1时，11==2a S .2211(1)(1)2(1)n n n a S S n n n n n ++=-=+++--=+，所以2n a n =，(2)n ≥,适合n =1. 所以2n a n =.所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n b 是一个以12为首项，以12为公比的等比数列， 所以{}n b 的前10项和为10101112211023112102412⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=-.故答案为：10231024【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左、右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a=，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为______.【解析】先求出2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,22c a ab B c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点B 坐标代入双曲线方程得222c a =，即得解.【详解】由题得2F A 所在的直线方程为()ay x c b =--，与直线b y x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为2F B BA =u u u u r u u u r，所以B 为线段2F A 的中点， 所以22,22c a ab B c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点B 坐标代入双曲线方程得()2222222222244a c a b b a a b c c+⨯-⨯=所以222c a =，所以ce a==【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．在ABC V 中，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知：()222210cos 6cos 3b B ab C b c a =++-.（1）求cos B ；（2）若2AB =，D 为BC 边上的点，且2BD DC =，56ADC π∠=，求ADC V 的面积. 【答案】（1）35；（2【解析】（1）利用余弦定理化简()222210cos 6cos 3b B ab C b c a=++-得3cos 5B =；（2）由正弦定理得165AD =，再求出sin BAD ∠=ADC V 的面积. 【详解】（1）由()222210cos 6cos 3b B ab C b c a =++-得()222210cos 6cos 3cb B abc C c b c a=++-.所以()22235cos 3cos 2c b c a b B a C bc+-=+.所以5cos 3cos 3cos b B a C c A =+.所以5sin cos 3sin cos 3sin cos B B A C C A =+. 所以5sin cos 3sin()3sin B B A C B =+= 所以3cos 5B =. （2）由（1）得4sin 5B =，所以sin sin AD AB B ADB=∠，即24152AD =得165AD =. 又343sin sin 6BAD B π+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭.所以124323sin 2ABD S AB AD BAD +=⨯⨯∠=V . 所以1121632ADC ABD S S +==V V . 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．如图，三角形DCF 所在平面垂直四边形ABCD 所在平面，2AB AD FC ===，5BC =，90ADC DAB FCD ∠=∠=∠=︒，,N P 分别为,AF BC 的中点.（1）证明：//PN 平面FDC ； （2）求棱锥A BDF -的高. 【答案】（1）见解析；（2417【解析】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ，先证明平面//PMN 平面FDC ，//PN 平面FDC 即得证；（2）设棱锥A BDF -的高为h ，求出43A BDF F ABD V V --==，再解方程11417333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V 得解.【详解】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ， 因为,P N 分别为,BC AF 的中点，所以//MN FD ，因为MN ⊄平面FDC,FD ⊂平面FDC, 所以//MN 平面FDC .由题得//PM CD ，因为PM ⊄平面FDC,CD ⊂平面FDC, 所以//PM 平面FDC .因为,MN PM ⊂平面MNP,MN PN N ⋂=, 由面面平行的判定定理得平面//PMN 平面FDC ， 又PN ⊂平面PMN ， 所以//PN 平面FDC .（2）由ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2AB AD ==，5BC =，得3CD =，又平面PCD ⊥平面ABCD ，FC CD ⊥，FC ⊥平面ABCD .1111422232323A BDF F ABD V V AB AD FC --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.设棱锥A BDF -的高为h ，2213FD FC CD +2222BD AD AB +=223FB BC CF +=，所以2222cos 26BD FB FD DBF BD FB +-∠==⨯⨯. 所以2234sin 16DBF ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1134sin 2231722BDF S BD FB DBF =⨯⨯⨯∠=⨯=V 11417333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V .得417h =. 所以棱锥A BDF -的高为41717. 【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握和计算水平.19．移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.（2）在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：现采用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）表格见解析，有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）1 3【解析】（1）完成列联表，再利用独立性检验计算判断得解；（2）利用古典概型的概率公式求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 【详解】（1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关. （2）由（1）得10x =，所以在抽取的6人中，月支付金额在[100,2000]的有3人，记为123,,A A A ； 在(2000,3000)的为2人，记为12,B B ；3000以上的为1人，记为C .