2.4 等比数列第二课时一、教学目标 1．核心素养通过对等比数列第二课时的学习,提高逻辑推理和数学运算能力,逐渐形成举一反三的思维. 2．学习目标（1）类比等差数列性质,猜想等比数列性质. （2）能证明等比数列的性质.（3）能利用性质减少运算量,迅速解决等比数列相关问题. 3．学习重点掌握等比数列的性质及证明. 4．学习难点等比中项的确定与学会挖掘条件,利用等比数列性质解决问题. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材,思考等比数列相邻三项有怎样的关系关系?知道前后两项一定能确定中间项吗? 任务2由特殊到一般,通过特殊等比数列,思考若k ＋l ＝m ＋n (k,l,m,n ∈N *),则对应项会有怎样的关系? 任务3等比数列中,随机挑选出来的项还能构成等比数列吗?需要满足怎样的要求?请证明你的结论? 2.预习自测 一、选择题1.已知等比数列{}n a 中，11a =公比1,q ≠±且12345,m a a a a a a =则m =（ ） A.4B.5C.6D.7 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 ∵等比数列{}n a 中, 11a =,公比q ≠±1, 1236...m a a a a a =⋅⋅⋅,∴234515m l q q q q q q q -=⋅⋅⋅⋅=,∴m -1=15,解得m =16．故答案为:16．===342,27,3.2a a a 则等比数列中，（ ） A.9 B.-9 C.±9 D.0 答案:C.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力 根据已知条件求出等比数列的通项公式:()331-a 1-n n n 或-=,然后求得3a二、填空题1.已知等比数列前三项: 1,1,4,a a a -++则n a =________.答案:1)23(4-⋅n【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】解析：∵a -1,a +1,a +4为等比数列{}n a 的前三项,∴（a +1）2 =（a -1）（a +4）,,首项为4,（二）课堂设计 1．知识回顾 等差数列性质（1）若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a ,b 的等差中项,且A ＝2a b+.（2）若{}n a 为等差数列,且m ＋n ＝p ＋q ,则m n p q a a a a +=+(m,n,p,q ∈N *)． （3）若{}n a 是等差数列,公差为d ,则2,,,...k k m k m a a a ++ (k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. 2．问题探究问题探究一 猜想等比数列有怎样的性质？ ●活动一 回顾旧知,进行类比 等差数列的性质分为三点1.若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a ,b 的等差中项,且A ＝2a b+.. 2.若{}n a 为等差数列,且m ＋n ＝p ＋q ,则m n p q a a a a +=+ (m,n,p,q ∈N *)． 3.若{}n a 是等差数列,公差为d ,则2,,,...k k m k m a a a ++ (k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.●活动二 集思广益,大胆猜想 类比猜想等比数列性质亦分为三点1.如果a,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项．即:G 是a 与b 的等比中项⇔a,G ,b 成等比数列⇔G 2＝ab .2.若{}n a 为等比数列,且k ＋l ＝m ＋n (k,l,m,n ∈N *),则k l m n a a a a ⋅=⋅．3.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即2,,,...k k m k m a a a ++仍是等比数列,公比为m q ．问题探究二 等比数列性质的证明 ●活动一 温故知新,类比证明回忆等差数列性质的证明,均是利用等差数列的定义,同样不妨尝试利用等比数列的定义对等比数列性质进行证明 ●活动二 夯实基础,证明性质 1.由定义得Gba G =,即: 2G ab =. 2.若q p n m +=+,则q p q p n m n m a a q a q a a a ===-+-+2212213.同理,利用定义可证明2,,,...k k m k m a a a ++仍是等比数列,公比为m q ． 问题探究三 怎样利用等比数列的性质 重点、难点知识★▲ ●活动一 初步运用,形成思维.例1.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11＝16,则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案:B.【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 ●活动二 能力提升,完善思维.例2.已知{}n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +. 答案:5.【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】例3.已知等差数列{}n a 的第二项为8,前十项的和为185,从数列{}n a 中,依次取出第2项、第4项、第8项、……、第n 2项按原来的顺序排成一个新数列{}n b ,求数列{}n b 的通项公式. 答案:223+⨯=n n b .【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 3．课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳) 【知识梳理】1.