最新人教版数学初中七年级下册《 6.1平方根》公开课教学设计

《6.1 平方根》教学设计教材分析：教材所处的地位及作用由于实际中需要引入无理数,使数的范围从有理数扩充到实数范围,完成初中阶段数的扩展,运算方面扩展到开方运算,使代数运算得以完善,因此,本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础.本课时内容主要是算术平方根的概念和求法．算术平方根、平方根都是初中数学中的重要概念，但由于在实际问题中所求的答案往往是正数的情况，算术平方根较之平方根的适用性更强，所以教科书首先介绍算术平方根，在学习算术平方根的基础上再学习平方根．教学目标：【知识与技能目标】经历画图、观察、测量的探究过程，归纳平移的基本性质了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．【过程与方法目标】了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．【情感态度与价值观目标】了解算术平方根的性质．教学重难点:【教学重点】了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根．【教学难点】对算术平方根的概念和性质的理解．课前准备：多媒体：PPT课件、电子白板教学过程：第一课时一、回顾旧知1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,-51,-3,3,1,152.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,425,1144,-14,1.69二、自主探究探究点一：算术平方根的概念●活动一实例探究，得出概念.小欧学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm ？如果这块正方形画布的面积是362dm 、492dm ，它的边长又该取多少呢？ 边学习边完成下列表格:36已知“正方形面积求边长”的问题，实际上是“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题，通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念.如32=9，我们知道9是正数3的平方数，反过来，我们把正数3叫做9的算术平方根.算术平方根定义一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a a ”，a 叫做被开方数。

规定：0的算术平方根是0。

概念自测1、16的算术平方根是（）A.-4B.4C.D.2、下列说法正确的是（）A.-1的算术平方根是1B. 1的算术平方根是-1C.-1的算术平方根是-1D. 0的算术平方根是0探究点二：求一个非负数的算术平方根●活动一初步运用：因为2x a=，所以x=a（x）.例1：求下列各数的算术平方根.（1）100 （2）1（3）0.0001 （4） (5)4964(6) 196解析：（1）因为，所以100的算术平方根是10，即.（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即11=.（3）因为,所以的算术平方根是，即（4）因为==，所以的算术平方根是，即 .（5）因为，所以的算术平方根是，即 .（6）因为162=196，所以196的算术平方根是16，即16196= .方法总结：带分数记得要先化成假分数；初学者可以尝试用格式“因为… 所以… 即…”独立完成，熟练后直接写出答案.思考：观察比较上述各数的算术平方根的大小，由此你能得出什么结论？结论：被开方数大的数算术平方根也大.这个结论对所有非负数都成立..,0baba>>>则即：若练习 1、某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;• ()26-的算术平方根是__________， 4的算术平方根是81的算术平方根是2. 求下列各式的值: ①= ②= ③有意义吗? 分析:因为任何数的平方都是＿＿＿,即a2＿意义.●活动二灵活运用：例2：求下列各式的值:（1）（2）（3）（4）解析：（1）（2）（3）（4）=方法总结：此类型题目应注意：，需强调的是时对两种情况都成立。

探究点三：算术平方根的性质：双重非负性活动一辩证思维，探寻性质.思考：－4有算术平方根吗？-9，-36，-49呢？任意一个负数有算术平方根吗？负数不能写成某个数的平方，所以没有算术平方根.归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.即：只有非负数有算术平方根，如果x=a有意义，那么.这就是算术平方根的双重非负性.活动二巧用双重非负性例3：若0+b+a，求a、b的值.3)75(2=-解：因为,所以要使两者之和等于0，则. 又因为b-3≥0所以有即，方法总结：巧妙运用x=a有意义，则，可以解决综合性较强的题目.三、巩固练习1.求下列各式的值2.3x -4为25的算术平方根,求x 的值为 .3.已知9的算术平方根为a ，b 的绝对值为4,求a -b = .4.若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为 .5. 已知1)12(2-++b a =0，求-20042b a +的值。