则从6人中抽取两人，共有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()23,A A ，()21,A B，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()12,B B ，()1,B C ()2,B C 15种取法.其中共有()1,A C ，()2,A C ，()3,A C ，()1,B C ，()2,B C 5种符合条件， 所以51153P ==. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R ，点()3,3P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 （1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）2或4；（2）22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=. 【解析】(1)由题点P 与圆心的连线与弦垂直,即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短.再根据垂径定理求解实数a 的值即可.(2)根据圆的性质可得点M 的轨迹为(),1a 为圆心,为半径的圆,再根据(1)中的两种情况求解即可. 【详解】（1）由圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R得到圆心坐标为(),0a 点()3,3P 在圆内,<解得06a <<,由圆的弦的性质可知,点P 与圆心的连线与弦垂直, 即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短在过点P 所作的圆的所有弦中,弦长最小值为=解得2a =或4,（符合06a <<）.（2）由（1）可知,2a =或4a =时,因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,,所以,点M 的轨迹为(),1a 为圆心,为半径的圆 所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及轨迹方程的求解,属于中等题型.21．函数21()ln ,a f x x a R x a=++∈. （1）讨论函数f (x )的单调性；（2）设()2ag x x=+，当a >0时，证明：()()0f x g x -≥恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）由题意可知0x >，22122()a x a f x x x x -'=-=，再对a 分情况讨论，分别分析函数()f x 的单调性；（2）要证()()0f x g x -…，只需证120a lnx x a ++-…，设1()2a h x lnx x a=++-，利用导数得到()h x 在x a =时取得极小值，所以()()11min h x h a lna a==+-，再令()11m a lna a=+-，利用导数得到()m a 在1a =时取得极小值，所以最小值为()10m =，从而得出当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【详解】解：（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=， ①当0a „时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当0a >时，i ．当02x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，ii ．当2x a =时，()0f x '=，iii ．当2x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a +∞上单调递增；（2）要证()()0f x g x -…，所以只需证120a lnx x a++-…， 设1()2a h x lnx x a =++-，则221()a x a h x x x x-'=-=， 当(0,)x a ∈时，()0h x '<；当x a =时，()0h x '=；当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在x a =时取得极小值，即为最小值()()11min h x h a lna a==+-，令()11m a lna a =+-，则()22111a m a a a a-'=-=， 当(0,1)a ∈时，()0m a '<；当1a =时，()0m a '=；当(1,)∈+∞a 时，()0m a '>，()m a ∴在1a =时取得极小值，即最小值为()10m =，∴当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l的最大距离为l 的直角坐标方程.【答案】（1）221169x y +=；（2）50x y -+=或50x y --=. 【解析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）得cos ,4sin .3xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=.（2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=. 设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==（其中3tan 4ϕ=）.①当5a ->0时，max d ==10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题． 23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集；（2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,0)-∞；（2）(,2][4,)-∞-⋃+∞.【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后根据()1f x <-，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3max f x =，然后根据()|1|f x a -„的解集为实数集R ，可得()|1|max f x a -„，再解关于a 的不等式即可．【详解】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…()1f x <-Q ，1x ∴<-或12211x x -<<⎧⎨-<-⎩，1x ∴<-或10x -<„，0x ∴<，所以不等式的解集为(,0)-∞. （2）由（1）可得()3max f x =若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -…. 解得2a -„或4a …， 所以实数a 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。

