2012届高三数学一轮复习：数列练习题1

章末强化训练（五）（时间：120分钟 满分：150分）(详解为教师用书独有)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.等差数列{a n }中，a 5=15,则a 2+a 4+a 6+a 8的值为 （ ） A.30B.45 C.60D.120解析：a 2+a 4+a 6+a 8=4a 5=60. 答案：C2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且15S n =a n -1,则a 2等于 ( ) A.-54B. 54 C. 516D. 2516解析：15S n =a n -1,取n=1,得S 1=5a 1-5,即a 1=54.取n=2,得a 1+a 2=5a 2-5,54+a 2=5a 2-5,所以a 2=2516.答案：D3.等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为 ( ) A.2B.4 C.6D.8解析：S 4-(a 2+a 4)=60⇒a 1+a 3=60, 所以q=2413a a a a ++=3,a 1=6.答案：C4.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =2n-49,则S n 达到最小值时，n 的值为 ( ) A.12B.13 C.24D.25 解析：S n =()12n n a a +=(n-24)2-242,所以n=24,S n 达到最小值. 答案：C5.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =1+2+22+…+2n-1，则S n 的值为 ( )A.2n -1B.2n-1-1 C.2n-n-2D.2n+1-n-2解析：a n =1+2+22+…+2n-1=2n-1,所以S n =2n+1-n-2. 答案：D6.(2009·某某)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若63S S =3,则96SS = ( ) A.2B. 73C.83D.3 解析：由等比数列的性质:S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列，于是，由S 6＝3S 3，可推出S 9-S 6=4S 3,S 9=7S 3,所以96S S =73. 答案：B7.已知数列{a n }是等差数列，a 4=15,S 5=55,则过点P （3，a 3）,Q （4，a 4）的直线斜率为（ ）A. 4B.14 C.-4D.- 14解析：因为{a n }为等差数列，所以S 5=155()2a a +=5a 3=55,所以a 3=11,所以k PQ ＝4343a a --=a 4-a 3=15-11=4. 答案：A8.已知数列{a n }中，a 3=2,a 7=1,若11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则a 11= ( ) A.0B. 12C.23D.2答案：B9.某工厂去年的产值为P，计划在5年内每年比上一年产值增长10%,则从今年起5年内该工厂的总产值为 ( )A.11(1.15-1)PB.11(1.14-1)PC.10(1.15-1)PD.10(1.14-1)P解析：a1=1.1P,a2=1.12P,a n=1.1n P,S5＝51.1(1 1.1)1 1.1P--=11(1.15-1)P.答案：A10.已知{a n}是递增数列，对任意的n∈N*,都有a n=n2+λn恒成立，则λ的取值X围是 ( )A.(-72,+∞) B.(0,+∞)C.(-2,+∞)D.(-3,+∞)解析：数列{a n}是递增数列，且a n=n2+λn,则a n+1-a n=2n+1+λ>0在n≥1时恒成立，只需要λ>(-2n-1)max=-3,故λ>-3.答案：D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2=3,则a7= .解析：因为S5＝52(a1+a5)=5a3,所以a3=5⇒a3-a2=d=2,所以a7=a2+5d=13.答案：1312.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=n2+5n,则a n= . 解析：利用a n=S n-S n-1(n≥2)可求得a n.答案：2n+413.数列{a n}中，a n=11n n++,若前n项和S n=9,则项数n= .解析：a n=11n n++=1n n+-,得S n=1n+-1=9⇒n=99.答案：9914.设数列{a n}中，a1=2,a n+1=a n+(n+1)(n∈N*),则{a n}的通项a n= .解析：a n-a n-1=n,a n-1-a n-2=n-1,……a2-a1=2，15.将全体正整数排成一个如下的三角形数阵:123456789101112131415………………根据以上排列规律,数阵的第n(n≥3)行中从左到右的第3个数是.解析：由题意知该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，……，第n行有n个数，则第n-1行的最后一个数为（所以第n行的第3个数为.答案:三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）16.(13分)（1）已知等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a9=7,S20=155,求a11及S10.（2）已知等比数列{a n}各项为正数，S n是其前n项和，且a1+a5=34,a2·a4=64.求{a n}的公比q 及S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 9=a 1+8d=7, S 20=20a 1+190d=155，解得a 1=3,d=12, 所以a 11=3+10×12=8,S 10=10×3+12×10×9×12=1052.(2)因为数列{a n }是等比数列， 所以a 2·a 4=a 1·a 5=64. 又因为a 1+a 5=34,所以a 1=2,a 5=32或a 1＝32,a 5=2. 由a n >0,当a 1=2,a 5=32时，q=2,S n =2n,当a 1=32,a 5=2时,q=12,S n =412n +⎛⎫⎪⎝⎭.17.（13分）若数列{a n }的前n 项和可表示为S n =2n+a,则{a n }是否可能成为等比数列？若可能，求出a 值；若不可能，说明理由. 解：因{a n }的前n 项和S n =2n+a, 故S 1=2+a,a n =S n -S n-1(n ≥2), a n =2n+a-2n-1-a=2n-1(n ≥2).要使a 1适合n ≥2时的通项公式，则必有2+a=20, 则a=-1,此时a n =2n-1(n ∈N*),1122nn n n a a +-==2.故当a=-1时，数列{a n }成等比数列，首项为1,公比为2,a ≠-1时，数列{a n }不是等比数列. 18.(13分）已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项.（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ; (2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N*),且b 1=3,求数列{1nb }的前n 项和T n .(2)由b n+1-b n =a n ,所以b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N*).当n ≥2时， b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1 =(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2).对b 1=3也适合，所以b n =n(n+2)(n ∈N*).19.(13分）已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且n,a n ,S n (n ∈N*)成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式； （2）求S n >57时n 的取值X 围. 解：（1）因为n,a n ,S n 成等差数列， 所以S n =2a n -n,S n-1=2a n-1-(n-1)(n ≥2), 所以a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1-1(n ≥2),所以a n =2a n-1+1(n ≥2).两边加1得a n+1=2(a n-1+1)(n ≥2), 所以111n n a a -++=2(n ≥2).又由S n =2a n -n 得a 1=1.所以数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a n +1=2·2n-1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. （2）由（1）知，S n =2a n -n=2n+1-2-n, 所以S n+1-S n =2n+2-2-(n+1)-(2n+1-2-n)=2n+1-1>0,所以S n+1>S n ,故{S n }为递增数列. 由题设，S n >57,即2n+1-n>59. 又当n=5时，26-5=59,所以n>5.所以当S n >57时,n 的取值X 围为n ≥6(n ∈N*).20.(14分）某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+12n )万元（n 为正整数）． （1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（需扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 解：（1）依题设， A n =(500-20)+(500-40)+…+(500-20n) =490n-10n 2;因为函数y=x(x+1)-502x -10在（0，+∞）上为增函数， 当1≤n ≤3时,n(n+1)-502n -10≤12-508-10<0;当n ≥4时，n(n+1)-502n -10≥20-5016-10>0.所以当n ≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 21.(2011届·某某质检)(14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点,n S n n⎛⎫⎪⎝⎭在直线11122y x =+上.数列{b n }满足b n+2-2b n+1+b n =0（n ∈N *),且b 3=11,前9项和为153. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设=3(2a n -11)(2b n -1),数列{}的前n 项和为T n ,求使不等式T n >57k 对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值. 【解】（1）由已知得：n S n 11122n =+，所以S n =211122n n +. 当n ≥2时， a n =S n -S n-1=22111111(1)(1)2222n n n n +--+-=n+5, 当n=1时，a 1=S 1=6也符合上式. 所以a n =n+5(n ∈N *).由b n+2-2b n+1+b n =0(n ∈N *)知{b n }是等差数列. 由{b n }的前9项和为153，可得：199()1532b b +=， 求得b 5=17,又b 3=11,所以{b n }的公差5332b b d -==,首项b 1=5,所以b n =3n+2. (2)3111,(21)(63)22121nc n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111111.23352121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭因为n 增大，T n 增大，所以{T n }是递增数列， 所以T n ≥T 1=13. T n >57k 对一切n ∈N *都成立，只要T 1=13>57k , 所以k<19,则k max =18. 即使不等式T n >57k 对一切n ∈N *都成立的最大正整数为18.。