四、课堂小结：第二课时一、知识回顾（1）算术平方根的定义一般地，如果一个正数x 的平方为a ，即2x a =，那么正数x 叫做a 的算术平方根.aa ”或“二次根号a ”，其中a 叫做被开方数.0的算术平方根是0.（2）算术平方根的双重非负性：只有非负数才有算术平方根，如果x=a 有意义，那么.这就是算术平方根的双重非负性.（3）49的算术平方根是 , 16的算术平方根是，0.09的算术平方根是 , ()24-的算术平方根 .二、探究点一：认识无限不循环小数 ●活动一动手操作，发现新知问题1：用两个面积为12dm 的小正方形拼成一个面积为22dm 的大正方算术平方根为非负数形，并表示出这个大正方形的边长.参照课本41页，把两个面积为12dm 小正方形沿对角线剪开，所得到的4个正方形拼在一起，就得到一个面积为22dm 的大正方形.小正方形对角线的长与大正方形的边长有什么关系？表示出它们的长度？解：很明显小正方形对角线的长即为大正方形的边长.设大正方形的边长为x dm ，则22=x .由算术平方根的意义可知，2=x ， 所以大正方形的边长是2dm .探究点二：用计算器求算术平方根 ●活动一算术平方根万能求法----计算器 例题：用计算器求下列各式的值.（1）3136; （2）2(精确到0001).（知识点:用计算器求算术平方根）用计算器计算下列各式的值，你能发现其中的规律吗？（1）（2）（3）（4）（5）（6）72900 注意观察小数点位数的变化.解析：可以发现：被开方数的小数点向右每移动2位,它的算术平方根的小数点就向右移动1位；被开方数的小数点向左每移动2位,它的算术平方根的小数点就向左移动1位.方法总结：这个规律可以用来帮我们估计一些算术平方根，如根据2估算200的值.0729.0729.029.77297290●活动一实际应用例1：小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它的长与宽之比为3：2，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？解析：设长方形纸片的长为x 32cm ，宽为x 22cm .根据边长与面积的关系可得：⋅x 33002=x ，62x 300=,502=x , 50=x .因此长方形纸片的长为5032cm .因为50﹥49，所以50﹥7.从而503﹥21即长方形纸片的长应该大于cm 21，而20400=,这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.答：小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.方法总结：此题解决的关键就是比较50与7的大小，用“两个正数比较大小，被开方数大越大，对应的算术平方根也越大”这个结论进行估算比较显得更得心应手，生活当中这种估算方法也经常用到.三、随堂检测（1）若≈0.3507，≈1.109；则___________； _________；__________；≈12300__________.（知识点:算术平方根的定义） 【解析】：9.110100109.11000023.1123001109.01.0109.101.023.10123.009.1110109.110023.112307.351003507.010000123.01230≈⨯≈⨯=≈⨯≈⨯=≈⨯≈⨯=≈⨯≈⨯=；；；（2）下列说法正确的是（）123.023.1≈1230≈123≈0123.0A. 36的算术平方根是6±B. 16的算术平方根是-2C. ()24-的算术平方根是4D. 294-⎪⎭⎫⎝⎛的算术平方根是32-（知识点:算术平方根的定义）【解析】：错误）（正确；错误；错误；D C B A ∴=∴=∴=9494-2166362（3）比较大小： ①19与4 ②225-与21 （知识点:算术平方根的应用） 【解析】：.-.==1442224202412＜＜四、课堂小结： 【知识梳理】（1）被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值.（2）利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值. （3）无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. （4）当被开方数的小数点向右移动2位时，算术平方根的小数点只向移动位；当被开方数的小数点向左移动2位时，算术平方根的小数点只向移动位.第三课时一、知识回顾（1）算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方为a ，即2x a =，那么正数x 叫做a 的算术平方根.（2）正数a a ”或“二次根号a ”，其中a 叫做被开方数，记作a x =.规定：0的算术平方根是0，记作.（3）算术平方根的双重非负性：只有非负数才有算术平方根，算术平方根是非负数.二、问题探究●活动一具体到抽象，探得概念通过上表，我们可以总结出：平方根的概念：一般的，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根,表示为：a x ±=（0≥a ）.如：932=，()93-2=，我们就说3和-3都是9的平方根，也可以说9的平方根是3±.422=，()422=-，±2叫做4的平方根.100102=，()100102=-，±10叫做100的平方根. 169132=,()169132=-，±13叫做169的平方根. ●活动二互逆运算，揭示本质求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 开平方和平方是一种互逆运算.ax=2−−−→←互逆运算a x ±=↓↓平方运算开平方运算 例1：求下列各数的平方根. （1）16 （2）169（3）0.25 解析：（1）∵()1642=±，（2）∵169432=⎪⎭⎫⎝⎛±，∴16的平方根是±4 , ∴169的平方根是±43,即±16= ±4. 即43169±=±.（3）∵()0.250.52=±，∴0.25的平方根是±0.5 , 即±0.25= ±0.5. 方法总结：根据开平方和平方互为逆运算的关系,可以求一个非负数的平方根.●活动一总结性质，辨识两根通过我们前面的学习，我们可以作如下总结：正数的平方根：一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根.0的平方根：0只有一个平方根，它是0本身.负数没有平方根.所以有：正数a 的算术平方根用“a ”表示，正数a 的负的平方根用“a -”表示;正数的平方根记为a ±，读作“正、负根号a ”.例2：求下列各式的值.（1）36（2）-0.81（3）949± 解析：（1）因为3662=，所以636=.（2）因为0.810.92=，所以9.00.81-=-.（3）因为949372=⎪⎭⎫ ⎝⎛，所以37949±=±. 方法总结：在计算时一定要认清是求平方根还是算术平方根.综上，我们归纳一下平方根和算术平方根的联系与区别：联系:具有包含关系:平方根包含算术平方根,而算术平方根是平方根的一种.存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.0的平方根和算术平方根都是0.区别：定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根” ； “非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.个数不同：一个正数有2个平方根，而一个正数的算术平方根只有1个. 表示法不同：正数a 的平方根表示为a ±，正数的算术平方根表示为a . 所以如果已知一个数的其中一个平方根，那它的另一个平方根也能被很快写出.三、随堂检测（1）9的平方根是（）A ．3 B.-3 C.±3 D. ±3 【解析】：39±=±，所以选C（2）下列说法中不正确的是（） A.5-是5的平方根 B. 5是5的平方根C.5的平方根是5.D.5的算术平方根是5.【解析】：C 故选的算术平方根是的平方根，都是和，所以的平方根是.5555-555±（3）若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是______.【解析】：0；0的平方根等于它的算术平方根.（4）的平方根是_________.（知识点:平方根的定义，算术平方根的定义）【解析】：216±=±（5）若一个正数的平方根是12+x 和4-x ，则x 是______.【解析：1x x -41x 2=∴=+∴相反数正数的两个平方根互为四、课堂小结（1）平方根的概念：一般的，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根,表示为：a x ±=.16（2）开平方运算和平方运算互为逆运算，常用开平方来求一个数的平方根.（3）平方根的性质:一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根. 0的平方根：0只有一个平方根，它是0本身.负数没有平方根.如果给出其中的一个平方根，另一个平方根即可知.（4）平方根的表示方法：a ±（0≥a ）（不能丢符号）教学反思：略。