2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|20}B x x x =--=，则A B =I （ ） A ．{1,2}-B ．{2,1}-C ．{1,2}D ．∅2．设i 为虚数单位，3i21iz =+-，则||z =（ ） A ．1B ．10C ．2D ．1023．若129()4a =，83log 3b =，132()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，12(3,)n n n a a a n n --=+≥∈*N ．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论错误的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅B ．12321n n a a a a a +++++=-L此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．1352121n n a a a a a-++++=-L D ．1214()πn n n n c c a a --+-=⋅5．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．数列{}n a ，{}n b 为等差数列，前n 项和分别为n S ，n T ，若322n n S n T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117D ．1167．已知π,(,π)2αβ∈，13sin 13α=，513cos()26αβ+=，则β=（ ）A ．2π3B ．5π6C ．3π4D ．11π128．如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的最大面的面积为（ ）A ．23B ．22C 6D ．29．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:4:1，若用分层抽样的方法抽取容量为250的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ） A ．25B ．35C ．75D ．10010．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知24a b +=，sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，则ABC △的面积取得最小值时有2c =（ ） A ．552+B ．553+C ．2553D ．455311．已知双曲线22:13y C x -=，过点(0,4)P 的直线l 交双曲线C 于M ，N 两点，交x 轴于点Q (点Q 与双曲线C 的顶点不重合)，当1212(,0)PQ QM QN λλλλ==≠u u u r u u u u r u u u r ，且12327λλ+=-时，点Q 的坐标为（ ）A ．4(,0)3±B ．4(,0)3C ．2(,0)3±D ．2(,0)312．已知函数21()21x x f x -=+，当(0,π)x ∈时，不等式(sin 1)(cos )0f x x f x a -+-≤恒成立，则整数a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知变量x ，y 满足约束条件20111x y x y +-≤⎧⎪-<≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是__________．14．已知向量a ，b 的夹角为5π6，且||3=a ，||2=b ，则()(2)+⋅-=a b a b _________．15．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为__________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2n n S a λ=-，其中λ为常数，若13n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{2}n a 是等比数列，且13a =，37a =．（1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式； （2）求数列1{}(1)(1)n n a a -+的前n 项和n S ．18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E 、F 分别是11A C 、BC 的中点． （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1C F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积．19．（12分）某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩(单位：分)分组如下：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高中生中抽取6名组成一个小组，若再从这6人中随机选出2人担任小组负责人，求这2人来自第3，4组各1人的概率．20．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆2212y x +=的下焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆相交于A ，B 两点．（1）以AB 为直径的圆与2x =（2）在y 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅u u u r u u u r为定值，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()(ln )f x x x a b =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为210x y --=．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的(1,)x ∈+∞，()(1)f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线12cos :3x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:(cos sin )37C ρθθ-=． （1）写出曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求||MN 的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|||f x x a x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()4|2|f x x ≥-+的解集； （2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t ，若33t b +=，求12a b+的最小值．2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷文科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】2{|20}{1,2}B x x x =--==-，∴{1,2}A B =-I ． 2．【答案】D 【解析】3i 3i (1i)3i 313222i 1i (1i)(1i)222z ⋅+-=+=+=+=+--+， ∴221310||()()22z =+=．3．【答案】D 【解析】9342a ==，33322223log 3log 3log 212b a ==>==>，132()13c =<， 故c a b <<． 4．