如果a,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项．即:G 是a 与b 的等比中项⇔a,G ,b 成等比数列⇔G 2＝ab .2.若{}n a 为等比数列,且k ＋l ＝m ＋n (k,l,m,n ∈N *),则k l m n a a a a ⋅=⋅．3.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即2,,,...k k m k m a a a ++仍是等比数列,公比为m q ．【重难点突破】1.只有当b a ,同号,即0>ab 时,b a ,才有等比中项且有两个,它们互为相反数,若0≤ab ,b a ,没有等比中项.2.等比数列{}n a 中共所有证明都要结合定义,从而进行推理,论证.3.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ,则m n p q a a a a ⋅=⋅”,可以减少运算量,提高解题速度．4.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形．此外,解题时注意设而不求思想的运用． 随堂检测 一、选择题1.4与9的等比中项为（ ） A.6 B.-6 C.±6 D.36 答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质】假设等比数列{a n },134,9a a ==,求它们的等比中项即2a ,由题意可知221336a a a ==,故26a =±,即4与9的等比中项为±6.2.等比数列{a n }中,6a 和10a 是方程x 2+6x +2=0的两根,则8a =（ ） A.2± B.2± C.2- D.2 答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质,根与系数的关系】由方程可知68682,6a a a a ⋅=+=-,因为a a a 10628.=,所以8a =2-3.已知数列{}n b 是等比数列,9b 是1和3的等差中项,则216b b =（ ） A.16 B.8 C.2 D.4 答案:D.解析:【知识点:等比数列性质】更多由题意可知9b =2,所以221694b b b ==4.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且满足:194a a =,则数列{}2log n a 的前9项之和为______． 答案:9.解析:【知识点:等比数列的性质,对数运算性质】∵a n ＞0,且21951954,,2a a a a a a ⋅=∴==．∴()921222921292525log log ...log log ...log 9log 9a a a a a a a a +++====．故答案为:9．5.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,1237895,10a a a a a a ==,则456____________a a a =． 答案:25.解析:【知识点:等比数列的性质,等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 由等比数列的性质知, 123a a a , 456a a a , 789a a a 成等比数列,所以456a a a =25,故答案为25. （三）课后作业 基础型 自主突破 一、选择题1．已知-9,1a ,2a ,-1成等差数列,-9,1b ,2b ,3b ,-1成等比数列,则221()b a a -的值为（ ）A.8B.-8C.8±D.98±答案:B.解析：【知识点:等比数列的性质,等差数列的性质】设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q ,有−9+3d =−1,b 2=9,因为2b 是第三项,与第一项同号,所以d =,b 2= -3,∴()2218b a a -=-．2.已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d ≠,且2a 是1a 与4a 的等比中项,则d =（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案:B.解析：【知识点:等比数列的性质,等差数列通项公式】 由2a 是1a 与4a 的等比中项,得a 22=1a ∙4a ,即(1a +d )2=1a (1a +3d ), 又1a =1,∴（d +1）2=3d +1,又d ≠0,解得:d =1．故选:B ． 3.在等比数列{}n a 中,若119a =,43a =,则该数列前五项的积为（ ） A.3± B.3 C.1± D.1 答案:D.解析：【知识点:等比数列的性质】∵等比数列{a n }中,119a =,43a =,∴,∴q =3,∴该数列前五项的积12345a a a a a =q 1+2+3+4==1．故选D 4．已知等比数列{}n a 满足114a =,3544(1)a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1C.12D.18 答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】41)-,∴(1a )2×q 6=4(q 3−1), 二、填空题1.在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中,已知12128,2,1,2a a b b =-=-==,那么满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是_________.