2014秋华师大版数学八上13.5《逆命题与逆定理》word导学案

八年级数学上册第13章全等三角形13.5 逆命题与逆定理13.5.2 线段垂直平分线导学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第13章全等三角形13.5 逆命题与逆定理13.5.2 线段垂直平分线导学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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13.5.2 线段垂直平分线【学习目标】1、初步掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理。

2、会运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。

【学习重难点】1、掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理.2、线段的垂直平分线的定理及其逆定理的应用。

【学习过程】 一、课前准备1、线段垂直平分线的定义： 2尺规作已知线段AB 的垂直平分线MN ：二、学习新知自主学习：在MN 上任取一点P ，连结PA 、PB ；量一量：PA 、PB 的长，你能发现什么？由此你能得出什么规律？命题：线段垂直平分线上的点到 。

已知，如图直线MN ⊥AB,垂足是C ，且AC=CB 。

点P 在MN 上求证：PA=PBBA线段垂直平分线性质定理：逆命题：已知，如图PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上1、逆定理：实例分析：例1、已知,如图PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上【随堂练习】1．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________．2．到线段两端距离相等的点在这条线段的_________．3．已知线段AB外两点P、Q,且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________．4．底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上．5．如图，直线l上一点Q满足QA=QB,则Q点是直线l与_________的交点．【中考连线】已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO ⊥B C．【参考答案】随堂练习1。

《逆命题和逆定理》导学案一、学习目标1、理解逆命题和逆定理的概念。

2、能够正确写出一个命题的逆命题，并判断其真假。

3、理解原命题成立时，其逆命题不一定成立。

4、会运用逆定理解决一些简单的数学问题。

二、学习重点1、逆命题和逆定理的概念。

2、能写出一个命题的逆命题，并判断真假。

三、学习难点1、理解原命题与逆命题之间的关系。

2、运用逆定理解决实际问题。

四、知识回顾1、命题的概念：判断一件事情的语句叫做命题。

2、命题的结构：命题由题设和结论两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

3、命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

五、新课导入在数学中，我们常常会遇到一些相互关联的命题。

比如，“对顶角相等”这个命题，它的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”。

那么，如果把这个命题的条件和结论互换，会得到一个什么样的命题呢？这就是我们今天要学习的逆命题和逆定理。

六、探究新知1、逆命题的概念定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

例如，命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，它的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”。

2、写出一个命题的逆命题例 1：写出下列命题的逆命题。

（1）同位角相等，两直线平行。

逆命题：两直线平行，同位角相等。

（2）如果 a ＝ b ，那么 a²＝ b²。

逆命题：如果 a²＝ b²，那么 a ＝ b 。

（3）直角三角形的两个锐角互余。

逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。

注意：在写一个命题的逆命题时，要先分清原命题的条件和结论，然后将条件和结论互换位置即可。

3、逆命题的真假原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为假，它的逆命题不一定为假。

13．5 逆命题与逆定理13．5.1 互逆命题与互逆定理1．理解逆命题的概念,并会判断一个命题、逆命题的真假．2．理解逆定理与互逆定理的概念．重点逆命题与逆定理的概念．难点判断逆命题的真假．一、创设情境观察下列两个命题：(1)“两直线平行,内错角相等”；(2)“内错角相等,两直线平行”．你能分别说出它们的条件与结论吗？两者的条件与结论位置上有什么关系？从而导入新课．二、探究新知(一)命题与互逆命题教师讲解：例如“两直线平行,内错角相等”这个命题,条件为“如果两条平行线被第三条直线所截”,结论为“那么内错角相等”．如果把这个命题的条件和结论互换一下位置,新句子也是一个命题,这时条件变为“如果两条直线被第三条直线所截,内错角相等”,结论变为“那么这两条直线平行”．这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题,前一个命题也是后一个命题的逆命题．这两个命题互为逆命题．一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的逆命题．(二)定理与互逆定理教师讲解：每一个命题都要有逆命题,只要将原命题的条件改成结论,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命题,但是原命题正确,它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”,此命题就是假命题．如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等”和它的逆命题“内错角相等,两直线平行”都是真命题,所以它们都是定理,因此它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理．三、练习巩固1．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．对顶角相等B．若a＝b,则|a|＝|b|C．两直线平行,同位角相等D．全等三角形的对应角相等2．命题“若a＞b,则a2＞b2”的逆命题是________________________．3．写出命题“三角形两边之和大于第三边”的逆命题是________________________,并判断真假,是________命题．(填“真”或“假”)4．写出下列命题的逆命题：①在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；②等腰三角形的两底角相等．5．下列定理是否都有逆定理？若有,请写出来．①如果两个角都是直角,那么这两个角相等；②内错角相等,两直线平行；③等边三角形的三个内角等于60°.四、小结与作业小结如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题．如果一个定理的逆命题是真命题,那么这两个命题互为逆定理．作业教材第98页习题13.5第1题．这节课内容较少,学生搞懂互逆命题、互逆定理的概念是教学的关键,判断逆命题的真假是本节的难点,应在教学中让学生多构造互逆命题,并判断其真假,让他们自己去感知命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系．。