【答案】C【解析】对于A ，由图可知，223S a a =，334S a a =，445S a a =L ，可得21121111()n n n n n n n n n S a a a a a a a a +++++++==+=+，A 正确；对于B ，1232111n n n n a a a a a a a ++++++=-=+-L123111n n a a a a a -+⇔++++=-L 12321n n a a a a a -⇔++++=-L123311311121n n a a a a a a a --⇔++++=-⇔⇔=-⇔=-L L ，所以B 正确；对于C ，1n =时，121a a ≠-，C 错误；对于D ，22111121ππ4()4()π()()π44n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a -----+-=-=+-=⋅，D 正确． 故选C ．5．【答案】B【解析】1sin 1x x e y x e +=⋅-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1sin 1x x e y x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101x x e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01x x e f x x e +=⋅>-．6．【答案】A【解析】依题意，1137131137131341226132a a a S b b b T +⋅===+⋅． 7．【答案】B【解析】由于π,(,π)2αβ∈，∴(π,2π)αβ+∈，∴339sin()26αβ-+=，2239cos 1sin 13αα=--=-， ∴cos cos()cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+⋅++⋅513239329131013331333()(2613261326132-⨯⨯=-+-⨯==-⨯， ∴5π6β=． 8．【答案】B【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -， 故1AC =，2PA =，5BC PC ==22AB =23PB =∴12112ABC PACS S ==⨯⨯=△△，1222222PAB S =⨯⨯=△123262PBC S =⨯=△， ∴该多面体的最大面的面积为22B ．9．【答案】A【解析】因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:4:1， 所以丙层所占的比例为10.1541=++，所以应从丙层中抽取的个体数为0.125025⨯=，故本题选A ． 10．【答案】D【解析】由已知有sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=， 根据正弦定理得2246sin a b ab C +=， 又1sin 2S ab C =，即22412a b S +=， 由于24a b +=，即有2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，即有41612ab S =-， 由于2242()82a b ab +≤=，即16128S -≤，解得23s ≥， 当且仅当22a b ==时取等号， 当2a =，1b =，S 取最小值23， 又2sin 3C =(C 为锐角)，则5cos 3C =，则22242cos 553c a b ab C =+-= 11．【答案】A【解析】由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零，设l 的方程为4y kx =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则4(,0)Q k-．又1PQ QM λ=u u u r u u u u r ，∴11144(,4)(,)x y k kλ--=+，故111144()4x k k y λλ⎧-=+⎪⎨⎪-=⎩，得1111444x k k y λλ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∵11(,)M x y 在双曲线C 上，∴21221111616()103k λλλ+--=， 整理得22211161632(16)03k k λλ++--=，同理得22222161632(16)03k k λλ++--=． 若2160k -=，则直线l 过双曲线C 的顶点，不合题意，∴2160k -≠，∴1λ，2λ是方程222161632(16)03x k x k ++--=的两根， ∴1223232716k λλ+==--，∴29k =，此时0Δ>，∴3k =±，点Q 的坐标为4(,0)3±． 12．【答案】A【解析】由题意知函数21()21x x f x -=+为奇函数，增函数，不等式(sin 1)(cos )0f x x f x a -+-≤恒成立， 等价于(sin 1)(cos )f x x f x a -≤--，得(sin 1)(cos )f x x f x a -≤-+，即sin cos 1x x x a +≤+， 令()sin cos g x x x x =+，()cos g x x x '=，当π(0,)2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当π(,π)2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，故当π2x =时，()g x 取极大值也是最大值，最大值为ππ()22g =，所以π12a +≥，得π12a ≥-．又a ∈Z ，则min 1a =．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】(5,3]-【解析】由图可知A B z z z <≤．∵2(1)35A z =⨯--=-，21(1)3B z =⨯--=，∴z 的取值范围为(5,3]-．14．【答案】2-【解析】依题有225()(2)||||||cos π2||6+⋅-=-⋅-a b a b a a b b3323()242=--⨯=-． 15．【答案】4π【解析】由题意1CB CD ==，2BD =BC CD ⊥，又因为AB ⊥底面BCD ，所以AB CD ⊥，即CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥． 取AD 的中点O ，则OC OA OB OD ===， 故点O 为四面体A BCD -外接球的球心， 因为2AB BD ==112r AD ==，故外接球的表面积24π4πS r ==． 16．【答案】1412-【解析】∵12a =，2n n S a λ=-，∴1112S a a λ==-，222λ=-，2λ=，22n n S a =-①，2n ≥时，1122n n S a --=-②，②-①化为12(2)n n a a n -=≥，所以{}n a 是公比为2的等比数列，∴1222n nn a -=⨯=，1(13)()2n n b n =-⨯，由11n n n n b b b b +-≤⎧⎨≤⎩，可得1111(13)()(12)()2211(13)()(14)()22n n n n n n n n +-⎧-⨯≤-⨯⎪⎪⎨⎪-⨯≤-⨯⎪⎩，解得2(13)121415(13)2(14)n nn n n -≤-⎧⇒≤≤⎨-≤-⎩，即{}n b 中的项的最小值为14151412b b ==-．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）证明见解析，21n a n =+；（2）4(1)nn +．