第五节合情推理与演绎推理[备考方向要明了]式，并能运用[归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．2．演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．[自测·牛刀小试]1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：选C ①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选A 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×502＋5，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①②不正确，③正确．4．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．5．(教材习题改编)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想，在n 边形A 1A 2…A n 中，成立的不等式为________．解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n 边形A 1A 2…A n中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π成立．答案：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[自主解答] (1)记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f (0)＋f (1)＝33，f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 猜想f (x )＋f (1－x )＝33， 证明：∵f (x )＝13x＋3， ∴f (1－x )＝131－x ＋3＝3x3＋3·3x ＝3x33＋3x.∴f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋3x33＋3x＝3＋3x 33＋3x＝13＝33.[答案] (1)C利用本例(2)的结论计算f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)的值．解：∵f(x)＋f(1－x)＝33，∴f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)＝[f(－2 014)＋f(2 015)]＋[f(－2 013)＋f(2 014)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2 015×33＝2 015 33.———————————————————归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝14n2(n＋1)2.答案：14n2(n＋1)2[例2] (2013·广州模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.[自主解答] 法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －an －m. 所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －amn －m. 类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m qn －m可知d ＝cq n －m，所以q ＝n －m dc，所以b m ＋n ＝b m q n＝c ·n －m⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n ＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ， 因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1qn －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m，所以b m＋n ＝n －m d nc m. [答案] n －m d nc m———————————————————类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．————————————————————————————————————————2．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D . 求证：1AD＝1AB＋1AC .那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 证明：如图所示，∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴△ABD ∽△CAD ，△ABC ∽△DBA ， ∴AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.下面证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.同理可得在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.故猜想正确．理[例3] 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) 的值．[自主解答] (1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知得y ＝－a a x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)由(1)可知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.则f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3. ———————————————————演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3．已知函数f (x )＝ax＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤ab 时，∵a >0，b >0， ∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b，ax 1x 2>b ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数； 当x 2>x 1≥a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数． 法二：∵a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)， ∴令f ′(x )＝－a x 2＋b ＝0，得x ＝ a b， 当0＜x ≤a b 时，－ax2≤－b ， ∴－ax2＋b ≤0，即f ′(x )≤0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数； 当x ≥ a b 时，－ax2＋b ≥0，即f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；③检验猜想．观察、比较→联想、类推→猜想新结论1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.创新交汇——合情推理与证明的交汇创新1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．[典例] (2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] 法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：(1)同法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. [名师点评] 1．本题的创新点(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式，但没有给出具体的值，需要学生求出这个常数，这打破以往给出具体关系式的模式．(2)本题没有给出具体的三角恒等式，需要考生归纳并给出证明，打破了以往只归纳不证明的方式．2．解决本题的关键(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来．(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明．[变式训练] 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2；(2)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C ，试判断△ABC 的形状．(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解：(1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.(2)由二倍角公式，cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C 可化为1－2sin 2A －1＋2sin 2B ＝1－1＋2sin 2C ，所以sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B .设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理可得a 2＋c 2＝b 2.根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 由于f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，由此可以推广为x ＋pxn ≥n ＋1，取值p 等于( )A ．n nB ．n 2C ．nD ．n ＋1解析：选A ∵x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n 的指数次方，即p ＝n n.3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝ab ”类比得到“a·c b·c ＝ab”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．4．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ， 即：V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得：R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：选B 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对，这样的前n 组一共有n n ＋12个整数对，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个． 解析：从左右对称入手考虑．(1)4位回文数第1、4位取1,2,3,4,5,6,7,8,9之一有C 19＝9种选法．第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90个，即4位回文数有90个．(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n ＋1(n ∈N *)位回文数有9×10n个．答案：90 9×10n9．(2013·包头模拟)如图，矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′夹在两条平行线l 1、l 2之间，且A ′B ′＝mAB ，则容易得到矩形ABCD 的面积S 1与矩形A ′B ′C ′D ′的面积S 2满足：S 2＝mS 1.由此类比，如图，夹在两条平行线l 1、l 2之间的两个平行封闭图形T 1、T 2，如果任意作一条与l 1平行的直线l ，l 分别与两个图形T 1、T 2的边界交于M 、N 、M ′、N ′，且M ′N ′＝mMN ，则T 1、T 2的面积S 1、S 2满足________．椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2是夹在直线y ＝a 和y ＝－a 之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为________．解析：如图，任取一条与x 轴平行的直线，设该直线与x 轴相距h ，则这条直线被椭圆截得的弦长l 1＝2b a 2－h2a，被圆截得的弦长l 2＝2a 2－h 2， 则l 1l 2＝ba ，即S 椭圆S 圆＝b a. 故S 椭圆＝b a·πa 2＝πab . 答案：S 2＝mS 1 πab三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 …4 4 8 12其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．11．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a －y 2b＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理：y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．12．观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．1.正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.1 0232 048a 2B.1 023768a 2C.5111 024a 2D.2 0474 096a 2解析：选A 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝⎝⎛⎭⎪⎫24a 2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12101－12＝1 0232 048a 2. 2．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.解析：观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350；(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－1 280×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＋1 120×⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，即n ＋4p ＝－200，(2)联立(1)(2)，得n ＝－400，p ＝50. 故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962. 答案：9623．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n (n ∈N *)的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1，…，22－12＝2×1＋1， 以上各式相加得(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n )＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n2＝n n ＋12.类比上述过程，可得12＋22＋32＋…＋n 2＝________(n ∈N *)．解析：由(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…，23－13＝3×12＋3×1＋1，以上各式相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，所以12＋22＋32＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16.答案：n n ＋12n ＋164.已知：在梯形ABCD 中，如图，AB ＝DC ＝DA ，AC 和BD 是梯形的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△ADC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提) ∴∠1＝∠2.(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，(小前提) ∴∠1＝∠3.(结论)∵等于同一个角的两个角相等，(大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD .(结论) 同理可证DB 平分∠CBA .。