答案:{3,5}解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 ∵在等差数列{}n a 中, 1a =-8, 2a =-2,∴d =2a -1a = -2+8=6,∴a n = -8+（n -1）×6=6n -14,∵等比数列{n b 12n n -=,∵n n a b =,∴6n -14=2n -1,解得n =3或n =5,∴满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是{3,5}．2.设两个方程210x ax -+=、210x bx -+=的四个根组成以2为公比的等比数列,则ab =_______． 答案：见解析解析：【知识点:等比数列性质,根与系数关系】设210x ax -+=的根为12,x x ,由韦达定理可得12121x x a x x +=⎧⎨⋅=⎩；设210x bx -+=的根为34,x x ,可得34341x x bx x +=⎧⎨⋅=⎩12341,1x x x x ==,根据等比数列的性质,可设此数列为1342,,,x x x x 则有32128x x ==,又因为121x x =可得14x =,2x =,342x x ∴==124a x x ∴=+=,342b x x =+=27424ab ∴==能力型 师生共研 一、选择题1.已知等比数列{}n a 中,1990,,n a a a >为方程x 2－10x ＋16＝0的两根,则205080a a a ⋅⋅的值为（ ） A.32 B.64 C.256 D.±64 答案:D解析:【知识点:等比数列的性质】2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足546523,23a S a S =+=+,则此数列的公比为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案:B解析:【知识点:等比数列的性质】∵5a =2S 4+3, 6a =2S 5+3,即2S 4=5a -3,2S 5=6a -3 ∴2S 5-2S 4=6a -3-（5a -3）=6a -5a =25a ,即35a =6a ∴35a =5a q 解得q =3,故选B3.若a,b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,且,a b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q +的值等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 答案:D.解析:【知识点:等差数列与等比数列的综合；数学思想:推理论证能力,运算求解能力,应用意识】由题意可得:a +b =p ,ab =q ,∵p ＞0,q ＞0,可得a ＞0,b ＞0,当,a b ,-2适当排序后成等比数列时,-2必为等比中项,故ab =q =4,．当适当排序后成等差数列时,-2必不是等差中项,当a 是等差中项时,,解得a =1,b =4；当是等差中项时,=a -2,解得a =4,b =1,综上所述,a +b =p =5,所以p +q =9,选D ．4.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11n na a +<,若353520,64a a a a +==,则4S =（ ） A.64或120 B.256 C.120 D.64 答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质】1<,∴0＜q ＜1,∵353520,64a a a a +==,∴3a 和5a 为方程x 2-20x +64=0的两根,∵a n ＞0,0＜q ＜1,∴3a ＞5a ,∴3a =16,a ,∴1a =64,2a =32,3a =16,4a =8,∴S 4=1a +2a +3a +4a =64+32+16+8=120,故选:C 探究型 多维突破 一、填空题 1.如果数列a 1,21a a ,32a a ,…,1n n a a -,…是首项为1,公比为的等比数列,则5a 等于________． 答案：32.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】 由题意可得1nn a a-＝(1n -(n ≥2),所以21aa ＝－,32a a ＝(－)2,43aa＝(－)3,54a a＝(－)4,将上面的4个式子两边相乘得51aa ＝()43212+++-＝32,又11a =,所以5a ＝32.2.已知数列{}n a 的通项公式为n a n p =-+,数列{}n b 的通项公式为43n n b -=,设n n nn n n n a a b c b a b ≥⎧=⎨<⎩,在数列{}n c 中,4()n c c n N *>∈,则实数p 的取值范围是_______.答案：见解析解析：【知识点:等差数列与等比数列的综合；数学思想:推理论证能力,运算求解能力,应用意识】因为4n c c ≥,所以4c 是最小项,所以1,2,3,4n =时{}n c 递减,4,5,6,7...n =时{}n c 递增,而数列{}n a 是递减数列,数列{}n b 是递增数列,当44c a =时,有4454a b b a ≥⎧⎨>⎩,即71141441443,45346,5p p p a a a a a a -+≥⎧<<⎨>-+⎩==+=,当44c b =时,必有4434a b a b <⎧⎨>⎩,即43,4534p p p -+≥⎧<<⎨>-+⎩,所以实数的取值范围是47p <<． 自助餐 一、选择题1.在等比数列{}n a 中, 7114144146,5a a a a a a ==+=,则2010a a =（ ） A.23 B.32 C.2332或 D.3223--或答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】由等比数列的性质可知7114146a a a a ==,而4145a a +=,所以4a =2, 14a =3或4a =3,2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,333S a =,则公比q =（ ）A.12-B.12C.1或12-D.