13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理(第1课时)一、基本目标1．理解逆命题与逆定理的意义，会写出一个命题的逆命题．2．会判断定理的逆命题的真假．二、重难点目标【教学重点】会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假．【教学难点】写出一个命题的逆命题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、互逆命题1．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等．2．命题“内错角相等，两直线平行”的条件是内错角相等，结论是两直线平行．3．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．二、互逆定理1．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是内错角相等，两直线平行．2．“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．3．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？怎样举反例？【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．是真命题．(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．是真命题．(3)逆命题：内错角相等．是假命题．反例：如图，∠1与∠2是内错角，但不相等．(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°.是真命题．【互动总结】(学生总结，老师点评)说明命题为假命题的反例即为符合该命题条件而不符合该命题结论的例子，如(3)小题中的例子．活动2巩固练习(学生独学)1．下列命题的逆命题是真命题的是(C)A．全等三角形的周长相等B．对顶角相等C．等边三角形的三个角都是60°D．全等三角形的对应角相等2．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形全等．3．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．解：逆命题：直角三角形的两锐角互余．已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2线段垂直平分线(第2课时)一、基本目标1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】线段垂直平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？解：AA′、BB′、CC′与直线MN垂直平分．2．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB5．三角形的三条垂直平分线交于一点．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D.若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)已知AB、AC的长和△DBC的周长，要求BC的长，先求什么？再求什么？【解答】∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，∴BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 (cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .证明如下： ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段的垂直平分线可以用定义法，也可用线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．三角形中，到三个顶点距离相等的点是( D ) A ．三条高线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三边垂直平分线的交点2．如图，△ABC 的两边AC 和BC 的垂直平分线分别交AB 于D 、E 两点，若AB 边的长为10 cm ，则△CDE 的周长为( A )A ．10 cmB ．20 cmC．5 cm D．不能确定3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段P A＝5，则线段PB的长度为(B)A．6 B．5C．4 D．34．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE ≌△FCE，从而证得结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．【证明】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是线段垂直平分线与全等三角形的综合应用，证得△ADE≌△FCE是解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！3角平分线(第3课时)一、基本目标1．掌握角平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角平分线上的点到角两边的距离相等．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．3．三角形的三条角平分线交于一点，这个交点一定在三角形内部，它到三角形三边距离相等．4．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC ＝3 cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据“角平分线上的点到角两边距离相等”可得DE ＝CE ，从而可知AE 、AC 、DE 之间的数量关系．【解答】AE ＋DE ＝AC ＝3 cm.理由如下： ∵∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝CE ，由图可知，AC ＝AE ＋CE ， 所以AC ＝AE ＋DE ＝3 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，熟记性质是解题的关键．【例2】如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG .求证：OC 是∠AOB 的平分线．【互动探索】(引发学生思考)要证OC 是∠AOB 的平分线，需证PD ＝PE ，而通过证Rt △PFD ≌Rt △PGE 即可得PD ＝PE .【证明】∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDF ＝∠PEG ＝90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PG ，DF ＝EC ，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (H.L.)， ∴PD ＝PE .∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC是∠AOB的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)根据三角形全等得到PD＝PE，这样就把已知条件和角平分线的判定定理联系起来了．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝9，则点D到AB的距离是(D)A．10 B．9C．8 D．72．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处3．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB；(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．(1)证明：过点M作ME⊥AD于点E.∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME.∵M是BC的中点，∴BM＝MC＝ME.又∵∠B＝90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB.(2)解：AM ⊥DM .证明如下： ∵∠B ＝∠C ＝90°，∴AB ∥DC ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵AM 平分∠DAB ，DM 平分∠ADC ，∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠MDA ＝12∠ADC ， ∴∠MAD ＋∠MDA ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥DM .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。