【解析】（1）因为数列{2}n a 是等比数列，设公比为q ，所以当2n ≥时，112202nn n n a a a a q ---==>，所以当2n ≥时，12log n n a a q --=为常数，因此数列{}n a 是等差数列， 设数列{}n a 的公差为d ，由13a =，37a =，得3173222a a d --===， 所以3(1)221n a n n =+-⨯=+，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =+．（2）111111()(1)(1)2(22)4(1)41n n a a n n n n n n ===--++++， 所以1111111111[(1)()()()](1)4223341414(1)n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++L ．18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）33． 【解析】（1）∵三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，∴1BB AB ⊥． ∵AB BC ⊥，1BB BC B =I ，1,BB BC ⊂平面11B BCC ， ∴AB ⊥平面11B BCC ．∵AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC ． （2）取AB 的中点G ，连接EG ，FG ．∵F 是BC 的中点，∴FG AC ∥，12FG AC =． ∵E 是11A C 的中点，∴1FG EC ∥，1FG EC =， ∴四边形1FGEC 是平行四边形，∴1C F EG ∥．∵1C F ⊄平面ABE ，EG ⊂平面ABE ，∴1C F ∥平面ABE ． （3）∵12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，∴3AB =11113(31)2332E ABC ABC V S AA -=⋅=⨯=△19．【答案】（1）成绩的平均值为87.25；（2）25． 【解析】（1）因为(0.010.070.060.02)51x ++++⨯=，所以0.04x =， 所以成绩的平均值为75808580859090950.050.350.300.202222++++⨯+⨯+⨯+⨯ 951000.1087.252++⨯=． （2）第3组学生人数为0.0654012⨯⨯=，第4组学生人数为0.04540⨯⨯，第5组学生人数为0.025404⨯⨯=，所以抽取的6人中第3，4，5组的人数分别为3，2，1．第3组的3人分别记为1A ，2A ，3A ，第4组的2人分别记为1B ，2B ，第5组的1人记为C ，则从中选出2人的基本事件为共15个，记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3，4组各1人”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，共6个， 所以62()155P M ==．20．【答案】（1）324；（2）存在定点，5(0,)4P -．【解析】由题意可设直线l 的方程为1y kx =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得22(2)210k x kx +--=， 则224480Δk k =++>恒成立，12222k x x k +=+，12212x x k -=+， 121224()22y y k x x k -+=+-=+，21212222(1)(1)2k y y kx kx k -=--=+．（1）222222241||1()2222k k AB k k k k +=++=+++， 线段AB 的中点的横坐标为22kk +， ∵以AB 为直径的圆与2x =222(1)22k kk +=-+，解得2k = 此时1232||2222AB +==+，∴圆的半径为324． （2）设0(0,)P y ，212102012120120()()()PA PB x x y y y y x x y y y y y y ⋅=+--=+-++u u u r u u u r222220000022224(2)2411222222y y k y y k y k k k k -+++--=+++=++++， 由22000224112y y y -++=，得054y =-，716PA PB ⋅=-u u u r u u u r ，∴y 轴上存在定点5(0,)4P -，使得PA PB ⋅u u u r u u u r 为定值．21．【答案】（1）1a =，0b =；（2）3．【解析】（1）由()(ln )f x x x a b =++，得()ln 1f x x a '=++． 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为210x y --=， 所以(1)12f a '=+=，(1)1f a b =+=，解得1a =，0b =．（2）由（1）知()(ln 1)f x x x =+，则(1,)x ∈+∞时，()(1)f x m x ≥-恒成立，等价于(1,)x ∈+∞时，(ln 1)1x x m x +≤-恒成立．令(ln 1)()1x x g x x +=-，1x >，则2ln 2()(1)x x g x x --'=-． 令()ln 2h x x x =--，则11()1x h x x x-'=-=， 所以1x >，()0h x '>，()h x 单调递增． 因为(3)1ln30h =-<，(4)22ln 20h =->， 所以存在0(3,4)x ∈，使0()0h x =．且0(1,)x x ∈时，()0g x '<；0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>， 所以00min 00(ln 1)()()1x x g x g x x +==-，因为00ln 20x x --=，所以00ln 2x x =-， 所以00min 000(21)()()(3,4)1x x g x g x x x -+===∈-，所以0(3,4)m x ≤∈，即正整数m 的最大值为3．22．【答案】（1）221:143x y C +=，2:370C x y --=；（2）min ||14MN =．【解析】（1）221:143x y C +=，2:370C x y --=． （2）设(2cos 3)M θθ，结合图形可知：||MN 最小值即为点M 到直线2C 的距离的最小值， ∵M 到直线2C 的距离|2cos 3sin 37||7cos()37|22d θθθϕ--+-==，∴当cos()1θϕ+=时，d 最小，即min ||14MN =．23．【答案】（1）7(,][1,)3-∞--+∞U ；（2）322+．【解析】（1）当1a =时，()|2||1|f x x x =++-，原不等式可化为2|2||1|4x x ++-≥①，当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-，此时73x ≤-；当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得13x ≥，此时1x ≥， 综上，原不等式的解集为7(,][1,)3-∞--+∞U ．（2）由题意得()|2||||(2)()|3f x x a x a x a x a a =++-≥+--=， ∵()f x 的最小值为t ，∴3t a =，由333a b +=，得1a b +=， ∴121222()()33322b a b a a b a b a b a b a b+=+⋅+=++≥+⋅=+ 当且仅当2b a a b =，即21a =，22b =-12a b+的最小值为322+．。