-1或12答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】 因为333S a =,所以a 1+a 2+a 3=2a 3,求得q =1或q =12-,选C 3.在正项等比数列{}n a 中,3a ,9a 是方程3x 2-11x +9=0的两个根,则6a =（ ）A.3B.611C.3D.3± 答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,根与系数关系】∵39,a a 是方程3x 2-11x +9=0的两个根,∴393a a =,又数列{}n a 是等比数列,则26393a a a ==,即6a =4.已知等比数列{}n a 的首项11a =公比2=q ,则2122211log log ...log a a a +++=（ ） A.50 B.35 C.55 D.46 答案:C.解析：【知识点:等比数列性质,对数运算性质】∵{}n a 是等比数列11a =,公比q =2∴()22510111612a a a a q ===,∴2122211log log ...log a a a +++=()11121211261,log ...log 55a a a a a ===,故选C. 5.已知公差不为零的等差数列{}n a 与公比为q 的等比数列{}n b 有相同的首项,同时满足1a ,4a ,3b 成等比,1b ,3a ,3b 成等差,则2q =( )A.14B.16C.19D.18 答案:C.解析：【知识点:等差数列性质,等比数列性质,等比数列的通项公式】 设数列的首项为a ,等差数列{}n a 的公差为d ,31324132a b b a a b =+⎧⎨=⋅⎩,将a ,d ,q 代入得2222(2)(1)(3)(2)a d a aq a d a aq⎧+=+⎨+=⋅⎩,化简得 2(3)(4)a d a a d +=+,解得9(0)2a d d =-≠,代入（1）式得219q =.6.已知下列命题①2b ac =,则,,a b c 成等比数列；②若{}n a 为等差数列,且常数0c >,则数列{}n a c 为等比数列； ③若{}n a 为等比数列,且常数0c >,则数列{}n a c 为等比数列； ④常数列既为等差数列,又是等比数列. 其中,真命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案:A.解析：【知识点:等差数列,等比数列】在①中,b 2=ac ,当b =c =0时,a ,b ,c 不成等比数列,故①错误；d c =,∴数列{}n a c 为等比数列,故②正确；1n n a a c +-=,不是常数,∴等比数列的性质得数列{}n a c 不为等比数列,故③错误； ④由0构成的常数列为等差数列,但不是是等比数列，故④错误. 7.对于数列{a n },若满足321121,,,,,n n a a a a a a a -是首项为1,公比为2的等比数列,则100a 等于（ ）A.1002B.299C.50502D.49502 答案:D.解析：【知识点:等比数列性质,等比数列通项公式】 根据题意:100a = 3100211299....,a a a a a a a 而321121,,,,,n n aa a a a a a-是首项为1,公比为2的等比数列 ∴1a =22112232--===n n n a a a a ，，∴29999100=a a ∴100a =9910023121....a a a a a a a =1×2×22×…×299=2（1+2+…+99）,而1+2+…+99=4950 ∴100a =24950 故答案为:D 二、填空题1.在等比数列{}n a 中,若39a =-,71a =-,则5a 的值为______． 答案:3-.解析：【知识点:等比数列性质】由等比数列的性质得: 37a a =a 25=9,∴5a = 3或5a =-3,若5a =3,则a 24=35a a = -27,4a 不存在．故答案为:-3．2.在数列{}n a 中,已知234,15a a ==,且数列{}n a n +是等比数列,则n a =______． 答案：见解析解析：【知识点:等比数列】数列{}n a n +中第二项为226a +=,第三项为3318a +=,所以公比为3,2116323,23.n n n n n a n a n ---∴+=⨯=⋅∴=⋅-.3.已知等比数列{}n a 中,432230a a a -+=,且164a =,公比1q ≠,通项公式n a =_____. 答案:72n n a -=.解析：【知识点:等比数列】,又由．因此a n ==64·=⎪⎭⎫⎝⎛211-n 27−n ； 三、解答题1.已知数列}{n a 满足)(121*+∈-=N n a a n n ,21=a .求证}1{-n a 为等比数列,并 求数列}{n a 的通项公式. 答案：见解析解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】由题可得)1(211-=-+n n a a ,又111=-a ,所以}1{-n a 是首项为1,公比为2的等比数列, 通项公式为121-=-n n a ,所以121+=-n n a . 2.ABC ∆中,a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边． （1）若,,a b c 成等差数列,求sin sin sin()A CA C ++的值；（2）若,,a b c 成等比数列,求角B 的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点:数列与三角函数的综合；数学思想:推理论证能力,运算求解能力,应用意识】（1）,,a b c 成等差数列2a c b ∴+=sin sin 2sin()A C a cA C b++∴==+.（2）,,a b c 成等比数列222222111cos 122222a cb ac b ac B ac ac +-+∴=∴==-≥-=B ∴范围是(0,]3π.。