高三数学单元练习题：函数与数列（Ⅲ）一.填充题: (本题共10个小题,每题4分,共40分)1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 。

2、函数2()f x 的定义域为 。

3、设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为 。

4、函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是 。

5、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 。

6、已知函数()2(0,)a f x x x a R x=+≠∈在区间[)2,+∞是增函数,则实数a 的取值范围为 。

7、函数221(1)1x x y x x -+=>-的值域是 。

8、若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是 。

9、若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，则a b += 。

10、已知x x x f cos sin )(1+=，记'21()()f x f x =,'32()()f x f x =,…,)()('1x f x f n n -=)2*,(≥∈n N n ,则122009()()()444f f f πππ+++= 。

二.附加题: (本题共2个小题,满分10分,不计入总分)11、在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 。

24
2n
(4)将数列变为 3 5, 7, 9 , ,…,对于分子3,5,7,9,…,是相应项数的2倍加1,
2 5 10 17
可得分子的一个通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列
1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的一个通项公式为cn=n2+1,∴原数列的
一个通项公式为an= 2n .1
(5)若已知数列{an}的递推公式为an+1= 2a1n,且1 a2=1,则可以写出数列{an}
的任何一项. (×)
1.已知n∈N*,给出4个表达式:①an=
0, n为奇数, 1, n为偶数,
②an= 1 (21)n
,③an=
1 cos n ,④an= sin n .其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的
n2 1
方法指导 (1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住 以下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法, 它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠 的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1) (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1来调整,原数列各项的绝对值的 排列规律为:后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6,故原数列 的一个通项公式为an=(-1)n·(6n-5).
(2)将数列变形为 8 ×(1-0.1)8, ×(1-0.018), ×(1-0.001),……,故原数列的一
9
9
9
个通项公式为an= 89 1 1.01n

＝3＋2× －(2n＋1)3n
＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.
∴Tn＝n·3n.
③．在等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ，
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 。
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ,由 得： ，所以 ，即 ，所以 。
（Ⅱ）由 ，得 。所以 ，
当 时， ；
例题分析：
题型一 分组转化求和
例1 求和：(1)Sn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ；
(2)Sn＝ 2＋ 2＋…＋ 2.
解 (1)由于an＝ ＝n＋ ，
∴Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝ ＋ ＝ － ＋1.
(2)当x＝±1时，Sn＝4n.当x≠±1时，
Sn＝ 2＋ 2＋…＋ 2＝ ＋ ＋…＋
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④
④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n·3n＋1－ ，
∴Sn＝ ＋ .
变式训练2①已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*).
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
,
故 ( )
(2)
两式相减得
故
数列求和练习（1）
1．数列 的通项公式是 ，若它的前 项和为10，则其项数 为
A．11 B．99 C．120 D．121
解： ，则由 ，得 ，选C
2．数列 的通项是 ， ，则数列 的的前 项和为
A． B． C． D．
解： ，则
，选A
3．已知数列 的前 项和为 ，则 的值是